ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2 ΗΜ. ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 9//203
2. (α) Υπολογίστε το δείκτη χρώματος ενός αστέρα όταν βρίσκεται σε απόσταση 50pc και το φαινόμενο μέγεθός του είναι mv =7.55 και το ΜΒ =2.007. Βρίσκουμε το μέγεθος mb από τον τύπο ΜΒ-mB=5-5log(r) όπου r=50 pc mb= ΜΒ -5+5log(r)=2,007-5+5log(50) mb=7,887 Ο δείκτης χρώματος θα είναι B-V= mb- mv=7,887-7,55 B-V=0,337 (b) Ποιό είναι απόλυτο βολομετρικό μέγεθος ενός αστέρα αν φωτεινότητα του είναι 0 33 W; Μετατρέπουμε σε erg/sec τα Watt: L=0 33 W=0 33 0 7 erg sec - L=0 40 erg sec - Από το βιβλίο έχουμε δεδομένα για τον Ήλιο τα εξής: LO=3,862 0 33 erg sec - και M(bol)O=4,77 Οπότε, βρίσκουμε το ζητούμενο από τον τύπο M(bol) - M(bol) O=2,5log(LO/L) M(bol)= M(bol) O+2,5log(LO/L)=4,77+2,5log(3,862 0-7 ) M(bol)= -,263 4. Εάν η φωτεινότητα ενός μεταβλητού αστέρα μεταβάλλεται κατά 4 φορές, πόσο μεταβάλλεται το φαινόμενο μέγεθος του; Έστω ότι από L γίνεται L2 και το φαινόμενο μέγεθος από m γίνεται m2. L2= L/4 l2=l/4 Ισχύει: m2-m =2,5log(l/l2)=2,5log(4l /l)=2,5log(4)=,505 Άρα, το φαινόμενο μέγεθος αυξάνεται κατά,505 όταν η φωτεινότητα μειώνεται κατά 4 φορές. L2= 4L l2=4l m2-m =2,5log(l/l2)=2,5log(l /4l)=2,5log(/4)=-2,5log(4)= -,505
Άρα, το φαινόμενο μέγεθος μειώνεται κατά,505 όταν η φωτεινότητα αυξάνεται κατά 4 φορές. Γενικά, μεταβάλλεται κατά,505. 5. Η φαινόμενη γωνιώδης ημιδιάμετρος ενός αστέρα είναι 0 4 φορές μικρότερη από τη φαινόμενη γωνιώδη ημιδιάμετρο του 'Ηλιου. Αν το φαινόμενο βολομετρικό μέγεθος του αστέρα είναι 3.3, να υπολογισθεί η ενεργός θερμοκρασία του. Για τον αστέρα: φ tanφ=r/r Για τον Ήλιο: φο=ro/ro Και ισχύει: φ=0-4 φο R = r 0 4 R O () Βρίσκουμε το φαινόμενο βολομετρικό μέγεθος από τη σχέση m bol m bol O = 2,5 log l O l = 2,5 log L O 4πr 2 O L = 2,5 log LO 4πr 2 L r 2 2 = 2,5 log 4πR O 2 O 4 4πR 2 4 r2 2 = 2,5 log O 4 R O r R 2 (2) Κάνοντας αντικατάσταση τη σχέση () στη σχέση (2) παίρνουμε: m bol m bol O = 2,5 log O 4 R O 0 4 R O 2 3,3 + 26,7 = 2,5 log O 4 0 8 30 = 2,5 log O 4 + 2,5 log[0 8 ] 30 = 0 log O + 20 3 = log O + 2 log O =
log O = log 0 O = 0 Τ = 0, O και ξέρουμε ότι για τον Ήλιο ισχύει O = 5.770 Κ, οπότε Τ=577 Κ 3. Από το νόμο του Planck να αποδειχτούν οι νόμοι α)του Wien και β) Stefan-Boltzmann. α) Planck: Ι(λ, Τ) = 8π λ 5 e di dλ = 8π kλ 7 e e 2 λ 6 5 e και για να βρούμε το μέγιστο λ di dλ = 0 di dλ = 0 8π kλ 7 e e 2 λ 6 5 e = 0 e e 5 = 0 () Θέτω = x και η σχέση () γίνεται: xe x e x xex xex 5 = 0 = 5 ln = ln 5 e x e x ln(xe x ) ln(e x ) = ln 5 ln(x) + ln(e x ) ln(e x ) = ln 5 (2) Θεωρούμε ότι e x οπότε μπορούμε να παραλείψουμε τη μονάδα και προκύπτει ln(x) + ln(e x ) ln(e x ) = ln 5 ln(x) = ln 5 x = 5 = 5 λ max k λ max = 5k = 6,626 0 34 (Js)299.790.000 (ms ) 5,38 0 23 (J K )(K) = 2,877 0 3 (m) λ max = 2.877 0 6 (m) λ max = 2.877(µm K)
