Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 143 / 167

Hamiltonian γραφη ματα κύκλος Hamilton: Έστω γρα φημα G. Ένας κυ κλος του G ο οποι ος διε ρχεται απο ο λες τις κορυφε ς του G ονομα ζεται κύκλος Hamilton Hamilton γράφημα: Ένα γρα φημα το οποι ο περιε χει κυ κλο Hamilton ονομα ζεται Hamiltonian γράφημα μονοπάτι Hamilton: Έστω γρα φημα G. Ένα μονοπα τι του G το οποι ο διε ρχεται απο ο λες τις κορυφε ς του G ονομα ζεται μονοπάτι Hamilton Sir William Rowan Hamilton[1857] Δωδεκα εδρο 20 κορυφε ς 3-κανονικο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 144 / 167

Παρα δειγμα: Το γρα φημα Herschel 11 κορυφε ς Διμερε ς Το γρα φημα Herschel δεν ει ναι Ηamiltonian Απόδειξη : Εα ν η ταν Hamiltonian, ο κυ κλος Hamilton θα ει χε 11 ακμε ς. Αυτο ο μως ει ναι αδυ νατο γιατι οι κυ κλοι σε κα θε διμερε ς γρα φημα ε χουν α ρτιο αριθμο ακμω ν. Παρα δειγμα: Ο υπερκυ βος r-διαστα σεων H r, r 2 ει ναι Hamiltonian H 2 H 3 H r Αναδρομικη κατασκευη Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 145 / 167

Θεώρημα 7.1: Έστω συνεκτικο γρα φημα G. Εα ν το G ει ναι Hamiltonian, το τε για κα θε μη-κενο υποσυ νολο S του V(G) ισχυ ει ο τι cc(g S) S, ο που cc( ) συμβολι ζει τον αριθμο των συνεκτικω ν συνιστωσω ν ενο ς γραφη ματος. Απόδειξη : Έστω C ε νας Hamiltonian κυ κλος του G Για κα θε μη-κενο S V(G) ισχυ ει ο τι: cc(c S) S (1) Η ισο τητα ισχυ ει για κα ποιο συ νολο S, στην παρακα τω περι πτωση: Έστω S = {v 0, v 1,..., v k } ο που οι κορυφε ς του S δεν ει ναι διαδοχικε ς στον κυ κλο C Έστω C i, 0 i k το τμη μα του κυ κλου C ανα μεσα στις κορυφε ς v i και v i+1 mod k+1 Δεν υπα ρχει ακμη του G η οποι α ενω νει δυ ο διαφορετικα τμη ματα C i και C j του κυ κλου C. Το C S ει ναι παραγο μενο υπογρα φημα του G S cc(g S) cc(c S) Απο (1) cc(g S) S Το Θεω ρημα 7.1 περιγρα φει μια ΑΝΑΓΚΑΙΑ συνθη κη για να ει ναι ε να γρα φημα Hamiltonian. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 146 / 167

Παρα δειγμα: Το παρακα τω γρα φημα δεν ει ναι Hamiltonian a b c a c G : d e f S={b,c,f,h} G S e g h i g i Συ μφωνα με το Θεω ρημα 7.1, για το S = {b, c, f, h} πρε πει να ισχυ ει cc(g S) S = 4 Αλλα cc(g S) = 5 Ο G δεν ει ναι Hamiltonian. Θεώρημα 7.2[Dirac-1952]: Έστω G ε να απλο γρα φημα με V(G) 3 και δ(g) V(G) 2. Το τε το G ει ναι Hamiltonian Απόδειξη [Απαγωγή σε άτοπο]: Έστω G ε να μεγιστοτικο (maximal) μη-hamiltonian απλο γρα φημα με V(G) 3 και δ(g) V(G) 2. Το G δεν ει ναι πλη ρες [γιατι V(G) 3] Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 147 / 167

