ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ

Transcript

1 ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

2 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ θα εξετάσουμε τις σχέσεις μεταξύ των θέσεων που καταλαμβάνουν οι διάφοροι στοιχειώδεις όγκοι του ρευστού, (που υποτίθεται σαν συνεχές) και του χρόνου. Οι στοιχειώδεις αυτοί όγκοι είναι πολύ μεγαλύτεροι από τη μέση απόσταση μεταξύ των μορίων του ρευστού, αλλά αρκετά μικροί σε σχέση με τις γεωμετρικές διαστάσεις του κινουμένου ρευστού, έτσι που από μαθηματική άποψη οι στοιχειώδεις αυτοί όγκοι να θεωρούνται «σημεία». Για συντομία, θα καλούμε τους στοιχειώδεις αυτούς όγκους «σωματίδια του ρευστού». Η κινηματική εξετάζει την κίνηση των σωματιδίων του ρευστού από περιγραφική πλευρά, χωρίς να ενδιαφέρεται πως δημιουργήθηκε η κίνηση ή ποιες είναι οι δυνάμεις που τη διατηρούν. Τα τελευταία δύο θέματα τα εξετάζει η δυναμική, που αποτελεί άλλο κεφάλαιο της θεωρητικής υδραυλικής. Η κινηματική αποτελεί το απαραίτητο βάθρο πάνω στο οποίο θα αναπτυχθεί η δυναμική.

3 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ A B Υποθέτουμε ότι σε κάποια αυθαίρετη z(t) ξ χρονική στιγμή t=t o τα σωματίδια ενός ρευστού καταλαμβάνουν τις θέσεις ξ στο σύστημα αναφοράς. Οι θέσεις αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν «ονόματα» των σωματιδίων αυτών. Οι συντεταγμένες z μπορούν να θεωρηθούν σαν τα σημεία του Ευκλείδιου χώρου, όπου κάποια χρονική στιγμή t>t o βρίσκονται σωματίδια του ρευστού. Ας θεωρήσουμε στο Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς τον μετασχηματισμό ( ) z = F ξ, t όπου η παράμετρος t φανερώνει τον χρόνο. Για κάθε τιμή του χρόνου t, η σχέση αυτή ορίζει μια παραμόρφωση. Η μονοπαραμετρική αυτή οικογένεια των παραμορφώσεων, όπως περιγράφεται από την παραπάνω σχέση καλείται κίνηση

4 Οι αρχικές συντεταγμένες ξ ενός σωματιδίου λέγονται υλικές συντεταγμένες του σωματιδίου, ή σωματιδιακές ή συντεταγμένες LAGRANGE. Οι συντεταγμένες z λέγονται χωρικές ή διαστημικές συντεταγμένες ή συντεταγμένες του EULER. Αξίωμα της συνεχούς κίνησης: Η κίνηση που δίνεται από τη σχέση ή από την αντίστροφή της ξ = Φ z, t ( ) z = F ξ,t ( ) είναι μονότιμη και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους οποιασδήποτε τάξης. Από φυσικής πλευράς το παραπάνω αξίωμα φανερώνει ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης του ρευστού, μια επιφάνεια από σωματίδια του ρευστού θα παραμένει μια επιφάνεια, ένας όγκος από σωματίδια του ρευστού θα παραμένει ένας όγκος και μια γραμμή θα παραμένει μια γραμμή.

5 Επίσης, μια συνεχής σειρά από σωματίδια δεν διασπάται για να δώσει δυο σειρές και ότι σωματίδια τα οποία βρίσκονται κοντά σ ένα σωματίδιο μια χρονική στιγμή θα βρίσκονται συνέχεια κοντά του. Η σχέση z = F ξ, t ( ) μπορεί να θεωρηθεί ότι παριστάνει την παραμετρική εξίσωση μιας καμπύλης γραμμής στο χώρο, με τον χρόνο t σαν παράμετρο. Η καμπύλη αυτή γραμμή περνάει από το σημείο ξ, που αντιστοιχεί στην παράμετρο t=t o. Απόφυσικήςπλευράςτοσύνολοτωνθέσεωνπου καταλαμβάνει το σωματίδιο του ρευστού με το «όνομα» ξ περιγράφεται από την παραπάνω σχέση η οποία μπορεί να ονομασθεί «τροχιά του σωματιδίου».

