èåôéêþ êáôåýèõíóç & τεχνολοική ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συνοπτική θεωρία των παραράφων. μέχρι.3 Θερμοδυναμικό σύστημα λέεται το σύστημα ια την περιραφή του οποίου χρησιμοποιούνται εκτός από νωστά μεέθη της μηχανικής και θερμοδυναμικά μεέθη, όπως θερμότητα, θερμοκρασία, εσωτερική ενέρεια κ.α. Το απλούστερο θερμοδυναμικό σύστημα είναι μία ποσότητα αερίου μέσα σε κάποιο δοχείο. Μία ποσότητα αερίου βρίσκεται σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας ή απλά ισορροπίας, όταν η πίεση (p), η πυκνότητα (ρ) και η θερμοκρασία (Τ) έχουν την ίδια τιμή σε όλη την έκταση του αερίου.
Θερμοδυναμική 4 Μία μεταβολή ενός θερμοδυναμικού συστήματος ονομάζεται αντιστρεπτή μεταβολή, όταν αν την αντιστρέψουμε, τότε τόσο το σύστημα όσο και το περιβάλλον του επανέρχονται στην αρχική τους κατάσταση. Το έρο (W) που παράει ένα αέριο σε μια μεταβολή που θεωρούμε αντιστρεπτή δίνεται από τη σχέση: W = p Δ, όπου p = πίεση του αερίου και Δ η μεταβολή του όκου του. Αν Δ > 0, τότε το έρο W είναι θετικό, δηλαδή μεταφέρεται ενέρεια από το σύστημα στο περιβάλλον, ενώ αν Δ < 0, τότε το έρο W είναι αρνητικό και η ενέρεια μεταφέρεται από το περιβάλλον στο σύστημα. Θερμότητα (Q) είναι η ενέρεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σε άλλο λόω της διαφοράς θερμοκρασίας των δύο σωμάτων ή κατ επέκταση από ένα σύστημα στο περιβάλλον του ή και αντιστρόφως. Κάθε σώμα ή σύστημα εμπεριέχει ενέρεια, που είναι το άθροισμα των ενερειών των σωματιδίων που το απαρτίζουν, ως αποτέλεσμα της σχετικής τους κίνησης ως προς το κέντρο μάζας του σώματος ή του συστήματος και των αλληλεπιδράσεων μεταξύ τους. Αυτήν την ενέρεια την ονομάζουμε εσωτερική ενέρεια (U). Για ένα ιδανικό αέριο, η εσωτερική του ενέρεια (U) δίνεται από τη σχέση: 3 U = n R T δηλαδή η εσωτερική του ενέρεια εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία του. Το ποσό θερμότητας (Q) που απορροφά ή αποβάλλει ένα θερμοδυναμικό σύστημα είναι ίσο με το αλεβρικό άθροισμα της μεταβολής της εσωτερικής του ενέρειας και του έρου που παράει ή δαπανά το σύστημα. Η παραπάνω διατύπωση αποτελεί τον ο θερμοδυναμικό νόμο, ο οποίος μαθηματικά ράφεται: Q = ΔU + W Σε μια ισόθερμη αντιστρεπτή μεταβολή το έρο (W) δίνεται από τη σχέση:
Θερμοδυναμική 5 W = n R T n τ, α με τ τον τελικό όκο και α τον αρχικό όκο του αερίου. Ο ος θερμοδυναμικός νόμος Q = ΔU + W δίνει: Q = W, αφού ΔU = 0. Δηλαδή, το ποσό θερμότητας (Q) που απορροφά ή αποβάλλει το σύστημα είναι ίσο με το έρο που παράει ή δαπανά το σύστημα. Η μεταβολή της εσωτερικής ενέρειας (ΔU) είναι ίση με μηδέν, ιατί ισχύει: 3 U = n R T, και εφόσον η θερμοκρασία είναι σταθερή, η εσωτερική ενέρεια U είναι σταθερή και κατά συνέπεια ΔU = 0. Σε μια ισόχωρη αντιστρεπτή μεταβολή το έρο W = p είναι μηδέν (ιατί Δ = 0) και ο ος θερμοδυναμικός νόμος δίνει: Q = W + ΔU Q = ΔU Δηλαδή, στην ισόχωρη αντιστρεπτή μεταβολή το ποσό της θερμότητας που απορροφά ή δίνει το σύστημα είναι ίσο με τη μεταβολή της εσωτερικής του ενέρειας. Σε μια ισοβαρή αντιστρεπτή μεταβολή ισχύει: W = p Δ ή W = p ( τ α ) και ο ος θερμοδυναμικός νόμος μας δίνει: Q = ΔU + W Q = ΔU + p ( τ α ) Σε μια αδιαβατική μεταβολή, ισχύει: Q = 0 και o ος θερμοδυναμικός νόμος μας δίνει: Q = ΔU + W 0 = ΔU + W W = -ΔU
Θερμοδυναμική 6 Στην αδιαβατική μεταβολή το έρο είναι ίσο με το αντίθετο της μεταβολής της εσωτερικής ενέρειας. Σε μια κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή, κατά την οποία το σύστημα μετά από μια διερασία επιστρέφει στην ίδια κατάσταση, επειδή ΔU = 0, ο ος θερμοδυναμικός νόμος δίνει: Q = ΔU + W Q = W Το ποσό θερμότητας που απαιτείται ια να αυξηθεί η θερμοκρασία ενός σώματος μάζας m, κατά ΔΤ δίνεται από τη σχέση: Q = m c ΔΤ () (όπου c = ειδική θερμότητα σώματος) Επειδή όμως ισχύει: m n = M με M τη ραμμομοριακή μάζα του αερίου, λύνοντας ως προς m: m = n M και αντικαθιστώντας στην () παίρνουμε: Q = n M c ΔΤ Q = n C ΔΤ () (Αντικαθιστώντας C = M c). Η ποσότητα C = M c ονομάζεται ραμμομοριακή ειδική θερμότητα του σώματος. Ενώ ια τα στερεά και υρά η ειδική θερμότητα εξαρτάται μόνο από το υλικό, στα αέρια η ειδική θερμότητα και η ραμμομοριακή ειδική θερμότητα εξαρτώνται και από τον τρόπο με τον οποίο θερμαίνεται το αέριο. Α. Για τη θέρμανση με σταθερό όκο, ισχύουν οι σχέσεις: Q v = n C v ΔΤ Επειδή ο όκος παραμένει σταθερός, το έρο W του αερίου είναι W = p Δ = p 0 = 0 και ο ος θερμοδυναμικός νόμος δίνει: Q v = ΔU + W Q v = ΔU οπότε και ΔU = n C v ΔΤ
Θερμοδυναμική 7 Β. Για τη θέρμανση με σταθερή πίεση ισχύουν οι σχέσεις: Q p = n C p ΔΤ Το έρο W είναι: W = p Δ. Από την καταστατική εξίσωση: p = n R T p Δ = n R ΔΤ Άρα W = n R ΔΤ Ο ος θερμοδυναμικός νόμος Q = ΔU + W δίνει: Q = ΔU + W (Αντικαθιστούμε ΔU = n C v ΔΤ) n C p ΔΤ = n C v ΔΤ + n R ΔΤ n C p ΔΤ = n ΔΤ (C v + R) C p = C v + R Ακόμη ισχύουν οι σχέσεις: 3 C v = R, C p = 5 R και C = ρ Cv - Θερμικές μηχανές ονομάζουμε τις διατάξεις που μετατρέπουν τη θερμότητα σε μηχανικό έρο. Παράδειμα θερμικών μηχανών είναι οι βενζινοκινητήρες, οι κινητήρες diesel. - Η αρχή της λειτουρίας μιας θερμικής μηχανής είναι : Η μηχανή δέχεται ποσό θερμότητας ίσο με Q h από μια θερμή δεξαμενή, παράει έρο W και αποβάλλει ποσό θερμότητας Q c σε μια ψυχρή δεξαμενή.