Έστω u, v δυ ο μη γειτονικε ς κορυφε ς του G G {u, v} ει ναι Hamiltonian γιατι το G ει ναι μεγιστοτικο μη-hamiltonian γρα φημα Λο γω του ο τι το G ει ναι μη-hamiltonian, κα θε Hamiltonian κυ κλος του G {u, v} περιε χει την ακμη (u, v) Έστω u = v 1, v 2,..., v n = v, n = V(G) ε νας Hamiltonian κυ κλος του G {u, v} Ο G ε χει Hamiltonian μονοπα τι P : u = v 1, v 2,..., v n = v με α κρα τις κορυφε ς u και v Όλοι οι γει τονες των u και v ανη κουν στο P u = v 1 v 2 v i 1 v i v i+1 v n 1 v n = v Υπα ρχει κορυφη v i, i 3: (u, v i ) E(G) (v i+1, v) E(G) [Εα ν δεν υπη ρχε, το τε για κα θε γει τονα του u θα υπη ρχε μια διακριτη κορυφη με την οποι α ο v δεν ει ναι ενωμε νος. Λο γω του ο τι d(u) n 2 ο v θα ει χε βαθμο d(v) (n 1) d(u) (n 1) n 2 = n 2 1. άτοπο γιατι d(v) n 2 ] Ο κυ κλος v 1 v 2... v i 1 v n v n 1... v i+1 v i v 1 ει ναι Hamiltonian κυ κλος του G άτοπο, γιατι ο G ει ναι μη Hamiltonian απο την υπο θεση Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 148 / 167

Θεώρημα 7.3[Ore-1960]: Έστω G ε να απλο γρα φημα με V(G) 3 και για κα θε ζευ γος u, v V(G) μη γειτονικω ν κορυφω ν ισχυ ει ο τι d(u) + d(v) V(G). Το τε το G ει ναι Hamiltonian Απόδειξη [Ίδια με αυτή του Θεωρήματος Dirac]: Το G ει ναι συνεκτικο [Εα ν δεν η ταν, ε στω v 1 και v 2 δυ ο κορυφε ς σε διαφορετικε ς συνιστω σες του. Το τε d(v 1 ) + d(v 2 ) V(G) 2 άτοπο] Έστω G ε να μεγιστοτικο μη-hamiltonian γρα φημα για το οποι ο ισχυ ει ο τι V(G) 3 και u, v : (u, v) / E(G), d(u) + d(v) V(G) V(G) 3 Το G δεν ει ναι πλη ρες γρα φημα Υπα ρχουν u, v V(G) : (u, v) / E(G) G {u, v} ει ναι Hamiltonian Υπα ρχει Hamiltonian μονοπα τι u = v 1, v 2,..., v n = v, n = V(G) στον G d(u) + d(v) V(G) max {d(u), d(v)} V(G). Έστω d(u) V(G) 2 2 Όλοι οι γει τονες των u και v ανη κουν στο μονοπα τι u = v 1 v 2 v i 1 v i v i+1 v n 1 v n = v Υπα ρχει κορυφη v i, i 3: (u, v i ) E(G) (v i 1, v) E(G) [Εα ν δεν υπη ρχε, το τε για κα θε γει τονα του u θα υπη ρχε μια κορυφη με την οποι α δεν γειτονευ ει ο v. Το τε d(v) (n 1) d(u) d(v) + d(u) n 1. άτοπο] Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 149 / 167

Ο κυ κλος v 1 v 2... v i 1 v n v n 1... v i+1 v i v 1 ει ναι hamiltonian κλυ κλος στο G. άτοπο γιατι υποθε σαμε ο τι ο G ει ναι μη-hamiltonian. Θεώρημα 7.4[Bondy, Chvatal-1974]: Σημείωση: Το Θεω ρημα του Dirac μπορει να εξαχθει ως α μεση συνε πεια του Θεωρη ματος του Ore. Έστω απλο γρα φημα G με V(G) 3 και ε στω u, v μη γειτονικε ς κορυφε ς του με d(u) + d(v) V(G). Το τε το G ει ναι Hamiltonian ανν το G (u, v) ει ναι Hamiltonian Απόδειξη : Προφανε ς Έστω ο τι το G (u, v) ει ναι Hamiltonian αλλα το G ο χι. Το τε η ι δια απο δειξη με το θεω ρημα του Dirac [η του Ore] κατασκευα ζει Hamiltonian κυ κλο για το G και οδηγει σε άτοπο Σημείωση: Το Θεω ρημα του Ore μπορει να εξαχθει ως συνε πεια του Θεωρη ματος των Bondy-Chvatal. Εα ν ο λες οι μη γειτονικε ς κορυφε ς ε χουν α θροισμα βαθμω ν V(G) θα καταλη ξουμε στο ο τι G ει ναι Hamiltonian K V(G) ει ναι Hamiltonian το οποι ο ισχυ ει Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 150 / 167

