ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) Καστοριά, Νοέμβριος 14 III. Χρήσιμες έννοιες 1. Τυπολόγιο. Πίεση 3. Χρήσιμοι ορισμοί 4. Στοιχεία στατιστικής I. Εισαγωγή στη Θερμοδυναμική 1. Σύστημα - περιβάλλον. Θερμοδυναμικό σύστημα 3. Θερμότητα 4. Θερμοκρασία (μονάδες μέτρησης) 5. Θερμική ισορροπία 6.(Αέριο) θερμοδυναμικό σύστημα. 7. Καταστατικές μεταβλητές Καταστατική εξίσωση 8. Θερμοδυναμική ισορροπία 3 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 1
Σύστημα & περιβάλλον Σύστημα: Μέρος της ύλης που το απομονώνουμε για να το μελετήσουμε. Περιβάλλον: Ό,τι περιβάλλει το σύστημα και επηρεάζει τη συμπεριφορά του. Περιβάλλον Σύστημα Διαχωριστική επιφάνεια 4 Είδη συστημάτων Κλειστό: αυτό που δεν ανταλλάσσει ύλη με το περιβάλλον. Απομονωμένο: Αυτό που δεν αλληλεπιδρά με το περιβάλλον. 5 Θερμοδυναμικό Σύστημα Θερμοδυναμικό Σύστημα: Οι μεταβολές του συνδέονται με τη θερμότητα. Σύστημα Διαχωριστική επιφάνεια Περιβάλλον 6 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc)
Θερμότητα Θερμότητα: τρόπος μεταφοράς ενέργειας λόγω διαφοράς θερμοκρασίας. Μονάδες: Joule (J) ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν είναι μορφή ενέργειας. Είναι λάθος να λέμε πως ένα σύστημα (ή ένα σώμα) περιέχει θερμότητα. 7 Θερμοκρασία Η έννοια της θερμοκρασίας χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε ποσοτικά (αντικειμενικά) το πόσο θερμό ή ψυχρό είναι ένα σώμα. Είναι λοιπόν η θερμοκρασία το μέτρο μιας φυσικής ιδιότητας της ύλης που μας επιτρέπει, όπως και τα μέτρα άλλων μεγεθών, να περιγράφουμε ποσοτικά τη φυσική κατάσταση των σωμάτων. 8 Θερμοκρασία Το αίτιο της μεταβολής της θερμοκρασίας ενός σώματος είναι η παροχή στο ή η απαγωγή από το σώμα ενέργειας, μέσα από το μηχανισμό διακίνησης ενέργειας που λέγεται θερμότητα. 9 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 3
Θερμότητα Όταν σ ένα σύστημα προστεθεί ενέργεια με μορφή θερμότητας, αυτή αποθηκεύεται με μορφή κινητικής και δυναμικής ενέργειας των δομικών λίθων του συστήματος. 10 Θερμική ισορροπία Απαραίτητη προϋπόθεση για να υπάρξει ανταλλαγή ενέργειας με τη μορφή θερμότητας είναι η διαφορά θερμοκρασίας. Όταν δεν υπάρχει τέτοια (καθαρή) ανταλλαγή, λέμε ότι αυτά βρίσκονται σε κατάσταση θερμικής ισορροπίας ή ότι έχουν την ίδια θερμοκρασία. Η έννοια της θερμικής ισορροπίας είναι στατιστική έννοια: καθένα μόριο μπορεί να ανταλλάσει ενέργεια, αλλά κατά μέσο όρο όση ενέργεια ανταλλάσσεται προς τη μία κατεύθυνση, η ίδια πάει και προς την άλλη. 11 Ροή θερμότητας Η θερμότητα (λέμε ότι) ρέει από υψηλότερη θερμοκρασία προς χαμηλότερη. Αυτό σημαίνει πως η ενέργεια, υπό μορφή θερμότητας, μεταβιβάζεται από τα θερμότερα προς τα ψυχρότερα σώματα. Θερμό σώμα Ψυχρό σώμα Φορά ροής θερμότητας 1 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 4
Μονάδες θερμοκρασίας Για τη μέτρηση της θερμοκρασίας χρησιμοποιούμε δυο μονάδες: Βαθμοί Celsius: C Kelvin: K Παρατηρήσεις 1. Η μονάδα μέτρησης στο SI είναι ο K.. Σε μερικές χώρες χρησιμοποιείται και η μονάδα Fahrenheit: F 13 Μονάδες θερμοκρασίας Celsius Kelvin Fahrenheit 100 C 373,15 K 1 F Σημείο βρασμού του νερού 0 C 73,15 K 3 F Σημείο πήξης του νερού 14 73,15 C 0 K -459,67 F K C73,15 9 F C3 K C73 5 Απόλυτο μηδέν Απόλυτη θερμοκρασία Όταν τη θερμοκρασία τη μετράμε σε Kelvin ονομάζεται απόλυτη θερμοκρασία. Η χαμηλότερη θερμοκρασία που μπορούμε να έχουμε στο σύμπαν είναι: 0 K ή -73,15 C. Η θερμοκρασία αυτή ονομάζεται απόλυτο μηδέν. 15 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 5
