Η γραμμική εξίσωση αx+βy=γ

Η γραμμική εξίσωση αx+βy=γ Βέλτιστο Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: Αιμίλιος Βλάστος ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Σημείωση Το παρόν έγγραφο αποτελεί προϊόν αυτόματης δημιουργίας και εκτύπωσης του Ψηφιακού Διδακτικού Σεναρίου με Τίτλο: «Η γραμμική εξίσωση αx+βy=γ». Δημιουργήθηκε στις 05/02/2017 08:30:36 και έχει υποστηρικτικό ρόλο στο έργο του εκπαιδευτικού. Δεν αντικαθιστά το Ψηφιακό Διδακτικό Σενάριο, το οποίο περιέχει όλο το Διαδραστικό Περιεχόμενο και αξιοποιεί τις ψηφιακές δυνατότητες της Πλατφόρμας «Αίσωπος». Το σενάριο αυτό έχει χαρακτηρισθεί ως «Βέλτιστο» ύστερα από αξιολόγηση από δύο αξιολογητές και είναι αναρτημένο με το πλήρες ψηφιακό περιεχόμενό του στην Πλατφόρμα «Αίσωπος». Το Διαδραστικό Ψηφιακό Διδακτικό Σενάριο με το πλήρες ψηφιακό περιεχόμενό του βρίσκεται στον σύνδεσμο: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455 Επισημαίνεται ότι τα σενάρια της Πλατφόρμας «Αίσωπος» διακρίνονται σε: Υποδειγματικά Σενάρια: Ψηφιακά Διδακτικά Σενάρια που έχουν προκύψει από επιστημονικές επιτροπές εμπειρογνωμόνων (Εκπαιδευτικοί Αυξημένων Προσόντων, Σχολικοί Σύμβουλοι, Μέλη ΔΕΠ / Επιστημονικό Προσωπικό του ΙΕΠ). Βέλτιστα Σενάρια: Αξιολογημένα Ψηφιακά Διδακτικά Σενάρια εκπαιδευτικών με βαθμολογία άνω των 70 μονάδων. Επαρκή Σενάρια: Αξιολογημένα Ψηφιακά Διδακτικά Σενάρια εκπαιδευτικών με βαθμολογία από 50 έως 70 μονάδες. ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΕΡΓΟΥ ΠΡΑΞΗ: «Ανάπτυξη Mεθοδολογίας και Ψηφιακών Διδακτικών Σεναρίων για τα Γνωστικά Αντικείμενα της Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Γενικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης» - MIS: 479325, ΣΑΕ: 2014ΣΕ24580051. Η πράξη συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (ΕΚΤ) και το Ελληνικό Δημόσιο στο πλαίσιο του ΕΠ «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» του ΕΣΠΑ 2007-2013 και υλοποιείται σε σύμπραξη από το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής και την Ειδική Υπηρεσία Εφαρμογής Εκπαιδευτικών Δράσεων του Υ.ΠΟ.ΠΑΙ.Θ. Η Πλατφόρμα Ανάπτυξης, Σχεδίασης, Υποβολής, Αξιολόγησης και Παρουσίασης Ψηφιακών Διδακτικών Σεναρίων «Αίσωπος», αναπτύχθηκε με ίδια μέσα από το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής στο πλαίσιο του Υποέργου 2: «Ψηφιακό Σύστημα Ηλεκτρονική Πλατφόρμα Υποβολής, Αξιολόγησης, Διαχείρισης και Αξιοποίησης Ψηφιακών Σεναρίων καθώς και καθοδήγησης και Υποστήριξης των Εκπαιδευτικών» της Πράξης. Ομάδα Επιστημονικής και Διοικητικής Εποπτείας της Πράξης: Επιστημονικός Υπεύθυνος Πράξης για τις Δράσεις που αφορούν το Ι.Ε.Π: Ιωάννης Σταμουλάκης, Φιλόλογος, Σύμβουλος Α' Υ.ΠΟ.ΠΑΙ.Θ. Υπεύθυνος Υποέργου 1: Ιωάννης Σταμουλάκης, Φιλόλογος, Σύμβουλος Α' Υ.ΠΟ.ΠΑΙ.Θ. Υπεύθυνος Υποέργου 2: Νικόλαος Γραμμένος, Πληροφορικός, Σύμβουλος Γ' Ι.Ε.Π. Υπεύθυνος Υποέργου 3: Νικόλαος Γραμμένος, Πληροφορικός, Σύμβουλος Γ' Ι.Ε.Π. Επιστημονική Συντονίστρια των ειδικών επιστημόνων του Υποέργου 1: Βασιλική Καραμπέτσου, Φιλόλογος, Εισηγήτρια Ι.Ε.Π. Σελίδα 2/25

