1. Οι θέσεις των δύο σπειρών καθορίζονται από τις αντίστοιχες συντεταγμένες τους ΧΜ και ΧΝ, οι οποίες δίνονται από τις σχέσεις: X x y x A t x X t 3 A 6 X t 3 A X x y x A t x X 10 t A 6 3 3 X 10 t A 3 3 Η απόσταση των δύο σπειρών τη χρονική στιγμή t είναι ίση με: 10 t t d X X A 3 A 3 3 Από την τριγωνομετρική ταυτότητα: ( έχουμε t t d A A 3 3 t t t t d A 3 3 3 d A t d A 3 t 3 3 3 3 3 Η απόσταση d παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή της τις χρονικές στιγμές που ικανοποιείται τη σχέση: 1
t 1 3 t 3 t 3 Όμως πρέπει τη χρονική στιγμή t, το κύμα να έχει φθάσει στη σπείρα Ν, δηλαδή πρέπει να ισχύει: x 10 10 8 t t 3 3 3 3 δηλαδή κ = 3,, 5,.... Άρα η ζητούμενη χρονική στιγμή αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή του κ, δηλαδή για κ = 3 οπότε: 11 t 3 t 3 3 11 1 d max A 3 d max A 3 3 3 3 3 3 dmax A 3 7 dmax A 3 dmax A 3 3 3 3. α. Η ταλάντωση του άκρου Ο δημιουργεί στο σχοινί ένα αρμονικό κύμα, το οποίο όταν φθάνει στο ελεύθερο άκρο του ανακλάται χωρίς αλλαγή της φάσης του, δηλαδή η φάση του κύματος που προσπίπτει και του κύματος που ανακλάται στο σημείο Β είναι ίδια. Θα εξετάσουμε τη συμβολή των δύο αυτών κυμάτων σ ένα τυχαίο σημείο Μ του σχοινιού, του οποίου η συντεταγμένη ως προς το άκρο Ο είναι x. Παίρνουμε σαν αρχή μέτρησης του χρόνου τη στιγμή που το άκρο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται έχοντας μηδενική αρχική φάση. Εξαιτίας του κύματος που προσπίπτει η απομάκρυνση του σημείου Μ δίνεται από τη σχέση: t x y1 A Η φάση του κύματος που ανακλάται στο σημείο Β τη χρονική στιγμή t είναι t L, ενώ η αντίστοιχη φάση του κύματος που ανακλάται, στο σημείο Μ
t L L x θα είναι, διότι το Μ εξαιτίας του ανακλώμενου κύματος αρχίζει να ταλαντώνεται με καθυστέρηση L x σε σχέση με το Β. Έτσι η απομάκρυνση του Μ, λόγω του κύματος που ανακλάται θα είναι: t L L x t L x y A y A Η ολική απομάκρυνση του σημείου Μ, λόγω της συμβολής σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας θα είναι: t x t L x y y1 y A A L x t L y A με ώστε να έχω συμβολή σε όλα τα σημεία του σχοινιού. Η προηγούμενη σχέση αποτελεί την εξίσωση ενός στάσιμου κύματος, που παρουσιάζει κοιλιά στο ελεύθερο άκρο Β, του σχοινιού, διότι το πλάτος ταλάντωσης του σημείου αυτού είναι Α, όπως εύκολα προκύπτει αν θέσουμε x = L. β. L t Για τα σημεία του σχοινιού, τα οποία συνεχώς παραμένουν ακίνητα θα ισχύει κάθε χρονική στιγμή η σχέση: L x L x A 0 L x k 1 x L k 1 με Όμως 0 x L 0 L k 1 L L k 1 0 0 k 1 L 1 1 0 L L k 1 k γ. 1 να Για να είναι το άκρο Ο του σχοινιού δεσμός, πρέπει η σχέση x L k ισχύει και για x = 0, δηλαδή πρέπει: 0 L k 1 L k 1 Δηλαδή το μήκος του σχοινιού πρέπει να είναι περιττό πολλαπλάσιο του λ/. 3
3. α. Για την ταλάντωση του Β ισχύει F D y B mg m y mg m y Για y A έχουμε min mg m A Για να μη χάνεται η επαφή μεταξύ των σωμάτων πρέπει: min 0 g mg m A A g f A g f A 10 100 f f f 5Hz f max 5Hz 1010 0 β. 1 f 0,m f 5 γ. t x Η εξίσωση του κύματος είναι y A y 0,01 5t 5x (S.I. Η εξίσωση της απομάκρυνσης του Μ είναι y 0,01 5t 5 Έχουμε για y 0,01m 1 1 5t 5 1 5t 5 t ( 1 5 d 1 1 Όμως t sec 1,05 t sec 1,05 ( 1 5 1 1 1 1 0,05 ( 1 0,5 5 0,5 5 5 0,75 Άρα κ=0,1,,3, Δηλαδή το υλικό σημείο Μ βρίσκεται 5 φορές στην πάνω ακραία θέση της ταλάντωσής του. Επομένως από το υλικό σημείο Μ τη χρονική στιγμή t1 έχουν περάσει 5 όρη.
