ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης 4.1 Η ροπή αδράνειας ενός σώματος εξαρτάται: α. μόνο από τη μάζα του σώματος β. μόνο τη θέση του άξονα γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται αυτό. γ. μόνο από το πως κατανέμεται η μάζα γύρω από τον άξονα περιστροφής δ. από όλα τα παραπάνω. 4. Έχουμε δύο σφαίρες με ίδιας μάζας m και ακτίνας R. Η μία σφαίρα είναι συμπαγής η άλλη κοίλη και έχουν ροπές αδράνειας Ι 1 και Ι αντίστοιχα ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της κάθε μίας. Τότε ισχύει: α. Ι 1 =Ι β. Ι 1 <Ι γ. Ι 1 >Ι 4.3 Η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο M L μάζας της (cm) είναι Icm. Η ροπή 1 αδράνειας Ι άκρο ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της είναι: α. Μ. L β. γ. δ. ML 3 M L 4 7M L 1 4.4 Για την ορθογώνια ομογενή πλάκα του παρακάτω σχήματος είναι: γ. Ι 1 >Ι >Ι 3 δ. Ι 1 <Ι =Ι 3 4.5 Οι τροχοί (1) και () του σχήματος είναι ίδιοι. Τότε: α. Ι 1 =Ι β. Ι 1 <Ι γ. Ι 1 >Ι 4.6 Για τις πόρτες του επόμενου σχήματος ισχύει Ι 1 < Ι ως προς τον άξονα z z. Πιο εύκολα ανοίγει η πόρτα: α. (1) β. () γ. και οι δύο το ίδιο δ. δεν μποτούμε να γνωρίζουμε. 4.7 Η ράβδος του επόμενου σχήματος αφήνεται να στραφεί γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο (Ο). Η κίνηση της ράβδου οφείλεται στη ροπή: α. Ι 1 =Ι =Ι 3 β. Ι 1 <Ι <Ι 3 94
Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 α. του βάρους w που είναι σταθερή β. του βάρους w που είναι μεταβλητή γ. της δύναμης στήριξης από τον άξονα. 4.8 Η κίνηση της ράβδου της προηγούμενης ερώτησης είναι: α. ομαλή β. ομαλά επιταχυνόμενη γ. επιταχυνόμενη με φθίνουσα επιτά-χυνση. 4.9 Ο τροχός του σχήματος δέχεται την οριζόντια δύναμη F και το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας μεταβάλλεται όπως φαίνεται στο σχήμα. Η δύναμη F είναι: α. σταθερού μέτρου β. μεταβλητού μέτρου γ. δεν μπορούμε να γνωρίζουμε. 4.10 Ο κύλινδρος του σχήματος αφήνεται να κυλήσει χωρίς να ολισθαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο. Ι. Το μέτρο της ταχύτητας υ cm αυξάνει και υπεύθυνη δύναμη γι αυτό είναι: α. το βάρος του β. η στατική τριβή γ. η κάθετη δύναμη N από το κεκλιμένο δάπεδο. ΙΙ. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω αυξάνει και υπεύθυνη γι αυτό είναι: α. η ροπή του βάρους β. η ροπή της στατικής τριβής γ. η ροπή της κάθετης δύναμης N από το κεκλιμένο δάπεδο. 4.11 Η κίνηση του κυλίνδρου στο κεκλιμένο επίπεδο της προηγούμενης ερώτησης είναι κύλιση χωρίς ολίσθηση. Αυτό συμβαίνει όταν ο συντελεστής τριβής μεταξύ κυλίνδρου - δαπέδου είναι: α. μηδέν β. παίρνει οποιαδήποτε τιμή γ. παίρνει τιμή τέτοια ώστε Τ σ < μ. Ν. 4.1 Ο τροχός του σχήματος κάνει επιταχυνόμενη στροφική κίνηση. Οι κατευθύνσεις των διανυσμάτων α γων και τ είναι: α. ίδια με της γωνιακής ταχύτητας ω β. αντίθετη της κατεύθυνσης της γωνιακής ταχύτητας ω γ. η κατεύθυνση της τ είναι αντίθετη από της γωνιακής ταχύτητας ω και της α γων ίδια με την κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας ω. Στις παρακάτω ερωτήσεις να χαρακτηρίσετε με το γράμμα Σ τις σωστές προτάσεις ή σχέσεις και με το γράμμα Λ τις λάθος. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 4.13 Εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα πάνω μία σφαίρα δίνοντάς της μεταφορική ταχύτητα μέτρου υ 0 και γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 0. Τότε ισχύουν: 95
