Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών

Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικών µεταβλητών Ορισµός 2.1.1. Εστω U R n, n N. Ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση n πραγµατικών µεταβλητών f : U R µια απεικόνιση από το U στο R, U x = (x 1,..., x n ) f( x) = f(x 1,..., x n ) R (δηλ. σε κάθε x U R n αντιστοιχούµε ένα µοναδικό f( x) R, την τιµή της f στο x). Το U είναι το πεδίο ορισµού, το R το πεδίο τιµών, το f(u) := {f( x) : x U} R το σύνολο τιµών ή η εικόνα, και το Γ f := {( x, f( x)) : x U} R n+1 το γράφηµα της f. Παρατηρηση 5. Οταν n = 1 έχουµε τις γνωστές από το σχολείο και τους Απειροστικούς Λογισµούς Ι και ΙΙ πραγµατικές συναρτήσεις (µιας µεταβλητής) f : R U R, ενώ όταν n > 2, λέµε ότι η f : R n U R είναι µια πραγµατική συνάρτηση πολλών (ή περισσοτέρων) µεταβλητών, η µελέτη των οποίων (µαζί µε την µελέτη των διανυσµατικών συναρτήσεων που ϑα γνωρίσουµε αργότερα) είναι το αντικείµενο των Απειροστικών Λογισµών ΙΙΙ και IV, δηλ. της Ανάλυσης σε περισσότερες µεταβλητές. Συνήθως όταν εννοούµε µια πραγµατική συνάρτηση (µίας ή πολλών µεταβλητών) παραλλείπουµε τον όρο πραγµατική και αναφερόµαστε απλά σε συνάρτηση, ενώ όταν εννοούµε µια διανυσµατική συνάρτηση για λόγους σαφήνειας καλό είναι να αναφέρουµε και τον όρο διανυσµατική. Παρατηρηση 6. Στην περίπτωση n = 1 το γράφηµα Γ f = {(x, f(x)) : x U R} R 2 19

2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ της f : R U R, x f(x), µπορεί να απεικονισθεί (γραφική παράσταση) ως µια καµπύλη στο επίπεδο, R 2, ενώ στη περίπτωση n = 2 µιας πραγµατικής συνάρτησης δύο µεταβλητών f : R 2 U R το γράφηµα Γ f = {(x 1, x 2, f(x 1, x 2 )) : (x 1, x 2 ) U R 2 } R 3 της f µπορεί να απεικονισθεί ως µια επιφάνεια στον χώρο, R 3, αντιστοιχώντας σε κάθε σηµείο x = (x 1, x 2 ) U R 2 του επιπέδου το ύψος f(x 1, x 2 ) R της f στο σηµείο αυτό. Παρατηρηση 7. Να προσεχθεί ότι όταν µια πραγµατική συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού στον R n, το γράφηµά της είναι πάντα ένα υποσύνολο (πιο συγκεκριµένα : µια υπερεπιφάνεια) του R n+1. ΣΧΗΜΑΤΑ Ορισµός 2.1.2. Εστω f : U R, U R n, και c R. Ονοµάζουµε σύνολο στάθµης c της f το υποσύνολο του πεδίου ορισµού της στο οποίο η f έχει την τιµή c R, L f (c) := { x U : f( x) = c} U R n. Για n = 2 το σύνολο στάθµης ονοµάζεται και καµπύλη στάθµης c της f : R 2 U R L f (c) = {(x 1, x 2 ) U : f(x 1, x 2 ) = c} U R 2, ενώ για n = 3 το σύνολο στάθµης ονοµάζεται και επιφάνεια στάθµης c της f : R 3 U R L f (c) = {(x 1, x 2, x 3 ) U : f(x 1, x 2, x 3 ) = c} U R 3, Παρατηρηση 8. Προφανώς L f (c) =, όταν η f δεν λαµβάνει την τιµή c, δηλ. c f(u) R. Να προσεχθεί επίσης ότι στις περιπτώσεις n = 2, 3 καµπύλες και επιφάνειες στάθµης, αντίστοιχα, είναι υποσύνολα του πεδίου ορισµού της f και όχι απαραίτητα καµπύλες ή επιφάνειες µε την γεωµετρική τους έννοια, ϐλ. τα ακόλουθα παραδείγµατα. Παρατηρηση 9. Να προσεχθεί ότι όταν µια πραγµατική συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού στον R n, τα σύνολα στάθµης της είναι πάντα υποσύνολα του πεδίου ορισµού της και άρα