Φύλλα Εργασίας Σεναρίου Το παρόν ψηφιακό σενάριο περιέχει φύλλα εργασίας, τα οποία είναι συννημένα στο αρχείο «PDF» και μπορείτε να τα ανοίξετε κάνοντας διπλό κλικ πάνω στο εικονίδιο. 1η Φάση: 2η Φάση: 3η Φάση: Δεν υπάρχει Σελίδα 3/25

Γενική Περιγραφή Σεναρίου Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Θεματική ταξινομία: Μαθηματικά (ΔΕ) -> Άλγεβρα -> Η ευθεία αx+βψ=γ Εκπαιδευτικό πρόβλημα: Το μάθημα της γραμμικής εξίσωσης αx+βy=γ είναι ένα απο τα πλέον απαιτητικά για τη διδασκαλία του. Αυτό γιατί απαιτούνται πολλαπλές αναπαραστάσεις εννοιών που πρέπει να ενισχυθούν με πρόσθετα εργαλεία διδασκαλίας και τον σωστό καθοδηγητικό ρόλο του διδάσκοντα. Στην αρχή της διδασκαλίας του μαθήματος οι μεταβλητές x,y είναι άγνωστοι και η αx+βy=γ είναι εξίσωση και αναζητάμε λύσεις της. Συνεχίζει σαν μια αριθμητική παράσταση που εξετάζουμε αν αληθεύει ή όχι για κάποια ζεύγη τιμών. Καταλήγουμε όμως να θεωρούμε την αx+βy=γ σαν συνάρτηση όπου οι άγνωστοι x,y παίζουν τώρα τον ρόλο εξαρτημένης-ανεξάρτητης μεταβλητής και ακόμα επίσης τον ρόλο της τετμημένης και τεταγμένης. Αναπαρίσταται δε, με σημεία τα οποία οδηγούν σε ευθεία. Έχουμε δηλαδή αγνώστους, ζεύγη τιμών, σημεία, και τελικά ευθείες. Δηλαδή έχουμε αλγεβρική προσέγγιση, αριθμητική προσέγγιση και τελικά γεωμετρική προσέγγιση για την ίδια έννοια. Οι μαθητές είναι δύσκολο να κατανοήσουν αυτές τις πολλαπλές νοηματοδοτήσεις που δίνουμε σε αυτή την έννοια. Όλα αυτά απαιτούν νοητικές μεταφορές που εκφράζονται εύκολα στο παρόν σενάριο αφού δίνει τη δυνατότητα πολλαπλών αναπαραστάσεων της γραμμικής εξίσωσης αx+βy=γ. Η εξέλιξη του σεναρίου σε φάσεις με πολλές δυναμικές δραστηριότητες που παρέχονται από τις διαδράσεις με τα εργαλεία της παρούσας ψηφιακής πλατφόρμας. καθώς και με το δυναμικό χειρισμό που παρέχει το ελεύθερο λογισμικό geogebra, δίνουν τη δυνατότητα στον μαθητή με τη σωστή καθοδήγηση των φύλλων εργασίας και του καθηγητή, να αποσαφηνίσει πλήρως τις γραμμικές εξισώσεις. Γενική περιγραφή περιεχομένου: Το παρόν σενάριο απευθύνεται σε μαθητές της Γ γυμνασίου και καλύπτει ολόκληρη την παράγραφο 3.1 : Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης αx+βy=γ Αποτελείται απο τρείς φάσεις, οι δύο πρώτεςέχουν διάρκειά περίπου 45 λεπτά η κάθε μία, ενώ η τρίτη περίπου 10 λεπτά. Η α φάση έχει τίτλο "η λύση μιας γραμμικής εξίσωσης", υπάρχει ένα φύλλο εργασίας που αφορά ενσωματωμένο αρχείο λογισμικού δυναμικής αναπαράστασης και πολλά διαδραστικά εργαλεία της παρούσης πλατφόρμας. Ο γενικός σκοπός είναι οι μαθητές να θεωρήσουν τα x,y σαν αγνώστους-μεταβλητές τις οποίες αντικαθιστούν με τιμές που δίνονται σαν ζεύγη.οι μαθητές γνωρίζουν ήδη ότι όταν έχουμε επαλήθευση έχουμε λύση της εξίσωσης, αλλά εδώ έχουμε απειρία λύσεων την οποία αντιμετωπίζουμε με την απεικόνιση των λύσεων σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Στην προσπάθεια αυτή γίνεται σαφές στους μαθητές ότι τα ζεύγη λύσεων της γραμμικής εξίσωσης βρίσκονται σε ευθεία και ότι κάθε σημείο της ευθείας επαληθεύει την εξίσωση. Η δεύτερη φάση έχει τίτλο:" η αναπαράσταση των λύσεων μιας γραμμικής εξίσωσης", υπάρχει επίσης ένα φύλλο εργασίας που αφορά ενσωματωμένο αρχείο λογισμικού δυναμικής αναπαράστασης και πολλά διαδραστικά εργαλεία της παρούσης πλατφόρμας.το φύλλο εργασίας είναι απαραίτητο να ακολουθηθεί κατά γράμμα καθώς δίνει την δυνατότητα της καθοδήγησης του μαθητή.αυτό γιατί ο μαθητής πρέπει να διακρίνει τριών ειδών ευθείες: κατακόρυφες, οριζόντιες και πλάγιες η τρίτη φάση έχει τίτλο: "βρες το τετράγωνο" και αποτελεί στην ουσία ένα διαδραστικό παιχνίδι, όπου ο μαθητής προσπαθεί να δημιουργήσει ένα τετράγωνο που θα περικλείει ένα δεδομένο τετράγωνο και θα έχει εμβαδό τετραπλάσιο απο αυτό. Σελίδα 4/25

