ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ / ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡ. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Αγγελίδης Π., Αναπλ. καθηγητής ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOUΙLLI - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΠΡΩΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ EULER - ΟΙ ΔΥΟ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ BERNOUILLI Για ένα τέλειο, (μ=0) ρευστό στο οποίο εφαρμόζονται δυνάμεις όγκου οφειλόμενες στην ύπαρξη ενός δυναμικού πεδίου και η ροή είναι μόνιμη ή αστρόβιλη, οι εξισώσεις της διατηρήσεως της ορμής του Euler μπορούν να ολοκληρωθούν και να δώσουν μια βαθμωτή εξίσωση η οποία καλείται εξίσωση Bernouilli. u gradp + ugradu = f t ρ Για δυνάμεις f προερχόμενες από κάποιο δυναμικό πεδίο G: f = gradg Χρησιμοποιώντας τη διανυσματική ταυτότητα οι εξισώσεις Euler γράφονται: ugradu u 2 grad = u ω 2 2 u u gradp + grad u ω= + gradg t 2 ρ Ο όρος gradp ρ μπορεί να γραφεί ως grad( dp ) ρ

ΠΡΩΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ EULER ΟΙ ΔΥΟ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ BERNOUILLI 2 u dp u + grad( + G) = u ω που για ασυμπίεστο ρευστό γράφεται: t ρ 2 2 u p u + grad( + + gz) = u ω t ρ 2 Η παραπάνω διανυσματική εξίσωση θα ολοκληρωθεί στις εξής δύο χαρακτηριστικές περιπτώσεις: α) Πρώτο Θεώρημα Bernouilli : για ροή μόνιμη και στροβιλώδη 2 u p H = + + gz= σταθερή ποσότητα κατά μήκος μιας γραμμής ροής 2 ρ Εξίσωση Bernouilli για ω 0, ρ=σταθ. (5.3.13) Δεν μπορούμε να πούμε τίποτα γενικό για τον τρόπο με που μεταβάλλεται η Η από γραμμή σε γραμμή ροής.

ΠΡΩΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ EULER ΟΙ ΔΥΟ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ BERNOUILLI α) Πρώτο Θεώρημα Bernouilli : για ροή μόνιμη και στροβιλώδη 2 u p H = + + gz= σταθερή ποσότητα κατά μήκος μιας γραμμής ροής 2 ρ Εξίσωση Bernouilli για ω 0, ρ=σταθ. (5.3.13) Παρά το γεγονός ότι προέρχεται από τις εξισώσεις διατηρήσεως της ορμής (Euler) δια ολοκληρώσεως κατά μήκος μιας γραμμής ροής, μπορεί να δοθεί και ενεργειακή ερμηνεία η οποία μάλιστα είναι αρκετά διαδεδομένη. Συγκεκριμένα θεωρούμε ότι η ποσότητα ρη παριστάνει την (μηχανική) ενέργεια της μονάδας μάζας ρ, που αποτελείται από την κινητική ενέργεια ρu 2 /2 και την δυναμική ενέργεια (p+ρgz) η οποία οφείλεται στην ύπαρξη της πιέσεως και των εξωτερικών δυνάμεων

β) Δεύτερο θεώρημα Bernouilli: ροή αστρόβιλη Στην περίπτωση αυτή όπου η ροή είναι αστρόβιλη, οι εξισώσεις Euler ολοκληρώνονται και δίνουν μια εξίσωση που ονομάζεται και αυτή Εξίσωση Bernouilli με τη βασική διαφορά ότι η ποσότητα Η είναι η ίδια σταθερά σε όλη τη μάζα του κινούμενου ρευστού και όχι σε μια γραμμή ροής Για ρευστό ασυμπίεστο (ρ=σταθερά) και αστρόβιλο σε μόνιμη κίνηση H ( ω= 0, = 0 t ) 2 u p = + + gz=σταθερητιμησε ολο το πεδιοροης 2 ρ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΣ BERNOUILLI. ΕΚΡΟΗ ΥΓΡΟΥ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΟΠΗ ΔΟΧΕΙΟΥ Η εκροή του υγρού από την οπή ισορροπείται από μια αντίστοιχη αργή πτώση της ελεύθερης επιφάνειας του δοχείου. Όλες οι γραμμές ροής που περνούν βέβαια από την οπή ξεκινούν από την ελεύθερη επιφάνεια, όπου η ταχύτητα είναι πάρα πολύ μικρή και η πίεση είναι ομοιόμορφη και ίση με την ατμοσφαιρική Ρα. Υποθέτοντας ότι η στάθμη της δεξαμενής διατηρείται σταθερή, η ροή μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι αφ ενός μόνιμη, αφ ετέρου αστρόβιλη γιατί η ροή αυτή προήλθε από μια μάζα υγρού σε ηρεμία (προτού ανοιχθεί η οπή) που συνεπώς είχε μηδενική στροβιλότητα (rotu=0) και συνεχίζει να έχει μηδενική στροβιλότητα, αφού το ρευστό υποτίθεται τέλειο.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Bernouilli το Η παίρνει την ίδια τιμή για όλες τις γραμμές ροής που εξέρχονται από την οπή (στην πραγματικότητα εξαιρούνται οι γραμμές ροής που προέρχονται από την οριακή στοιβάδα των τοιχωμάτων του δοχείου). Εφαρμόζοντας την εξίσωση Bernouilli σ ενα σημείο Α στην ελεύθερη επιφάνεια και σ ενα σημείο Β στη δέσμη 2 pα pα U H = ( ) ( o Α = + gh) Β U ρ ρ 2 o 2gh Αυτή είναι επίσης η ταχύτητα που θα αποκτούσε το ρευστό αν έπεφτε από ένα ύψος h. Ο ρόλος της υδροστατικής πιέσεως μέσα στο δοχείο είναι να κάνει το υγρό να βγει κάθετα στην επιφάνεια του δοχείου, χωρίς να αλλάζει η αρχική ταχύτητα Uo. Η τελευταία σχέση ονομάζεται θεώρημα Torricelli, και βρέθηκε από αυτόν πολύ πιο μπροστά από τις εργασίες του Bernouilli. =