του R n. Παραδειγµα 1. Το γράφηµα της συνάρτησης f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x 2 2, (x 1, x 2 ) R 2, είναι η επιφάνεια στον χώρο Γ f = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 3 = x 2 1 + x 2 2, (x 1, x 2 ) R 2 } R 3 20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ δηλ. ένα παραβολοειδές από περιστροφή, και οι καµπύλες στάθµης c R δίνονται από τα υποσύνολα του επιπέδου R 2 L f (c) = {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2 1 + x 2 2 = c} {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2 1 + x 2 2 = ( c) 2 } για c > 0, = {(0, 0)} για c = 0, για c < 0, δηλαδή για c > 0 είναι οι κύκλοι του επιπέδου R 2 κέντρου (0, 0) και ακτίνας c > 0. ΣΧΗΜΑΤΑ Αν για κάθε c 0 µεταφέρουµε την καµπύλη στάθµης c > 0 κάθετα προς το επίπεδο x 1 x 2 στο ύψος (στάθµη) x 3 = c και ενώσουµε όλες αυτές τις καµπύλες L f (c) {c} = {(x 1, x 2, c) R 3 : (x 1, x 2 ) L f (c)} ϑα έχουµε συνολικά ολόκληρη την επιφάνεια Γ f του παραβολοειδούς. Αυτό ισχύει ανάλογα και για κάθε γράφηµα µιας (πραγµατικής) συνάρτησης δύο µεταβλητών. Οι καµπύλες L f (c) {c} προκύπτουν δηλαδή από την τοµή του γραφήµατος Γ f µε το επίπεδο x 3 = c και οι καµπύλες στάθµης c είναι οι κάθετες προβολές τους στο επίπεδο x 3 = 0. Παραδειγµα 2. Η σταθερή συνάρτηση στο επίπεδο f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = d R, x = (x 1, x 2 ) R 2 έχει ως γράφηµα το οριζόντιο επίπεδο Γ f = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 3 = d, (x 1, x 2 ) R 2 } R 3 δηλ. το επίπεδο x 3 = d του R 3, και ως σύνολο (ή καµπύλη ) στάθµης c όλο το πεδίο ορισµού της για c = d και το κενό σύνολο για c d, { R 2 για c = d, L f (c) = για c d R2 Βλέπουµε δηλαδή ότι και στις δύο περιπτώσεις το σύνολο στάθµης της σταθερής συνάρτησης δεν είναι καµπύλη στον R 2 µε την γεωµετρική έννοια. Γενικότερα, η σταθερή συνάρτηση στον R n, f( x) = d R, x = (x 1,..., x n ) R n, έχει ως γράφηµα το υπερεπίπεδο Γ f = {( x, x n+1 ) = (x 1,..., x n, x n+1 ) R n+1 : x n+1 = d, x R n } R n+1 δηλ. το υπερεπίπεδο x n+1 = d του R n+1, και ως σύνολο στάθµης c όλο το πεδίο ορισµού της για c = d και το κενό σύνολο για c d, { R n για c = d, L f (c) = για c d Rn. Οταν n = 3 ϐλέπουµε ότι η επιφάνεια στάθµης της σταθερής συνάρτησης είναι όλο το R 3. 21

2.2. ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α 8. Μελετήστε γραφικά την συνάρτηση f(x 1, x 2 ) = x 2 1 x 2 2, (x 1, x 2 ) R 2. Ειδικότερα, δώστε το γραφήµά της Γ f και τις καµπύλες στάθµης c, L f (c). Προσπαθήστε να σχεδιάσετε την f χρησιµοποιώντας και τις τοµές του γραφήµατός της µε τα επίπεδα x 1 = a, x 2 = b και x 3 = c για κατάλληλα επιλεγµένα a, b, c R. Α 9. Να µελετήσετε την Παράγραφο 2.1 του [;] και να κάνετε όσες περισσότερες µπορείτε από τις Ασκήσεις 1-31 της παραγράφου αυτής. 