δ. Η φάση της ταλάντωσης του υλικού σημείου Ν δίνεται από τη σχέση 5t 5x 5t 5t t 0,6sec Οι ταλαντώσεις που έχουν εκτελέσει τα σώματα είναι t 0,6 3 ταλαντώσεις 0, και το μήκος της τροχιάς τους θα είναι S A 1,m Γιά το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 0,6 s έχω y 0,01 3 5x (S.I.. r E 1 6 Α.1 t 1 t1 6 r E 3 t t1 3 0,sec 10 Επομένως η συμβολή αρχίζει την t t1 1,sec Α. Το πλάτος της ταλάντωσης του υλικού σημείου Ε είναι 5
r1e re 3 A E A A A 3 A E A 0,m (ενίσχυση. Α.3 Τη χρονική στιγμή t = Τ στο σημείο Ε έχει φθάσει το κύμα μόνο απο την πηγή Π οπότε : E ye A t r ye A t 3 t r E E A E A t 3 Επομένως τη χρονική στιγμή t = έχουμε: t ye A 3 ye A 3 0 t m E A 3E A 3 A sec Α. Για η εξίσωση της απομάκρυνσης και η εξίσωση της ταχύτητας του υλικού σημείου Ε είναι αντίστοιχα t 6 r1 E r E t r1 E r E ye A y 0, 3 5t,5 y 0, 5t,5 (S.I. E Και r r t r r 1E E 1E E E A E t t 10 0, 3 5,5 5,5 (S.I. E Οι γραφικές παραστάσεις y f ( t και f( t είναι: E E E 6
Β.1 Το πλάτος της ταλάντωσης των υλικών σημείων Μ και Ν μετά τη συμβολή σε αυτά είναι 1 d A A A A d 7 A A A A 0,m 1 d A A A A d 7 A A A A 0,m Οι εξισώσεις της απομάκρυνσης των Μ και Ν είναι αντίστοιχα y 0, 7 5t,5 y 0, 5t,5 y 0, 7 5t,5 y 0, 5t,5 Η κατακόρυφη απόσταση των υλικών σημείων Μ και Ν δίνεται από τη σχέση d y y. Επειδή είναι yμ = y κάθε χρονική στιγμή, άρα και την 8,Τ, θα είναι d=0. Β. Έστω το υλικό σημείο Σ στο οποίο θα έχουμε απόσβεση. Τότε θα ισχύει 7
r1 r ( 1 όμως r1 r d d r1 r d 7 ( 1 7 7 ( 1 7 1 1 1 7,5 6,5 κ=-7,-6,-5,-,-3,-,-1,0,1,,3,,5,6 Αρα σε 1 σημεία του τμήματος Π1Π έχουμε απόσβεση. r1 r t r1 r Β.3 Η απομάκρυνση του Κ είναι y A 7 7 y A 5t y A 5t Η απομάκρυνση του Θ είναι y r r t r r r1r 1 1 A 1 7 7 y A 5t y A 5t Επομένως κάθε t y y 0,m r r t r r y A Β. 1 1 Και 1 1 r r t r r A Για τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π, στα οποία τα κύματα έχουν συμβάλει τη χρονική στιγμή t = 6Τ, έχουμε: 6 r r r y A y A 1 y A 6 r r r A A 1 A Όμως r r y 0 0 ή r Από την r A Με r A A απορρίπτεται 8
Με r A Aδεκτή Άρα r r 1 όμως d r t 3,5 r6 3,5 r 6 3,5 1 6 7 11 6 11 3 5,5 κ=3,,5 r=3,5λ, r=,5λ, r=5,5λ. Άρα υπάρχουν 5 υλικά σημεία στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π τα οποία τη χρονική στιγμή t = 6Τ έχουν y 0 και A. 5. Α. Από σύγκριση έχω Α=0,1m, λ=1m και υ=λf=1m/sec. H εξίσωση του στασίμου x κύματος είναι y A t y 0, x t (S.I.. Παρατήρηση Τη χρονική στιγμή t=τ στάσιμο κύμα έχει δημιουργηθεί στην περιοχή x x. Δεξιά της περιοχής συμβολής υπάρχει μόνο το κύμα που διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση και αριστερά της περιοχής συμβολής υπάρχει μόνο το κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση. Τη χρονική στιγμή t στάσιμο κύμα έχει δημιουργηθεί στην περιοχή 5 5 x x Τις χρονικές στιγμές t = Τ και t οι γραφικές παραστάσεις y = f(x φαίνονται στα επόμενα σχήματα. 9