Τα αρχεία λογισμικού είναι κατάλληλες εφαρμογές του ελεύθερου λογισμικού geogebra είναι τέσσερα στο πλήθος,δύο για την α φάση, ένα για την β φάση και ένα διαδραστικό παιχνίδι για την τελευταία φάση. Ενώ η διάδραση με το λογισμικό δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να δημιουργήσουν και να εξερευνήσουν, η εμπέδωση και αξιολόγηση των διαδράσεων και των στόχων του σεναρίου γίνονται μέσα απο τα ποικίλα δομικά διαδραστικά εργαλεία που παρέχει η παρούσα πλατφόρμα.αυτά αφορούν ερωτήσεις κλειστού τύπου: πολλαπλής επιλογής, σωστού λάθους, καρτελλών, διαδραστικών παρουσιάσεων, ερωτήσεων αντιστοίχισης κλπ.στο τέλος ένα διαδραστικό παιχνίδι δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να πληκτρολογήσουν ευθείες που σκοπός είναι να σχηματίσουν ένα τετράγωνο με συγκεκριμένες απαιτήσεις. Τα φύλλα εργασίας συνοδεύουν κάθε φάση και κάθε δραστηριότητα που εμφανίζεται στο παρόν σενάριο, εκτυπώνονται και οι μαθητές σημειώνουν πάνω σε αυτά όλες τις πιθανές τους αλλά και τις διορθωμένες τους απαντήσεις. Διδακτικοί Στόχοι: Να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές ότι η γραμμική εξίσωση έχει σαν λύσεις άπειρα ζεύγη αριθμών. Οι λύσεις μιας γραμμικής εξίσωσης αποτυπώνονται σαν σημεία μιας ευθείας Οι ευθείες που μπορούν να παραχθούν από την αx+βy=γ, είναι κατακόρυφες, οριζόντιες και πλάγιες. Η διάδραση με τα εργαλεία του σεναρίου να κινητοποιήσει τις κινητικές, τις νοητικές ικανότητες τους. Οι μαθητές μέσω της εννοιολογικής εκγύμνασης που προσφέρει το παρόν σενάριο, να το απολαύσουν Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: γραμμική εξίσωση εξίσωση ευθείας πλάγια κατακόρυφη οριζόντια Υλικοτεχνική υποδομή: Αίθουσα με διαδραστικό πίνακα, ή εργαστήριο πληροφορικής, εκτυπωμένα τα φύλλα εργασίας για να σημειώνουν οι μαθητές. Τυπικός χρόνος αλληλεπίδρασης με το εκπαιδευτικό σενάριο σε διδακτικές ώρες για δουλειά εντός του σχολείου: 2 ώρες Πνευματικά δικαιώματα ή άλλοι αντίστοιχοι περιορισμοί: Το παρόν σενάριο (κείμενο, εικόνες, ιδέες) είναι πνευματική ιδιοκτησία μου και διατίθεται στους συναδέλφους και στους μαθητές τους, χωρίς να απαιτείται άδεια χρήσης του. Εκτιμώμενο Επίπεδο Δυσκολίας: Μέτριας δυσκολίας Τύπος διαδραστικότητας : Ενεργός μάθηση Επίπεδο διαδραστικότητας : Πολύ υψηλό Προτεινόμενη ηλικιακή ομάδα του τελικού χρήστη: 15-18 Εκπαιδευτική βαθμίδα που απευθύνεται το σενάριο: Γυμνάσιο Σελίδα 5/25