Επέκταση (closure) ως προς το άθροισμα βαθμών: Παρα δειγμα: Έστω το γρα φημα G. Το γρα φημα c(g) που σχηματι ζεται ο ταν ενω σουμε αναδρομικα ζευ γη μη γειτονικω ν κορυφω ν που ε χουν α θροισμα βαθμω ν V(G) ε ως ο του δεν υπα ρχουν τε τοια ζευ γη κορυφω ν, ονομα ζεται επέκταση του ως προς το άθροισμα βαθμών c(g) = K 6 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 151 / 167

Θεώρημα 7.5: Έστω γρα φημα G. Η επε κταση c(g) (ως προς το α θροισμα βαθμω ν) του G ει ναι καλω ς ορισμε νη. Απόδειξη : Έστω G 1 και G 2 δυ ο γραφη ματα που προκυ πτουν προσθε τοντας αναδρομικα ακμε ς μεταξυ μη γειτονικω ν κορυφω ν με α θροισμα βαθμω ν V(G) Θα δει ξουμε ο τι G 1 = G 2 Έστω S 1 = e 1 1 e1 2... e1 k η ακολουθι α ακμω ν που παρα γει απο το G το G 1 Έστω S 2 = e 2 1 e2 2 {... e2 l η ακολουθι α ακμω ν που παρα γει απο το G το G 2 Θα δει ξουμε ο τι e 1 1, e1 2 k} {,..., e1 E(G2 ) και e 2 1, e2 2 l},..., e2 E(G1 ) Έστω e 1 i η πρω τη ακμη της S 1 που δεν { ανη κει στο} E(G 2 ) Σχηματι ζουμε το γρα φημα H = G e 1 1,..., e1 i 1 H G 1 d H (u) + d H (v) V(G) [απο τον ορισμο του G 1 ] H G 2 [γιατι ο λες οι ακμε ς e 1 1, e1 2,..., e1 i 1 ανη κουν στο G 2] d G2 (u) + d G2 (v) < n [γιατι e 1 i = (u, v) / E(G 2 )] άτοπο Άρα, κα θε ακμη της S 1 ανη κει στο G 2 και, ο μοια, κα θε ακμη της S 2 ανη κει στο G 1 Άρα G 1 = G 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 152 / 167

Θεώρημα 7.6: Έστω απλο γρα φημα G. Το G ει ναι Hamiltonian ανν η επε κταση c(g) ως προς το α θροισμα βαθμω ν του G ει ναι Hamiltonian. Απόδειξη [Προκύπτει από το Θεώρημα 7.4 [Bondy-Chvatal]]: Έστω S = e 1 e 2... e k η ακολουθι α ακμω ν που δημιουργει την επε κταση c(g) απο το G Στο i-οστο βη μα προσθε τουμε την ακμη e i ε ως ο του σχηματιστει η επε κταση c(g) Πόρισμα 7.7: Εα ν η επε κταση c(g) ως προς το α θροισμα βαθμω ν ενο ς γραφη ματος G ει ναι πλη ρες γρα φημα, το τε το G ει ναι Hamiltonian. Απόδειξη : Προκυ πτει απο το Θεω ρημα 7.6 και το γεγονο ς ο τι το πλη ρες γρα φημα K n, n 3 ει ναι Hamiltonian. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 153 / 167

Θεώρημα 7.8[Chvatal, 1972]: Έστω απλο γρα φημα G με ακολουθι α βαθμω ν (d 1, d 2,..., d n ) ο που n = V(G) 3 και d 1 d 2 d n. Έστω ο τι δεν υπα ρχει m n 2 τε τοιο ω στε dm m και d n m < n m Το τε το G ει ναι Hamiltonian. Σημείωση: Η ακολουθι α βαθμω ν στο Θεω ρημα 7.8 ει ναι αυ ξουσα, σε αντι θεση με τη συ μβαση που ακολουθη σαμε στο Κεφα λαιο Βαθμοι κορυφω ν, δηλαδη φθι νουσες γραφικε ς ακολουθι ες Παρα δειγμα u 1 G : H = {v 1, v 2, v 3 }, H = 3 v 1 cc(g H) = 4 > 3 = H Θ. 7.1 == Ο G δεν ει ναι Hamiltonian w 1 ( 3 3 3 5 5 5 8 8 8 ) m n 2 = 4 w 2 w 3 v 2 v 3 u 2 u 3 d 3 = 3 3 d 9 3 = d 6 = 5 < 6 Δεν μπορου με vα ισχυριστου με ο τι ει ναι Hamitonian Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 154 / 167