β) Planck: Ι(v, Τ) = 2hv3 c 2 hv ek Ισχύς: Ι(v,) A dv dω, Α= επιφάνεια, Ω= στερεά γωνία P A + 2π π + = 0 = I(v, )dv dθ 2 cosφ sinφ dφ = π I(v, )dv 0 0 0 π + 2hv 3 0 c 2 hv ek dv = π 2h + c 2 0 hv ek v 3 dv (3) Θέτω u = hv k du = h k, άρα P = 2πh + A 0 2π 5 k 4 5h 3 c 2 4 e u c 2 k h 4 u 3 du = 2πh c 2 k h 4 + 0 E = σ 4 u 3 e u du = 2πhk4 4 c 2 h 4 π4 5 = όπου σ = 2π5 k 4 5h 3 c 2 η σταθερά των Stefan-Boltzmann.. Δείξτε (αναλυτικά) ότι αν γνωρίζουμε το δείκτη χρώματος ενός αστέρα μπορούμε να υπολογίσουμε την θερμοκρασία της επιφάνειας του (υποθέστε ότι ο αστέρας εκπέμπει ως μέλαν σώμα). Παίρνουμε τον τύπο για τον δείκτη χρώματος CI που συνδέει τα mv και mpg CI = m pg m v = 2,5 log l v l pg l v = λ 2 22 λ λ 5 e dλ που είναι προσεγγιστικά ίσο με l v = 22 λ5 v e λvk (λ 2 λ ), όπου πήραμε για προσέγγιση το λv=5.500 Å το ενεργό μήκος κύματος για το οπτικό μέγεθος και λ=5.050 Å και λ2=5.950 Å και αντίστοιχα για το φωτογραφικό μέγεθος:
l mp = λ 2 2 2 λ λ 5 e dλ = 22 λ5 pg e λmp=4.400 Å, λ =3.900 Å και λ 2=4.900 Å Οπότε: λpgk (λ 2 λ ) (λ 2 λ ) 2 2 λ5 (λ 2 λ ) v λ5 CI = 2,5 log eλ v k v eλ v k 2 2 λ5 (λ 2 λ = 2,5 log ) (λ 2 λ ) = pg λ e pg k λ5 λ pg e pg k (λ 5 λ 2 λ )λ pg e pg k λ 2 λ 2,5 log (λ 2 λ = 2,5 log λ λ pg )λ5 v eλ v k 2 λ λ v = 2,5 log λ 2 λ λ λ 5 pg 2 λ λ v k e λ pg λ v = 5 e λ pg k λ v k 2,5 log 900 5.000 4.400 5.500 e,44 0 2 4.400 5.500 = 2,5 log 0,9 0,32768 e,44 0 2 4,54 0 5 = 2,5 log 0,2949 e 6,5448 03 = 2,5 log(0,2949) + 2,5 log e 6,5448 03 =,326 + 7.05,9 = 7.05,9 CI +,326 (K)
6. Δίνονται τα εξής στοιχεία ενός αστέρα: mv=0., π=0.2 και C.I=-0.8. Ζητείται η ακτίνα του και (κατά προσέγγιση) ο φασματικός του τύπος. Χρησιμοποιώντας τον τύπο που προέκυψε στην άσκηση για την θερμοκρασία, βρίσκουμε την ενεργό θερμοκρασία του πλανήτη: Τ eff = 7.200 CI + 0,6 = 7200 0,8 + 0,6 Τ eff = 7.42,8 K Από την παράλλαξη υπολογίζουμε την απόσταση r του αστέρα από τη Γη π = r r = π = 0,2 pc Τώρα μπορούμε να βρούμε το απόλυτο μέγεθος Mv του αστέρα από τον τύπο M v m v = 5 5 log r = 5 5 log 2 M v = 0,4959 Παίρνουμε τον τύπο που συνδέει τα απόλυτα μεγέθη αστέρα-ήλιου: Μ v M vo = 2,5 log L O 2 4 2 L = 2,5 log 4πR Oσ effo 4πR 2 4 στ = 2,5 log R O eff R 2,5 log R 2 O R + 2,5 log 4 effo = 5 log R O eff R + 0 log effo = eff 5 log R O R + 0 log(0.33658) = 5 log R O 4,729 R 5 log R O R = Μ v M vo + 4,729 = 0,4959 4,77 + 4,729 = 0,4549 R OR = 0 0,4549 R O log R O = 0,4549 0log R R = 2,8504 R = 4 effo = eff R O 2,8504 R=2,44 0 0 cm Στην άσκηση θεωρήσαμε γνωστά την ακτίνα και ενεργό θερμοκρασία του Ήλιου: R O = 6,96 0 0 cm και effo = 5.770 Κ και χρησιμοποιήσαμε τον τύπο Τ = 7.200 CI+0,6 για τον υπολογισμό της Τ που γνωρίζουμε ότι είναι ο σωστός.
Με βάση την ενεργό του θερμοκρασία και τον πίνακα της παρακάτω εικόνας, φασματικός τύπος του πλανήτη είναι κατά προσέγγιση Β4. Εικόνα : Φασματικοί τύποι για χαρακτηριστικά των αστέρων.