6 Οι προαναφερθείσες σχέσεις μας οδηγούν σε δυο βασικούς τρόπους περιγραφής της κίνησης ενός ρευστού. Ο πρώτος είναι να θεωρήσουμε ότι ο παρατηρητής, που μελετά την κίνηση του σωματιδίου βρίσκεται συνέχεια πάνω στο σωματίδιο ξ και ταξιδεύει συνέχεια μαζί του. Ο «μικροσκοπικός» παρατηρητής διατηρεί το ξ και καθώς ο χρόνος t μεταβάλλεται, «μετρά» τη θέση του z καθώς και κάθε άλλη ιδιότητα που συνοδεύει το σωματίδιο, π.χ. την πυκνότητα, τη θερμοκρασία, κλπ. Ο τρόπος αυτός περιγραφής της κίνησης λέγεται περιγραφή κατά LAGRANGE ή σωματιδιακή ή υλική (materal) περιγραφή.

7 Ο δεύτερος τρόπος είναι ο παρατηρητής να «καταλάβει» μια συγκεκριμένη θέση στο σύστημα αναφοράς, έστω τη θέση z= σταθερό, καιναπαρατηρείόλατα σωματίδια, τα οποία περνούν απ αυτό. Είναι φανερό, ότι στη δεύτερη αυτή περίπτωση, ο παρατηρητής μελετά, όχι ένα συγκεκριμένο σωματίδιο, αλλά πολλά σωματίδια με διαφορετικές τιμές «ξ», σωματίδια με «διαφορετικά ονόματα». Ο δεύτερος τρόπος λέγεται περιγραφή κατά EULER ή (spatal) περιγραφή χωρική Οι δύο αυτοί διαφορετικοί τρόποι οδηγούν σε μια διαφοροποίηση της μαθηματικής περιγραφής της κίνησης. Πραγματικά, αν Φ παριστάνει γενικά ένα οποιοδήποτε μέγεθος τότε μπορούμε να ορίσουμε δύο τρόπους παραγώγησης της Φ, ως προς το χρόνο t:

8 α) Την ολική παράγωγο ως προς τον χρόνο t, όπου το z και το t μεταβάλλονται, αλλά το ξ παραμένει σταθερό. DΦ β) Την απλή, μερική παράγωγο ως προς το χρόνο t, όπου το z θεωρείται σταθερό και μεταβάλλονται τα ξ και t ϑφ ϑt H ολική παράγωγος μετράει τον ρυθμό της αλλαγής της ποσότητας Φ από ένα παρατηρητή πάνω στο κινούμενο σωματίδιο ξ. Ηολική παράγωγος λέγεται επίσης σωματιδιακή ή μοριακή παράγωγος. Η μερική παράγωγος μετράει τον ρυθμό της αλλαγής της ποσότητας Φ από ένα παρατηρητή στο σταθερό σημείο z.

9 Η ταχύτητα του σωματιδίου ξ που βρίσκεται στη θέση z τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη σχέση: U z,t ( ) z z dz = = 2 1 lm t t dt t2 t Θα δούμε τώρα πως συνδέεται η ολική παράγωγος του μεγέθους Φ με τη μερική της παράγωγο D Φ ( z,t) ϑφ dz ϑφ ϑφ U ϑφ ϑφ = + = + = + UgradΦ ϑz dt ϑt ϑt ϑz ϑt Ολική παράγωγος = μερική παρ.+μεταθετική παράγωγος Η επιτάχυνση του σωματιδίου ξ βρίσκεται από την ολική παράγωγο της ταχύτητας: DU ϑu γ = = + UgradU ϑt Επιτάχυνση = τοπική επιτάχ.+μεταθετική επιτάχυνση Αν η τοπική επιτάχυνση είναι μηδέν, τότε ηροή καλείται μόνιμη

10 Οι γραμμές ροής ορίζονται σαν οικογένειες γραμμών που είναι παντού εφαπτόμενες κατά τη χρονική στιγμή t στο διάνυσμα U. dx ds ( ) = U x,x,x,t Ηπαράμετρος s δεν πρέπει να συγχέεται με τον χρόνο t, διότι ο χρόνος t διατηρείται σταθερός κατά την ολοκλήρωση, οπότε οι καμπύλες γραμμές οι οποίες θα προκύψουν αποτελούν τις γραμμές ροής κατά την χρονική στιγμή t. Οι γραμμές ροής μπορούν να μεταβάλλονται από στιγμή σε στιγμή (σαν συνάρτηση του χρόνου t), και γενικώς δεν συμπίπτουν με τις τροχιές των σωματιδίων.