Μερικές θερμοκρασίες K C F Απόλυτο μηδέν 0-73,15-459,67 Διαγαλαξιακός χώρος 3 70 454 Βρασμός του He 4, 69 45 Πήξη του CO (ξηρός πάγος) 195 78 108 Ανθρώπινο σώμα 310 37 98,6 Τήξη χρυσού 1.337 1.064 1.947 Κέντρο της γης 16.000 15.700 8.300 Κέντρο ήλιου 10 7 10 7 10 7 Εσωτερικό αστέρα νετρονίων 10 9 10 9 10 9 16 Αέριο Θερμοδυναμικό Σύστημα Ένα αέριο θερμοδυναμικό σύστημα αποτελείται από ένα ή περισσότερα αέρια που περικλείονται σ ένα δοχείο το οποίο βρίσκεται σε επαφή με το περιβάλλον. 17 Αέριο Θερμοδυναμικό Σύστημα Η συμπεριφορά ενός αέριου θερμοδυναμικού συστήματος περιγράφεται από τέσσερις μεταβλητές: 1. Πίεση (). Θερμοκρασία () 3. Όγκος () 4. Μάζα (m) Πυκνότητα (ρ ή d) = m/ 18 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 6
Καταστατικά μεγέθη Τα 4 αυτά μεγέθη (,,, m), επειδή καθορίζουν πλήρως την κατάσταση του αερίου ονομάζονται καταστατικά μεγέθη ή καταστατικές μεταβλητές. Οι καταστατικές μεταβλητές εξαρτώνται μόνο από την κατάσταση και όχι από τον τρόπο (δρόμο) με τον οποίο το σύστημα βρέθηκε σ αυτήν. 19 Θερμοδυναμική ισορροπία Ένα αέριο θερμοδυναμικό σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας όταν η πίεση, η θερμοκρασία και η πυκνότητα (ρ = m/) έχουν την ίδια τιμή σε όλο τον όγκο (χώρο) του συστήματος. 0 Τυπολόγιο 1 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 7
Πίεση Σε επιφάνεια (εμβαδού)s ασκείται η δύναμη Η πίεση ορίζεται ως: F S F S F F F Μονάδες: 1 Pa (=1 N/m ) 1 atm = 760 mmhg = 101.35 Pa 100.000 Pa = 10 5 Pa = 1 bar Η μονάδα πίεσης 1 mmhg he millimeter of mercury (symbol: mmhg) is defined as the ressure exerted at the base of a column of fluid exactly 1 mm high, when the density of the fluid is exactly 13.5951 g/cm 3, at a lace where the acceleration of gravity is exactly 9.80665 m/s. here are several things to notice about this definition: 1. fluid density of 13.3951 g/cm was chosen for this definition because this is the aroximate density of mercury at 0 C. he definition, therefore, assumes a articular value for the density of mercury. his assumtion limits the recision of any ressure measurement (in mmhg) to six significant digits.. he definition assumes a articular value for the acceleration of gravity: the standard acceleration g n = 9.80665 m/sec. In ractice, of course, measurements are made using local values. 3. hese assumtions limit both the validity and the recision of the mmhg as a unit of ressure. No metrology laboratory measures or calibrates ressure directly in these terms. It would be extremely difficult to find a fluid with exactly this density, and a lace where g was exactly 9.80665 m/s. 3 Ατμοσφαιρική πίεση tmosheric ressure is the ressure at any oint in the Earth's atmoshere. In most circumstances atmosheric ressure is closely aroximated by the hydrostatic ressure caused by the weight of air above the measurement oint. Low ressure areas have less atmosheric mass above their location, whereas high ressure areas have more atmosheric mass above their location. Similarly, as elevation increases there is less overlying