2.2 Ορια πραγµατικών συναρτήσεων Ορισµός 2.2.1. Εστω U R n, f : U R, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R. Τότε λέµε ότι η f τείνει (ή συγκλίνει) στο l όταν το x τείνει στο x 0 ή η f έχει στο x 0 το όριο l, συµβολικά f( x) l όταν x x 0, αν ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f( x ν ) l Παρατηρηση 10. Να προσεχθεί ότι στον πιο πάνω ακολουθιακό ορισµό η σύγκλιση x ν x 0 λαµβάνει χώρα στον R n, ενώ η σύγκλιση f( x ν ) l λαµβάνει χώρα στον R. Πρόταση 2.2.1. Εστω U R n, f : U R, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R. Τότε f( x) l όταν x x 0 ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε Απόδειξη. : Εστω ότι ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l ε. Τότε ειδικότερα ν N x ν U B( x 0, 1 ν ) \ { x 0} : f( x ν ) l ε, δηλ. ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0 και f( x ν ) l, άτοπο. : Εστω ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0 και ε > 0. Τότε δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε. Απ την άλλη, ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν U B( x 0, δ) \ { x 0 }. Συνεπώς, ν N, ν ν 0 : f( x ν ) l < ε. Πρόταση 2.2.2. Εστω U R n, f : U R και x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U. Το όριο µιας συγκλίνουσας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x 0 είναι µοναδικό και συµβολίζεται µε f( x). Απόδειξη. Εστω ότι όταν το x τείνει στο x 0 η f τείνει και στο l 1 και στο l 2 µε l 1 l 2 > 0. Τότε για i = 1, 2 δ i > 0 x U B( x 0, δ i ) \ { x 0 } : f( x) l i < l 1 l 2 2 και άρα για δ := min{δ 1, δ 2 } > 0 έχουµε άτοπο. x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : l 1 l 2 l 1 f( x) + f( x) l 2 < l 1 l 2, 22

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.2. ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Παρατηρηση 11. (α ) Από την Πρόταση 2.2.1 προκύπτει f( x) = l f( x) l = 0. (ϐ ) Αφού το x 0 είναι εσωτερικό σηµείο του U, ϑα υπάρχει ένα δ 0 > 0 µε B( x 0, δ 0 ) U, και αφού δ > 0: x B( x 0, δ) η := x x 0 B( 0, δ), έχουµε f( x) = l ε > 0 δ (0, δ 0 ) x B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε ε > 0 δ (0, δ 0 ) η B( 0, δ) \ { 0} : f( x 0 + η) l < ε f( x 0 + η) = l. η 0 Ορισµός 2.2.2. Εστω f, g : U R, U R n. Τότε ορίζονται (α ) το άθροισµα των f και g, f + g : U R, (f + g)( x) := f( x) + g( x) x U, (ϐ ) το ϐαθµωτό γινόµενο της f µε το α R, αf : U R, (αf)( x) := αf( x) x U, (γ ) το γινόµενο των f και g, fg : U R, (fg)( x) := f( x)g( x) x U, (δ ) αν g( x) 0 x U, το πηλίκο της f δια την g, f g : U R, ( ) f ( x) := f( x) g g( x) x U, (ε ) η σύνθεση της f µε την h : V R, f(u) V R, h f : U R, (h f)( x) := h(f( x)) x U. Θεώρηµα 2.2.3. Εστω f, g : U R, U R n, x 0 σηµείο συσσώρευσης του U και f( x) = l R, g( x) = m R. Τότε υπάρχουν τα όρια (α ) (ϐ ) (γ ) (f + g)( x) = l + m, (αf)( x) = α l για α R, (fg)( x) = l m, 23

2.2. ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ (δ ) (ε ) ( ) f ( x) = l, αν m 0, g m (h f)( x) = h(l) για h : V R, f(u) V R, συνεχή στο l V. Απόδειξη. Οι αποδείξεις των 1, 3 και 4 αφήνονται ως ασκήσεις. Απόδειξη του 5: Εστω ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0. Τότε (f( x ν )) V µε f( x ν ) l V και άρα, αφού η h : V R είναι συνεχής στο l, (h f)( x ν ) = h(f( x ν )) h(l). Απόδειξη του 2: Ακολουθεί αµέσως από το 5 για h(y) = αy, y R. Πόρισµα 2.2.4. Εστω f : U R, U