3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Transcript

1 . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους Είναι ένα σύνολο δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους και των οποίων αναζητούµε τις κοινές λύσεις.. Λύση γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε αγνώστους και Ονοµάζεται κάθε ζεύγος τιµών (, ) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήµατος.. Γραφική επίλυση γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους Είναι η σχεδίαση της γραφικής παράστασης των εξισώσεων του συστήµατος και ο προσδιορισµός των συντεταγµένων του κοινού σηµείου ή των κοινών σηµείων εφ όσον υπάρχουν. 4. Σύστηµα µε µία µόνο λύση Αν οι εξισώσεις του συστήµατος έχουν γραφικές παραστάσεις ευθείες που έχουν ένα κοινό σηµείο τότε το σύστηµα έχει µία µόνο λύση. Σηµείωση : Οι ευθείες = α + β και = α + β έχουν ένα κοινό σηµείο, όταν α α 5. Σύστηµα αδύνατο Αν οι εξισώσεις του συστήµατος έχουν γραφικές παραστάσεις ευθείες που είναι παράλληλες, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο. Σηµείωση : Οι ευθείες = α + β και = α + β είναι παράλληλες όταν α = α και β β. Σύστηµα αόριστο Αν οι εξισώσεις του συστήµατος έχουν γραφικές παραστάσεις ευθείες που ταυτίζονται, τότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (αόριστο σύστηµ. Σηµείωση : Οι ευθείες = α + β και = α + β ταυτίζονται όταν α = α και β = β

2 ΣΧΟΛΙΑ. Πρόταση : Αν ένα γραµµικό σύστηµα έχει δύο λύσεις τότε έχει άπειρες λύσεις.. Παρατήρηση : Η γραφική επίλυση ενός συστήµατος συνήθως δεν δίνει την ακριβή λύση του συστήµατος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες Το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ε και ε είναι αδύνατο, άρα οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες προς τον άξονα των Λ Το ζεύγος (, ) είναι λύση του συστήµατος + = 0 και = Λ Το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ε και ε είναι αόριστο, άρα οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες Λ δ) Το σύστηµα = 4 και = έχει λύση το ζεύγος (, ) Σ ε) Το σύστηµα = και = 4 είναι αδύνατο Σ στ) Το σύστηµα = και = έχει µία µόνο λύση Σ Θεωρία 5 Σε αδύνατο σύστηµα οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες µεταξύ τους, εποµένως η πρόταση είναι λάθος. Θεωρία Το ζεύγος (, ) επαληθεύει την πρώτη εξίσωση αλλά όχι την δεύτερη εποµένως δεν είναι λύση του συστήµατος οπότε η πρόταση είναι λάθος. Στο αόριστο σύστηµα δύο ευθειών οι ευθείες συµπίπτουν οπότε η πρόταση είναι λάθος. δ) Θεωρία Προφανώς λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (, ), οπότε η πρόταση είναι σωστή ε) Προφανώς το σύστηµα είναι αδύνατο, οπότε η πρόταση είναι σωστή στ) H ευθεία µε εξίσωση την = είναι η διχοτόµος της ης και της ης γωνίας των αξόνων και η ευθεία = είναι παράλληλη στον άξονα των. Εποµένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, συνεπώς το σύστηµα έχει µία µόνο λύση. Οπότε η πρόταση είναι σωστή.

3 . Στις παρακάτω ερωτήσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση Οι ευθείες + = 4 και = Α. Είναι παράλληλες Β. Τέµνονται Γ. Ταυτίζονται. ιέρχονται από το σηµείο (0, 0) Η ευθεία + = τέµνει τον άξονα των στο σηµείο Α. (0, ) Β. (0, 0) Γ. (, ). (0, ) Η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (, ) και (, ) έχει εξίσωση Α. = Β. = Γ. + = 0. = 0 δ) Οι ευθείες = 4 και = τέµνονται στο σηµείο Α. (4, ) Β. (4, ) Γ. (, ).(4, ) ε) Το σύστηµα = + και = έχει λύση το ζεύγος Α. (, 0) Β.(0, ) Γ. (, ).(, ) Οι δοσµένες εξισώσεις γράφονται = + 4 και =. Επειδή οι συντελεστές του είναι διαφορετικοί, οι ευθείες τέµνονται. Άρα σωστό το Β. Για = 0 έχουµε =, συνεπώς σηµείο τοµής µε τον άξονα των είναι το (0, ). Άρα σωστό είναι το Εύκολα διαπιστώνουµε ότι η εξίσωση που επαληθεύεται από τις συντεταγµένες των δοθέντων σηµείων είναι η = 0. Άρα σωστό είναι το δ) Οι εξισώσεις γίνονται = 4 και =, οπότε σηµείο τοµής τους είναι το (4, ). Άρα σωστό είναι το ε) Και οι δύο εξισώσεις επαληθεύονται από το ζεύγος (, ), άρα σωστό είναι το Γ. Να παραστήσετε γραφικά ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους που να έχει µοναδική λύση το ζεύγος (, ) Αρκεί να σχεδιάσουµε δύο ευθείες µε µοναδικό κοινό σηµείο το (, ) πράγµα που φαίνεται στο διπλανό σχήµα ε ε - - Ο