Σύνοψη φάσεων σεναρίου: 1η Φάση: Λύση της γραμμικής εξίσωσης αx+βy=γ Χρονική Διάρκεια: 45 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: Αίθουσα με διαδραστικό πίνακα Αριθμός φύλλων εργασίας: 1 Δομικά - Διαδραστικά στοιχεία: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Λύση εξίσωσης Αριθμός αγνώστων Μετατροπή της έκφρασης σε εξίσωση Επαλήθευση τιμών Αποτύπωση λύσεων της γραμμικής εξίσωσης Συντεταγμένες σημείου και σχέση με την εξίσωση ευθείας Σημείο Α που κινείται στην 2x+y=6 Πλήθος λύσεων της 2x+y=6 (4 διαδοχικές ερωτήσεις, αναζητούμε τη σωστή απάντηση για κάθε μία) Βασική θεωρία Aνακεφαλαίωση των δραστηριοτήτων της α φάσης (8 διαδοχικές ερωτήσεις με δύο πιθανές απαντήσεις, εκ των οποίων μία είναι σωστή) 2η Φάση: Αναπαραστάσεις των λύσεων της εξίσωσης αx+βy=γ Χρονική Διάρκεια: 45 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο πληροφορικής Αριθμός φύλλων εργασίας: 1 Δομικά - Διαδραστικά στοιχεία: 1. 2. 3. 4. 5. Διάδραση με το λογισμικό για τις διάφορες μορφές ευθείας Κατακόρυφες-οριζόντιες ευθείες Πλάγιες ευθείες παράλληλες ευθείες 0x+0y=k (2 ερωτήσεις) Σελίδα 6/25

3η Φάση: Διαδραστική άσκηση -παιγνίδι Χρονική Διάρκεια: 10 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο πληροφορικής ή στο σπίτι Δομικά - Διαδραστικά στοιχεία: 1. Βρές το τετράγωνο Σελίδα 7/25