Θερμοδυναμική 8 - Ο συντελεστής απόδοσης (e) οποιασδήποτε θερμικής μηχανής είναι λόος του ωφέλιμου έρου που μας δίνει η μηχανή προς την ενέρεια που δαπανούσε ια να λειτουρήσει. Δηλαδή ισχύει : e = W Q h ή e = - Qc Q. h Ο ος θερμοδυναμικός νόμος μας «λέει». η διατύπωση Είναι αδύνατο να κατασκευαστεί θερμική μηχανή που να μετατρέπει εξ ολοκλήρου τη θερμότητα σε ωφέλιμο έρο. η διατύπωση Είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μηχανή που να μετατρέπει θερμότητα από ένα ψυχρό σώμα σε ένα θερμότερο χωρίς να δαπανάται ενέρεια ια τη λειτουρία της. Η μηχανή Carnot είναι μια υποθετική, εξιδανικευμένη μηχανή που η απόδοσή της αποτελεί το ανώτερο όριο ια την απόδοση όλων των άλλων μηχανών. Η απόδοση της μηχανής Carnot δίνεται από τη σχέση : e Carnot = - T T c h όπου Τ h = απόλυτη θερμοκρασία θερμής δεξαμενής και Τ C = απόλυτη θερμοκρασία ψυχρής δεξαμενής Αναλυτική θεωρία των παραράφων. μέχρι.3 Με τι ασχολείται η θερμοδυναμική; Απάντηση
Θερμοδυναμική 9 Η θερμοδυναμική μελετάει τη μετατροπή θερμότητας σε μηχανικό έρο και τους περιορισμούς που η φύση έχει επιβάλλει. Η μελέτη και η πρόοδος της θερμοδυναμικής οδήησε στην κατασκευή όλων των σύχρονων θερμικών μηχανών, βενζινοκινητήρων, πετρελαιοκινητήρων, κινητήρων αεροσκαφών, κ.α. Τι ονομάζουμε θερμοδυναμικό σύστημα; Απάντηση Θερμοδυναμικό σύστημα είναι το σύστημα το οποίο ια την περιραφή του χρησιμοποιούνται εκτός από τα διάφορα μεέθη της μηχανικής και θερμοδυναμικά μεέθη, όπως θερμότητα, θερμοκρασία, εσωτερική ενέρεια, κ.α. Ότι υπάρχει έξω από το σύστημα το ονομάζουμε περιβάλλον του συστήματος. Τα απλούστερα θερμοδυναμικά συστήματα που θ ασχοληθού-με είναι αέρια που βρίσκονται μέσα σε δοχεία στο εσωτερικό των οποίων δε ίνονται χημικές αντιδράσεις. Αν τα τοιχώματα του δοχείου δεν επιτρέπουν τη μεταφορά θερμότητας από το αέριο προς το περιβάλλον ή και αντίστροφα, τότε το σύστημα χαρακτηρίζεται θερμικά μονωμένο ή απλά μονωμένο. Να αποδείξετε τη σχέση που μας δίνει την εσωτερική ενέρεια κάποιας ποσότητας ιδανικού αερίου.
Θερμοδυναμική 0 Απάντηση Έστω ότι έχουμε ποσότητα n moles ιδανικού αερίου. Σύμφωνα με το μοντέλο του ιδανικού αερίου, τα μόριά του δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, οπότε δεν έχουν δυναμική ενέρεια. Έτσι η εσωτερική ενέρεια ενός ιδανικού αερίου οφείλεται αποκλειστικά στις κινητικές ενέρειες που έχουν τα μόριά του. Γνωρίζουμε ήδη, ότι η μέση κινητική ενέρεια κάθε μορίου δίνεται από τη σχέση: 3 E K = kt Αν ο συνολικός αριθμός των μορίων του ιδανικού αερίου είναι Ν, τότε η μέση κινητική ενέρεια του αερίου θα είναι: NE K = N 3 kt και η οποία σχέση θα μας δίνει και την εσωτερική ενέρεια του αερίου. Άρα: 3 U = NkT. Επειδή ισχύει: Ν = n N A (όπου Ν Α = ο αριθμός του Avogadro) η σχέση ια την εσωτερική ενέρεια ίνεται: U = 3 nn A kt και επειδή Ν Α k = R η εσωτερική ενέρεια ίνεται τελικά: 3 U = nrt Η τελευταία σχέση μας δείχνει ότι, η εσωτερική ενέρεια ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία του,
Θερμοδυναμική αφού n και R είναι σταθερά. Κάτι που προκύπτει από την παραπάνω σχέση είναι, ότι η μεταβολή (ΔU) της εσωτερικής ενέρειας ενός θερμοδυναμικού συστήματος εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση του συστήματος και όχι από τον τρόπο που πραματοποιήθηκε η μεταβολή. Δηλαδή ια τις μεταβολές ΑΒ, ΚΛ και ΜΝ που δείχνονται στο παρακάτω διάραμμα, η μεταβολή της εσωτερικής ενέρειας (ΔU) είναι η ίδια, αφού οι αρχικές και οι τελικές απόλυτες θερμοκρασίες είναι ίσες ια τις μεταβολές αυτές. Β p Α Κ Λ Ν Μ Τ Τ Τι νωρίζετε ια τον ο θερμοδυναμικό νόμο; Απάντηση Ο ος θερμοδυναμικός νόμος μαθηματικά διατυπώνεται ως εξής: Q = ΔU + W όπου: ΔU: η μεταβολή στην εσωτερική ενέρεια του συστήματος Q: η ενέρεια που ανταλλάσσει υπό μορφή θερμότητας το σύστημα με το περιβάλλον, και W: η ενέρεια που ανταλλάσσει, υπό μορφή έρου, το σύστημα με το περιβάλλον. Ο ος θερμοδυναμικός νόμος εκφράζει το νόμο της διατήρησης της ενέρειας.