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης α. υ 0 >υ 1 ω 0 >ω 1 β. υ 0 >υ 1 ω 0 =ω 1 γ. υ 0 >υ 1 ω 0 <ω 1 δ.στο ανώτερο σημείο της τροχιάς είναι υ=0 και ω= ω 0. 4.14 Για το σύστημα των σωμάτων του παρακάτω σχήματος είναι γνωστό ότι το νήμα δεν γλυστρά ως προς την τροχαλία. Τότε ισχύουν: α. α 1 = α = α γων β. α 1 = α = α γων. R γ. υ 1 = υ = ω. R δ. υ 1 = υ = ω 4.15* Για τα σώματα του επόμενου σχήματος είναι γνωστό ότι τα νήματα δεν γλυστρούν ως προς τους κυλίνδρους. Τότε ισχύουν: α. m 1. R 1 >m. R β. α 1 = α α. στο χρονικό διάστημα (0 t 1 ) τα διανύσματα ω και τ είναι αντίρροπα β. στο χρονικό διάστημα (0 t 1 ) τα διανύσματα ω και τ είναι ομόρροπα γ. στο χρονικό χρονικό διάστημα t>t 1 τα διανύσματα ω και τ είναι ομόρροπα δ. η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου είναι σταθερή ε. το μέτρο της δύναμης είναι σταθερό στ. τη χρονική στιγμή t 1 το μέτρο της δύναμης είναι μηδέν. 4.17 Ομογενής δίσκος και ομογενής στεφάνη έχουν ίδια μάζα και ακτίνα. Τα δύο στερεά δέχονται την ίδια εφαπτομενική δύναμη μέτρου F. Ο λόγος των ροπών αδράνειας των σωμάτων ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του κάθε σώματος είναι I Ι στεφ δισκ. Τότε: α. και τα δύο στερεά κάνουν ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση β. α α γων(δισκ) γων(στεφ) γ. δ. α α γων(δισκ) γων(στεφ) 1 αγων(δισκ) 1 α γων(στεφ) γ. α 1 α δ. υ 1 = υ ε. υ 1 υ 4.16 Ο δίσκος του παρακάτω σχήματος στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα με την επίδραση μιας εφαπτομενικής δύναμης F. Στο σχήμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η τίμή της γωνιακής του ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο. 4.18 Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α. Η ροπή αδράνειας είναι μεγέθος... και εξαρτάται από τη μάζα του σώματος και το πως... αυτή γύρω από τον άξονα περιστροφής. Επίσης η ροπή αδράνειας εξαρτάται από το... του σώματος. β. Η ροπή αδράνειας για οποιοδήποτε σώμα 96
Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 έχει τη... τιμή για τον άξονα περιστροφής ο οποίος διέρχεται από το...... του σώματος. 4.19 Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α. Για ένα σώμα που εκτελεί στροφική κίνηση αν είναι σταθερή η τ τότε είναι και η α γων είναι... Ενώ αν είναι η α γων μεταβάλλεται Αν είναι τ 0 τότε και... δηλαδή το σώμα διατηρεί την προηγούμενη περιστροφική του κατάσταση. β. Η αδράνειας σώματος εκφράζει την... του σώματος στη στροφική κίνηση. Έτσι ένα σώμα με μεγάλη ροπή αδράνειας χρειάζεται μεγάλη... για να περιστραφεί με μία ορισμένη γωνιακή επιτάχυνση. τότε και η τ... 97
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης 4.0 Πως ορίζεται η ροπή αδράνειας ενός σώματος και ποια είν αι η φ υσική της σημασία; 4.1 Να διατυπώσετε τον Θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης. Ποια συμπεράσματα για την κίνηση του στερεού σώματος εξάγονται απ αυτόν αν η συνολική ροπή τ πάνω στο σώμα είναι: i. σταθερή ii. μηδέν iii. μεταβάλλεται; 4. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Steiner. 4.3 Να βρείτε τη σχέση που δίνει τη ροπή αδράνειας κυκλικού δακτυλίου ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται: i. από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του και ii. από ένα σημείο της περιφέρειάς του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. 4.4 O τροχός του παρακάτω σχήματος δέχεται εφαπτομενική δύναμη F σταθερού μέτρου. Αν αρχικά ο τροχός ηρεμούσε να γίνει το διάγραμμα της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο ω=f(t). 