1η Φάση: Λύση της γραμμικής εξίσωσης αx+βy=γ Σελίδα 8/25

1η Φάση: Λύση της γραμμικής εξίσωσης αx+βy=γ Χρονική Διάρκεια: 45 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: Αίθουσα με διαδραστικό πίνακα Φύλλα εργασίας: Τα φύλλα εργασίας είναι συνημμένα στην 3η σελίδα του εγγράφου. Εναλλακτικά μπορείτε να τα μεταφορτώσετε εκ νέου από τις παρακάτω διαδικτυακές θέσεις. Φύλλο Εργασίας 1 http://aesop.iep.edu.gr/sites/default/files/filla-ergasias/fyllo_ergasias_lysi_grammikis_exisosis_aesop.pdf Σε αυτή τη φάση αντιμετωπίζεται η αx+βy=γ σαν εξίσωση που αναζητούμε το πλήθος των λύσεών της. Δημιουργούμε ένα πρόβλημα και ζητάμε να εκφραστεί με αλγεβρικό τρόπο. Στη συνέχεια ζητάμε απο ένα δοσμένο πλήθος ζευγών οι μαθητές να αποφασίσουν ποιά ζεύγη είναι λύσεις και ποιά όχι.με κατάλληλες ερωτήσεις αποσαφηνίζουμε με ποιό κριτήριο αποφασίσουμε αν ένα ζεύγος είναι λύση ή όχι μιας εξίσωσης. Με τη βοήθεια ενός ενσωματωμένου αρχείου λογισμικού αλλά και φύλλου εργασίας (προαιρετικά καθώς υπάρχουν καθοδηγητικές ερωτήσεις στο περιβάλλον του λογισμικού) οι λύσεις αναπαρίστανται σε σύστημα αξόνων σαν σημεία τα οποία ζητάμε απο τους μαθητές να ανακαλύψουν ότι βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία. Ακολουθούν ερωτήσεις εμπέδωσης και αξιολόγησης του βαθμού διάδρασης του λογισμικού στους μαθητές. Ένα δεύτερο ενσωματωμένο αρχείο λογισμικού βοηθά να αντιληφθούν άπειρων σημείων της ευθείας επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. οι μαθητές ότι οι συντεταγμένες των Στο τέλος της φάσης αναπτύσσονται πολλές δραστηριότητες ανατροφοδότησης και ελέγχου των βασικών εννοιών που στοχεύουμε να εμπεδώσουν οι μαθητές. Οι δραστηριότητες γίνονται μέσα απο τα διαδραστικά εργαλεία που παρέχει η πλατφόρμα αυτή του ΙΕΠ. 1. Λύση εξίσωσης: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εκφράσεις τύπου σωστό/λάθος Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3169/#question14659 Περιγραφή Εργασίας: Χωρίς να λύσετε την εξίσωση 3x=2016, Αποφασίστε αν ο αριθμός 2020 είναι λύση της. 1. Ποιά είναι η σωστή έκφραση; Ναί Όχι Σελίδα 9/25

2. Αριθμός αγνώστων: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Κάρτες διαλόγου Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3169/#question12456 Διευκρίνιση: Ζητάμε πλήθος αγνώστων σε ένα μαθηματικό πρόλημα πλήθος αγνώστων Περιγραφή Εργασίας: Με κείμενο διαλόγου ο μαθητής θα επιβεβαιώσει την εικασία του για το πλήθος αγνώστων ενός προβλήματος 1η Κάρτα Ερώτηση: 1. Η έκφραση: "το διπλάσιο ενός αριθμού", παραπέμπει σε άγνωστο; 2η Κάρτα Ερώτηση: Η έκφραση "προσθέτουμε ένα άλλο αριθμό", παραπέμπει σε άγνωστο; 3η Κάρτα Ερώτηση: Δίνεται η πρόταση : "Στο διπλάσιο ενός αριθμού προσθέτουμε ένα άλλο αριθμό και βρίσκουμε 6". Πόσους αγνώστους έχει το πρόβλημα; Σελίδα 10/25

3. Μετατροπή της έκφρασης σε εξίσωση: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Ερώτηση πολλαπλής επιλογής Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3169/#question12457 Διευκρίνιση: Ζητάμε το κείμενο πρόβλημα να εκφραστεί σαν μαθηματική εξίσωση Ερώτηση: Στο διπλάσιο ενός αριθμού προσθέτουμε ένα άλλο αριθμό και βρίσκουμε 6. Να μετατρέψετε σε εξίσωση την παραπάνω έκφραση 2x+y=6 2(x+y)=6 2x+6=y 4. Επαλήθευση τιμών: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Ερώτηση συμπλήρωσης κενών Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3169/#question12676 Συμπληρώστε με αριθμούς τα κενά, στην ερώτηση "έχουμε λύση", απαντήστε με ΝΑΙ όταν συμφωνείτε, διαφορετικά με ΟΧΙ όταν διαφωνείτε Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα να βρείτε ποια ζεύγη είναι λύσεις της εξίσωσης ζεύγος Έχουμε λύση; χ ψ 2χ +ψ=6 (0,6) =6 (1,5) =6 (2,2) =6 (-1,4) =6 (-1,8) =6 (3,0) =6 Σελίδα 11/25