R n, x 0 σηµείο συσσώρευσης του U και f( x) = l R. Τότε υπάρχουν τα όρια (α ) (ϐ ) f( x) = l, f( x) = l. Απόδειξη. Προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα 2.2.3, 5 για τις συνεχείς συναρτήσεις h(y) = y, y R, και h(y) = y, y R, αντίστοιχα. Παραδειγµα 3. (α ) Η f(x, y) = x, (x, y) R 2, έχει γράφηµα το κεκλιµένο επίπεδο στον R 3 Γ f = {(x, y, x) R 3 : (x, y) R 2 } µε αλγεβρική εξίσωση στον χώρο z = x και καµπύλες στάθµης c R τις ευθείες L f (c) = {(x, y) R 2 : x = c} = {(c, y) R 2 : y R} µε αλγεβρική εξίσωση στο επίπεδο xy την x = c. Επίσης f(x, y) = x = x 0, (x,y) (x 0,y 0) (x,y) (x 0,y 0) αφού f(x, y) x 0 = x x 0 (x, y) (x 0, y 0 ) και άρα ε > 0 δ := ε > 0 τέτοιο ώστε (x, y) B((x 0, y 0 ), δ), δηλ. (x, y) R 2 µε (x, y) (x 0, y 0 ) < δ να ισχύει f(x, y) x 0 < ε. (ϐ ) Η f(x, y) = xy, (x, y) R 2, έχει γράφηµα Γ f = {(x, y, xy) R 3 : (x, y) R 2 } µε αλγεβρική εξίσωση z = xy και καµπύλες στάθµης c R L f (c) = {(x, y) R 2 : xy = c} 24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ δηλαδή τις υπερβολές στο επίπεδο xy µε αλγεβρική εξίσωση y = c x. Επίσης, σύµφωνα µε το Παράδειγµα 3.1 και την άλγεβρα ορίων, για x = (x, y), x 0 = (x 0, y 0 ) xy = x y = x 0 y 0 (γ ) f(x, y) = sin(x2 +y 2 ) x 2 +y = sin( x 2 ) 2 x = f( x), x > 0. Βλέπουµε ότι η f εξαρτάται 2 µόνο από την απόσταση του x = (x, y) από το σηµείο αναφοράς 0 = (0, 0). (Μια τέτοια συνάρτηση ονοµάζεται συχνά ακτινική (radial).) 2.3 Συνέχεια πραγµατικών συναρτήσεων Ορισµός 2.3.1. Η συνάρτηση f : U R, U R n, λέγεται (α ) συνεχής στο σηµείο x 0 U, αν ( x ν ) U : x ν x 0 f( x ν ) f( x 0 ) (ϐ ) συνεχής στο A U, αν η f : U R είναι συνεχής σε κάθε σηµείο x 0 A. (γ ) συνεχής, αν η f : U R είναι συνεχής στο U. Παρατηρηση 12. Να προσεχθεί ότι όταν το A δεν είναι ανοικτό µπορεί ο περιορισµός της f : U R στο A U, f A : A R, f A ( x) := f( x) x A να είναι συνεχής, ενώ η f να µην είναι συνεχής στο A. (Αντιπαράδειγµα; Γιατί αυτό δεν µπορεί να συµβεί όταν το A είναι ανοικτό;) Παρατηρηση 13. Σύµφωνα µε τον προηγούµενο ορισµό µια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της. (Γιατί;) Συνήθως όµως όταν µιλάµε για την συνέχεια µιας συνάρτησης f : U R σε ένα σηµείο x 0 U υπονοούµε ότι το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης του U. Τότε, σύµφωνα µε τον ορισµό του ορίου συνάρτησης, ισχύουν οι ισοδυναµίες (η απόδειξή τους αφήνεται ως άσκηση) f συνεχής στο x 0 f( x) = f( x 0 ) ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) f( x 0 ) < ε και λέµε ισοδύναµα ότι η f έχει στο x 0 το όριο f( x 0 ) ή η f τείνει στο f( x 0 ) όταν το x τείνει στο x 0, συµβολικά f( x) f( x 0 ) όταν x x 0. Αποδεικνύεται ότι η πρόσθεση, το ϐαθµωτό γινόµενο, το γινόµενο, το πηλίκο και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς συναρτήσεις. Πιο συγκεκριµένα ισχύει : 25