Θερμοδυναμική Ο νόμος διατήρησης της ενέρειας μας λέει ότι: Η ενέρεια μεταφέρεται και μετασχηματίζεται, αλλά ούτε δημιουρείται από το μηδέν ούτε καταστρέφεται. Ο ος θερμοδυναμικός νόμος είναι εμπειρικός νόμος και δεν αποδεικνύεται. Έχουν ίνει πολλές προσπάθειες ια την κατασκευή μηχανών που να εράζονται χωρίς την κατανάλωση ενέρειας, κάτι που θα αντέκρουε τον νόμο. Αυτό όμως ήταν χωρίς καμιά επιτυχία. Ακόμη, αν λύσουμε τη σχέση, που εκφράζει μαθηματικά τον ο θερμοδυναμικό νόμο, ως προς ΔU έχουμε: ΔU = Q W Η σχέση αυτή μας δείχνει ότι: Υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι ια να μεταφέρουμε ενέρεια σε ένα σύστημα, είτε με μορφή έρου είτε με μορφή θερμότητας. Η διατήρηση της ενέρειας μας «λέει» ότι, η συνολική ενέρεια που μεταφέρουμε στο σύστημα η οποία είναι ίση με Q W (τα Q και W με τα πρόσημά τους), δεν χάνεται, αλλά αυξάνει ή ελαττώνει την εσωτερική ενέρεια του συστήματος κατά ΔU.
Θερμοδυναμική 3 Πώς εφαρμόζεται ο ος αντιστρεπτή μεταβολή; θερμοδυναμικός νόμος σε μια αδιαβατική Απάντηση Αδιαβατική μεταβολή ονομάζεται η μεταβολή κατά την οποία δεν έχουμε μεταφορά θερμότητας από το περιβάλλον προς το σύστημα ή αντίστροφα. Ο νόμος που διέπει μια τέτοια μεταβολή είναι: p = σταθερό (Νόμος του Poisson), όπου ένας καθαρός αριθμός που εξαρτάται από τα άτομα του αερίου και το είδος των δεσμών που συκρατούν τα άτομα στο μόριο. Έστω ότι έχουμε μια ποσότητα αερίου, που εκτονώνεται με αντιστρεπτό τρόπο μέσα σε δοχείο με έμβολο από μια κατάσταση Α, ια την οποία η πίεση και ο όκος είναι p Α και A, στην κατάσταση Β (p Β, B ). Εφαρμόζουμε τον ο θερμοδυναμικό νόμο Q = Δ U + W: Q = Δ U + W 0 = Δ U + W (Q = 0 στην αδιαβατική μεταβολή) W = -Δ U Επειδή στη συκεκριμένη μεταβολή το έρο W είναι θετικό, W = p Δ > 0, αφού Δ > 0 (εκτόνωση), από τη σχέση W = - Δ U προκύπτει ότι: -Δ U > 0 -(U B U A ) > 0 U A U B > 0 (η μεταβολή ΔU της εσωτερικής ενέρειας είναι η διαφορά της εσωτερικής ενέρειας που έχει το αέριο στην τελική κατάσταση Β και της εσωτερικής ενέρειας του αερίου στην αρχική κατάσταση Α) (αλλάζουμε τα πρόσημα) U A > U B Η τελευταία σχέση δηλώνει ότι η εσωτερική ενέρεια του αερίου ελαττώνεται στην αδιαβατική εκτόνωση.
Θερμοδυναμική 4 Από τη σχέση της εσωτερικής ενέρειας: U = 3 n R T προκύπτει ότι, εφόσον η εσωτερική ενέρεια ελαττώνεται, θα ελαττωθεί και η θερμοκρασία του Τ, δηλαδή το αέριο ψύχεται. Μια τέτοια μεταβολή (ΑΒ) σε διάραμμα p φαίνεται παρακάτω: p p Α Α Τ > Τ p Β Β Τ Τ Α B Το έρο (W) που παράει το αέριο και το οποίο δίνεται πάντα από τη σχέση W = p Δ και ακόμη είναι ίσο επίσης με το εμβαδόν του σκιαραμμένου σχήματος, βρίσκεται ότι δίνεται από τη σχέση: W = pβb pα A Όταν ένα αέριο συμπιέζεται (ή εκτονώνεται) πολύ ρήορα, το αέριο δεν προλαβαίνει ν ανταλλάξει θερμότητα με το περιβάλλον. Η διερασία αυτή θεωρείται σχεδόν αδιαβατική. Τέτοιου είδους διερασίες ίνονται στους κυλίνδρους ενός βενζινοκινητήρα. Τι είναι η μηχανή Carnot; Να περιράψετε τον κύκλο του Carnot, και ν αποδείξετε τις σχέσεις του συντελεστή απόδοσης της μηχανής Carnot.