atmosheric mass, so that ressure decreases with increasing elevation. column of air 1 square inch in cross section, measured from sea level to the to of the atmoshere, would weigh aroximately 14.7 lbf. 1 m² (11 sq ft) column of air would weigh about 100 kilonewtons (equivalent to a mass of 10. tonnes at the surface). Κλάσμα της 1 atm Μέσο ύψος (m) 1 = 760 mmhg 0 1/ 5.486 1/3 8.376 1/10 16.13 1/100 30.901 1/1.000 48.467 1/10.000 69.464 1/100.000 96.8 4 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 8
Χρήσιμοι ορισμοί Σταθερά vogadro N = 6,03 10 3 mol -1. = 60.300.000.000.000.000.000.000 mol -1. 1 mol ποσότητα ουσίας η οποία περιέχει ακριβώς Ν Α (= 6,03 10 3 mol -1 ) μόρια ή άτομα. Μοριακό Βάρος (ΜΒ) η μάζα (σε gr) ενός mol. 5 Χρήσιμοι ορισμοί Γραμμομοριακή μάζα (Μ) η μάζα ενός mol μιας ουσίας. Μ = (ΜΒ) 10 3 kg/mol = (ΜΒ) gr/mol. Κανονικές συνθήκες (ΚΣ st) Πίεση: = 1 atm Θερμοκρασία: θ = 0 C ή = 73 K. 6 Γραμμομοριακός όγκος ( mol ) ο όγκος που καταλαμβάνει 1 mol ενός αερίου σε ΚΣ. Είναι mol =,4 L. Χρήσιμες σταθερές Σταθερά Boltzmann k = 1,38066 10-3 J/K Σταθερά vogadro N = 6.0045 10-3 mol -1 R k N (Παγκόσμια) σταθερά των ιδανικών αερίων R = 8,314 JK -1 mol -1 = = 0,08 L atm mol -1 K -1. 7 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 9
Συντελεστές μετατροπής Ενέργεια 1 erg = 10-7 J, 1 cal = 4,1868 J Πίεση 1 atm = 76 cm Hg = 760 mmhg = 10135 Pa ( 10 5 Pa) = 1 bar Όγκος 1 m 3 = 10 3 L = 10 6 cm 3 = 10 6 ml Ταχύτητα 1 m/s = 3,6 km/h = 100 cm/sec 8 Βασικές σχέσεις Αν m η μάζα από n mol μιας ουσίας που αποτελείται από Ν μόρια, με γραμμομοριακή μάζα M, τότε: n N N m M 9 II. Κινητική θεωρία των αερίων 1. Θερμική κίνηση. Στατιστική Φυσική 3. Κινητική θεωρία των αερίων 4. Οι καταστάσεις της ύλης 5. Το μοντέλο του ιδανικού αερίου 6. Πραγματικά αέρια 30 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 10
Μια παγκόσμια αλήθεια Σε κάθε σώμα στη φύση, και κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες, τα στοιχειώδη μέρη που το αποτελούν κινούνται: Τα μόρια κάθε τμήματος της ύλης κινούνται Τα άτομα αυτών των μορίων κινούνται Τα ηλεκτρόνια των ατόμων κινούνται 31 Μια παγκόσμια αλήθεια 3 Θερμική κίνηση Η χαρακτηριστική ιδιότητα της κίνησης που συζητάμε είναι ότι γίνεται με τυχαίο τρόπο. Αυτή τη τυχαία και άτακτη κίνηση των μορίων της ύλης θα την ονομάζουμε θερμική κίνηση. 33 nimation Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 11
Ισοκατανομή της ενέργειας 34 Παράδειγμα τυχαίας κίνησης D 3D 35 Στατιστική Φυσική Η στατιστική φυσική μελετάει τις φυσικές ιδιότητες συστημάτων που αποτελούνται από πολύ μεγάλο αριθμό ατόμων ή μορίων (10 3!). 10 3 =100.000.000.000.000.000.000.000!!! Ακόμη κι αν είναι γνωστός ο νόμος αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων, ο αριθμός τους δεν επιτρέπει την αντιμετώπιση ενός τέτοιου συστήματος όπως θα αντιμετωπίζαμε ένα απλό σύστημα 36 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 1