Οι γραμμές ροής στο σημείο Γ συγκλίνουν και η πίεση δεν είναι γνωστή. Στο σημείο Β οι γραμμές ροής είναι παράλληλες και η πίεση είναι σε όλη τη δέσμη ίση με την ατμοσφαιρική. Η διατομή της δέσμης στο Β είναι Cd φορές μικρότερη της διατομής της οπής, όπου ο συντελεστής Cd καλείται συντελεστής συστολής και (αναλόγως της διαμορφώσεως του) παίρνει τιμές από 0 έως 1. Ο συντελεστής συστολής Cd εξαρτάται μόνο από την ακριβή διαμόρφωση του τοιχώματος του δοχείου κοντά στην οπή. Μπορεί να αποδειχθεί ότι γενικά ½<Cd<1 Υποθέτοντας τέλειο ρευστό (μ=0) και αστρόβιλη ροή (δύο προσεγγίσεις της πραγματικής ροής όπου και το μ είναι διάφορο του μηδενός και είναι στροβιλώδης) συγκρίνεται ικανοποιητικά με τα πειραματικά αποτελέσματα. Η πειραματική ταχύτητα που δίνουν τα πειραματικά αποτελέσματα είναι CυUo όπου 0.98<Cυ<1

Συνεπώς η παροχή εκροής από την οπή εμβαδού S είναι: Q=C d C υ Uo S=C d C υ S (2gh) 0.5 (α) Στόμιο συγκλίνον (β) Στόμιο Borda ομαλώς Cd=1 Cd=½ (γ) Οπή σε επίπεδο τοίχο (δ) Στόμιο για το οποίο Cd~ 0.6 (πειραματικά) Cd<½ Το γινόμενο C d C υ παριστάνεται με το c και καλείται συντελεστής παροχέτευσης

ΣΩΛΗΝAΣ PITOT Ένας από τους τρόπους μετρήσεως της τοπικής ταχύτητας σε μια ροή βασίζεται στο θεώρημα του Bernoulli και σ ένα σωλήνα ειδικής κατασκευής, που ονομάζεται σωλήνας Pitot. Ο σωλήνας αυτός είναι μακρύς, λεπτός και στρογγυλός μπροστά, για να ελαχιστοποιηθεί η διατάραξη της ροής, όταν επιχειρούμε να κάνουμε μετρήσεις. Για τη μέτρηση της ταχύτητας, οσωλήναςpitot τοποθετείται μέσα στο ρευστό παράλληλα με τη διεύθυνση της ροής. Η ιδέα αυτή ανήκει στον Γάλλο μηχανικό Pitot, τo 1732, ο οποίος για πρώτη φορά μέτρησε την κατανομή της ταχύτητας σε ένα ποτάμι, από τον πυθμένα μέχρι την ελεύθερη επιφάνεια. Ουσιαστικές βελτιώσεις στον σωλήνα Pitot (εισάγοντας τον δεύτερο σωλήνα με οπή παράλληλη προς την ροή για την μέτρηση της στατικής πίεσης), έκανε to 1857 ο Darcy