Παρα δειγμα (Συνε χεια) G 1 = (G (u 1, v 1 )) (u 1, w 1 ) u 1 Ακολουθι α βαθμω ν: ( 3 3 3 5 5 6 7 8 8 ) v 1 w 1 w 2 w 3 v 2 v 3 u 2 u 3 3 1 3 2 3 3 5 4 5 < 5 6 < 6 7 < 7 8 < 8 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 Δεν υπα ρχει m, 1 m n 2 : d m m και d n m < n m Ο G ει ναι Hamiltonian. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 155 / 167

Απόδειξη [Θεώρημα 7.8[Chvatal 1972]]: Έστω γρα φημα G που ικανοποιει την υπο θεση. Απο Πο ρισμα 7.7 αρκει να δει ξω ο τι η επε κταση c(g) ει ναι πλη ρες γρα φημα Συμβολι ζουμε με d (V), v V(G), το βαθμο της v στο c(g) Έστω ο τι η επε κταση c(g) δεν ει ναι πλη ρες γρα φημα Έστω u, v δυ ο μη γειτονικε ς στο c(g) κορυφε ς τε τοιες ω στε: d (u) d (v) (1) και d (u) + d (v) με γιστο ως προς ο λα τα ζευ γη μη γειτονικω ν κορυφω ν του c(g) d (u) + d (v) < n (2) [Εξ ορισμου της επε κτασης c(g), κα θε ζευ γος μη γειτονικω ν κορυφω ν του c(g) ε χει α θροισμα βαθμω ν < n] (1), (2) d (u) < n (3) 2 Έστω S v το συ νολο των κορυφω ν του c(g) που δεν ει ναι γειτονικε ς με την v (στο c(g)) Το τε S(v) = n 1 d (v) (4) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 156 / 167

V (G) = V (c(g)) v N c(g) (v) {v} S v u N c(g) (u) {u} S u v S v = n 1 d (v) S u = n 1 d (u) Έστω S u το συ νολο κορυφω ν του c(g) που δεν ει ναι γειτονικε ς με την u (στο c(g)). Το τε S(u) = n 1 d (u) (5) Κα θε κορυφη του S v ε χει βαθμο d (u) [Εα ν υπη ρχε κορυφη w S v με d (w) > d (u) το τε, για το ζευ γος μη γειτονικω ν v, w θα ει χαμε: d (v) + d(w) > d (u) + d(w). άτοπο γιατι διαλε ξαμε τα u, v ε τσι ω στε το d (u) + d (v) να ει ναι το μεγαλυ τερο δυνατο ] Κα θε κορυφη του S u {u} ε χει βαθμο d (v) [ο μοια αιτιολο γηση με προηγου μενο ισχυρισμο ] Θε τουμε d (u) = m (6) Οι κορυφε ς του S v ε χουν βαθμο m Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 157 / 167

Πλη θος κορυφω ν του S v : (4): S v = n 1 d (v) (2): d (v) = n d (u) (6): d (u) = m S(v) > m 1 S(v) m S v < n 1 (n m) = n 1 n + m = m 1 Υπα ρχουν τουλα χιστον m κορυφε ς με βαθμο m (7) Οι κορυφε ς του S u {u} ε χουν βαθμο d (v) (2) < n d (v) (6) = n m Οι κορυφε ς του S u {u} ε χουν βαθμο < n m Πλη θος των κορυφω ν του S u {u}: S u {u} = 1 + S u (5) = 1 + n 1 d (u) (6) = n m Υπα ρχουν τουλα χιστον n m κορυφε ς με βαθμο < n m (8) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 158 / 167