11 H τροχιά του σωματιδίου ξ δίνεται από την λύση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων, με αρχικές συνθήκες x = ξ στο χρόνο t=0 : dx dt = U x,x,x,t ( ) Αν το πεδίο ταχυτήτων δεν εξαρτάται από το χρόνο (η ροή λέγεται μόνιμη), τότε τα συστήματα των παραπάνω διαφορικών εξισώσεων συμπίπτουν, οπότε στην ειδική αυτή περίπτωση οι γραμμές ροής και οι τροχιές των σωματιδίων συμπίπτουν. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει. Δηλαδή η σύμπτωση των γραμμών ροής με τις τροχιές δεν σημαίνει αναγκαστικά ροή μόνιμη.

12 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΟΓΚΟΥ ΕΝΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΟΥΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕΔΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 3 Εξαιτίας της κίνησης, το αρχικό στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο αλλάζει σχήμα και παραμορφώνεται, γιατί τα σωματίδια με συντεταγμένες ξκαιξ+dξ έχουν διαφορετικές γενικά ταχύτητες, αλλά δεν διαχωρίζεται γιατί η κίνηση υποτίθεται συνεχής. 1 χρόνος t=0 θέση x 0 ξ dv 0 dξ 2 dξ 1 dξ 3 2 χρόνος t dv x = x (ξ, t) Σχήμα Κίνηση ρευστού σωματιδίου ξ (παραλληλεπιπέδου) από τη θέση x 0 (στο χρόνο t=0),στη θέση x (στο χρόνο t) ξ Κατά συνέπεια το αρχικό παραλληλεπίπεδο με όγκο dv ο (χρόνος t=0), βρίσκεται στο χρόνο t γύρω από το σημείο x, με όγκο γενικά διαφορετικό του όγκου dv ο. Οι όγκοι αυτοί συνδέονται από τη σχέση: dv = ζ dv ο

13 όπου ζ είναι η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού, η οποία δίνεται από τον πίνακα x x x ϑ 1 ϑ 1 ϑ 1 ϑξ ϑξ ϑξ ζ = ϑξ ϑξ ϑξ ϑξ ϑξ ϑξ ϑx2 ϑx2 ϑx ϑx3 ϑx3 ϑx Κατά συνέπεια η Ιακωβιανή ζ παριστάνει τη «διαστολή» ή «συστολή» του αρχικού όγκου dv ο. Ας εξετάσουμε τον τρόπο μεταβολής της Ιακωβιανής ζ καθώς το σωματίδιο κινείται. Πρέπει, να βρούμε την ολική παράγωγο Dζ/. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι: Dζ ϑu ϑu ϑu x x x = + + ζ = ζ ϑ 1 ϑ 2 ϑ 3 δηλαδή η απόκλιση της ταχύτητας φανερώνει από φυσικής πλευράς τον σχετικό ρυθμό διαστολής ή συστολής ενός στοιχειώδους όγκου του ρευστού. Αν θεωρήσουμε το ρευστό ασυμπίεστο και ομογενές dvu dvu = O

14 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ REYNOLDS α) Ολοκλήρωση σε όγκο V(t) κινούμενο με το ρευστό Σε προβλήματα ροής παρουσιάζονται συχνά ολοκληρώματα της μορφής : F( t) = Φ( x,tdv ) Vt () Καθώς και της ολικής παραγώγου του ολοκληρώματος DF( t) D Vt () Vt () D = Φ Vt () { Φ Φ ζ } x, t dv ( ) D Φ ( x, t) dv = Φ( ξ, t) ζdvo Vo D D = ζ + dvo = Vo { DΦ ζ + Φζ } dvu dvo = Vo { DΦ + Φ } dvu dv