4 4 4. Να εξετάσετε κατά πόσο ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων που έχει λύσεις τα ζεύγη (, ) και (, ) έχει και άλλες λύσεις. Να εξηγήσετε την σκέψη σας. Σχόλιο Ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους ή θα έχει µία µόνο λύση ή θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις. Από την υπόθεση το σύστηµα για το οποίο µιλάµε έχει δύο λύσεις συνεπώς θα έχει άπειρες ακόµα λύσεις 5. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των ευθειών ε : + =, ε : =, ε : + = 0 και ε 4 : = Να βρείτε την λύση των συστηµάτων + = + = i) ii) = + = 0 iν) + = = 0 ε ν) + = = 0 Πίνακας τιµών για τη σχεδίαση iii) νi) 0 ε 0 0 ε 5 0 = + = 0 = = ε : + = ε : + = - A Γ B ε 4 : = ε : - = Ε Οι εξισώσεις του συστήµατος (i) έχουν γραφικές παραστάσεις τις µπλε και κόκκινη ευθείες, οι οποίες τέµνονται στο σηµείο Α(, 4). Άρα λύση του συστήµατος αυτού είναι το ζεύγος (, 4). Οι εξισώσεις του συστήµατος (ii) έχουν γραφικές παραστάσεις τις µπλε και µαύρη ευθείες, οι οποίες είναι παράλληλες, άρα το σύστηµα είναι αδύνατο. Οµοίως βρίσκουµε ότι το σύστηµα (iii) έχει λύση το ζεύγος (, ). Το σύστηµα (iν) έχει λύση τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής Γ της ευθείας + = µε τον άξονα των, δηλαδή το ζεύγος (0, )

5 5 Το σύστηµα (ν) έχει λύση τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής της ευθείας + = µε τον άξονα των, δηλαδή το ζεύγος (, 0). Και τέλος το σύστηµα (νi) έχει λύση τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής E δηλαδή το ζεύγος (, ). Να αποδείξετε γραφικά ότι τα συστήµατα + = 5 + 4= 7 και έχουν την ίδια λύση = = 5 Σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση των ευθειών ε : + = 5, ε : = 7, ε : + 4 = 7 και ε 4 : + 4 = 5 ε Πίνακας τιµών για τη σχεδίαση ε ε ε 4 0,5 Όπως βλέπουµε όλες οι ευθείες διέρχονται από το σηµείο Α(, ), πράγµα που σηµαίνει ότι και τα δύο συστήµατα έχουν κοινή λύση το ζεύγος (, ) + = 5 O - = = -5 A + 4 = 7 5

6 7. Να λύσετε γραφικά τα συστήµατα + = + = = + = + = 4 + 4= 8 Σχεδιάζοντας τις γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων µε την γνωστή πλέον διαδικασία βλέπουµε ότι οι ευθείες έχουν κοινό το σηµείο Α(, ). Εποµένως λύση του συστήµατος είναι + = A - = το ζεύγος (, ) = (, ) O Οµοίως δουλεύοντας βλέπουµε τις γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων του συστήµατος στο παρακάτω σχήµα. Επειδή οι ευθείες είναι παράλληλες το σύστηµα είναι αδύνατο 4 + = O + = ιαπιστώνουµε ότι οι εξισώσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που ταυτίζονται, εποµένως το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις + = = 8 Ο 4

7 7 8. Το κέρδος, σε χιλιάδες, δύο εταιρειών Α και Β συναρτήσει της παραγόµενης ποσότητας, σε τόνους ενός προϊόντος, δίνεται από τις εξισώσεις = 4 για την εταιρεία Α και = 8 για την εταιρεία Β. Να βρείτε ποιά πρέπει να είναι η παραγόµενη ποσότητα για κάθε εταιρεία ώστε να υπάρχουν κέρδη. Πότε τα κέρδη της εταιρείας Α είναι περισσότερα από τα κέρδη της Β; Πότε τα κέρδη των δύο εταιρειών είναι ίσα; δ) Όταν τα κέρδη ξεπεράσουν τα 7.000, οι εταιρείες υπερφορολογούνται. Από ποια ποσότητα και πάνω για κάθε εταιρεία αρχίζει η υπερφορολόγηση; Σχεδιάζουµε τις γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων = 4 και = 8 Για να υπάρχουν κέρδη θα πρέπει να είναι > 0. Η κόκκινη ευθεία είναι ψηλότερα από τον άξονα των, δηλαδή > 0, όταν >. Εποµένως η εταιρεία Α έχει κέρδη όταν >, πράγµα που σηµαίνει ότι η παραγωγή πρέπει να είναι µεγαλύτερη από τόνους. Οµοίως για την εταιρεία Β υπάρχουν κέρδη όταν η παραγωγή είναι µεγαλύτερη από 8 τόνους. 7 4 Ο = -4 8 = ,5 Τα κέρδη της εταιρείας Α είναι περισσότερα από τα κέρδη της εταιρείας Β όταν το της κόκκινης ευθείας είναι µεγαλύτερο από το της µαύρης ευθείας. Αυτό συµβαίνει όταν η κόκκινη ευθεία είναι ψηλότερα από την µαύρη, το οποίο ισχύει όταν < < 4. Τα κέρδη των δύο εταιρειών είναι ίσα όταν τα είναι ίσα. Πράγµα που ισχύει όταν = 4. δ) Θα πρέπει τα των δύο ευθειών να είναι µεγαλύτερα από το 7. Για την εταιρεία Α, η κόκκινη ευθεία είναι ψηλότερα από την ευθεία = 7, όταν > 5,5. ηλαδή η εταιρεία Α υπερφορολογείται όταν η παραγωγή της υπερβαίνει τους 5,5 τόνους. Οµοίως για την Β, η υπερφορολόγηση αρχίζει όταν η παραγωγή υπερβαίνει τους 5 τόνους.