{ Το G ει ναι παραγο μενο υπογρα φημα του c(g) === (7)(8) Στο G υπα ρχουν m κορυφε ς με βαθμο m Στο G υπα ρχουν n m κορυφε ς με βαθμο < n m } d m m και d n m < n m. άτοπο γιατι απο (3)(6) ε χουμε ο τι m < n 2 Άρα, το c(g) ει ναι πλη ρες γρα φημα Το G ει ναι Hamiltonian [απο το Πο ρισμα 7.7] Σημείωση: Η συνθη κη του Θεωρη ματος 7.8 δεν ει ναι αναγκαι α συνθη κη για Hamiltonian γραφη ματα. Ακολουθι α βαθμω ν: ( 2 2 3 3 4 ) d 1 = 2 1 d 2 = 2 2 d 5 2 = d 3 = 3 < 3 Το G ει ναι Hamiltonian Το G δεν ικανοποιει τη συνθη κη του Θεωρη ματος 7.8 Η επε κταση c(g) του G ει ναι πλη ρης (το K 5 )! d 5 1 = d 4 = 3 < 4 m = 1 m = 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 159 / 167

Έστω δυ ο ακολουθι ες n πραγματικω ν αριθμω ν P = (p 1,..., p n) και Q = (q 1,..., q n). Λε με ο τι η ακολουθι α Q καλύπτει (ή φράσει από πάνω) την ακολουθι α P αν ισχυ ει ο τι p i q i, 1 i n Έστω γραφη ματα G και H με αυ ξουσες ακολουθι ες βαθμω ν S G και S H αντι στοιχα. Λε με ο τι το γράφημα H καλύπτει βαθμιαία το G αν V(G) = V(H) και η ακολουθι α βαθμω ν S H καλυ πτει την ακολουθι α βαθμω ν S G Παρα δειγμα: G : H : S G : (1, 1, 2, 3, 3) S H = (3, 3, 3, 3, 4) Το H καλυ πτει βαθμιαι α το G Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 160 / 167

Το γρα φημα C m,n C m,n = K m ( K m + K n 2m ) 1 m < n 2 : Συ νδεση διακεκριμε νων γραφημα των + : Ένωση διακεκριμε νων γραφημα των Παρα δειγμα: n = 6 m = 1 η m = 2 m = 1 η m = 2 K 1 K 1 K 4 K 2 K 2 K 2 η K 2 K 2 K 2 Λήμμα 7.9: i. V(C m,n) = ( n ) n m ii. E(C m,n ) = 2 + m 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 161 / 167

Λήμμα 7.10: Το γρα φημα C m,n ει ναι μη-hamiltonian Απόδειξη : Έστω V 1 το συ νολο κορυφω ν του πλη ρους γραφη ματος K m το οποι ο συνδε εται με το ( K n + K n 2m ) C m,n V 1 = K m + K n 2m cc(c m,n V 1 ) = m + 1 > V 1 Το C m,n δεν πληρει την αναγκαι α συνθη κη του Θεωρη ματος 7.1 ω στε να ει ναι Hamiltonian Θεώρημα 7.11[Chvatal-1972]: Έστω απλο μη-hamiltonian γρα φημα G με V(G) = n 3. Το τε το G καλυ πτεται βαθμιαι α απο κα ποιο C m,n Απόδειξη : Έστω G ε να απλο, μη-hamiltonian γρα φημα και ε στω S G + (d 1,..., d n) η αυ ξουσα ακολουθι α βαθμω ν του. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 162 / 167

Θ. 7.8 G μη-hamiltonian == m < n 2 : d m m καιd n m < n m S G = (d 1,..., d m m,..., d n m < n m,..., d n) Η ακολουθι α S G καλυ πτεται βαθμιαι α απο την ακολουθι α S = (m,..., m, n m 1,..., n m 1, n 1,..., n 1) }{{}}{{}}{{} m ο ροι (n 2m) ο ροι m ο ροι Η ακολουθι α S ει ναι ακολουθι α βαθμω ν του C m,n C m,n : K m K n 2m βαθμός κορυφών: K m m m 1 +m +n 2m n 1 n 2m 1 +m n m 1 Σημείωση: Η κλα ση γραφημα των C m,n μπορει να θεωρηθει ως η κλα ση των μεγιστοτικω ν (ως προς τη βαθμιαι α κα λυψη) μη-hamiltonian γραφημα των, δηλαδη, των μη-hamiltonian γραφημα των τα οποι α δεν καλυ πτονται βαθμιαι α απο κα ποιο μη-hamiltonian γρα φημα. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 163 / 167