15 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ REYNOLDS Επειδή και D Φ ( z,t) ϑφ dz ϑφ ϑφ U ϑφ ϑφ = + = + = + UgradΦ ϑz dt ϑt ϑt ϑz ϑt UgradΦ + Φ dvu = dv ΦU ( ) Vo Vt () { DΦ + Φ } dvu dv Έχουμε D Vt () ( ) { ϑφ ( )} Φ x, t dv = + dv ΦU dv ϑt Vt () Εφαρμόζοντας το θεώρημα του GREEN ολοκληρώματος σε διπλό), έχουμε: D ϑφ Φ x, t dv = dv + ( ΦU) nds ϑt ( ) Vt () Vt () St () (μετασχηματισμός τριπλού Το γινόμενο Φ( x, t) U ( x, t) n ( x, t) ds δείχνει την «ροή» της ποσότητας Φ μέσα από την στοιχειώδη επιφάνεια ds (να αποφευχθεί η σύγχυση με τη ροή μάζας δια μέσου της επιφάνειας S(t) η οποία είναι εξ ορισμού μηδέν).

16 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ REYNOLDS D ϑφ Φ ( x, t) dv = dv + ( ΦU) nds ϑt Vt () Vt () St () Η παραπάνω σχέση οδηγεί στο ενδιαφέρον συμπέρασμα ότι ο ρυθμός αλλαγής του ολοκληρώματος του Φ μέσα στον κινούμενο όγκο, ισούται με το ολοκλήρωμα του ρυθμού αλλαγής του Φ μέσα στον όγκο και επί πλέον με την «ροή» του Φ, μέσα από την επιφάνεια S(t). Μια και το Φ μπορεί να είναι οποιαδήποτε βαθμωτή ή διανυσματική ή τανυστική ποσότητα, το θεώρημα μεταφοράς (γνωστό επίσης ως θεώρημα του Reynolds) βρίσκει πλατειά εφαρμογή με τη μορφή μιας των παραπάνω εξισώσεων

17 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ REYNOLDS β) Ολοκλήρωση σε νοητό ακίνητο όγκο V Σ μέσα από το οποίο διέρχεται ρευστό D VΣ VΣ Φ x, t dv ( ) VΣ { Φ } D D D ( x, t) dv dv ( dv) Φ = +Φ = DΦ dζ DΦ = dv +Φ dv = +ΦdvU dv D VΣ VΣ 0 dt VΣ ( ) { ϑφ ( )} Φ x, t dv = + dv ΦU dv ϑt VΣ Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Green D vσ VΣ SΣ t 1 x ( ξ, t ) ϑφ Φ ( x, t) dv = dv + ( ΦU) nds ϑt 1 V Σ t 2 x ( ξ, t ) 2 S Σ t 3 x ( ξ, t ) 3

18 Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ (ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ) Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του REYNOLDS για την περίπτωση που η ποσότητα Φ είναι βαθμωτή συνάρτηση και συγκεκριμένα όταν η Φ είναι η πυκνότητα του ρευστού dm ρ = m = ρ( ) dv V x,tdv Αν ο όγκος V είναι ένας σωματιδιακός (ή υλικός) όγκος, δηλαδή αν συνίσταται από τα ίδια σωματίδια, τότε με βάση την αρχή της διατήρησης της μάζας, η μάζα m πρέπει να διατηρείται σταθερή, οπότε η σωματιδιακή της παράγωγος πρέπει να μηδενίζεται, δηλ. πρέπει Dm D = ρ dv = 0 Vt ()

19 Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ (ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ) Εφαρμόζοντας το θεώρημα του REYNOLDS D Vt () Φ ( x, t) dv = D Vo Vt () { DΦ + Φ } dvu dv έχουμε Vt () ρ + ρ dvu dv = { D } O Dρ + ρ dvu = 0 Η εξίσωση συνέχειας, αποτελεί μια από τις βασικές εξισώσεις της θεωρητικής υδραυλικής Dρ ϑρ ϑρ + ρ dvu = + Ugradρ + ρ dvu = + dv ρu ϑt ϑt ( ) =0

20 Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ (ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ) Dρ ϑρ ϑρ + ρ dvu = + Ugradρ + ρ dvu = + dv ρu ϑt ϑt Ένα ρευστό που έχει την ίδια πυκνότητα ρ σε όλο το χώρο που καταλαμβάνει λέγεται ασυμπίεστο και ομογενές dvu = 0 Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ( ) =0 ( u) ( ) ( w) ϑρ ϑ ρ ϑ ρυ ϑ ρ = ϑt ϑx ϑy ϑz 0 για ασυμπίεστο ομογενές ρευστό ϑu ϑυ ϑw + + = 0 ϑx ϑy ϑz

