Εργασία ΦΥΕ - N Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Θεωρήστε ότι στα σηµεία υπάρχουν τέσσερα φορτία το καθένα Α Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Β Να βρεθεί η ένταση του ηλεκτρικού δίου που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Λύση: Α Η απόσταση του κάθε φορτίου από το τυχόν σηµείο του άξονα είναι d Άρα το ηλεκτρικό δυναµικό στο σηµείο είναι όπου d Β Το ηλεκτρικό δίο στο σηµείο είναι d / d Παρατήρηση : Το ίδιο αποτέλεσµα θα βρίσκαµε αν υπολογίζαµε το ηλεκτρικό δίο από τον νόµο του Coulomb Θα έπρε βεβαίως να λάβοµε υπόψη µας ότι µόνο η κατακόρυφη συνιστώσα του ηλεκτρικού δίου τού κάθε φορτίου συνεισφέρει διότι οι οριζόντιες ανά δυο αλληλοαναιρούνται Παρατήρηση : Για ρίπου >> ο παρονοµαστής του παραπάνω αποτελέσµατος γίνεται και το ηλεκτρικό δίο γίνεται δηλαδή τα τέσσερα φορτία φαίνονται από πολύ µακριά σαν ένα φορτίο στην αρχή των αξόνων Άσκηση : Θεωρήστε ότι ο άξονας x είναι φορτισµένος µε σταθερή γραµµική πυκνότητα φορτίου λ Χρησιµοποιώντας υποχρεωτικώς τον νόµο του Coulomb να βρείτε την ένταση του ηλεκτρικού δίου που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα
Λύση: Θεωρούµε αιροστό κοµµάτι του άξονα x µεταξύ των θέσεων x και x dx Το κοµµάτι αυτό φέρει φορτίο d λ dx και δηµιουργεί στο σηµείο του άξονα ηλεκτρικό δίο d d n d όπου d x είναι η απόσταση του σηµείου από το dx και n x x x x είναι το µοναδιαίο διάνυσµα από το dx στο Συνεπώς το συνολικό ηλεκτρικό δίο είναι x dx λ / d λ x Άσκηση : Θεωρήστε στο επίδο xy κυκλικό δακτύλιο φορτίου ακτίνας µε κέντρο την αρχή των αξόνων Α Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργεί ο δακτύλιος σε τυχόν σηµείο του άξονα Β Να βρεθεί το ηλεκτρικό δίο που δηµιουργεί ο δακτύλιος σε τυχόν σηµείο του άξονα Λύση: A Ειδή όλα τα σηµεία του δακτυλίου απέχουν απόσταση d από το σηµείο του άξονα το ηλεκτρικό δυναµικό στο σηµείο είναι d Β Το ηλεκτρικό δίο στο σηµείο είναι d d / Παρατήρηση : Το ίδιο αποτέλεσµα θα βρίσκαµε αν υπολογίζαµε το ηλεκτρικό δίο από τον νόµο του Coulomb Θα έπρε βεβαίως να λάβοµε υπόψη µας ότι µόνο η κατακόρυφη συνιστώσα του ηλεκτρικού δίου τού κάθε κοµµατιού του δακτυλίου συνεισφέρει διότι οι οριζόντιες ανά δυο αντι-διαµετρικές αλληλοαναιρούνται Παρατήρηση : Για ρίπου >> ο παρονοµαστής του παραπάνω αποτελέσµατος γίνεται και το ηλεκτρικό δίο γίνεται