5. Αποτύπωση λύσεων της γραμμικής εξίσωσης: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εξωτερικό περιεχόμενο Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3169/#question12694 Διεύθυνση ιστοτόπου (URL): http://tube.geogebra.org/m/1560115 6. Συντεταγμένες σημείου και σχέση με την εξίσωση ευθείας: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Ερώτηση αντιστοίχισης Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3169/#question12743 Αντιστοιχίστε σωστά τα παρακάτω, λαμβάνοντας υπόψη τις προηγούμενες δραστηριότητες. Πατήστε στη συνέχεια το κουμπί ελέγχου απαντήσεων Από τα δοσμένα ζεύγη αριθμών, η εξίσωση 2x+y=6 από ζεύγη και επαληθεύεται από ζεύγη. Άν ένα σημείο στην ευθεία 2x+y=6 τότε οι του επαληθεύουν την εξίσωση 2x+y=6, αλλά και αντίστροφα, αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την, τότε το ανήκει στην ευθεία 2x+y=6. Σελίδα 12/25

Διαθέσιμες επιλογές: 4 δεν σημείο επαληθεύεται εξίσωση της ευθείας ανήκει συντεταγμένες 2 7. Σημείο Α που κινείται στην 2x+y=6: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εξωτερικό περιεχόμενο Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3169/#question12754 Διεύθυνση ιστοτόπου (URL): http://tube.geogebra.org/m/1560133 8. Πλήθος λύσεων της 2x+y=6 (4 διαδοχικές ερωτήσεις, αναζητούμε τη σωστή απάντηση για κάθε μία): Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Σειρά ερωτήσεων μοναδικής επιλογής Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3169/#question12756 1η Ερώτηση: στην προηγούμενη δραστηριότητα οι συντεταγμένες του Α επαλήθευαν την εξίσωση 2x+y=6 γιατί το Α ήταν τυχαίο σημείο της ευθείας 2x+y=6. επαλήθευαν την εξίσωση 2x+y=6 γιατί το Α ήταν τυχαίο σημείο. 2x+6=y Σελίδα 13/25

2η Ερώτηση: πόσες λύσεις έχει η εξίσωση 2x+y=6 πολλές και πεπερασμένες, αφού πολλά και πεπερασμένα είναι τα σημεία της ευθείας 2x+y=6 (πχ πεπερασμένος θεωρείται ο αριθμός 10^10) άπειρες, αφού άπειρα είναι τα σημεία της ευθείας 2x+y=6 3η Ερώτηση: Σε ποιο σημείο η ευθεία 2x+y=6 τέμνει τον άξονα των x στο στο στο στο (3,0) (0,6) (0,3) 3 4η Ερώτηση: Σε ποιο σημείο η ευθεία 2x+y=6 τέμνει τον άξονα των y; στο (0,6) στο 6 στο (6,0) 9. Βασική θεωρία: Σελίδα 14/25

Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Κείμενο Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3169/#question12776 Η αx+βy=γ ονομάζεται γραμμική εξίσωση, με αγνώστους: x,y και οι α,β,γ είναι τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί Η γραμμική εξίσωση αx+βy=γ έχει σαν λύση κάθε ζεύγος αριθμών που την επαληθεύει Η γραμμική εξίσωση αx+βy=γ αναπαριστά μια ευθεία, για αυτό την λέμε και εξίσωση ευθείας αx+βy=γ Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την αx+βy=γ τότε το σημείο ανήκει σε μια ευθεία και αντίστροφα, αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία με εξίσωση αx+βy=γ, τότε οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση αx+βy=γ Μια γραμμική εξίσωση (με δύο αγνώστους) μπορεί να εμφανίζεται με ένα μόνο άγνωστο (ο συντελεστής α ή β του άλλου αγνώστου θα είναι μηδέν) 10. Aνακεφαλαίωση των δραστηριοτήτων της α φάσης (8 διαδοχικές ερωτήσεις με δύο πιθανές απαντήσεις, εκ των οποίων μία είναι σωστή): Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Σειρά ερωτήσεων μοναδικής επιλογής Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3169/#question12784 Διευκρίνιση: 8 διαδοχικές ερωτήσεις με δύο πιθανές απαντήσεις, όπου η μία είναι σωστή 1η Ερώτηση: Η γραμμική εξίσωση αx+βy=γ έχει αγνώστους: x,y και α,β,γ έχει δύο αγνώστους: x,y Σελίδα 15/25