21 ΡΟΪΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Για απλότητα θα περιοριστούμε στην περίπτωση ασυμπίεστου ρευστού και επίπεδης κίνησης. Η εξίσωση συνέχειας γράφεται : ϑu ϑυ + = 0 ϑx ϑy αν βρούμε μια συνάρτηση ψ(x,y,t) τέτοια ώστε: u( x,y,t) = ϑψ( x, y, t) ϑy υ ( x, y, t) ϑψ( x, y, t) = ϑx τότε η εξίσωση της συνέχειας ικανοποιείται αυτομάτως. Η συνάρτηση αυτή ψ(x,y,t) λέγεται ροϊκή συνάρτηση του πεδίου ταχυτήτων (u,υ). Η εισαγωγή της ροϊκής συνάρτησης βοηθά με τους εξής δύο τρόπους: α) ικανοποιείται αυτομάτως η εξίσωση συνέχειας β) αντί να έχουμε δύο συναρτήσεις, τις u(x,y,t) και υ(x,y,t), έχουμε μόνο μία, την ψ(x,y,t). Το ερώτημα στο οποίο θα δώσουμε απάντηση είναι: Μπορούμε να βρούμε την ψ για κάθε πεδίο ταχυτήτων που ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας; Η απάντηση είναι καταφατική.

22 Σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση ψ(x,y,t) και να σχεδιάσουμε μια οικογένεια καμπυλών: ψ(x,y,t) = c, όπου η σταθερά c παίρνει διάφορες τιμές. Κατά μήκος της καμπύλης ψ(x,y,t) = c (όπου η σταθερά c παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή), έχουμε:dψ =0 ή ϑψ ϑψ dψ = dx+ dy x y dψ = υ dx + udy = 0 ϑ ϑ πάνω στην καμπύλη ψ=σταθερό dx u dy = υ Αυτό σημαίνει ότι οι εφαπτόμενες των γραμμών ψ=σταθ. έχουν τοπικά τη διεύθυνση της ταχύτητας για κάθε χρονική στιγμή. Συνεπώς η ροή γίνεται πάντα κατά τη ψ=σταθ., ποτέ κάθετα σ αυτές. διεύθυνση των γραμμών, Βεβαίως, αν η ροή είναι μη μόνιμη τότε οι γραμμές ψ=σταθ. αλλάζουν κάθε χρονική στιγμή

23 Σε μια οποιαδήποτε επίπεδη ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού, όπως στο σχήμα, ας θεωρήσουμε τη μάζα ανά μονάδα χρόνου (παροχή) που περνά από μια τυχούσα καμπύλη ΑΒΡ (στη πραγματικότητα από μια κυλινδρική επιφάνεια μοναδιαίου βάθους). Υποθέτουμε ότι τα σημεία Α και Ρ βρίσκονται επί των γραμμών ψ=c A και ψ=c P αντιστοίχως, όπου C A,C P σταθερές. Η παροχή που περνά από το στοιχειώδες τμήμα d1 της καμπύλης ΑΒΡ από αριστερά προς τα δεξιά είναι προφανώς ρ(udy - vdx)

24 Συνεπώς η ολική παροχή που περνά από την καμπύλη ΑΒΡ για οποιαδήποτε χρονική στιγμή δίνεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα: P Q = ρ ( udy υdx) AP A P P Q = ρ ϑψ dy ϑψ dx + = ρ dψ = ρψ x,y,t ρψ x,y,t ϑ ( ) ( ) AP P P A A y ϑx A A Συνεπώς η μεταβολή της ψ μεταξύ δύο γραμμών ροής δίνει την παροχή που περνά ανάμεσα στις δύο γραμμές ροής. Σχετικά με το πρόσημο, ισχύει ο ακόλουθος κανόνας: όταν η ψ αυξάνει κατά την +y διεύθυνση, η ροή πραγματοποιείται κατά την θετική φορά των x, ήτοι εξ αριστερών προς τα δεξιά. Η παροχή που περνά ανάμεσα στις καμπύλες ψ =C 1 και ψ =C 2 (όπου C 1 και C 2 σταθερές) είναι Q=ρ(C 2 -C 1 ).