Θεώρημα 7.12[Ore-1961, Bondy-1972]: ( ) n 1 Έστω απλο γρα φημα G με V(G) = n 3 και E(G) > 2 + ( 1 ακμε ς. Το τε το G ει ναι ) n 1 Hamiltonian. Επιπλε ον, τα μο να μη-hamiltonian γραφη ματα με 2 + 1 ακμε ς ει ναι τα C 1,n και το C 2,5. Απόδειξη [με άτοπο]: Έστω G απλο, μη-hamiltonian γρα φημα με V(G) = n 3 Το G καλυ πτεται βαθμιαι α ( απο το C m,n [Θεω ρημα 7.11] Λ. 7.9 ) n m E(G) E(C m,n) = ( 2 + m 2 Λ. 7.13 ) n 1 = 2 + 1 1 ( (m 1)(2n 3m 4) 2 n 1) E(G) E(C m,n ) + 1 (1) ( 2 ) n 1 άτοπο γιατι E(G) > 2 + 1 το G ει ναι Hamiltonian Στην (1) η ισο τητα ισχυ ει ο ταν (m 1)(2n 3m 4) = 0 m = 1 η (n = 5 και m = 2) ( ) n 1 Τα μο να μη-hamiltonian γραφη ματα με 2 + 1 ακμε ς ει ναι τα C1,n, C 2,5 C 1,n : C 2,5 : K n 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 164 / 167

Λήμμα 7.13: ( n m 2 ) + m 2 = ( n 1 2 Απόδειξη : ) + 1 1 2 (m 1)(2n 3m 4) G 1 : G 2 : K m n n 2m K m n n 2m m m m ( n m) E(G 1 ) = + m 2 2 ( m 1) K m 1 E(G 2 ) = E(G 1 ) + 2 (1) (2) G 3 : K m n n 2m m K m 1 E(G 3 ) = E(G 2 ) + (n 2m)(m 1) (3) K ( n 1 n 1) m E(G 3 ) = + 1 + (m 1) (4) 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 165 / 167

( ) ( m 1 (3) ) m 1 (2) E(G 1 ) = E(G ( 2 ) = E(G 2 3 ) (n 2m)(m 1) 2 (4) ) n 1 (m 1)(m 2) = ( 2 + 1 + (m 1) (m 1)(n 2m) 2 ) n 1 (m 2) = ( 2 + 1 (m 1)( 1 + (n 2m) + ) 2 ) n 1 = 2 + 1 1 ( (m 1)( 2 + 2n 4m + m 2) 2 n 1) 1 E(G 1 ) = + 1 (m 1)(2n 3m 4) (5) ( 2 2 ) ( ) n m (1),(5) 2 + m 2 n 1 = 2 + 1 1 (m 1)(2n 3m 4) 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 166 / 167

Λήμμα 7.14: Το γρα φημα Petersen δεν ει ναι Hamiltonian Απόδειξη : v 1 v 2 e 2 w 2 w 1 e 1 w 4 e 3 w 3 e 4 Έστω ο τι υπα ρχει Hamiltonian κυ κλος v 5 w 5 e 5 Άρτιος αριθμο ς ακμω ν απο τις e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 πρε πει να χρησιμοποιηθει (διαφορετικα, ο κυ κλος ξεκινα απο το {v 1,..., v 5 } και τελειω νει στο {w 1,..., w 5 } v 3 v 4 Εα ν επιλεγου ν 2 ακμε ς, τα α κρα τους πρε πει να ει ναι γειτονικα στον εσωτερικο και τον εξωτερικο κυ κλο αδύνατο Εα ν επιλεγου ν 4 ακμε ς Έστω ο τι δεν επιλε γεται η e 1 Επιλε γεται η (v 1, v 2 ) και η (v 1, v 5 ) Δεν επιλε γεται η (v 2, v 3 ) και η (v 4, v 5 ) Επιλε γεται η (v 3, v 4 ) Επι σης επιλε γονται οι (w 1, w 3 ) και (w 1, w 4 ) (γιατι δεν επιλε χθηκε η e 1 ) Άρα, οι w 1, w 3, v 3, v 4, w 4 σχηματι ζουν κυ κλο που δεν καλυ πτει ο λες τις κορυφε ς άτοπο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 167 / 167