2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Θεώρηµα 2.3.1. Εστω f, g : U R συνεχείς στο x 0 U R n. Τότε οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς στο x 0 : (α ) f + g, (ϐ ) αf για α R, (γ ) fg, (δ ) f g, αν g( x 0) 0, (ε ) h f για h : V R, f(u) V R, συνεχή στο f( x 0 ). Απόδειξη. Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 17, αν το x 0 είναι µεµονωµένο σηµείο του U δεν χρειάζεται να αποδείξουµε τίποτα, ενώ αν το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης, το παρόν ϑεώρηµα είναι πόρισµα του Θεωρήµατος 2.2.3. Πόρισµα 2.3.2. Εστω f : U R συνεχής στο x 0 U R n. Τότε οι συναρτήσεις f : U R, f ( x) := f( x) x U, f : U R, f ( x) := f( x) x U, είναι συνεχείς στο x 0. Απόδειξη. Προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα 2.5.4, 3 για τις συνεχείς συναρτήσεις h(y) = y, y R, και h(y) = y, y R, αντίστοιχα. Ορισµός 2.3.2. Εστω U R n. Το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων f : U R ονοµάζεται χώρος των συνεχών συναρτήσεων και συµβολίζεται µε Πόρισµα 2.3.3. C(U) := {f : U R : f συνεχής}. f, g C(U), α R f + g, αf, fg, f, f C(U) Θεώρηµα 2.3.4. Εστω f : U R συνεχής και U R n συµπαγές. Τότε το f(u) είναι συµπαγές και η f λαµβάνει µέγιστο και ελάχιστο στο U, τα αντίστοιχα, δηλ. max f := max f(u) = max{f( x) R : x U}, min f := min f(u) = min{f( x) R : x U}, x m, x M U : min f = f( x m ) f( x) f( x M ) = max f x U. 26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Απόδειξη. Το ότι το f(u) R είναι συµπαγές προκύπτει ως ειδική περίπτωση m = 1 του Θεωρήµατος 2.5.6. Οµως κάθε συµπαγές υποσύνολο του R λαµβάνει µέγιστο και ελάχιστο. Στην περίπτωση του min f η αναλυτική απόδειξη έχει ως εξής : Αφού το f(u) R είναι συµπαγές είναι και ϕραγµένο. Άρα έχει µέγιστο κάτω ϕράγµα inf f := inf f(u) = inf{f( x) R : x U} R, δηλ. ν N ( x ν ) U : f( x ν ) [ inf f, inf f + 1 ) ν και άρα f( x ν ) inf f. Τότε όµως, αφού το f(u) είναι και κλειστό, ϑα ισχύει σύµφωνα µε την Πρόταση 1.4.8, inf f = min f f(u), δηλ. x m U : f( x m ) = min f. Ορισµός 2.3.3. Η συνάρτηση f : U R, U R n, λέγεται οµοιόµορφα συνεχής αν ε > 0 δ > 0 x, ȳ U, x ȳ δ : f( x) f(ȳ) < ε Θεώρηµα 2.3.5. Εστω U R n συµπαγές και f : U R συνεχής. Τότε η f είναι οµοιόµορφα συνεχής. Απόδειξη. Είναι η ειδική περίπτωση m = 1 του Θεωρήµατος 2.5.7. Παραδείγµατα συνεχών συναρτήσεων : σταθερή, πολυώνυµικές, ϱητές, προκύπτουσες από σύνθεση συναρτήσεων. Ασκήσεις Α 10. Αποδείξτε τις ισοδυναµίες της Παρατήρησης 17. Λύση. Η δεύτερη ισοδυναµία καθώς και η κατεύθυνση της πρώτης είναι προφανείς. Για την κατεύθυνση της πρώτης ισοδυναµίας, έστω ( x ν ) U µε x ν x 0. Τότε, αν ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν = x 0, προφανώς f( x ν ) = f( x 0 ) f( x 0 ). Αν δεν ισχύει η προηγούµενη υπόθεση, τότε αφαιρώντας από την ακολουθία ( x ν ) όλους τους όρους x ν = x 0 έχω µια υπακολουθία (ȳ n ) ( x n ) U \ { x 0 } µε ȳ ν x 0 και άρα f(ȳ ν ) f( x 0 ), δήλ. ε > 0 ν 0 N ν N, ν ν 0 : f(ȳ ν ) f( x 0 ) < ε. Το τελευταίο όµως ϑα ισχύει και αν αντικαταστήσω το ȳ ν µε το x ν, αφού ισχύει και για τους αφαιρεθέντες όρους. (Εναλλακτικά µπορούµε να πάµε και από το δεξιό µέλος της δεύτερης ισοδυνα- µίας στον αριστερό µέλος της πρώτης όπως στην Πρόταση 2.2.1: Εστω ( x ν ) U µε x ν x 0 και ε > 0. Τότε δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) f( x 0 ) < ε. Απ την άλλη, ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν U B( x 0, δ). Συνεπώς, ν N, ν ν 0 : f( x ν ) f( x 0 ) < ε.) 27