δηλαδή ο δακτύλιος φαίνεται από πολύ µακριά σαν ένα σηµειακό φορτίο στην αρχή των αξόνων Άσκηση : Θεωρήστε µονωτικό πλαίσιο σχήµατος τετραγώνου στο επίδο xy µε τις κορυφές του στα σηµεία Και οι τέσσερις πλευρές φέρουν φορτίο η κάθε µια οµοιόµορφα κατανεµηµένο Α Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Υπόδειξη: Να βρεθεί πρώτα το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργεί ένα µονωτικό ευθύγραµµο σύρµα µήκους και φορτίου σε απόσταση D από το µέσον του Β Να βρεθεί η ένταση του ηλεκτρικού δίου που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Λύση: Σύµφωνα µε την υπόδειξη ας θεωρήσοµε ένα µονωτικό ευθύγραµµο σύρµα στον άξονα x που εκτείνεται από x µέχρι x Η γραµµική πυκνότητα φορτίου του σύρµατος είναι λ Θεωρούµε αιροστό κοµµάτι του άξονα x µεταξύ των θέσεων x και x dx όπου < x< Το κοµµάτι αυτό φέρει φορτίο d λ dx και δηµιουργεί σε τυχόν σηµείο D ενός άξονα που είναι κάθετος στο µέσο του σύρµατος ηλεκτρικό δυναµικό d x λdx D Συνεπώς το σύρµα δηµιουργεί συνολικό ηλεκτρικό δυναµικό d λ / / x dx D λ / x dx D λ ln D D Για το πρόβληµά µας τώρα όπου D πρέι να βάλοµε την απόσταση D και να πολλαπλασιάσοµε το αποτέλεσµα µε το Έτσι έχοµε
ln ln λ Β Λόγω της συµµετρίας του προβλήµατος το ζητούµενο ηλεκτρικό δίο θα έχει µόνο συνιστώσα Άρα d d d d λ λ λ λ όπου και λ Παρατήρηση : Το ίδιο αποτέλεσµα θα βρίσκαµε αν υπολογίζαµε το ηλεκτρικό δίο από τον νόµο του Coulomb αλλά θα δυσκολευόµασταν πολύ µε τις πράξεις Καλύτερα να παραγωγίζοµε πολύπλοκες εκφράσεις παρά να τις ολοκληρώνοµε! Θα έπρε βεβαίως να λάβοµε υπόψη µας ότι µόνο η κατακόρυφη συνιστώσα του ηλεκτρικού δίου τού κάθε φορτίου συνεισφέρει διότι οι οριζόντιες ανά δυο αλληλοαναιρούνται Παρατήρηση : Για >> δηλαδή αναπτύσσοντας κατά Tylo ως προς την µικρή και αδιάστατη παράµετρο / και κρατώντας τους χαµηλότερης τάξεως όρους το παραπάνω αποτέλεσµα γίνεται
δηλαδή το τετράγωνο µε φορτίο στην κάθε πλευρά φαίνεται από πολύ µακριά σαν ένα φορτίο στην αρχή των αξόνων Παρατήρηση : Κάνοντας το ανάπτυγµα Tylo και βρίσκοντας την ασυµπτωτική συµριφορά του ηλεκτρικού δίου που ριµένοµε δηλαδή το αποτέλεσµα της Παρατήρησης µας κάνει να αισθανόµαστε ότι το αποτέλεσµα του ερωτήµατος Β είναι σωστό Ελέγξτε αν το δικό σας αποτέλεσµα δίνει αυτό της Παρατήρησης Άσκηση 5: ίνεται µονωτικός σφαιρικός φλοιός µε εσωτερική ακτίνα εξωτερική και πυκνότητα φορτίου σε απόσταση από το κέντρο ίση µε ρ ρ όπου ρ είναι σταθερά Με άλλα λόγια η κατανοµή φορτίου είναι σφαιρικά συµµετρική Χάριν ευκολίας µπορείτε να πάρετε όπως και στα Κεφάλαια του βιβλίου σας ότι κ Το σωστό όµως είναι µέσα στο µονωτικό υλικό το ε να αντικαθίσταται µε ε κε βλ Κεφάλαιο του βιβλίου Α Αν το συνολικό φορτίο του σφαιρικού φλοιού είναι να προσδιοριστεί η σταθερά ρ Β Να βρεθεί η ένταση του ηλεκτρικού δίου που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο εσωτερικά του φλοιού στον φλοιό και έξω από αυτόν Ξεκινήστε από την ριοχή < Γ Χρησιµοποιώντας τη σχέση του βιβλίου σας να βρείτε το ηλεκτρικό δυναµικό στην τυχούσα θέση εσωτερικά του φλοιού στον φλοιό