Θερμοδυναμική 5 Απάντηση Η μηχανή Carnot είναι μια θεωρητικά ιδανική θερμική μηχανή, η οποία έχει τα εξής χαρακτηριστικά: ο. Το μέσο μεταφοράς θερμότητας είναι ιδανικό αέριο. ο. Όλες οι μεταβολές που υφίσταται το ιδανικό αέριο θεωρούνται αντιστρεπτές. Η μηχανή Carnot αποτελείται από κύλινδρο, ο οποίος έχει έμβολο, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Στον κύλινδρο αυτό, η παράπλευρη επιφάνεια, όπως και το έμβολο είναι από δυσθερμαωό υλικό (αδιαβατικά τοιχώματα), οπότε θερμότητα ούτε μεταφέρεται από το αέριο στο περιβάλλον ούτε από το περιβάλλον στο αέριο μέσω αυτών των τοιχωμάτων. Ο πυθμένας αποτελείται από υλικό που είναι ιδανικός αωός της θερμότητας. Το αέριο που βρίσκεται μέσα στον κύλινδρο, μέσω του πυθμένα, μπορεί άλλοτε να έρχεται σε θερμική επαφή με μια θερμή δεξαμενή, άλλοτε με μια ψυχρή και άλλοτε να διατηρείται θερμικά μονωμένο. Κύκλος Carnot Με τη βοήθεια της μηχανής Carnot το αέριο εκτελεί τις παρακάτω διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές: A B B Γ T Q Ισόθερμη εκτόνωση Αδιαβατική εκτόνωση
Θερμοδυναμική 6 Δ Α Γ Δ T Q Ισόθερμη συμπίεση p p Α Α p Β Β p Δ Δ Τ p Γ Γ Τ Α Δ Β Γ Σχήμα Στο σχήμα φαίνονται αυτές οι διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές Α Β, Β Γ, Γ Δ και Δ Α, καθώς επίσης οι μεταβολές σε διάραμμα p.. Ισόθερμη εκτόνωση Α Β Φέρνουμε τον κύλινδρο σε θερμική επαφή με τη θερμή δεξαμενή θερμοκρασίας Τ και αφήνουμε να εκτονωθεί το αέριο, υπό σταθερή θερμοκρασία Τ, από τον όκο A στον όκο B. Στην ισόθερμη αυτή μεταβολή, το αέριο προσλαμβάνει από τη θερμή δεξαμενή θερμότητα Q και παράει έρο W, ενώ η εσωτερική του ενέρεια παραμένει σταθερή, εφόσον η θερμοκρασία του αερίου παραμένει σταθερή. Άρα Δ U = 0.
Θερμοδυναμική 7. Αδιαβατική εκτόνωση Β Γ Στη συνέχεια φέρνουμε τον κύλινδρο με τη βάση του πάνω σε μονωτικό σώμα και αφήνουμε το αέριο να εκτονωθεί σε όκο Γ. H εκτόνωση αυτή είναι αδιαβατική, οπότε η θερμοκρασία του αερίου θα ίνει Τ, με Τ < Τ. Σ αυτήν την αδιαβατική μεταβολή το αέριο παράει έρο, έστω W, ενώ η εσωτερική του ενέρεια ελαττώνεται, αφού Τ < Τ. Έτσι Δ U < 0 και ακόμη Q = 0 (αδιαβατική μεταβολή). 3. Ισόθερμη συμπίεση Γ Δ Εδώ φέρνουμε τον κύλινδρο σε θερμική επαφή (βάζουμε το μονωτικό υλικό στη βάση) με μια ψυχρή δεξαμενή θερμοκρασίας Τ και συμπιέζουμε το αέριο ισόθερμα, μέχρι ο όκος να ίνει Δ (βλέπε διάραμμα p ). Στη μεταβολή αυτή το αέριο παίρνει ενέρεια από το περιβάλλον με τη μορφή έρου W 3, την οποία αποδίδει στην ψυχρή δεξαμενή με τη μορφή θερμότητας Q, ενώ Δ U = 0, αφού η θερμοκρασία παραμένει σταθερή. 4. Αδιαβατική συμπίεση Δ Α Στην τελευταία αυτή μεταβολή φέρνουμε τον κύλινδρο με τη βάση πάνω στο μονωτικό σώμα, έτσι ώστε να μην ανταλλάσσεται θερμότητα μεταξύ αερίου περιβάλλοντος, και συμπιέζουμε το αέριο μέχρι ο όκος του να ίνει A, οπότε η θερμοκρασία του ίνεται Τ. Στην μεταβολή αυτή δίνουμε στο αέριο έρο W 4, ενώ Δ U > 0, αφού Τ > Τ και Q = 0, εφόσον η μεταβολή είναι αδιαβατική. Από τη ενική σχέση της απόδοσης μιας θερμικής μηχανής: Q e= Q και επειδή αποδεικνύεται ότι ια τον κύκλο Carnot ισχύει: Q T = Q T η σχέση ια την απόδοση μιας μηχανής Carnot ίνεται: T e = T Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι, ο συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής Carnot εξαρτάται μόνο από τις θερμοκρασίες των δύο δεξαμενών θερμότητας. Η απόδοση είναι μεάλη όταν η διαφορά μεταξύ των δύο θερμοκρασιών Τ και Τ είναι μεάλη και είναι μικρή όταν οι θερμοκρασίες
Θερμοδυναμική 8 Τ και Τ διαφέρουν λίο μεταξύ τους. Ακόμη, επειδή στις περισσότερες πρακτικές εφαρμοές η ψυχρή δεξαμενή είναι το περιβάλλον, με θερμοκρασία 300Κ (συνήθης θερμοκρασία), όσο μεαλύτερη είναι η θερμοκρασία του σώματος που δίνει θερμότητα τόσο μεαλύτερη είναι η απόδοση της μηχανής. Και το τελευταίο ότι, η απόδοση e ίνεται ίση με, μόνον όταν Τ = 0Κ (απόλυτο μηδέν), κάτι όμως που είναι αδύνατον. Η απόδοση e μιας μηχανής Carnot (ιδανική μηχανή) είναι πάντα μικρότερη της μονάδας.