2.4. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.4 ιανυσµατικές συναρτήσεις Ορισµός 2.4.1. Εστω U R n, n N. Μια συνάρτηση n πραγµατικών µεταβλητών f : U R m, m N, R n U x = (x 1,..., x n ) f( x) = f 1 ( x). f m ( x) = f 1 (x 1,..., x n ). f m (x 1,..., x n ) R m µε συνιστώσες τις (πραγµατικές) συναρτήσεις f j : U R, j = 1,..., m, ονοµάζεται διανυσµατική συνάρτηση όταν m 2 και πραγµατική ή ϐαθµωτή συνάρτηση όταν m = 1. Παρατηρηση 14. Η f : U R m, U R n, έχει πεδίο ορισµού το U, πεδίο τιµών το R m, σύνολο τιµών ή εικόνα το f(u) := { f( x) : x U} R m και γράφηµα το Γ f := {( x, f( x)) : x U} R n+m. Οταν n = 1, το πεδίο ορισµού της f : U R m είναι ένα διάστηµα U = I R και η f συνεχής (ϐλ. πιο κάτω) το σύνολο τιµών (!) της f(u) := { f(t) : t U} R m δίνει µια καµπύλη στον R m και γι αυτό η f ονοµάζεται (παραµετρική) καµπύλη στον R m µε παράµετρο την ανεξάρτητη µεταβλητή t I. Συνήθως χρησιµοποιούµε το t (αντί του x) για να συµβολίσουµε την ανεξάρτητη µεταβλητή γιατί ϕανταζόµαστε ότι η τιµή f(t) R m της καµπύλης αντιστοιχεί στην ϑέση ενός κινούµενου σηµείου στον χώρο R m την χρονική στιγµή t I. Ειδικότερα στους χώρους R m µε διάσταση m = 1, 2, 3 συµβολίζουµε τις συνιστώσες της καµπύλης f µε x, y, z: m = 1 : f(t) = f(t) = x(t) R, t I (καµπύλη στην ευθεία) ( ) x(t) m = 2 : f(t) = R 2, t I (καµπύλη στο επίπεδο) y(t) x(t) m = 3 : f(t) = y(t) R 3, t I (καµπύλη στον χώρο) z(t) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕ ΣΧΗΜΑΤΑ Οταν m = n 2 οι διανυσµατικές συνάρτησεις f : U R n, U R n, λέγονται διανυσµατικό πεδία. Αυτά αντιστοιχούν σε κάθε διάνυσµα του χώρου x R n ένα διάνυσµα ίδιας διάστασης f( x)r n και χρησιµοποιούνται ευρέως στις Φυσικές Επιστήµες και στην Γεωµετρία κυρίως στις διαστάσεις m = n = 2, 3. Γραφικά, παριστάνουµε τα διανυσµατικά πεδία σχεδιάζοντας σε κάθε σηµείο του χώρου x R n ένα ϐέλος µε αρχή το σηµείο x και κατεύθυνση και µήκος που αντιστοιχεί στο διάνυσµα f( x). Παραδειγµα 4. Ρευστό σταθερής ϱοής σε σωλήνα 28

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ. Πεδίο ϐαρύτητας Περιστροφική κίνηση µε ταχύτητα εξαρτώµενη από την απόσταση από την αρχή των αξόνων Περιστροφική κίνηση µε σταθερό µήκος ταχύτητας 2.5 Ορια και συνέχεια διανυσµατικών συναρτήσεων Οι ορισµοί, οι προτάσεις και οι αποδείξεις τους που γνωρίσαµε στις παραγράφους 2.2 και 2.3 σχετικά µε τα όρια και την συνέχεια πραγµατικών συναρτήσεων f : U R ισχύουν στο µεγαλύτερό τους µέρος ανάλογα και για διανυσµατικές συναρτήσεις f : U R m, αφού οι πρώτες είναι η ειδική περίπτωση m = 1 των δεύτερων. Εξαίρεση αποτελούν τα αποτελέσµατα που σχετίζονται µε την (εσωτερική) πράξη του πολλαπλασιασµού και την διάταξη στον R τις οποίες δεν έχουµε ορίσει στον R m για m 2. Κατά τα άλλα ουσιαστικά αρκεί να αντικαταστήσουµε στις σχετικές έννοιες την απόλυτη τιµή, που είναι η Ευκλείδεια µετρική στο πεδίο τιµών R των πραγµατικών συναρτήσεων, µε την Ευκλείδεια µετρική στο πεδίο τιµών R m των