και έξω από αυτόν Ξεκινήστε από την ριοχή > Λύση: Α Ειδή µε τη δοθείσα πυκνότητα φορτίου πρέι να έχοµε ότι βρίσκοµε ότι ρ π d π d πρ ρ Συνεπώς π ρ Η σταθερά ρ έχει διαστάσεις πυκνότητας φορτίου όπως πρέι Β Για το ηλεκτρικό δίο διακρίνοµε τρεις ριπτώσεις: α < : Θεωρούµε οµόκεντρη σφαιρική επιφάνεια Guss µε ακτίνα < Λόγω σφαιρικής συµµετρίας η ένταση του ηλεκτρικού δίου στην επιφάνεια αυτή θα είναι αφενός ακτινική δηλαδή στην κατεύθυνση του ds και αφετέρου σταθερή κατά µέτρο Έτσι από τον νόµο του Guss έχοµε
ds ds ds π εσ ε Αλλά εσ για κάθε τιµή του Άρα η παραπάνω εξίσωση ισχύει µόνο για Συνεπώς β < : Θεωρούµε οµόκεντρη σφαιρική επιφάνεια Guss µε ακτίνα < Λόγω σφαιρικής συµµετρίας η ένταση του ηλεκτρικού δίου στην επιφάνεια αυτή θα είναι αφενός ακτινική δηλαδή στην κατεύθυνση του αφετέρου σταθερή κατά µέτρο Έτσι από τον νόµο του Guss έχοµε ds ds ds π εσ κε ds και Αλλά το εσωκλεισµένο φορτίο εσ είναι εσ ρ π d ρ π d πρ Συνεπώς εσ ή γ : Θεωρούµε οµόκεντρη σφαιρική επιφάνεια Guss µε ακτίνα Λόγω σφαιρικής συµµετρίας η ένταση του ηλεκτρικού δίου στην επιφάνεια αυτή θα είναι αφενός ακτινική και αφετέρου σταθερή κατά µέτρο Έτσι από τον νόµο του Guss έχοµε και εποµένως ds ds ds ε ε π εσ Γ Παραπάνω βρήκαµε ότι το ηλεκτρικό δίο δίνεται από τις σχέσεις: Για < : Για :
Για : Παρατηρήστε ότι οι δυο τελευταίες σχέσεις δίνουν την ίδια τιµή για την ένταση του ηλεκτρικού δίου στο Από τη σχέση του βιβλίου έχοµε ότι α : d d β : d d d Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις του για τις δυο ριοχές έχοµε Όλοι οι όροι έχουν διαστάσεις δυναµικού όπως πρέι γ < : d d d d Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις του για τις τρεις ριοχές έχοµε Άσκηση 6: ίνεται µεταλλικός σφαιρικός φλοιός εσωτερικής ακτίνας εξωτερικής και συνολικού φορτίου Εσωτερικά του φλοιού υπάρχει οµόκεντρη µονωτική σφαίρα ακτίνας < µε συνολικό φορτίο και οµοιόµορφη κατανοµή Χάριν ευκολίας µπορείτε να πάρετε όπως και στα Κεφάλαια του βιβλίου σας ότι κ
Το σωστό όµως είναι µέσα στο µονωτικό υλικό το ε να αντικαθίσταται µε ε κε βλ Κεφάλαιο του βιβλίου Α Να βρεθεί η ένταση του ηλεκτρικού δίου στην τυχούσα θέση Να διακρίνετε ριπτώσεις < < < B Χρησιµοποιώντας τη σχέση του βιβλίου σας να βρείτε το ηλεκτρικό δυναµικό στην τυχούσα θέση Να διακρίνετε ριπτώσεις < < < Ξεκινήστε από την ριοχή > Λύση: Α Η πυκνότητα φορτίου στη µονωτική σφαίρα είναι ρ π Θεωρούµε οµόκεντρες σφαιρικές επιφάνειες Guss για κάθε µια από τις ριοχές και έχοµε: Για το ρικλειόµενο φορτίο στην επιφάνεια Guss είναι όπου Συνεπώς ρ d π κε Για < < το ρικλειόµενο φορτίο στην επιφάνεια Guss είναι Συνεπώς Για διότι βρισκόµαστε στο εσωτερικό αγωγού Αυτό σηµαίνει ότι το ρικλειόµενο φορτίο είναι επίσης µηδέν Ειδή όµως η σφαίρα έχει φορτίο στην εσωτερική επιφάνεια του φλοιού πρέι να υπάρχει φορτίο Για < το ρικλειόµενο φορτίο στην επιφάνεια Guss είναι Συνεπώς Ειδή ο φλοιός έχει καθαρό φορτίο και στην εσωτερική επιφάνειά του υπάρχει φορτίο στην εξωτερική επιφάνειά του πρέι να υπάρχει φορτίο Γ Για <