Θερμοδυναμική 9 Q T Απόδειξη της σχέσης = Q T Σ έναν κύκλο Carnot (βλέπε σχήμα): Στην ισόθερμη εκτόνωση Α Β, το αέριο προσλαμβάνει θερμότητα Q από τη θερμή δεξαμενή και αποδίδει έρο W, ενώ Δ U = 0. Από τον ο θερμοδυναμικό νόμο Δ U = Q W έχουμε: Δ U = Q W Δ U = Q W 0 = Q W Q = W Γνωρίζουμε όμως ότι, σε μια ισόθερμη μεταβολή το έρο δίνεται από τη σχέση: W = n R T n, άρα: W = n R T n B A οπότε και B Q = nrt n () A Στην ισόθερμη συμπίεση ΓΔ δίνεται στο αέριο έρο W 3 και το αέριο αποδίδει στην ψυχρή δεξαμενή θερμότητα Q, ενώ πάλι Δ U = 0. Ο ος θερμοδυναμικός νόμος Δ U = Q W δίνει: Δ U = Q W Δ U = -Q (-W 3 ) (Πρόσεχε! Τα Q και W είναι αρνητικά) Δ U = W 3 Q 0 = W 3 Q (Αντικαθιστούμε Δ U = 0) Q = W 3 Για το W 3 ισχύει όμως:
Θερμοδυναμική 0 W 3 = n R T n Δ Γ Έτσι, Q = n R T n Δ Γ ή (χρησιμοποιώντας την ιδιότητα: n α = n α - n β) β Q = n R T (n Δ - n Γ ) και επομένως Q = n R T (n Δ - n Δ ) Q = n R T (n Γ - n Δ ) (Προσοχή! Βάζοντας την απόλυτη τιμή αλλάξαμε τον όρο n Δ - n Γ σε n Γ - n Δ, αφού Γ > Δ ). Δ Q = n R T n () Γ Από τις σχέσεις () και (), διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε: B nrt n Q A = (3) Q Γ nrt n Δ Για τα B και Γ A Δ ισχύουν: Για τις ισόθερμες μεταβολές Α Β και Γ Δ ισχύουν αντίστοιχα οι σχέσεις: p Α A = p B B (4) και p Γ Γ = p Δ Δ (5) Αυτό βέβαια προκύπτει από τη χρήση της καταστατικής εξίσωσης p = n R T και το εονός ότι η θερμοκρασία Τ είναι σταθερή. Για τις αδιαβατικές μεταβολές Β Γ και Δ Α ισχύουν αντίστοιχα οι σχέσεις : p Β B = p Γ Γ (6)
Θερμοδυναμική και p Δ Δ = p Α A (7) Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (4), (5), (6) και (7) κατά μέλη παίρνουμε: p Α A p Γ Γ p Β B p Δ Δ = p B B p Δ Δ p Γ Γ p Α A A Γ B Δ = B Δ Γ A (οι τιμές των πιέσεων απλοποιούνται) = A Γ Β Δ Β Δ Γ Α A Β Δ Β Δ Α Γ = Β Δ Γ Α Β Δ Α Γ (διαιρούμε και τα δύο μέλη με Α Γ Β Δ ) α B Δ = Α Γ (χρησιμοποιούμε την ιδιότητα α Β Δ Α Γ β β = α ) ( ) = ( ) (χρησιμοποιούμε την ιδιότητα (α β) ν = α ν β ν ) ( ) = ( ) B Δ Α Γ Β Δ = Α Γ B A = Γ Δ (8) Αντικαθιστούμε τη σχέση (8) στην (3): nrt Q = Q nrt n B n A Q T = Q T B A Παράδειμα Σε μια μηχανή Carnot η θερμή δεξαμενή βρίσκεται σε θερμοκρασία Τ = 500Κ και η ψυχρή σε θερμοκρασία Τ = 300Κ. Σε κάθε κύκλο η μηχανή απορροφά από τη θερμή δεξαμενή θερμότητα Q = 6000J. Να βρείτε: α) τη θερμοκρασία που αποβάλλει το αέριο στη διάρκεια ενός κύκλου στην ψυχρή δεξαμενή,
Θερμοδυναμική β) τον συντελεστή απόδοσης της μηχανής, ) την ισχύ της μηχανής σε kw, αν εκτελεί 0 κύκλους το δευτερόλεπτο. Απάντηση α) Έχουμε αναφέρει ότι σε μια μηχανή Carnot ισχύει: Q T = Q T Από τη σχέση αυτή λύνοντας ως προς Q έχουμε: Q T = Q T Q T = Q T (κάνουμε «χιαστί») Q T T = Q (διαιρούμε και τα δύο μέλη με Τ ) T T T Q = Q T (απλοποιούμε Τ στο ο μέλος από αριθμητή και παρονομαστή) T Q = Q T Q = 6000J 300K 500K Q = 3600J (η απόλυτη τιμή του Q, Q = Q, ιατί Q είναι θετική ποσότητα, εφόσον είναι η θερμότητα που παίρνει το αέριο). (αριθμητική αντικατάσταση) Στην παραπάνω σχέση κρατάμε την απόλυτη τιμή της Q, Q, ιατί η Q είναι αρνητική ποσότητα, αφού είναι θερμότητα που αποβάλλει το αέριο. β) Ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot δίνεται από τη σχέση: T e = - T
Θερμοδυναμική 3 e = - 300K 500K e = - 3 5 e = 5 3 5 5 e = 5 ή e = 0,4 ) Από τον ορισμό του συντελεστή απόδοσης κάθε θερμικής μηχανής: e = Q W, προσφερομενη όπου W = το ωφέλιμο έρο και e = Q Q προσφερόμενη = η θερμότητα που απορροφάει η θερμική μηχανή. W προσφερομενη W = e Q (αντικαθιστούμε Q προσφερόμενη = Q ) W = 0,4 6000J (αριθμητική αντικατάσταση) W = 400J Η ισχύς (Ρ) της μηχανής Carnot θα είναι επομένως: Ρ = Wολ t Ρ = 0 W t Ρ = 0 400J s Ρ = 4.000J/s (ορισμός της ισχύος) (Προσοχή! Αντικαθιστούμε W ολ = 0 W, όπου 0 είναι ο αριθμός των κύκλων που εκτελεί η μηχανή σε χρόνο δευτερολέπτου) Ρ = 4.000W (αντικαθιστούμε W = J/s) Ρ = 4kW (αφού kw = 000W).
Θερμοδυναμική 4 Éóïññïðßá - áíôéóôñåðôýò ìåôáâïëýò - Ýñãï áåñßïõ. Αναφέρατε δύο μη αντιστρεπτές μεταβολές, διαφορετικές από αυτές που αναφέρονται στο βιβλίο. α) Καθώς ένα κομμάτι ξύλο καίεται ίνεται στο τέλος στάχτη. Δεν είναι δυνατή η αντιστρεπτή διαδικασία, δηλαδή από τη στάχτη με κανένα τρόπο δε μπορούμε να δούμε να ξαναδημιουρείται το ξύλο. β) Το σάπισμα ενός μήλου : Έχουμε δει ένα φρέσκο μήλο όταν το αφήνουμε ια καιρό να αποσυντίθεται (να σαπίζει) όμως ποτέ δεν παρατηρήθηκε από ένα σαπισμένο μήλο να προκύπτει με κάποια διαδικασία το φρέσκο μήλο από το οποίο προήλθε. ) Καθώς καίει το καλοριφέρ του δωματίου μας, θερμότητα μεταφέρεται από αυτό στον αέρα του δωματίου. Δε ίνεται όμως ποτέ το αντίστροφο, δηλαδή να συκεντρωθεί η θερμότητα από τον αέρα και να επιστρέψει στο σώμα του καλοριφέρ.. Το έρο ενός αερίου είναι όταν και αρνητικό όταν (συμπληρώστε τα κενά). Το έρο ενός αερίου είναι θετικό όταν εκτονώνεται και αρνητικό όταν συμπιέζεται..3 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις που αφορούν στο έρο ενός αερίου είναι σωστές; α) Ένα αέριο παράει έρο μόνο όταν υποβάλλεται σε αντιστρεπτή μεταβολή. β) Αν ο όκος του αερίου δε μεταβάλλεται, το έρο του αερίου είναι μηδέν.