διανυσµατικών συναρτήσεων. Για αυτούς τους λόγους αναφέρουµε στα επόµενα τα ισχύοντα σχετικά µε τα όρια και την συνέχεια διανυσµατικών συναρτήσεων n πραγµατικών µεταβλητών χω- ϱίς απόδειξη και προ(ς)καλούµε τον αναγνώστη να ελέγξει τα παραπάνω λεχθέντα ξαναδιαβάζοντας τις σχετικές αποδείξεις στις παραγράφους 2.2 και 2.3 και κάνοντας νοερά την αναφερθείσα αντικατάσταση. Στα επόµενα ισχύει πάντα n, m, k N. Ορισµός 2.5.1. Εστω U R n, f : U R m, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R m. Τότε λέµε ότι η f τείνει (ή συγκλίνει) στο l όταν το x τείνει στο x 0 ή η f έχει στο x 0 το όριο l, συµβολικά f( x) l όταν x x 0, αν ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f( x ν ) l Παρατηρηση 15. Η σύγκλιση x ν x 0 λαµβάνει χώρα στον R n, ενώ η σύγκλιση f( x ν ) l λαµβάνει χώρα στον R m. Πρόταση 2.5.1. Εστω U R n, f : U R m, x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U και l R m. Τότε f( x) = (f 1 ( x),..., f m ( x)) l = (l 1,..., l m ) όταν x x 0 j = 1,..., m : f j ( x) l j όταν x x 0 j = 1,..., m : f j ( x) = l j ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) B( l, ε) 29

2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Απόδειξη. ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f( x ν ) l ( x ν ) U \ { x 0 } : x ν x 0 f j ( x ν ) l j j = 1,..., m ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f j ( x) l j < ε j = 1,..., m ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) \ { x 0 } : f( x) l < ε Πρόταση 2.5.2. Εστω U R n, f : U R m και x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U. Το όριο µιας συγκλίνουσας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x 0 είναι µοναδικό και συµβολίζεται µε f( x). Παρατηρηση 16. Από την προτελευταία ισοδυναµία της Πρότασης 2.5.1 και την Πρόταση 2.2.1 έχουµε f( x) = l f( x) l = 0, και άρα, σύµφωνα µε την Παρατήρηση 11 (2), επίσης f( x) = l f( x 0 + η) = l. η 0 Ορισµός 2.5.2. Η συνάρτηση f : U R m, U R n, λέγεται (α ) συνεχής στο σηµείο x 0 U, αν ( x ν ) U : x ν x 0 f( x ν ) f( x 0 ) (ϐ ) συνεχής στο A U, αν η f : U R m είναι συνεχής σε κάθε σηµείο x 0 A. (γ ) συνεχής, αν η f : U R m είναι συνεχής στο U. Παρατηρηση 17. Μια διανυσµατική συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της. Οταν το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης του U ισχύει f συνεχής στο x 0 f( x) = f( x0 ) Και στις δύο περιπτώσεις ισχύουν οι ισοδυναµίες f συνεχής στο x 0 ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) f( x 0 ) < ε ε > 0 δ > 0 x U B( x 0, δ) : f( x) B( f( x 0 ), ε) j = 1,..., m : f j συνεχείς στο x 0, όπου f = (f 1,..., f m ). Ορισµός 2.5.3. Εστω f, ḡ : U R m, U R n. Τότε ορίζονται (α ) το άθροισµα των f και ḡ, f + ḡ : U R, ( f + ḡ)( x) := f( x) + ḡ( x) x U, 30