d d Για η σχέση αυτή δίνει Για d d d Ο δεύτερος όρος είναι ίσος µε µηδέν διότι το ηλεκτρικό δίο είναι µηδέν συνεπώς σταθερό Για < < d d d d Ο πρώτος όρος δίνει ο δεύτερος δίνει µηδέν και ο τρίτος δίνει Συνεπώς Για d d d d d Ο πρώτος όρος δίνει ο δεύτερος δίνει µηδέν ο τρίτος δίνει και ο τέταρτος δίνει Συνεπώς
Άσκηση 7: Στην άσκηση 6 Α Να βρεθεί η ενέργεια που είναι αποθηκευµένη στη µονωτική σφαίρα Β Να βρεθεί η ενέργεια που είναι αποθηκευµένη στον χώρο έξω από τον σφαιρικό φλοιό Λύση: A Στην άσκηση 6 είδαµε ότι το ηλεκτρικό δίο στο εσωτερικό της σφαίρας είναι Άρα η πυκνότητα ενέργειας σε τυχόν σηµείο < είναι σύµφωνα µε τη σχέση u κε και η αποθηκευµένη ενέργεια στον σφαιρικό φλοιό µε ακτίνες και d είναι du u π d Άρα η ολική αποθηκευµένη ενέργεια στο εσωτερικό της σφαίρας είναι U du u π d Β Στην άσκηση 6 είδαµε ότι το ηλεκτρικό δίο έξω από τον σφαιρικό φλοιό είναι Άρα η πυκνότητα ενέργειας σε τυχόν σηµείο > είναι σύµφωνα µε τη σχέση u ε και η αποθηκευµένη ενέργεια στον σφαιρικό φλοιό µε ακτίνες και d είναι du u π d Άρα η ολική αποθηκευµένη ενέργεια έξω από τον σφαιρικό φλοιό είναι U du u π d Άσκηση : Θεωρήστε N πυκνωτές µε χωρητικότητες C C CN συνδεµένους σε σειρά είξτε ότι η χωρητικότητα C του ισοδύναµου πυκνωτή είναι µικρότερη από κάθε µια από τις N χωρητικότητες
Λύση: Αρκεί να δείξοµε ότι η C είναι µικρότερη και από την µικρότερη χωρητικότητα Έστω C η µικρότερη από όλες τις χωρητικότητες Για χωρητικότητες συνδεµένες σε σειρά έχοµε ότι Συνεπώς N C C j C j C C < AC A C C C AC µε A > Άσκηση 9: Θεωρήστε ότι το επίδο xy φέρει επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ Επίσης θεωρήστε ότι η ευθεία d φέρει γραµµική πυκνότητα φορτίου λ Να βρεθεί η δύναµη που ασκεί το επίδο xy σε µήκος l της ευθείας Λύση: Το ηλεκτρικό δίο που δηµιουργεί το επίδο xy σε τυχόν σηµείο της ευθείας είναι εξίσωση 5 του βιβλίου για d > σ ε Συνεπώς η δύναµη που ασκείται στην ευθεία είναι F σλl λl ε Άσκηση : Θεωρήστε λεπτό ευθύγραµµο µεταλλικό σύρµα ειδικής αντίστασης ρ που εκτείνεται από x µέχρι x l Η διατοµή του σύρµατος είναι κυκλική αλλά η ακτίνα του κύκλου µεταβάλλεται µε το µήκος ως εξής: x x / l όπου είναι σταθερά Να βρεθεί η αντίσταση του σύρµατος Λύση: Θεωρούµε µια φέτα του σύρµατος µεταξύ x και αντίσταση της φέτας είναι x dx όπου < x< l Η dx dx d ρ ρ π x π x / l Συνεπώς η αντίσταση του σύρµατος είναι l ρ dx ρl d π l π x /