25 ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Ρ και Q με σωματιδιακές συντεταγμένες ξ και ξ+dξ («ονόματα των σωματιδίων» τη χρονική στιγμή t = 0). Ύστερα από κάποιο χρονικό διάστημα t βρίσκονται στις θέσεις x(ξ,t) και x(ξ+dξ,t) αντίστοιχα. Αναπτύσσουμε σε σειρά γύρω από το (ξ,t): x ξ + d ξ,t = x ξ,t + dξ + dx ϑx ( ) ( ) j ϑξj Οι εννέα ποσότητες ϑx ϑξ j αποτελούν τις συνιστώσες ενός τανυστή δεύτερης τάξης. ϑx = dξ ϑξ j j Kαλείται τανυστής παραμόρφωσης και αποτελεί βασική θεωρία ελαστικότητας. έννοια στη

26 Για τις κινήσεις ενός ρευστού μας ενδιαφέρει η παραμόρφωση ανοιγμένη στη μονάδα του χρόνου, οπότε διαιρούμε τα δύο μέλη με το χρόνο dt, και έχουμε : du = dξj ϑξ j Αντικαθιστώντας το dξ j προκύπτει: ϑu ϑu ϑξ = = ϑu j du dxκ dxκ ϑξj ϑxκ ϑxκ Είναι φανερό ότι οι εννέα συνιστώσες του αποτελούν τις συνιστώσες ενός τανυστή. ϑ ϑ U x κ Οτανυστής αυτός μπορεί να αναλυθεί σε δύο όρους, ένα συμμετρικό και ένα αντισυμμετρικό. ϑu 1 U U 1 U U ϑ ϑ ϑ ϑ ϑx 2 ϑx ϑx 2 ϑx ϑx j j = + + = j +Ωj j j j e

27 Είναι γνωστό από τη μηχανική ότι μια σχέση μεταξύ ταχύτητας du και σχετικής θέσης dx j μορφής j j σχετικής παριστάνει μια περιστροφή στερεού σώματος με γωνιακή ταχύτητα 1 1 ϑuκ ή ω = EjκΩ jκ = Ejκ 2 2 ϑx j Κατά συνέπεια, το αντισυμμετρικό μέρος Ω j παριστάνει περιστροφή στερεού σώματος. Το συμμετρικό μέρος e j του τανυστή παριστάνει την πραγματική παραμόρφωση του ρευστού και καλείται τανυστής ταχυτήτων παραμόρφωσης. Ο μηδενισμός του τανυστή ταχυτήτων παραμόρφωσης σημαίνει ότι η κίνηση είναι χωρίς παραμόρφωση, δηλαδή κίνηση στερεού (μεταφορά και περιστροφή). Ο τανυστής ταχυτήτων παραμόρφωσης, διαδραματίζει βασικό ρόλο στην μηχανική των ρευστών ω = 1 rotu 2 du = Ω dx

28 Μπορεί να αποδειχθεί ότι μία μικρή σφαίρα γύρω από το σωματίδιο ενός ρευστού σε κίνηση, παραμορφώνεται σε ένα ελλειψοειδές, του οποίου οι κύριοι άξονες δεν είναι γενικά παράλληλοι προς τους κυρίους άξονες του τανυστή ταχυτήτων παραμόρφωσης, της αρχικής σφαίρας. Μια τυχαία κίνηση ενός ρευστού μπορεί να αναλυθεί σε κάθε σημείο του ρευστού και για μικρά χρονικά διαστήματα σε μια ομοιόμορφη μεταφορά, σε μια μεταβολή μήκους κατά τρεις αμοιβαία κάθετους άξονες και σε μια στερεά περιστροφή αυτών των αξόνων. Στην ειδική περίπτωση που η κίνηση είναι τέτοια ώστε ϑu 0 ή ϑ ϑ rotu = 0 ϑu j Ω j = = xj x για κάθε σημείο του ρευστού, τότε προφανώς οι άξονες του ελλειψοειδούς γύρω από το σωματίδιο παραμένουν παράλληλοι προς τους κύριους άξονες του τανυστή ταχυτήτων παραμόρφωσης. Στην περίπτωση αυτή η κίνηση καλείται αστρόβιλη (rrotatonal)

29 Σε αντίθετη περίπτωση δηλ. όταν rotu 0 η κίνηση λέγεται στροβιλώδης (rotatonal).