ΣΩΛΗΝAΣ PITOT ΟσωλήναςPitot, όπως χρησιμοποιείται μετά τον Darcy, έχει 2 μικρές οπές, μία στο μπροστινό μέρος (σημείο 1) και μία στο πλάι (σημείο 2) της κυλινδρικής επιφάνειας του σωλήνα. Κάθε μία από τις δύο οπές συγκοινωνεί μέσω ανεξάρτητων σωλήνων με τα δύο σκέλη ενός μανόμετρου. Στο σημείο 1 η ταχύτητα μηδενίζεται και η πίεση p 1 είναι η ολική πίεση ή δυναμική πίεση λόγω της στασιμότητας της ροής (stragnation pressure). Στο σημείο 2 η πίεση και η ταχύτητα είναι προσεγγιστικά ίσες με την πίεση και την ταχύτητα στη ροή χωρίς την παρουσία του σωλήνα Pitot. Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Bernoulli στα σημεία 1 και 2, τα οποία προφανώς βρίσκονται πάνω στην ίδια γραμμή ροής, p 1 /ρg = U 22 /2g + p 2 /ρg οπότε:u 2 = (2( p 1 -p 2 ) /ρ ) 0.5 U 2 = ( 2g(Δh) ) 0.5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ BERNOUILLI ΣΤΗΝ MEΤΡΗΣΗ ΠΑΡΟΧΗΣ ΜΕ ΣΩΛΗΝΑ VENTURI Η μέτρηση παροχής σε σωλήνες γινόταν (και γίνεται ακόμη πολλές φορές) με τη συσκευή Venturi. H διάμετρος εισόδου και εξόδου είναι ίδια με αυτή του σωλήνα στον οποίο εισέρχεται. Ηγωνίατου συγκλίνοντος κώνου είναι συνήθως 21 o, το μήκος του στομίου είναι ίσο με τη διάμετρο του στομίου και η αποκλίνουσα γωνία του κώνου είναι 5 ο με 7 ο, για να διασφαλιστεί μια ελάχιστη απώλεια ενέργειας, αλλά όπου αυτό δεν έχει σημασία η γωνία ένωσης μπορεί να είναι μέχρι και 14 ο.

Οι μετρήσεις πίεσης παίρνονται στην είσοδο (διατομή 1) και στο στόμιο (διατομή 2) είτε από απλές τρύπες είτε χρησιμοποιώντας έναν αριθμό οπών γύρω από την περίμετρο σύνδεσης με δακτυλιοειδή θάλαμο ή δακτύλιο πίεσης. Η εξίσωση συνεχείας δίνει α 1 v 1 =α 2 v 2 Η εξίσωση Bernouilli γιατατμήματα1 και 2 δίνει: v 2 p v 2 p z + 1 + 1 = z + 2 + 2 1 2g ρg 2 2g ρg

v 2 p v 2 p z + 1 + 1 = z + 2 + 2 1 2g ρg 2 2g ρg 2 2 Για ένα μετρητή τοποθετημένο οριζόντια έχουμε:z 1 =Z 2 v v p p 2 1 = 1 2 2g ρ g Από την διατήρηση της μάζας έχουμε α 1 v 1 = α 2 v 2, Αντικαθιστώντας a 2 p p v 2 1 1 2g 1 2 = 1 a 2 ρg 2 a p p v 2 2g 1 2 = 1 ( 2 2) ρg a a 1 2 a v = 1 v 2 a 1 2 aa Q=a v = 12 11 2 2 1 2 ( ) a a ( 2gH) όπου Η =(p 1 -p 2 )/ ρg = διαφορά πίεσης σε ύψος νερού και Q ηπαροχή.

aa Q=a v = 12 11 2 2 1 2 ( ) a a ( 2gH) Θέτουμε α 1 /α 2 =m, οπότε 2gH Q= a 1 m 2 1 Η θεωρητική εκροή Q μπορεί να αναχθεί σε πραγματική εκροή πολλαπλασιαζόμενη με τον συντελεστή παροχής C d ο οποίος έχει βρεθεί πειραματικά 2gH Q=C p Q= Ca d d 1 m 2 1

ΑΣΚΗΣΗ 3.1 A vertical cylindrical tank 2m diameter has, at the bottom, a 0.05m diameter sharp edged orifice for which the discharge coefficient is 0.6. a) If water enters the tank at a constant rate of 0.0095 m 3 /s find the depth of water above the orifice when the level in the tank becomes stable. b) Find the time for the level to fall from 3m to 1m above the orifice when the inflow is turned off. c) If water now runs into the tank at 0.02 m 3 /s, the orifice remaining open, find the rate of rise in water level (ταχύτητα ανόδου) when the level has reached a depth of 1.7m above the orifice.

ΛΥΣΗ: Α)

ΛΥΣΗ: Β)

ΛΥΣΗ: Γ)

ΑΣΚΗΣΗ 3.2 A rectangular swimming pool is 1m deep at one end and increases uniformly in depth to 2.6m at the other end. The pool is 8m wide and 32m long and is emptied through an orifice of area 0.224m 2, at the lowest point in the side of the deep end. Taking C d for the orifice as 0.6, find, from first principles, a) the time for the depth to fall by 1m b) the time to empty the pool completely.

ΛΥΣΗ Α)

ΛΥΣΗ Α)

ΛΥΣΗ Β)