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ 2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ. (ϐ ) το ϐαθµωτό γινόµενο της f µε το α R, α f : U R, (α f)( x) := α f( x) x U, (γ ) η σύνθεση της f µε την h : V R k, f(u) V R m, h f : U R, ( h f)( x) := h( f( x)) x U. Θεώρηµα 2.5.3. Εστω f, ḡ : U R m, U R n, x 0 σηµείο συσσώρευσης του U και f( x) = l R m, ḡ( x) = m R m. Τότε υπάρχουν τα όρια (α ) (ϐ ) (γ ) (δ ) (ε ) ( f + ḡ)( x) = l + m, (α f)( x) = α l για α R, ( h f)( x) = h(l) για h : V R k, f(u) V R m, συνεχή στο l V. f( x) = l, f( x) = l. Απόδειξη. Η απόδειξη του 1 αφήνεται ως άσκηση. Απόδειξη του 3: Εστω ( x ν ) U \ { x 0 } µε x ν x 0. Τότε ( f( x ν )) V µε f( x ν ) l V και άρα, αφού η h : V R k είναι συνεχής στο l, ( h f)( x ν ) = h( f( x ν )) h( l). Απόδειξη των 2, 4, 5: Προκύπτουν άµεσα από το 3 για τις συνεχείς συναρτήσεις h 1 (ȳ) = αȳ R m, h 2 (ȳ) = ȳ R και h 3 (ȳ) = ȳ R για ȳ R m, αντίστοιχα. Θεώρηµα 2.5.4. Εστω f, ḡ : U R m συνεχείς στο x 0 U R n. Τότε οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς στο x 0 : (α ) f + ḡ, (ϐ ) α f για α R, (γ ) h f για h : V R k, f(u) V R m, συνεχή στο f( x 0 ), (δ ) f, όπου f : U R, f ( x) := f( x) x U, (ε ) f, όπου f : U R, f ( x) := f( x) x U, Ορισµός 2.5.4. Εστω U R n. Το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων f : U R m ονοµάζεται χώρος των συνεχών συναρτήσεων και συµβολίζεται µε C(U; R m ) := { f : U R m : f συνεχής}. 31

2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ Θεώρηµα 2.5.5. Το C(U; R m ) εφοδιασµένο µε τις πράξεις της πρόσθεσης και του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού είναι διανυσµατικός χώρος. Ειδικότερα ισχύει f, ḡ C(U; R m ), α R f + ḡ, α f C(U; R m ). Θεώρηµα 2.5.6. Εστω f : U R m συνεχής και U R n συµπαγές. Τότε το f(u) είναι συµπαγές. Απόδειξη. Εστω (ȳ ν ) f(u). Τότε υπάρχει ( x ν ) U µε f( x ν ) = ȳ ν και αφού το U είναι συµπαγές ϑα υπάρχει ( x kν ) ( x ν ) µε x kν x 0 U, σύµφωνα µε την Πρόταση 1.4.9. Αφού όµως η f είναι συνεχής, ϑα ισχύει ȳ kν = f( x kν ) f( x 0 ) f(u). Ορισµός 2.5.5. Η συνάρτηση f : U R m, U R n, λέγεται οµοιόµορφα συνεχής αν ε > 0 δ > 0 x, ȳ U, x ȳ < δ : f( x) f(ȳ) < ε. Θεώρηµα 2.5.7. Εστω U R n συµπαγές και f : U R m συνεχής. Τότε η f είναι οµοιόµορφα συνεχής. Απόδειξη. Εστω ότι η f δεν είναι οµοιόµορφα συνεχής, δηλ. ε > 0 δ > 0 x, ȳ U, x ȳ < δ : f( x) f(ȳ) ε. Εστω ένα τέτοιο ε > 0. Τότε ειδικότερα (για δ = 1 ν ) ν N x ν, ȳ ν U, x ν ȳ ν < 1 ν : f( x ν ) f(ȳ ν ) ε. Εστω µια τέτοια ακολουθία ( x ν ) U. Αφού το U είναι συµπαγές, υπάρχει ( x kν ) ( x ν ) µε x kν x 0 U, σύµφωνα µε την Πρόταση 1.4.9. Τότε όµως ισχύει και ȳ kν x 0 U, αφού ȳ kν x 0 ȳ kν x kν + x kν x 0 1 k ν + x kν x 0 0. Αλλά η f είναι συνεχής. Άρα f( x kν ) f( x 0 ), f(ȳkν ) f( x 0 ) και συνεπώς f( x kν ) f(ȳ kν ) 0, δηλ. και για το ε > 0 που επιλέξαµε πιο πάνω υπάρχει ν 0 N µε f( x kν0 ) f(ȳ kν0 ) < ε, άτοπο. Α 11. Εστω U R n ανοικτό, x 0 U, f = (f 1,..., f m ) : U R m συνεχής στο x 0 µε f( x 0 ) = 0 και ḡ : U R m ϕραγµένη (δηλ., ḡ(u) R m ϕραγµένο). Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις (f j ḡ)( x) := f j ( x)ḡ( x), j = 1,..., m, και ( f ḡ)( x) := f( x) ḡ( x), x U, είναι συνεχείς στο 0. 32

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Ιωάννης Γιαννούλης. «Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1153. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.