Θερμοδυναμική 5 ) Σε κάθε μεταβολή, αντιστρεπτή ή όχι, το έρο ενός αερίου μπορεί να υπολοιστεί από το διάραμμα p. δ) Ο υπολοισμός του έρου του αερίου από το διάραμμα p είναι δυνατός μόνο στην περίπτωση της μη αντιστρεπτής μεταβολής. Σωστή απάντηση είναι μόνο η β)..4 Διαθέτουμε ένα δοχείο χωρισμένο στη μέση με μεμβράνη. Στον ένα χώρο του δοχείου βρίσκεται κάποιο αέριο ενώ ο άλλος είναι κενός. Κάποια στιμή σπάει η μεμβράνη και το αέριο καταλαμβάνει όλο το χώρο του δοχείου. Το έρο του αερίου είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν; Αιτιολοήστε την απάντησή σας. Στην περίπτωση αυτή το έρο του αερίου είναι θετικό διότι το αέριο εκτονώνεται..7 Ένα αέριο μπορεί να μεταβεί από μια αρχική κατάσταση Α σε μια τελική κατάσταση Β, με δύο τρόπους. α) Με μια ισόθερμη μεταβολή και β) Με μια ισοβαρή εκτόνωση και μια ισόχωρη μεταβολή. Οι δύο τρόποι παριστάνονται στο σχήμα.38 με τους αρι-θμούς και. Το ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο είναι : P α) Μεαλύτερο κατά τη διαδρομή ; Σχ..38 β) Ίδιο και στις δύο περιπτώσεις; ) Μεαλύτερο κατά την διαδρομή ; Ποια από τις προτάσεις αυτές είναι ορθή; Αιτιολοήστε την απάντησή σας
Θερμοδυναμική 6 Θα συκρίνουμε τα ποσά θερμότητας που απορροφά το αέριο σε κάθε μια από τις μεταβάσεις Α Β συλλοιζόμενοι ως εξής: Στην πρώτη περίπτωση: Έχουμε μια ισόθερμη μεταβολή ( A B). () Το ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο είναι ίσο με το έρο που παράει. A Δίνεται από τη σχέση Q = W = nrt ln. B Το έρο, άρα και το ποσό θερμότητας υπολοίζεται και μέσω του εμβαδού που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης () και του άξονα του όκου, από A έως B. W=Q Στη δεύτερη περίπτωση : Έχουμε μια ισοβαρή εκτόνωση και μια ισόχωρη ψύξη. Θα υπολοίσουμε το συνολικό ποσό θερμότητας ως άθροισμα των θερμότητας σε κάθε μια από τις μεταβολές αυτές: ποσών Την ισοβαρή εκτόνωση : Qα =Δ U+ W = ncvδτ + nrδ T όπου ΔΤ = Τ τελ Τ αρχ = Τ υ - Τ x.
Θερμοδυναμική 7 Στην ισόχωρη ψύξη : Qβ =Δ U= ncv ΔΤ ' όπου ΔΤ' = Τ Τ = Τ Τ = ΔΤ άρα Q β = nc vδt. τελ Έτσι κατά τη μεταβολή () έχουμε : Q αρχ = Q + Q = ncvδτ+ nrδτ ncvδτ = nrδτ α β Από την καταστατική εξίσωση : p Δ = nrδτ, οπότε Q = p Δ Αν παρατηρήσουμε το διάραμμα, το p Δ ισούται με το εμβαδόν από το οριζόντιο κομμάτι της μεταβολής () και του άξονα των όκων : x υ E = P Δ = Q Έτσι προκύπτει ότι το ποσό θερμότητας στην περίπτωση () είναι μεαλύτερο από την περίπτωση (). (Σωστή είναι η απάντηση ()).
Θερμοδυναμική 8 Στα προβλήματα της θερμοδυναμικής μελετάμε τις (αντιστρεπτές) μεταβάσεις ενός συστήματος (μιας ποσότητας αερίου) από μια αρχική κατάσταση Α σε μια τελική κατάσταση Β. Η κατάσταση του αερίου χαρακτηρίζεται από τις μακροσκοπικές μεταβλητές του (πίεση, όκος, θερμοκρασία). Έτσι ράφουμε Α(p A, A,T A ), B(p B, B, T Β ). Συνήθως, βασικό μέλημά μας είναι κατά τη μετάβαση από τη μία κατάσταση στην άλλη να υπολοίζουμε: - Το ποσό θερμότητας Q που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον. - Τη μεταβολή της εσωτερικής ενέρειας ΔU του αερίου. - Το έρο W που αποδίδει το αέριο στο περιβάλλον ή το περιβάλλον στο αέριο. Γενικά, ια τη θερμότητα (Q), τη μεταβολή της εσωτερικής ενέρειας (ΔU) και ια το έρο (W) έχουμε να νωρίζουμε τα εξής: Ποσό θερμότητας Q : Q > 0 : Το αέριο λαμβάνει ποσό θερμότητας Q από το περιβάλλον. Q < 0 : Το αέριο δίνει ποσό θερμότητας Q στο περιβάλλον. Q = 0 : Το αέριο δεν ανταλλάσσει ποσό θερμότητας με το περιβάλλον. Μεταβολή της εσωτερικής ενέρειας ΔU : - Η εσωτερική ενέρεια του συστήματος (αέριο) εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία. - Σε μεαλύτερη θερμοκρασία, η ίδια ποσότητα αερίου έχει μεαλύτερη εσωτερική ενέρεια από ότι σε χαμηλότερη θερμοκρασία. - Έτσι προκύπτει ότι : i) Για μετάβαση από κατάσταση χαμηλότερης θερμοκρασίας (Τ x ) σε κατάσταση υψηλότερης θερμοκρασίας (Τ υ ) έχουμε ΔU > 0. ii) Για μετάβαση από κατάσταση υψηλότερης θερμοκρασίας (Τ υ ) σε κατάσταση χαμηλότερης θερμοκρασίας (Τ x ) έχουμε ΔU < 0. iii) Για μετάβαση κατά την οποία δεν αλλάζει η θερμοκρασία (Τ=σταθερό) έχουμε ΔU = 0. - Πάντοτε (ια οποιαδήποτε μεταβολή, ακόμα και μη αντιστρεπτή) ια τον υπολοισμό της μεταβολής της εσωτερικής ενέρειας ισχύει :