4.5 Ο τροχός του επόμενου σχήματος στρέφεται με τη βοήθεια των σταθερών δυνάμεων F 1 F όπως φαίνεται στο σχήμα. Το νήμα είναι αβαρές. Να διακαιολογήσετε γιατί η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού είναι σταθερή. 4.6 Ο τροχός του σχήματος αρχικά ηρεμεί. Γύρω του είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα του οποίου το ένα άκρο είναι δεμένο σε οροφή. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο και o τροχός αρχίζει να πέφτει. Η γωνιακή ταχύτητα ω του τροχού μεταβάλλεται όπως στο επόμενο σχήμα. Να δικαιολογήσετε γιατί η τάση του νήματος είναι σταθερή. 98
Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.7 Ο τροχός του επόμενου σχήματος εκτελεί επιβραδυν όμενη στροφ ική κίνηση. Να σχεδιάσετε τα διανύσματα α γων και τ. 4.30 Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η περιστροφή μιας ράβδου η οποία αφέθηκε από οριζόντια θέση. Ποιο είναι το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου τη χρονική στιγμή που αυτή γίνεται κατακόρυφη; Γιατί η ράβδος έχει γωνιακή επιτάχυνση μέγιστου μέτρου στην οριζόντια θέση; 4.8 Ο κύλινδρος του σχήματος αφέθηκε να κυλήσει χωρίς ολίσθηση στο κεκλιμένο επίπεδο. Να σχεδιάσετε τη φορά των διανυσμάτων ω και τ. 4.9 Ο κύλινδρος του σχήματος ανεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο κυλιόμενος χωρίς να ολισθαίνει. Να σχεδιάσετε τη φορά των διανυσμάτων ω και τ. 4.31* Για τον τροχό του παρακάτω σχήματος ισχύει ότι: α. υ ω R β. υ cm cm ω R Να εξετάσετε σε ποια περίπτωση η κίνηση του τροχού είναι κύλιση χωρίς ολίσθηση και σε ποια κύλιση με ολίσθηση. 99
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης 4.3 Ο κύλινδρος μάζας M=5 kg και ακτίνας R=10 cm του σχήματος αρχικά ηρεμεί. Γύρω του είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα το οποίο αρχίζει να δέχεται την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F=10π Ν. Να υπολογιστούν: α. η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου β. το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας μετά από s όπως και ο αριθμός των στροφών που έχει πραγματοποιήσει μέχρι τότε. Τριβές δεν υπάρχουν και δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι: M R I 4.33 Η ομογενής δοκός του σχήματος έχει μάζα m μήκος L= m και αφήνεται να περιστραφεί από οριζόντια θέση τη χρονική στιγμή t=0. Να υπολογιστεί το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της δοκού τη χρονική στιγμή t=0 όταν έχει περιστραφεί κατά 60 ο και όταν έχει περιστραφεί κατά 90 ο. οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο (Ο). Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνεται ελεύθερο να περιστραφεί. Δίνονται: η μάζα m = kg το μήκος L= m g=10 m/s και η ροπή αδράνειας δοκού ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από M L το κέντρο μάζας της ότι είναι I. 1 α. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς το σημείο (Ο) και β. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του στερεού τη χρονική στιγμή t=0 όταν έχει περιστραφεί κατά 60 ο και όταν έχει περιστραφεί κατά 90 ο. 3 =17 4.35 Η τροχαλία του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβή γύρω από τον οριζόντιο άξονά της. Η μάζα της είναι m =4 kg και η ακτίνας της R = 0 cm. Γύρω της είναι αβαρές νήμα στα άκρα του οποίου είναι δεμένα δύο σώματα μαζών m 1 = kg και m = 4 kg. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία ενώ τα σώματα είναι στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Δίνονται g=10 m/s και ότι η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι I cm m L. 1 4.34 Το ομογενές στερεό του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από Να υπολογιστούν: 100
Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 α. το μέτρο της επιτάχυνσης των σωμάτων το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας και τα μέτρα των τάσεων των νημάτων β. το μέτρο της γων ιακής ταχύτητας της τροχαλίας μετά από s όπως και ο αριθμός των στροφών που έχει πραγματοποιήσει μέχρι τότε. γ. Πόσο απέχουν τα σώματα τη χρονική στιγμή 1s; Ποιο είναι τότε το μέτρο της ταχύτητας κάθε σώματος; Το νήμα δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία λόγω μεγάλης στατικής τριβής. Δίνονται επίσης η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της ότι είναι m R I και ότι g=10 m/s. 4.36* Το στερεό του σχήματος είναι δύο κύλινδροι κολλημένοι που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβή γύρω από τον άξονά τους z z. Oι μάζες των κυλίνδρων είναι M= kg και Μ και οι ακτίνες τους R=10 cm και R αντίστοιχα. Γύρω τους είναι τυλιγμένα αβαρή νήματα στα άκρα των οποίων είναι δεμένα δύο σώματα μαζών m 1 = 4 kg και m = kg. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία. Να υπολογιστούν: α. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα z z. β. Να υπολογιστούν τα μέτρα της επιτάχυνσης των σωμάτων και της γωνιακής επιτάχυνσηςτου στερεού. β. Να υπολογιστεί το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του στερεού μετά από 1 s ο αριθμός των στροφών που έχει πραγματοποιήσει μέχρι τότε και το μέτρο της ταχύτητας κάθε σώματος. Τα νήματα δεν ολισθαίνουν ως προς τους κυλίνδρους. Δίν ονται ότι η ροπή αδράν ειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής m R του είναι: I και g=10 m/s. 4.37 Για το σύστημα του παρακάτω σχήματος να βρείτε τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων του συστήματος. Το αβαρές νήμα δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία λόγω μεγάλης στατικής τριβής. Δίνονται: M= 10 kg R = 0 cm m 1 = 10 kg m = 8 kg μ=0 μεταξύ οριζοντίου δαπέδου και σώματος m η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής m R της I και ότι g=10 m/s. 4.38* Για το σύστημα του παρακάτω σχήματος να υπολγίσετε τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων του συστήματος. Το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο και το αβαρές νήμα δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία λόγω μεγάλης στατικής τριβής. Δίνονται: M=10 kg R=0 cm m 1 =10 kg m = 10 kg φ=30 ο η ροπή αδράνειαςτης τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της και ότι g=10 m/s. m R I 4.39 Ένας τροχός μάζας m=3 kg και ακτίνας R=0 m αφήνεται να κυλήσει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 ο. Το σώμα κυλάει χωρίς να ολισθαίνει και η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του είναι m R I. 101
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης α. Να υπολογιστούν τα μέτρα της επιτάχυνσης α cm του κέντρου μάζας της γωνιακής επιτάχυνσης α γων του τροχού και το μέτρο της στατικής τριβής. β. Για ποιες τιμές του συντελεστή στατικής τριβής μ s ο τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Δίνεται g=10 m/s. 4.43 Ένας τροχός μάζας m= kg και ακτίνας R κυλάει χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ένα λεπτό νήμα είναι τυλιγμένο σε απόσταση x=r/4 από το κέντρο του τροχού. Τραβάμε το νήμα με σταθερή δύναμη μέτρου F=1 N. 4.40 Ομογενής σφαίρα μάζας m= kg αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 o και από ύψος h=175 m. Αν η σφαίρα κυλάει χωρίς να γλυστράει να υπολογίσετε: α. την επιταχύνση του κέντρου μάζας της Κ β. τον χρόνο που χρειάζεται η σφαίρα να φτάσειστη βάση του κεκλιμένου επιπέδου και γ. το μέτρο της τριβής που ασκεί το κεκλιμένο επίπεδο στη σφαίρα. Δίνονται: g=10m/s και ότι I K m R. 5 4.41 Δύο σφαίρες (Α) και (Β) έχουν ίσες μάζες και ακτίνες. Η σφαίρα Α είναι συμπαγής και έχει ως προς το κέντρο της ροπή αδράνειας m R IA. Η σφαίρα Β είναι κοίλη και έχει 5 επίσης ως προς το κέντρο της ροπή m R αδράνειας IB. Οι σφαίρες 3 αφήνονται ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος h δύο όμοιων κεκλιμένων επιπέδων. Να εξετάσετε αν οι σφαίρες θα φτάσουν στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου ταυτόχρονα ή όχι αν: α. γλυστράνε χωρίς να κυλάνε και β. κυλάνε χωρίς να γλυστράνε. 4.4 Μία ομογενής συμπαγής σφαίρα μάζας m=1 kg και ακτίνας R = 10 cm εκτοξεύεται με ταχύτητα μέτρου υ 0 από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 ο. Η σφαίρα κυλάει χωρίς να ολισθαίνει και η ροπή αδράνειάς της ως προς τον άξονά περιστροφής της είναι I m R 5. α. Να υπολογιστεί το μέτρο της επιβράδυνσης α cm του κέντρου μάζας της σφαίρας η γωνιακή επιβράδυνση της σφαίρας και το μέτρο της στατικής τριβής. β. Αν η αρχική ταχύτητα έχει μέτρο υ 0 =5 m/s να υπολογίσετε το χρόνο ανόδ ου και το διάστημα που διανύει η σφαίρα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10 m/s. Να υπολογίσετε: α. την μεταφορική επιτάχυνση του τροχού και το μέτρο της στατικής τριβής β. τις τιμές του συντελεστή τριβής μ s ώστε ο τροχός να κυλάει χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο. Δίνονται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του m/s. I m R και g= 10 4.44 Ένας τροχός μάζας m= kg και ακτίνας R κυλάει χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ένα λεπτό νήμα είναι τυλιγμένο σε απόσταση x=r/ από το κέντρο του τροχού. Τραβάμε το νήμα με σταθερή δύναμη μέτρου F=1 N. O τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο. Να υπολογίσετε: α. την μεταφορική επιτάχυνση του τροχού και το μέτρο της στατικής τριβής β. τις τιμές του συντελεστή τριβής μ s ώστε ο τροχός να κυλάει χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο. Δίνονται: η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του I m R και g= 10m/s. 4.45* O κύλινδρος του σχήματος έχει τυλιγμένο λεπτό νήμα στην περιφέρειά του. Τραβάμε το νήμα με σταθερή δύναμη μέτρου F=1 N και ο κύλινδρος ανεβαίνει κυλιόμενος χωρίς 10
Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 να ολισθαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 ο. Η μάζα του κυλίνδρου είναι kg και η ακτίνα του 01m. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας και το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου. β. Να βρείτε την στατική τριβή που δέχεται ο κύλινδρος. Δίνονται I K m R g=10 m/s. 4.46* Να υπολογίσετε τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων του συστήματος που φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Το νήμα είναι αβαρές το σώμα μάζας m 1 ολισθαίνει και ο κύλινδρος μάζας m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Δίνονται: F=0 N R=0 cm m =10 kg m 1 = 4 kg συντελεστής τριβής μ = 0 μεταξύ οριζοντίου δαπέδου και σωμάτων η ροπή αδράνειας του κυλίνδ ρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι = m R και g =10 m/s. 4.47 Η οριζόντια αβαρής ράβδος του