ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]."

Φῆστος Πανταζής
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β π Για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το D = 0,, να βρείτε την παράγουσα συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A,0. i. f(x) = + ηµ x ηµ x 3x ii. f(x)= +3εϕx συν x i. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση. Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση F, τέτοια ώστε να ισχύει F (x) = f(x). Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η F(x)=-σφx+συν -x -x, διότι π π F (x)= -σϕx+ συν -x -x = + ηµ -x - = f(x) 4. ηµ x Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική G της f παίρνει τη μορφή G(x) = F(x) + c, c. Δηλαδή G(x)=-σφx+συν -x -x+c. Για να υπολογίσουμε τη σταθερά c αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α,0, δηλαδή θα ισχύει G =0. π Έχουμε G π =0 - π + - π σϕ συν - π +c = 0 c = π Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η π G(x)=-σφx+συν -x -x+.

2 ii. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση. Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση F, τέτοια ώστε να ισχύει F (x) Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η F(x)=3xεφx, διότι 3x F (x)= ( 3xεϕx ) = +3εϕ x = f(x) συν x = f(x). Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική G της f παίρνει τη μορφή G(x) = F(x) + c, c. Δηλαδή G(x)=3xεφx+c. Για να υπολογίσουμε τη σταθερά c αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α,0, δηλαδή θα ισχύει G =0. π π 3π Έχουμε G =0 3 εϕ +c = 0 c = Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η 3π G(x)=3xεφx. 4

3 Άσκηση. Να βρείτε τη συνάρτηση f :(0, + ) για την οποία ισχύει f( ) = 0. x +x- x +3 f (x) = και x Μετασχηματίζουμε τον τύπο της f, ώστε να εμφανιστούν κατάλληλες συναρτήσεις, ως εξής: x +x- x +3 x x x 3-3 f (x) = = =x+-x +, άρα x x x x x x Είναι f () = ln+c=0 c=0. Επομένως ο τύπος της ζητούμενης συνάρτησης είναι f (x) = x + x x + 3lnx + c. f (x) = x + x x + 3ln x. 3

4 Άσκηση 3. Η επιτάχυνση ενός σώματος σε χρόνο t sec δίνεται από τη συνάρτηση για 0 t 5. α (t) = +m/sec t+ Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος για t = sec αν η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν. Η συνάρτηση της ταχύτητας του σώματος είναι η παράγουσα της συνάρτησης α(t), οπότε U ( t ) = ln(t + ) + t + c. Αφού U( 0) = 0 τότε θα είναι c= 0, δηλαδή U ( t ) = ln(t + ) + t. Έτσι U() = ln + m/sec. 4

5 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. για την οποία ισχύει f( 0) = 0και f( ) =. Nα Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : xo x 0, για το οποίο ισχύει f (x ) = e + e. αποδείξετε ότι υπάρχει ( ) 0 0 g(x) = f(x) e e x με D g =, η οποία είναι συνεχής στο [0,], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη στο (0,), ως πράξεις x παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με παράγωγο g (x) = f (x) e + e. Για την οποία x Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) διαπιστώνουμε ότι ισχύει g0 ( ) = g ( ) =. Άρα από το θεώρημα Rolle προκύπτει ότι υπάρχει x ( 0,) δηλαδή = +. x o f (x 0) e e 0 για το οποίο ισχύει g (x o) = 0, 5

6 Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = xlnx x, x > 0. i. Να αποδείξετε ότι f (x) = lnx. ii. Να βρείτε τη συνάρτηση g :(0, + ) για την οποία ισχύει g (x) = lnx και η γραφική της παράσταση έχει σε ένα σημείο της εφαπτομένη την ευθεία y= 3. i. Η f είναι παραγωγίσιμη στο D ( 0, ) ( 0, + ), με f = +, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο f (x)=(xlnx-x) = lnx+x -=lnx. x ii. Μία παράγουσα της συνάρτησης g είναι η f, οπότε η g έχει τύπο g(x) = xlnx x + c ( c σταθερά). Η y= 3 έχει συντελεστή διεύθυνσης μηδέν, άρα αναζητούμε σημείο της γραφικής παράστασης της g στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στον xx. g (x) = 0 ln x = 0 x = και φυσικά το ζητούμενο σημείο είναι το Α(,-3) αφού είναι κοινό σημείο της συνάρτησης και της εφαπτομένης. Έτσι θα ισχύει g ( ) = 3, άρα c= και τελικά g(x) = xlnx x. 6

7 Άσκηση 3. Για μία συνάρτηση f: ισχύει = + για κάθε x και x f (x) e f(x) lim = 3. x x i. Να βρείτε το lim f (x). x ii. Να βρείτε τον τύπο της f. i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) f(x) x =, D = { } g. Τότε θα ισχύει f(x) g(x)(x ) =. Οπότε [ ] limf(x) = lim g(x)(x ) = 3 0 = 0. x x ii. Αφού = + τότε x f (x) e x f (x) e x c = + +. Η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη άρα f() = limf(x) = 0. x Αντικαθιστούμε στον τύπο της f και παίρνουμε c= 5 και τελικά x f (x) e x 5 = +. 7

8 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Για τη συνάρτηση f : ισχύουν f( 0) = 0, f(x) ηµ x για κάθε x και f (x) =, για κάθε x. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει τύπο f(x) = x + x για κάθε x. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f(x) ηµ x, με D g =. Τότε θα ισχύει: g(x) 0 για κάθε x () και επειδή g(0) = f (0) ηµ 0 = 0 (), από τις σχέσεις () και () έχουμε g(x) g( 0) για κάθε x. Η παραπάνω σχέση μας πληροφορεί ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0 και η g είναι παραγωγίσιμη σ αυτό το εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της, έτσι από το θεώρημα Fermat προκύπτει ( ) ( ) f ( 0) = (3). g 0 = 0 f 0 συν 0 = 0 Όμως δίνεται f ( x) = για κάθε x, άρα f ( x) x c παίρνουμε c =, δηλαδή ( ) f x = x +. = + και λόγω της σχέσης (3) Τότε θα είναι f( x) = x + x+ c και με δεδομένο f( 0) = 0 συμπεραίνουμε c = 0, δηλαδή ο τύπος της f είναι f(x) = x + x για κάθε x. Ημερομηνία τροποποίησης: 5/9/0 8

Σχετικά έγγραφα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,