Θερμοδυναμική 9 ΔU =nc v ΔΤ Έρο W W > 0 : Σημαίνει ότι δίνεται ενέρεια από το σύστημα (αέριο) στο περιβάλλον. Συμβαίνει κατά την εκτόνωση του αερίου (από αρχ σε τελ > αρχ ). W < 0 : Σημαίνει ότι δίνεται ενέρεια από το περιβάλλον στο σύστημα. Συμβαίνει κατά τη συμπίεση του αερίου (Από αρχ σε τελ < αρχ ). - Σε μια αντιστρεπτή μεταβολή, το έρο υπολοίζεται από το διάραμμα p της μεταβολής : Κατά τη μεταβολή Α Β, το W ισούται με το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη της μεταβολής και του άξονα των όκων και που περιορίζεται από τις κάθετες στον άξονα αυτόν στα σημεία A και T. Για μετάβαση W > 0 Α Β (εκτόνωση) άρα Για μετάβαση Β Α (συμπίεση) άρα W < 0 - Για μετάβαση κατά την οποία δεν αλλάζει ο όκος έχουμε W = 0. Για οποιαδήποτε μετάβαση (αντιστρεπτή) τα τρία μεέθη (Q, W, ΔU) συνδέονται με τη ενική σχέση του ου νόμου της θερμοδυναμικής: Q = ΔU + W. Όπως είπαμε, η ΔU είναι ανεξάρτητη του τρόπου μετάβασης από τη μια κατάσταση στην άλλη, όμως δεν ισχύει το ίδιο και ια το Q και το W. Ασχολούμαστε με τέσσερις συκεκριμένους τρόπους μετάβασης (και με συνδυασμούς αυτών), στον κάθε έναν από τους οποίους με βάση τη ενική σχέση Q = ΔU + W και τα χαρακτηριστικά του τρόπου της μετάβασης καταλήουμε σε συκεκριμένες σχέσεις ια τα Q, W και ΔU. ΙΣΟΘΕΡΜΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ Τ = σταθερή =======> ΔU = 0 Τότε Q = W +ΔU =======> Q = W ( p =σταθ )
Θερμοδυναμική 30 Αποδεικνύεται ότι: τελ W = nrtln αρχ Αφού Q = W, μπορούμε με τη σχέση αυτή να υπολοίσουμε και το Q στην ισόθερμη. ΙΣΟΧΩΡΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ = σταθερό =======> W = 0 Τότε Q = W +ΔU ===> Q = ΔU Για κάθε μεταβολή ιχύει : ΔU=nCvΔΤ και αφού Q = ΔU μπορούμε να υπολοίσουμε με τη σχέση αυτή και τη θερμότητα Q στην ισόχωρη. P ( = σταθ ) Τ IΣΟΒΑΡΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗ P = σταθερό ==========> W = p Δ=p( τελ αρχ ) Τότε Q = ΔU + W και έχουμε : Μετάβαση υπό p = σταθερό : Q = nc p ΔΤ Για όλες τις μεταβάσεις : ΔU = nc v ΔΤ Από καταστατική εξίσωση : Οπότε προκύπτει ότι: p Δ = nrδτ nc p ΔΤ = nc v ΔΤ + nrδτ άρα C p = C v + R : Γενική σχέση που συνδέει τις ραμμομοριακές ειδικές θερμότητες*. Νόμος της θερμιδομετρίας : Το ποσό θερμότητας Q που απαιτείται ια να αυξηθεί η θερμότητα ενός σώματος μάζας m κατά ΔΤ δίνεται από τη σχέση Q=mcΔΤ όπου c: η ειδική θερμότητα του υλικού του σώματος. Αν έχουμε αέριο n moles και ραμμομοριακής μάζας Μ έχουμε = nmcδτ m = n M οπότε Q Ορίζουμε C = M c : ραμμομοριακή ειδική θερμότητα, οπότε : Q=Ncδτ
Θερμοδυναμική 3 και ανάλοα τη μεταβολή έχουμε : C v (υπό = σταθερό) Μ c= C C p (υπό p = σταθερό) Έτσι Q = nc v ΔΤ (ια = σταθερό βλ. ισόχωρη) και Q = nc p ΔΤ (ια p = σταθερό. Βλ. ισοβαρής) Ισχύουν οι εξής: C C C p v p = = C v + R C v R R =, C p = 5 3 5 Για ιδανικό αέριο : = οπότε Cv = R, C p = R 3 ΑΔΙΑΒΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ : (Λέμε τη μεταβολή κατά την οποία το σύστημα δεν ανταλλάσσει θερμότητα με το περιβάλλον). Q = 0 Q = W + ΔU W + ΔU = 0 W = ΔU Αφού ια κάθε μεταβολή ισχύει ΔU=nC v ΔΤ μπορούμε εδώ να χρησιμοποιήσουμε: W = ΔU = nc ΔΤ v αδιαβατική εκτόνωση:α αδιαβατική συμπιεση:b Β A Ακόμα ισχύουν : p = σταθ : p = p και Τ = Τ
Θερμοδυναμική 3 και Τ P = Τ P Το έρο στην αδιαβατική υπολοίζεται και από τη σχέση p p W = ΚΥΚΛΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ : Το σύστημα μετά από μια διερασία επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση. Κατ αρχήν εδώ Τ αρχ = Τ τελ άρα ΔU = 0 Q = W + ΔU Q = W Το ολικό έρο ισούται με το εμβαδόν που περικλείεται από τη ραμμή του διαράμματος στη ραφική παράσταση p. Αν η μεταβολή στο διάραμμα διαράφεται κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολοιού είναι W > 0 (άρα και Q > 0). Αν η μεταβολή ίνεται αντίθετα από τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολοιού είναι W<0 (άρα και Q < 0). Εάν η κυκλική μεταβολή αποτελείται από επιμέρους νωστές μεταβολές (ισόθερμες, ισοβαρείς κλπ) τότε μπορούμε να υπολοίζουμε και το ολικό έρο (ή την ολική θερμότητα) αθροίζοντας τα έρα (ή τις θερμότητες) κάθε μιας από τις επιμέρους μεταβολές. Συνοπτικά οι εξισώσεις ια κάθε μια από τις τέσσερις βασικές μεταβολές είναι στον επόμενο πίνακα P =σταθ P T =σταθ nrtln ncvδτ τελ αρχ 0 ΔΤ nc v nrtln 0 τελ αρχ T = σταθ nc p ΔΤ nc v ΔΤ p Δ = nrδτ P =σταθ P T T P A A 0 nc v ΔΤ = nc ΔT
