Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη λύση ενός γραμμικού συστήματος.
32 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα
Λύση-Διερεύνηση Γραμμικών Συστημάτων Διερεύνηση Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn02_Sistimata.ggb». Στο εφαρμογίδιο παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις δύο ευθειών με εξισώσεις }. (α) Να βρείτε γραφικά τη λύση (αν υπάρχει) των πιο κάτω συστημάτων με τη βοήθεια του λογισμικού. Α) } Β) } Γ) } Δ) } (β) (γ) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων του καθενός από τα πιο πάνω συστήματα. Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα αυτά. Να διατυπώσετε έναν κανόνα για την εύρεση του πλήθους των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους (χωρίς να λύσετε το σύστημα). Να επιλέξετε το «Άλλες περιπτώσεις», για να εμφανιστούν οι γραφικές παραστάσεις δύο ευθειών με εξισώσεις }. Να βρείτε γραφικά τη λύση (αν υπάρχει) των πιο κάτω συστημάτων με τη βοήθεια του λογισμικού. Ε) } ΣΤ) } Ζ) } Η) } Θ) } Ι) } Να γράψετε το πλήθος των λύσεων του καθενός από τα πιο πάνω συστήματα. Να σχολιάσετε τα αποτελέσματα αυτά. ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα 33
Μαθαίνω Για τη διερεύνηση-λύση του συστήματος { με, οι εξισώσεις μπορούν να γραφούν ισοδύναμα στη μορφή: {. Οι ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις, έχουν κλίσεις ( Παράδειγμα: Η ευθεία με εξίσωση έχει κλίση και μπορεί να γραφεί ισοδύναμα στη μορφή. Τότε το σύστημα : (i) Θα έχει μοναδική λύση, αν (οι δύο ευθείες τέμνονται σε ένα μόνο σημείο). (ii) Δεν θα έχει καμία λύση, αν και (οι δύο ευθείες είναι παράλληλες). (iii) Θα έχει άπειρες λύσεις, αν και (οι δύο ευθείες συμπίπτουν). 34 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα
Παραδείγματα 1. Στο πιο κάτω ορθογώνιο σύστημα αξόνων δίνονται οι γραφικές παραστάσεις πέντε εξισώσεων ευθειών. Να εξετάσετε κατά πόσο τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων έχουν λύση ή όχι χρησιμοποιώντας τις γραφικές παραστάσεις που δίνονται. Για το καθένα να βρείτε τη λύση ή τις λύσεις (αν υπάρχουν). (α) } (β) } (γ) } (δ) } Λύση: (α) Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο. Άρα, το σύστημα έχει μοναδική λύση το ζεύγος. (β) Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο. Άρα, το σύστημα έχει μοναδική λύση το ζεύγος. (γ) Οι ευθείες και δεν τέμνονται σε κανένα σημείο. Άρα, το σύστημα δεν έχει λύση. (δ) Οι ευθείες και ταυτίζονται. Άρα, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Λύσεις είναι οι συντεταγμένες κάθε σημείου που βρίσκεται πάνω στις δύο ευθείες. ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα 35
2. Να λύσετε το σύστημα { Λύση: 1 ος τρόπος (Μέθοδος Αντικατάστασης) (επιλύουμε την 1 η εξίσωση, ως προς ) ( ) (αντικαθιστούμε το στη 2 η εξίσωση) ( ) (επιλύουμε την εξίσωση ως προς Για (αντικαθιστούμε το για να υπολογίσουμε το. 2 ος τρόπος (Μέθοδος Αντίθετων συντελεστών) Για να επιλύσουμε το σύστημα }, μπορούμε να εργαστούμε και με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών ως εξής: + Αντικαθιστούμε το στην εξίσωση και έχουμε: Άρα, η λύση του συστήματος είναι και δηλαδή το ζεύγος. 3. Να διερευνήσετε και να λύσετε το σύστημα { για. Λύση: 1 ος τρόπος Οι δύο εξισώσεις μπορούν να γραφούν στη μορφή {. 36 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα
Οι δύο εξισώσεις παριστάνουν ευθείες με κλίσεις και. Το σύστημα θα έχει μοναδική λύση, αν, δηλαδή { { (πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση επί ). (προσθέτουμε κατά μέλη), (αντικαθιστούμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις) } ( ) ( ), Αν οι εξισώσεις γίνονται {. Το σύστημα είναι αδύνατο ( καμία λύση), γιατί οι ευθείες είναι παράλληλες αφού 2 ος τρόπος { { (Μέθοδος της αντικατάστασης) Αν και. Επομένως, το σύστημα έχει μοναδική λύση με Η εξίσωση είναι αδύνατη, όταν και επομένως το σύστημα είναι αδύνατο. ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα 37
4. Για ποιες τιμές του το σύστημα { (α) Έχει μοναδική λύση (β) Έχει άπειρες λύσεις (γ) Δεν έχει καμία λύση Λύση: Το σύστημα { γράφεται στη μορφή { μόνο όταν. (α) Το σύστημα έχει μοναδική λύση, όταν. (β) Αν το σύστημα γίνεται { και παριστάνει δύο ευθείες που συμπίπτουν. Άρα, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Aν το σύστημα { γίνεται { {. (γ) Δεν υπάρχουν τιμές του, ώστε το σύστημα να γίνεται αδύνατο. (Για προκύπτουν συστήματα με άπειρες λύσεις, ενώ για προκύπτουν συστήματα με μοναδική λύση). 38 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα
Δραστηριότητες 1. Να λύσετε τα συστήματα και να αναφέρετε τη θέση των ευθειών που παριστάνουν οι εξισώσεις: (α) { (β) { (γ) { 2. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των ευθειών και. Να γράψετε το σύστημα που παριστάνουν οι δύο ευθείες και να εξετάσετε κατά πόσο έχει λύση. 3. Να σημειώσετε δίπλα από κάθε σύστημα, στον πίνακα που ακολουθεί, την κατάλληλη από τις πιο κάτω εκφράσεις: i. Έχει μοναδική λύση ii. Δεν έχει λύση iii. Έχει άπειρες λύσεις (α) { (β) { γ { δ { { στ { ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα 39
4. Να διερευνήσετε και να λύσετε τα συστήματα για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. (α) { (β) { (γ) { (δ) { 5. Για ποιες τιμές των και το σύστημα { έχει άπειρες λύσεις; 6. Να γράψετε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, που (α) να έχει μοναδική λύση το (β) να είναι αδύνατο, και η μία εξίσωση του να είναι. (γ) να έχει άπειρες λύσεις. 7. Να υπολογίσετε τις τιμές των και, αν το σύστημα { έχει λύση το. 8. Να βρείτε την τιμή του και ώστε τα πιο κάτω συστήματα να έχουν την ίδια λύση (να είναι ισοδύναμα). { και { 40 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα
Γραμμικά συστήματα με δύο ή περισσότερες εξισώσεις Διερεύνηση (1) Σε διαγωνισμό εγκυκλοπαιδικών γνώσεων το γραπτό είχε δύο μέρη (Α και Β). Το μέρος αποτελείται από 10 ερωτήσεις και κάθε ερώτηση παίρνει μονάδες, ενώ το μέρος αποτελείται από 8 ερωτήσεις και κάθε ερώτηση παίρνει μονάδες. (α) Στον πιο κάτω πίνακα παρουσιάζονται οι βαθμολογίες των μαθητών μίας τάξης. Με πόσες μονάδες βαθμολογείται η κάθε ερώτηση στο μέρος και με πόσες η κάθε ερώτηση στο μέρος; Να εξηγήσετε πως βρήκατε την απάντησή σας. (β) Να γράψετε ένα σύστημα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους που αντιστοιχεί στα παιδιά και και να το λύσετε. (γ) Πόσες μονάδες πήρε ο Γιάννης αν απάντησε ορθά σε 8 ερωτήσεις του μέρους και 8 ερωτήσεις του μέρους; (δ) Πόσες εξισώσεις της μορφής αντιστοιχούν στον πιο κάτω πίνακα, όπου η συνολική βαθμολογία του μαθητή; Να κατασκευάσετε 4 από τις ευθείες αυτές. Τι παρατηρείτε για τη σχέση αυτών των ευθειών; Μαθητής Αριθμός ορθών απαντήσεων A μέρους Αριθμός ορθών απαντήσεων B μέρους ΣΥΝΟΛΟ μοναδων (Σ) Α 1 1 10,5 Β 2 1 14,5 Γ 1 2 17 Δ 3 1 18,5 Ε 2 2 21 Ζ 2 3 27,5 Η 4 2 29 Θ 6 1 30,5 Ι 3 3 31,5 Κ 5 2 33 Λ 5 3 39,5 Μ 8 2 45 Ν 6 4 50 Ξ 7 4 54 Ο 5 6 59 Π 10 4 66 Ρ 9 5 68,5 Σ 8 6 71 T 8 8 84 Υ 10 8 92 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα 41
Διερεύνηση(2) Ο Κώστας υπολόγισε την τιμή του κάθε αντικειμένου στον πίνακα (1). Ο τρόπος που χρησιμοποίησε για τους υπολογισμούς του, φαίνεται στον πίνακα (2). (α)να εξηγήσετε τόσο λεκτικά όσο και αλγεβρικά τον τρόπο σκέψης του Κώστα, για να καταλήξει στον πίνακα (2), (β) Ποια είναι η τιμή του κάθε αντικειμένου; ΠΙΝΑΚΑΣ 1 ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ 40 115 169 ΠΙΝΑΚΑΣ 2 ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ 40 35 49 42 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα
Μαθαίνω Ένα γραμμικό σύστημα ονομάζεται συμβιβαστό, όταν έχει τουλάχιστον μία λύση. Διαφορετικά, όταν δεν υπάρχουν τιμές των που να επαληθεύουν το σύστημα, ονομάζεται αδύνατο ή ασυμβίβαστο. Σημείωση: Η έννοια του συμβιβαστού συστήματος αποκτά περισσότερη σημασία, όταν το πλήθος των εξισώσεων είναι μεγαλύτερο από το πλήθος των αγνώστων. Για παράδειγμα το σύστημα: { είναι συμβιβαστό, γιατί έχει λύση το ζεύγος Το σύνολο τριών εξισώσεων της μορφής { ονομάζεται γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. (Οι συντελεστές των αγνώστων και οι σταθεροί όροι είναι πραγματικοί αριθμοί). Παραδείγματα 1. Να εξετάσετε κατά πόσο τα συστήματα είναι συμβιβαστά και να συνδέσετε την απάντησή σας με τη γραφική παράσταση των ευθειών που παριστάνουν οι εξισώσεις. : { και { Λύση: Το σύστημα είναι συμβιβαστό διότι έχει λύση το. Γραφικά αυτό σημαίνει ότι οι δύο ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, το ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα 43
Το δεν είναι συμβιβαστό σύστημα διότι το επαληθεύει τις δύο πρώτες εξισώσεις και δεν επαληθεύει την τρίτη εξίσωση. Γραφικά αυτό σημαίνει ότι οι τρεις ευθείες δεν τέμνονται στο ίδιο σημείο. 2. Να βρείτε την τιμή του,, ώστε το πιο κάτω σύστημα να είναι συμβιβαστό και στη συνέχεια να αναφέρετε τη θέση των ευθειών που παριστάνουν οι τρεις εξισώσεις. {. Λύση: { {. Η λύση θα πρέπει να επαληθεύει και την 3 η εξίσωση, για να είναι το σύστημα συμβιβαστό. Επομένως,. Γεωμετρικά, έχουμε τις τρεις ευθείες: { να περνούν από το σημείο. 44 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα
3. Να λύσετε το πιο κάτω σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους { Λύση: Παρατηρούμε ότι η 2η εξίσωση δεν περιλαμβάνει τον άγνωστο, οπότε απαλείφουμε το γ από την 1η και την 3 η εξίσωση. Πολλαπλασιάζουμε επί εξισώσεις. την 1η εξίσωση και προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο Επιλέγουμε τις δύο εξισώσεις με άγνωστους τα και και επιλύουμε ως προς και + Αντικαθιστούμε το στη Αντικαθιστούμε στην. 4. Να λύσετε το ομογενές σύστημα {. Λύση: Σημείωση: Ένα γραμμικό σύστημα λέγεται ομογενές, όταν όλοι οι σταθεροί όροι είναι ίσοι με μηδέν. Μία λύση του συστήματος { είναι η μηδενική, διότι αντικαθιστώντας επαληθεύονται και οι τρεις εξισώσεις. Θα αναζητήσουμε και άλλες λύσεις, αν υπάρχουν. ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα 45
Παίρνουμε τις εξισώσεις ανά δύο και απαλείφουμε το ως εξής: (*) (**) Οι εξισώσεις (*) και (**) που προέκυψαν είναι οι ίδιες. Παίρνουμε μια από τις αρχικές εξισώσεις και αντικαθιστούμε από την (*)., όπως προκύπτει } Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής: Για παράδειγμα δίνοντας διάφορες τιμές στο λύσεις όπως: μπορούμε να βρούμε ορισμένες Λύση ( ) Δραστηριότητες 1. Να λύσετε τα συστήματα και να ερμηνεύσετε τα αποτελέσματα γραφικά: (α) { (β) { (γ) { (δ) { Ποια από τα πιο πάνω συστήματα είναι συμβιβαστά; 2. Να βρείτε την τιμή του (, ώστε το σύστημα: { να είναι συμβιβαστό. 46 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα
3. Να γράψετε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με δύο αγνώστους, που να είναι συμβιβαστό. 4. Αν το σύστημα : { έχει λύση το, να υπολογίσετε τις τιμές των και 5. Να λύσετε το σύστημα: { 6. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. (α) { (β) { (γ) { (δ) { (ε) { ε) { 7. Το άθροισμα της μεγαλύτερης και της μικρότερης γωνίας ενός τριγώνου είναι διπλάσιο από την άλλη γωνία. Αν η μεγαλύτερη γωνία είναι μεγαλύτερη από την αμέσως μικρότερη γωνία του τριγώνου, να υπολογίσετε τα μέτρα των τριών γωνιών του τριγώνου. 8. Να λύσετε το ομογενές σύστημα: {. 9. Τα σημεία και ανήκουν στην καμπύλη με εξίσωση:. Να βρείτε τα και. 10. Αν το σύστημα { είναι συμβιβαστό, να αποδείξετε ότι. ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα 47
11. Να δείξετε ότι το σύστημα { έχει άπειρες λύσεις και να τις βρείτε. 12. Να δείξετε ότι το είναι λύση του συστήματος: {. Στη συνέχεια να εξετάσετε κατά πόσο υπάρχουν και άλλες λύσεις. 13. Να γράψετε το σύστημα που αντιστοιχεί στο κάθε σχήμα. Να βρείτε τη λύση τους αν υπάρχει. 14. Να βρείτε πόσο κοστίζει το καθένα από τα πιο κάτω αντικείμενα όπως αναγράφονται οριζόντια οι συνολικές τους τιμές. ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ 400 634 30 48 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα
Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να γράψετε το σύστημα και τη λύση που παριστάνουν οι ευθείες και στο διπλανό σχήμα. 2. Να λύσετε και να διερευνήσετε τα συστήματα: (α) { (β) { 3. Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn02_DiereynisiSystimatos.ggb» (α) Να σχεδιάσετε τις ευθείες,, δίνοντας τις κατάλληλες τιμές στις παραμέτρους και να αναφέρετε τη θέση τους. (β) Γιατί το σύστημα των δύο εξισώσεων { δεν έχει λύση; (γ) Να γράψετε ένα δικό σας σύστημα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους που να μην έχει λύση. (δ) Να βρείτε την κλίση των ευθειών και. 4. Ο Ανδρέας έχει διπλάσια ηλικία από τον αδελφό του Βασίλη. Τέσσερα χρόνια πριν ο Ανδρέας είχε τετραπλάσια ηλικία από τον Βασίλη. Να γράψετε δύο εξισώσεις που να συνδέουν τις ηλικίες του Ανδρέα και του Βασίλη και να τις παραστήσετε γραφικά. Να βρείτε τις ηλικίες των δύο παιδιών από τη γραφική παράσταση. ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα 49
5. Η καμπύλη με εξίσωση περνά από τα σημεία και. Να βρείτε τα και και να δείξετε ότι τέμνει τον άξονα των σε δύο σημεία. 6. Να λύσετε το σύστημα {,. 7. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. (α) { (β) { (γ) { (δ) { 8. Να γράψετε ένα σύστημα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους που να έχει άπειρες λύσεις της μορφής. 9. Να λύσετε και να διερευνήσετε το σύστημα {, για. 10. Η καμπύλη με εξίσωση περνά από τα σημεία με συντεταγμένες. (α) Να βρείτε τα και (β) Να αποδείξετε ότι και το σημείο βρίσκεται πάνω στην καμπύλη. 11. Ένα σύστημα με αγνώστους και εξισώσεις είναι συμβιβαστό. (α) Ποια είναι η αλγεβρική ερμηνεία της πιο πάνω πρότασης; (β) Ποια είναι η γραφική ερμηνεία της πιο πάνω πρότασης (Ποια είναι η θέση των πέντε ευθειών που παριστάνουν οι εξισώσεις); 50 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα
Ασκήσεις Εμπλουτισμού 1. Να γράψετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, που να έχει άπειρες λύσεις της μορφής 2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν πάντοτε δύο πραγματικοί αριθμοί που έχουν άθροισμα και διαφορά δ, με δ 3. Να βρείτε τις τιμές των ώστε να είναι και τα δύο πιο κάτω συστήματα αδύνατα. { { 4. Να αποδείξετε ότι το γραμμικό σύστημα: {, έχει μοναδική λύση, όταν. 5. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα: { {. Τι συμβαίνει όταν έχουμε λιγότερες εξισώσεις από τους αγνώστους; (Να δώσετε κατάλληλα παραδείγματα) 6. Να σχηματίσετε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους που: (α) να έχει μοναδική λύση το, (β) να έχει άπειρες λύσεις της μορφής (γ) να είναι αδύνατο. 7. Να εξετάσετε κατά πόσο υπάρχουν τιμές της παραμέτρου, ώστε τα πιο κάτω συστήματα να είναι αδύνατα ή να έχουν λύση. (α) { (β) { 8. Αν το σύστημα { είναι συμβιβαστό, να αποδείξετε ότι ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα 51
9. Να βρείτε την τιμή του ώστε το σύστημα { να είναι ομογενές. Στη συνέχεια να λύσετε το σύστημα. 10. Να λύσετε τα συστήματα: { { 11. Αν το σύστημα: { είναι συμβιβαστό, να βρείτε τη σχέση που συνδέει τις παραμέτρους και 12. Για ποια τιμή του το σύστημα { έχει και άλλες λύσεις εκτός της μηδενικής λύσης (0,0); 13. Να λύσετε και να διερευνήσετε το σύστημα { για τις διάφορες τιμές του 52 ΕΝΟΤΗΤΑ 2 : Γραμμικά Συστήματα