2η Ερώτηση: Η γραμμική εξίσωση αx+βy=γ έχει σαν λύση κάθε αριθμό που την επαληθεύει κάθε ζεύγος αριθμών που την επαληθεύει 3η Ερώτηση: Η γραμμική εξίσωση αx+βy=γ αναπαριστά μια ευθεία, για αυτό την λέμε εξίσωση ευθείας αx+βy=γ ή ευθεία αx+βy=γ ευθεία γραμμή 4η Ερώτηση: Η ευθεία αx+βy=γ έχει άπειρα σημεία που το καθένα επαληθεύει την εξίσωσή της άπειρες λύσεις Σελίδα 16/25

5η Ερώτηση: Αν η εξίσωση ευθείας αx+y=3 έχει λύση το (1,0) τότε: α=3 α=1 6η Ερώτηση: Αν η ευθεία αx+y=3 περνά από το σημείο (1,-1) τότε: α=4 α=2 7η Ερώτηση: Η γραμμική εξίσωση x=1 έχει λύση τον αριθμό 1 το ζεύγος (1,2015) Σελίδα 17/25

8η Ερώτηση: Η γραμμική εξίσωση y= -1 έχει λύση το ζεύγος (κ,-1), όπου κ τυχαίος πραγματικός αριθμός τον αριθμό y= -1 Σελίδα 18/25

2η Φάση: Αναπαραστάσεις των λύσεων της εξίσωσης αx+βy=γ Σελίδα 19/25

2η Φάση: Αναπαραστάσεις των λύσεων της εξίσωσης αx+βy=γ Χρονική Διάρκεια: 45 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο πληροφορικής Φύλλα εργασίας: Τα φύλλα εργασίας είναι συνημμένα στην 3η σελίδα του εγγράφου. Εναλλακτικά μπορείτε να τα μεταφορτώσετε εκ νέου από τις παρακάτω διαδικτυακές θέσεις. Φύλλο Εργασίας 1 http://aesop.iep.edu.gr/sites/default/files/filla-ergasias/fyllo_ergasias_morfes_grammikis_exisosisaesop.pdf Όπως είδαμε στη φάση 1 η γραμμική εξίσωση αx+βy=γ έχει άπειρα ζεύγηλύσων που αναπαριστούν μια ευθεία. Στην δεύτερη φάση με ένα διαδραστικό ενσωματωμένο αρχείο λογισμικού οι μαθητές θα ανακαλύψουν τις διάφορες μορφές της ευθείας (πλάγια που τέμνει τους άξονες, πλάγιες που διέρχονται απο την αρχή των αξόνων, κατακόρυφες και οριζόντιες). Ο σκοπόςτης παρούσας φάσης είναι να συσχετίζουν την ιδιαίτερη μορφή της εξίσωσης αx+βy=γ με το είδος της ευθείας. Αρχικά οι μαθητές διερευνούν αυτές τις συσχετίσεις με τη βοήθεια του μαθηματικού λογισμικού, στη συνέχεια ελέγχουν και αξιολογούν τα αποτελέσματα διάδρασης, μέσα απο τα δομικά διαδραστικά εργαλεία της παρούσης πλατφόρμας. 1. Διάδραση με το λογισμικό για τις διάφορες μορφές ευθείας: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εξωτερικό περιεχόμενο Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3255/#question12890 Διεύθυνση ιστοτόπου (URL): http://tube.geogebra.org/m/1564017 2. Κατακόρυφες-οριζόντιες ευθείες: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Ερώτηση αντιστοίχισης Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3255/#question12945 Διευκρίνιση: Απαιτείται πριν την δραστηριότητα η διάδραση με το αρχείο geogebra Να κάνετε τις αντιστοιχήσεις σύροντας με το ποντίκι τις λέξεις που βρίσκονται δεξιά σας, στα σωστά κενά. Σελίδα 20/25