Β. Κοιλίες έχουμε στις θέσεις x με x1 x x 1,5,5 κ=-,-1,0,1,,3,. 7 κοιλίες Γ. Στο σημείο που βρίσκεται στη θέση x1 = -1,5 m το κύμα το οποίο διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση φτάνει τη χρονική στιγμή. x1 t1 1,5sec Επομένως τη χρονική στιγμή t 1 1,5sec έχουμε: A x t A 1,5 1,5 1 1 1 1 1 A,5,5 0. Στο σημείο που βρίσκεται στη θέση x = + m το κύμα το οποίο διαδίδεται x προς τη θετική κατεύθυνση φτάνει τη χρονική στιγμή t sec. Επομένως στο σημείο x = + m τα δύο κύματα τη χρονική στιγμή t1 1,5sec δεν έχουν συμβάλει. Άρα το σημείο x = + m ταλαντώνεται μόνο λόγω του κύματος που διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση και η ταχύτητά του είναι 10
1 A t x A 1,5 A 6,5 0 Δ. Η επιτάχυνση του σημείου Ο δίνεται από τη σχέση m A 0 1,5 0,,5 0,8 sec Ε. Τη χρονική στιγμή t sec στάσιμο κύμα έχει δημιουργηθεί στην περιοχή t x t,5m x,5m. Για t t sec και y = +0, m η εξίσωση του στάσιμου κύματος γίνεται y 0, x t 0, 0, x,5 x 1 x (S.I.. Όμως,5m x,5m,5m,5m κ=-,-1,0,1,. Επομένως τα σημεία είναι 5. ΣΤ. Η εξίσωση της ταχύτητας των σημείων του ελαστικού μέσου που βρίσκονται στην περιοχή όπου έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα είναι x 0 0 A t t 0 t x για κάθε x που ταλαντώνεται t ( 1. Πρέπει t t3 ( 1 5sec 1 0 9,5 1 Επομένως κ = 0,1,,3,,5,6,7,8,9. Άρα οι χρονικές στιγμές είναι t με κ = 0,1,,3,,5,6,7,8,9. Ζ. Τη χρονική στιγμή t 1 1,5sec στάσιμο κύμα έχει δημιουργηθεί στην περιοχή t1 x t1 1,5 m x 1,5 m. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι y A x t. Ο αριθμός των δεσμών είναι 1,5 x 1,5 1,5 ( 1 1,5 5 1 5 3 κ=-3,-,-1,0,1,. Οι θέσεις των δεσμών είναι x ( 1 δηλαδή x 1,5 m, x 0,75 m, x 0,5 m, x 0,5 m, x 0,75 m, x x x 1,5 m. Ο παράγοντας 0 x με κ = 0, ±1, ±,... Για κ = 0 έχουμε x 0,5 x 0,5m Για κ = 1 έχουμε Για κ = -1 έχουμε 3 5 x 0,75 x 1,5m 5 3 x 1,5 x 0,75m 11
Τα σημεία αυτά βρίσκονται ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς έχουν x εξίσωση απομάκρυνσης y t με A 0 Επομένως τη χρονική στιγμή t 1 1,5sec έχουν όλα φάση 5 t1 1,5,5 rad x x 3 Ο παράγοντας 0 3 x με κ = 0, ±1, ±,... 3 Για κ = 0 έχουμε x 0,5 x 0,75m 5 7 Για κ = 1 έχουμε x 1,5 x 1,75m απορρίπτεται (εκτός περιοχής συμβολής. 3 Για κ = -1 έχουμε x 0,75 x 0,5m Τα σημεία αυτά βρίσκονται ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς έχουν εξίσωση απομάκρυνσης y t y t με A x Επομένως τη χρονική στιγμή t 1 1,5sec έχουν όλα φάση 7 t1 1,5 3,5 rad Η. y 0, x t x x,5 m x x,5 1
y 0, x t y 0, x,5 t y 0, x 5 t y 0, x t y 0, x t t, t t t rad Θ. Το πλάτος της ταλάντωσης των υλικών σημείων Γ και Δ είναι A x και A x A x 5 A x A x Άρα 0,1m Επειδή οι ταλαντώσεις των δύο σημείων έχουν διαφορά φάσης rad η μέγιστη απόστασή τους στον άξονα y είναι dmax 0,m. x x Ι. Από την εξίσωση του στάσιμου κύματος y A t t5sec y A 10. Για να είναι η φάση της ταλάντωσης των κοιλιών 10 rad, πρέπει 1, άρα κ = άρτιος κ=0, ±, ±,... Όμως τη χρονική στιγμή t3 = 5 sec στάσιμο κύμα έχει δημιουργηθεί στην περιοχή t3 x t3 5m x 5m 5m 5m 10m 10m κ=0, ±, ±, ±6, ±8, ±10. Άρα 11 είναι οι κοιλίες, για που οι ταλαντώσεις τους έχουν την t3 = 5 sec φάση 10 rad. ΙΑ. Η εξίσωση της