Θερμοδυναμική 33 Σχέση ορισμού: W e= Q h W : ωφέλιμο έρο Q h : ενέρεια που δαπανούμε ια να λειτουρήσει η μηχανή είναι η θερμότητα τροφοδοτούμε στη μηχανή Q h που Qc Ισχύει : e = Q h Για μηχανή Carnot : Tc e = T h.40 Αέριο με όκο 0,004 m 3 θερμαίνεται με σταθερή πίεση p =, atm μέχρι ο όκος του να ίνει 0,006 m 3. Υπολοίστε το έρο που παράει το αέριο. Δίνεται atm =,03 x 0 5 N/m. Δεδομένα αρχ = 0,004m 3 p =, atm = σταθ. τελ = 0,006m 3 atm =,03 x 0 5 N/m. Ζητούμενα W = ; ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΜΟΝΑΔΩΝ: Μετατρέπω την πίεση σε μονάδες S.I. (N/m ) 5 5 P =,atm =,,03 0 N / m =,56 0 N / m
Θερμοδυναμική 34 Έχουμε ΙΣΟΒΑΡΗ μεταβολή, οπότε το έρο υπολοίζεται από τη σχέση W = p Δ : W = p ( 5 τελ αρχ ) =,56 0 =,56 0 =,43 0 5 0 joule Ν / m 3 0,00m N m 3.4 Δύο mol αερίου θερμαίνονται από τους 7 ο C στους 7 ο C. Η θέρμανση του αερίου ίνεται με σταθερή πίεση. Υπολοίστε το έρο που παράει το αέριο. Δίνεται R = 8,34 j/(mol K). n = Δεδομένα W = ; Ζητούμενα T = 7 + 73 = 300K T = 7 + 73 =400K p = σταθ. R = 8,34 j / mol K Βήμα ο Έχουμε ισοβαρή μεταβολή οπότε το έρο θα το υπολοίσουμε από τη σχέση: W = p Δ Βήμα ο Από την καταστατική εξίσωση : ια την ισοβαρή p = nrt p= σταθ p Δ = nrδτ Βήμα 3 ο Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις παίρνω W = nrδτ και αντικαθιστώντας: W = ( 8,34 00) j = 66, 8 j..4 Δύο mol αερίου βρίσκονται σε θερμοκρασία 7 ο C. Διατηρώντας σταθερή τη θερμοκρασία συμπιέζουμε το αέριο ώστε η πίεσή του να διπλασιαστεί. Να υπολοιστεί το έρο του αερίου. Δίνονται: R=8,34j/(mol K), ln=0,693
Θερμοδυναμική 35 Δεδομένα Ζητούμενα n = mol W = ; T = 7 + 73 = 300K Συμπίεση υπό Τ = σταθ. P = p R = 8,34 j / mol K ln = 0,693 Bήμα ο Έχουμε μια ισόθερμη μεταβολή (συμπίεση). Οπότε ια το έρο θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση : W = nrt ln Βήμα ο Για την ισόθερμη (Τ = σταθ) ισχύει ο νόμος p = σταθ άρα P p p = p = = = P p Βήμα 3 ο Αντικαθιστούμε στη σχέση του έρου: W = ( 8,34 300ln ) j = (4988,4 ln ) j Όπου ln = ln ln = 0 ln = 0, 693 Οπότε W = 4988, 4 ( 0, 693) j = 3457,46j
Θερμοδυναμική 36 Το μείον (-) δηλώνει ότι κατά τη μεταβολή αυτή (συμπίεση) το περιβάλλον δίνει ενέρεια με τη μορφή μηχανικού έρου στο σύστημα και όχι το σύστημα στο περιβάλλον..45 Αέριο βρίσκεται μέσα σε δοχείο που κλείνεται με έμβολο. Το αέριο καταλαμβάνει όκο = 0,008 m 3,έχει θερμοκρασία T = 300K και πίεση p =,03 x 0 5 N/m. Θερμαίνουμε το αέριο υπό σταθερή πίεση, μέχρι η θερμοκρασία του να ίνει Τ = 375Κ. α) Υπολοίστε το έρο του αερίου. β) Αν κατά τη θέρμανσή του το αέριο απορρόφησε θερμότητα Q =709,j υπολοίστε τη μεταβολή της εσωτερικής του ενέρειας. Διαβάζοντας προσεκτικά και πολλές φορές το πρόβλημα, δημιουρούμε πίνακα με δεδομένα ζητούμενα. Δεδομένα Ζητούμενα = 0,008 m 3 W = ; T = 300K P =,03 x 0 5 Ν/m Μεταβολή : Ισοβαρής (p = σταθερό) T = 375K Για το β) ερώτημα Q = 709,j β) ΔU = ; ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΜΟΝΑΔΩΝ: Δε χρειάζεται, είναι όλα δοσμένα σε μονάδες S.I. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ : Έχουμε ισοβαρή (p = σταθερό) θέρμανση από Τ =300Κ σε Τ =375Κ. Ποιοτικά είναι :
Θερμοδυναμική 37 ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΟΥ ΙΣΧΥΟΥΝ : Νόμος των αερίων : Άρα T = T T = σταθ (υπό p = σταθ). ος νόμος θερμοδυναμικής : Q = ΔU + W Τρόπος υπολοισμού του έρου : Από το διάραμμα p, το έρο κατά τη μεταβολή είναι ίσο με το εμβαδόν μεταξύ της μεταβολής και του άξονα του όκου, μεταξύ και. α) Βήμα Το έρο με βάση το διάραμμα είναι ίσο με το εμβαδόν του ραμμοσκιασμένου παραλληλοράμμου. Υπολοίζουμε με βάση τις τιμές των p,, : W = εμβαδόν = ( ) p Θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω και κατευθείαν τη σχέση W = p Δ = p ) αφού έχω ισοβαρή μεταβολή.. ( Βήμα ο Στη σχέση = p ( ) έχω άνωστο το. W Mπορώ να το βρω αν χρησιμοποιήσω τη σχέση του νόμου των = = T T T T αερίων: Βήμα 3 Αντικαθιστώ το στην προηούμενη σχέση και είναι :
Θερμοδυναμική 38 T W = p T Βήμα 4 ο Κάνω, τέλος, την αριθμητική αντικατάσταση και προκύπτει το αποτέλεσμα : 3 5 0,008m 375K 3 W =,03 0 N / m 0,008m 300K 3 5 8 0 375K 3 =, 03 0 8 0 N m 30K 3 5 3000 0 3 =, 03 0 8 0 j 30 = 5, 03 0 (0 0, 8 0 ) j = = 5 5,03 0 0, 0 j,03 0 0 0 j = =0,6j,06 0 j β) Γνωρίζοντας ότι W = 0,6j και ακόμα ότι Q = 709,j από τον πρώτο νόμο έχουμε : Q= W +ΔU ΔU= Q W Αντικαθιστώντας : ΔU = 709,j 0,6j = 506,5j