Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό συμβολίζεται με και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α. Δηλ :... Ορίζουμε ακόμη : 1 ά 1 με 1 με. Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο αριθμό; i. ii. : iii. vi. iv. v. 1.1 Γ : Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού. 3. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού χ ; Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού χ συμβολίζεται με και είναι ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό χ. Ορίζουμε ακόμητότε Δηλ. Αν, 4. Ποιες είναι οι ιδιότητες των ριζών ; Για δύο μη αρνητικούς αριθμούς α, β ισχύει : i. a Σελίδα 1 από 9
ii. a με β > 5. Να αποδείξετε ότι : a Απόδειξη : Για να αποδείξουμε την ισότητα, υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους της ξεχωριστά. - a - Παρατηρούμε ότι οι δύο μη αρνητικοί αριθμοί a και έχουν το ίδιο τετράγωνο, οπότε είναι ίσοι. Άρα : a 1. : Μονώνυμα. 6. Ποιες αλγεβρικές παραστάσεις λέγονται μονώνυμα; Οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις, στις οποίες μεταξύ των μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού λέγονται μονώνυμα. 7. Τι λέγεται συντελεστής μονωνύμου και τι κύριο μέρος του μονωνύμου ; Σ ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών του με τους αντίστοιχους εκθέτες τους λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου. 8. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια. 9. Πως ορίζεται το άθροισμα ομοίων μονωνύμων ; Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. 1. Πως ορίζεται το γινόμενο μονωνύμων ; Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο με: Συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και Κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της. Σελίδα από 9
1.3: Πολυώνυμα 11. Τι ονομάζουμε βαθμό ενός πολυωνύμου ; Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του. 1.4: Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων. 1. Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο; Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν 13. Πως πολλαπλασιάζουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο; Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. 1.5 : Αξιοσημείωτες ταυτότητες. 14. Τι λέγεται ταυτότητα ; Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της. 15. Αξιοσημείωτες ταυτότητες.( Να απομνημονευθούν ) α β α αβ β α β α αβ β α β (α β) α 3 β 3 3 α β 3 α 3α β 3αβ β 3 3 α β α 3α β 3αβ β 3 3 α β α β (α αβ β ) 3 3 α β α β (α αβ β ) 16. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες. Α. α β α Απόδειξη: αβ β α β α+β α+β = α αβ β = α αβ β Β. α β α Απόδειξη: αβ β Σελίδα 3 από 9
α-β α-β α-β = α -αβ-β β = α αβ β 3 3 3 Γ. α β α 3α β 3αβ β Απόδειξη: α +α β+αβ β +β = α +3α β+3 β +β 3 α+β α+β α+β α+β α αβ β = = 3 3 3 3 Δ. α β (α β) α β Απόδειξη: βα β α β(α β) α + - Ε. 3 β 3 Απόδειξη: α α β (α αβ β ) 3 α β(α αβ β) = α 3 3 3 α 1.8: Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων. 17. Τι ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ( Ε.Κ.Π. ) δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ( Ε.Κ.Π. ) δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του. 18. Τι ονομάζουμε Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ; Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του..1 : Η εξίσωση αχ + β =. 19. Ποια είναι τα συμπεράσματα για την επίλυση της εξίσωσης: αχ + β = α β Αν, τότε η εξίσωση αχ+β= έχει μοναδική λύση την χ = - α Αν α β =, τότε η εξίσωση αχ+β= γράφεται χ = - β και - αν, δεν έχει λύση (αδύνατη ), ενώ Σελίδα 4 από 9
- αν β =, κάθε αριθμός είναι λύση της ( ταυτότητα ή αόριστη ). : Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.. Ποια είναι τα συμπεράσματα για την επίλυση της εξίσωσης α + β + γ = με α. Αν Δ >, β ± α Δ - έχει δύο λύσεις άνισες, τις χ = Αν Δ =, α β έχει μια διπλή λύση, την χ = - Αν Δ <, δεν έχει λύση. 1. Πως παραγοντοποιείται ένα τριώνυμο με ρίζες ρ1, ρ ; Αν ρ1, ρ είναι ο λύσεις της εξίσωσης α + β + γ = με α, τότε το τριώνυμο α + β + γ παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο : α + β + γ =α -ρ1 -ρ. Γεωμετρία Τριγωνομετρία 1.1 :Ισότητα τριγώνων 1. Πως ονομάζεται ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του; Οξυγώνιο, όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες. Αμβλυγώνιο, όταν έχει μια γωνία αμβλεία. Ορθογώνιο, όταν έχει μια γωνία ορθή.. Πως ονομάζεται ένα τρίγωνο ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές του ; Σκαληνό, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες. Ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές ίσες. Ισόπλευρο, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες. 3. Τι ονομάζουμε διάμεσο, διχοτόμο, ύψος ενός τριγώνου Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Διχοτόμος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από μια κορυφή, χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από μια κορυφή και είναι κάθετο στην ευθεία της απέναντι πλευράς. Σελίδα 5 από 9
4. Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων ; Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μια προς μία και την περιεχόμενη γωνία ίση, τότε είναι ίσα. ( Π-Γ-Π ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ( Γ-Π-Γ ) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. (Π-Π-Π) 5. Πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα ; Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία μία αντίστοιχα πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση 1. : Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων 6. Ποιες είναι οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών Αν τότε: αδ = βγ Αν τότε: ή Αν τότε: 1.3 : Θεώρημα του Θαλή 7. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που ορίζονται στην άλλη. Δηλαδή: Αν 1 // // 3 τότε ' ' ' ' ' ' Γ Β ε ε' Α Α ε1 Β ε Γ ε 3 8. Πως εφαρμόζεται το θεώρημα του Θαλή σε τρίγωνο ΑΒΓ; Δ Α Ε (ε) Β Σελίδα 6 από 9 Γ
Για δύο σημεία Δ, Ε των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντιστοίχως ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν : Αν ΔΕ// ΒΓ τότε. Αν τότε ΔΕ// ΒΓ 1.5 : Ομοιότητα 9. Πότε λέμε ότι δύο πολύγωνα είναι όμοια ; Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια. 1. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια ; Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια..1 : Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 18 11. Ποιοι είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω του διπλανού σχήματος ; του Μ έ ό του όμ έ ότου Μ ό έ έ. : Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 1. Τι γνωρίζετε για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο παραπληρωματικών γωνιών ; Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 18 ισχύουν : (18) (18) (18) Μ(,ψ) ρ ψ Σελίδα 7 από 9 ω O
.3 : Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 13. Να αποδείξετε ότι για τη γωνία ω ισχύει : 1 Για την απόσταση ρ ενός σημείου Μ (χ, ψ) από την αρχή των αξόνων ισχύει : ή Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με το, τότε έχουμε : ή 1 ω Ο (1) Επειδή και, η ισότητα (1) γίνεται : 1 ή συντομότερα 1. Αποδείξαμε λοιπόν ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει : 1 ψ Μ(,ψ) 14. Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε γωνία ω με ισχύει: Αν διαιρέσουμε κατά μέλη τις ισότητες και, με την προϋπόθεση ότι, έχουμε : ή ή Ο ψ ω Μ(,ψ) Σελίδα 8 από 9
Αποδείξαμε λοιπόν ότι για οποιαδήποτε γωνία ω με ισχύει Σελίδα 9 από 9