ταχύτητας του υλικού σημείου Ο είναι A t Τη χρονική στιγμή t =5,1sec είναι ( t A t Τη χρονική στιγμή t5 =5,6sec είναι ( t5 A t5 όμως t 5 t άρα ( t5 A t ( t5 A t ( t5 A t ( t5 ( t. Απο το θεώρημα έργου - ενέργειας έχουμε: K K W K K W F O( t5 O( t F 1 1 W F m ( t5 m( t 0. Τη χρονική στιγμή t =5,1sec η απομάκρυνση του Ο είναι y 0, t y 0, 5,1 y 0, 10, 0 t t t ( ( ( και η ταχύτητα του Ο είναι 0, t 0, 5,1 0, 10, 0 t t t ( ( ( Τη χρονική στιγμή t5 =5,6sec η απομάκρυνση του Ο είναι y( 0, t y( 0, 5,6 y( 0, 11, t5 t5 t5 13
( t5 y 0, 10, y 0, 10, y ( t5 y και η ταχύτητα ( t5 ( t του Ο είναι 0, t t ( 5 5 0, 5,6 ( t5 0, 11, ( t5 ( t5 0, 10, 0, 10, 0 ( t5 Επομένως το διάστημα που διανύει το υλικό σημείο Ο από τη χρονική στιγμή t έως τη χρονική στιγμή t5 είναι S A y 0, ( A y( A m. t t5 ΙΒ. Κατά τη κίνηση του Ο από τη μια ακραία θέση προς την άλλη t 0,5sec δηλαδή t για χρόνο το περιστρεφόμενο διάνυσμα διαγράφει γωνία t rad. Η προβολή του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ στον άξονα y δίνει το διάστημα S που διανύει το O στο χρόνο Δt. Η προβολή του ΚΛ στον άξονα είναι μέγιστη όταν το KΛ γίνει παράλληλο στον άξονα y. Άρα S A A A A m 0ς τρόπος max O O O 0, y t A t και y A t t ( 1 1 ( t1 t 1. Το διάστημα S που διανύει το O στο χρόνο Δt είναι 1
S y( t1 t y( t1 S A t1 t A t1 t1 t t1 t1 t t1 S A S A t t1 t S A t 1 S A t 1 S A t1 S A t 1.Το S=max όταν t1 1 δηλαδή Smax A 0, m 6. x y Α.1 Ισχύει y A t y A t t A Επομένως την ίδια χρονική στιγμή έχουμε: A yz yh yz A A H 3 A yh yh A A A A 3 Z H Z Α. α Αφου βρίσκονται ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς οι ταλαντώσεις των σημείων Μ και Ν έχουν την ίδια φάση, επομένως η μέγιστη απόστασή τους στον A A άξονα y είναι dmax A β Αφου βρίσκονται εκατέρωθεν ενος δεσμού οι ταλαντώσεις των σημείων των σημείων Κ και Λ έχουν διαφορά φάσης π rad, επομένως η μέγιστη απόστασή A A 7A τους στον άξονα y είναι dmax K 3 1 Α.3 Η εξίσωση του πλάτους της ταλάντωσης των υλικών σημείων της χορδής σε συνάρτηση με τη θέση τους είναι A x. Η γραφική παράσταση f( x φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 15
Β.1 Αν στη χορδή είχαμε συνολικά 5 δεσμούς, από τη σχέση xl 9 L x ( 1 L 9 Αν στη χορδή έχουμε συνολικά 6 κοιλίες, από τη σχέση xl L x L 5 L 11 5 11 Επομένως L f f f 100 1 100 1 100 1 100 9 1 100 f f L 11 11 00 1100 % 9 9 Β. Για να δημιουργείται ο δεύτερος μετά το Ο (x = 0 δεσμός στη θέση όπου δημιουργούνταν ο πρώτος μετά το O (x = 0 δεσμός, πρέπει 3 3 f 3 f f f Επομένως f f f 3 f 100 1 100 1 100 00% f f f Β.3 Για να δημιουργείται στάσιμο κύμα στη χορδή με κοιλία στο O (x = 0, πρέπει L ( 1 L ( 1 f ( 1 με κ = 0,1,,. f L Για κ = 0 ένας δεσμός Για κ= 1 δύο δεσμοί Για κ= τρείς δεσμοί... 16
Β. Αν στη χορδή δημιουργούνται δ δεσμοί, ισχύει L ( 1 Αν στη χορδή δημιουργούνται δ δεσμοί, ισχύει L ( 1 Από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε: ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 f f f f f 1 f 1 Επομένως f f f 1 100 1 100 1 100 100% f f 1 1 17