σχήματος έχει μήκος =1m και μπορεί να στρέφεται γύρω από την άρθρωση Α. Στο άκρο της Γ κρέμεται βάρος w = 0 N. H ράβδος λειτουργεί ως φρένο στον περιστρεφόμενο τροχό και τον αναγκάζει να σταματήσει. Η αρχική γωνιακή ταχύτητα του τροχού έχει μέτρο ω 0 = 40 rad/s. Δίνονται: η μάζα και η ακτίνα του τροχού m=5 kg και R=0 m αντίστοιχα ο συντελεστής τριβής μεταξύ δοκού - τροχού είναι μ=05 d=04 m και η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του I m R. Να υπολογίσετε: α. την δύναμη που δέχεται η ράβδος ΑΓ από την άρθρωση β. τη γωνιακή επιβράδυνση του τροχού γ. τον αριθμό των στροφών που πραγματοποιεί μέχρι να σταματήσει. 4.48 Για το σύστημα του παρακάτω σχήματος να βρείτε τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων του συστήματος. Το αβαρές νήμα δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία λόγω μεγάλης στατικής τριβής. Ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Δίνονται: R = 10 cm Μ=m 1 = 10 kg =m R = 0 cm η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον Μ R άξονα περιστροφής της I και η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα m περιστροφής του I R g=10 m/s. 103
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης 4.49 Για το σύστημα του παρακάτω σχήματος να βρείτε τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων του συστήματος. Το αβαρές νήμα δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία λόγω μεγάλης στατικής τριβής. Ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Δίνονται ότι: g=10 m/s και I cm = mr. 4.51 Η ράβδος ΑΓ του σχήματος στρέφεται γύρω από τον άξονα z z χωρίς τριβές με ω 0 =60 rad/s. Tη στιγμή t=0 δέχεται την εφαπτομενική δύναμη F σταθερού μέτρου 8 Ν με φορά όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνονται: R = 10 cm Μ=m 1 = 10 kg =m R = 0 cm η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον Μ R άξονα περιστροφής της I και η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του I m R g=10 m/s. 4.50 Το γιο - γιο του σχήματος έχει μάζα m=1 kg ακτίνα R=314 cm και αρχικά ηρεμεί. Γύρω του είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα του οποίου το ένα άκρο το κρατάει ακίνητο ένας άνθρωπος. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο και αρχίζει να πέφτει. Να βρείτε: α. Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. β. Nα γίνει το διάγραμμα ω=f(t) από t=0 s μέχρι t=6 s. γ. το συνολικό αριθμό στροφών μέχρι τα 6 s. Δίνονται: η μάζα της ράβδου m=48 kg το μήκος της l= 1 m και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα περιστροφής που περνά από το κέντρο μάζας της: I =ml 1. cm 4.5 Από ένα τροχό μάζας m=4 kg και ακτίνας R=0 m αφαιρούμε ομόκεντρο τμήμα ακτίνας r=r/. Tο στερεό που προκύπτει αφήνεται να κυλήσει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 ο. Το σώμα κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. α. Να δείξετε ότι το στερεό έχει ροπή αδράνειας 15 I m R 3 β. Να υπολογιστούν τα μέτρα των επιταχύνσεων α cm του κέντρου μάζας της γωνιακής επιτάχυνσης α γων του τροχού. γ. Για ποιες τιμές του συντελεστή στατικής τριβής μ s ο τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Δίνονται: g=10 m/s και η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του ότι είναι α. την επιτάχυνση του σώματος και την τάση του νήματος β. το ρυθμό μεταβολής της θέσης του σώματος τη στιγμή t = 3 s γ. τη δύναμη που πρέπει να ασκήσουμε στο νήμα ώστε το γιο - γιο να περιστρέφεται μόνο χωρίς να πέφτει. m R I. 104