Κάθε ευθεία της μορφής x=α είναι δηλαδή με τον άξονα των τεταγμένων. Κάθε ευθεία της μορφής είναι οριζόντια δηλαδή παράλληλη με τον των τετμημένων. Η ευθεία x=2 τέμνει στο τον άξονα των τετμημένων, ενώ η ευθεία y=-4 τέμνει στο τον άξονα των τεταγμένων. Ο άξονας των τετμημένων έχει εξίσωση,ενώ ο άξονας των τεταγμένων έχει εξίσωση Διαθέσιμες επιλογές: (0,-4) (2,0) x=0 y=β y=0 κατακόρυφη άξονα παράλληλη 3. Πλάγιες ευθείες: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Κάρτες ερωτήσεων Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3255/#question12946 Περιγραφή Εργασίας: Διαβάστε την κάρτα με την ερώτηση, στο τέλος δίνονται οι πιθανές απαντήσεις με κεφαλαία. (επικολλήστε την πιθανή απάντηση) 1η Κάρτα Ερώτηση: Η ευθεία 3x-y=1 τέμνει τους άξονες ΝΑΙ ΟΧΙ 2η Κάρτα Ερώτηση: Η ευθεία y=x, δεν τέμνει τους άξονες αλλά περνά από την αρχή των αξόνων ΝΑΙ ΟΧΙ 3η Κάρτα Ερώτηση: Η ευθεία x+y=1 τέμνει τον xx' στο Α(0,1) ή στο Β(1,0) επιλέξτε Α Β Σελίδα 21/25

4η Κάρτα Ερώτηση: Στην εικόνα οι τρείς χρωματιστές ευθείες είναι παράλληλες ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 4. παράλληλες ευθείες: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Διαδραστική παρουσίαση Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3255/#question14734 Αυτό το διαδραστικό εργαλείο περιέχει διαδραστική παρουσίαση και είναι διαθέσιμη στον παραπάνω υπερσύνδεσμο. Σελίδα 22/25

5. 0x+0y=k (2 ερωτήσεις): Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Σειρά ερωτήσεων μοναδικής επιλογής Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3255/#question14730 1η Ερώτηση: Η γραμμική εξίσωση 0x+0y=3 (επιλέξτε ένα από τα παρακάτω) Είναι αδύνατη και δεν αναπαριστά κανένα σημείο. Αναπαριστά μόνο το σημείο Ο(0,0). 2η Ερώτηση: Η γραμμική εξίσωση 0x+0y=0 (επιλέξτε ένα από τα παρακάτω). Αναπαριστά το επίπεδο. Αναπαριστά τα σημεία μιας ευθείας Σελίδα 23/25

3η Φάση: Διαδραστική άσκηση -παιγνίδι Σελίδα 24/25

3η Φάση: Διαδραστική άσκηση -παιγνίδι Χρονική Διάρκεια: 10 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο πληροφορικής ή στο σπίτι Αυτή η φάση είναι προαιρετική, μπορεί να γίνει στο εργαστήριο πληροφορικής ή να δοθεί το αρχείο ή το url και οι μαθητές να το κάνουν μόνοι τους στο σπίτι, καθώς δεν απαιτείται ο διδάσκων. Εμφανίζεται ένα δυναμικό τετράγωνο σταθερού εμβαδού και ζητείται απο τους μαθητές να πληκτρολόγήσουν τις κατάλληλες κατακόρυφες και οριζόντιες ευθείες ώστε να πάρουν ένα νέο τετράγωνο που να περικλείει το αρχικό και να έχει τετραπλάσιο εμβαδό. Όταν οι μαθητές πληκτρολογήσουν τους κατάλληλους αριθμούς σε κάθε κουτί εισαγωγής,ένα μήνυμα επιβεβαίωσης καθώς και το ζητούμενο τετράγωνο εμφανίζονται. Υπάρχει η δυνατότητα μετακίνησης του αρχικού τετραγώνου ώστε να συνεχιστεί η δραστηριότητα. Οι πληροφορίες- κανόνες χειρισμού αυτής της δραστηριότητας εμφανίζονται σαν κείμενο τόσο πρίν την εφαρμογή, όσο και ενσωματωμένες μέσα σε αυτή. 1. Βρές το τετράγωνο: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εξωτερικό περιεχόμενο Υπερσύνδεσμος: http://aesop.iep.edu.gr/node/12455/3479/#question13633 Διεύθυνση ιστοτόπου (URL): http://tube.geogebra.org/m/1560157 Σελίδα 25/25 Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)