Στατιστική Φυσική Οι νόμοι των μακροσκοπικών σωμάτων δεν κάνουν πλήρη μικροσκοπική περιγραφή ενός συστήματος (δηλ δεν δίνουν τη θέση κάθε μορίου ενός αερίου σε κάθε χρονική στιγμή). Παρέχουν ορισμένα μετρήσιμα μακροσκοπικά μεγέθη, όπως η πίεση, η θερμοκρασία, κλπ, που αποτελούν μέσους όρους μικροσκοπικών ιδιοτήτων. 37 Στατιστική Φυσική Οι μακροσκοπικοί νόμοι είναι λοιπόν στατιστικής φύσης. Λόγω του τεράστιου αριθμού σωματιδίων οι διακυμάνσεις είναι εξαιρετικά μικρές. Έτσι οι στατιστικοί νόμοι οδηγούν σε αποτελέσματα απόλυτης βεβαιότητας! 38 Κινητική θεωρία των αερίων Το αποτέλεσμα της εφαρμογής της στατιστικής μηχανικής στα αέρια αποτελεί το αντικείμενο της κινητικής θεωρίας των αερίων. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιεί η κινητική θεωρία είναι οι γενικές μέθοδοι της στατιστικής φυσικής που συνδυάζει τους νόμους της κλασικής μηχανικής με τους νόμους της θεωρίας των πιθανοτήτων. 39 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 13
Οι (3+1) καταστάσεις της ύλης εκατομμύρια Κ 40 δεκάδες χιλιάδες Κ χιλιάδες Κ εκατοντάδες Κ Πλήρως ιον(τ)ισμένο πλάσμα: Τα άτομα είναι έντονα ιον(τ)ισμένο Κατάσταση πλάσματος: Ελεύθερα ηλεκτρόνια κινούνται ανάμεσα σε θετικά φορτισμένα ιόντα. Τα μόρια διαχωρίζονται στα άτομα που τα απαρτίζουν Στερεή κατάσταση: Τα άτομα ή τα μόρια κρατούνται στη θέση τους Υγρή κατάσταση: Τα άτομα ή τα μόρια παραμένουν μαζί αλλά κινούνται πιο ελεύθερα Αέρια κατάσταση: Τα άτομα ή τα μόρια κινούνται χωρίς σχεδόν κανένα περιορισμό Το ιδανικό αέριο ορισμός #1 Από μακροσκοπικής άποψης το ιδανικό αέριο είναι αυτό που υπακούει στην (καταστατική) εξίσωση nr : πίεση, : όγκος, R: σταθερά, n: αριθμός mol (μάζα), : (απόλυτη) θερμοκρασία. 41 Το ιδανικό αέριο Λόγω της καταστατικής εξίσωσης, η κατάσταση μιας συγκεκριμένης ποσότητας ιδανικού αερίου είναι πλήρως καθορισμένη όταν είναι γνωστά δύο από τα τρία μεγέθη (,, ). πχ nr, : nr 4 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 14
Το ιδανικό αέριο ορισμός # Μικροσκοπικά, οι παραδοχές της κινητικής θεωρίας για το μοντέλο του ιδανικού αερίου είναι: 1. Το πλήθος των μορίων είναι πολύ μεγάλο.. Τα μόρια του είναι σφαιρικές σημειακές μάζες χωρίς εσωτερική δομή. 3. Κατά την κίνηση και κατά την κρούση των μορίων ισχύουν οι νόμοι της κλασικής μηχανικής. 4. Όλες οι κρούσεις μεταξύ των μορίων αλλά και αυτές μεταξύ των μορίων και των τοιχωμάτων του δοχείου θεωρούνται απολύτως ελαστικές. 5. Η διάρκεια κάθε κρούσης είναι αμελητέα. 43 Το ιδανικό αέριο ορισμός # Μικροσκοπικά, οι παραδοχές της κινητικής θεωρίας για το μοντέλο του ιδανικού αερίου είναι: 6. Δυνάμεις στα μόρια ασκούνται μόνο στη διάρκεια των κρούσεων. Άρα, μεταξύ των κρούσεων η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή. 7. Τα μόρια του αερίου βρίσκονται σε διαρκή κίνηση και όλες οι κατευθύνσεις είναι ισοπίθανες. 8. Ο όγκος κάθε μορίου χωριστά είναι αμελητέος σε σχέση με τον όγκο που καταλαμβάνει το αέριο. 9. Η κινητική ενέργεια κατανέμεται το ίδιο σε όλες τις δυνατές κινήσεις (βαθμούς ελευθερίας) του μορίου. 44 Πραγματικά αέρια Ένα πραγματικό αέριο αποτελείται από μόρια που: Έχουν εσωτερική δομή Δεν είναι σφαιρικά Καταλαμβάνουν όγκο Αλληλεπιδρούν μεταξύ τους 45 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 15
Πραγματικά αέρια Ένα πραγματικό αέριο συμπεριφέρεται ιδανικά όταν βρίσκεται μακριά από τις συνθήκες υγροποίησής του, δλδ βρίσκεται σε : Χαμηλή πίεση Μικρή πυκνότητα Σχετικά υψηλή θερμοκρασία 46 Πραγματικά αέρια Ο J. an der Waals πρότεινε τον 19 ο αιώνα μια καταστατική εξίσωση για τα πραγματικά αέρια: na nbnr a, b : χαρακτηριστικές σταθερές του κάθε αερίου n a/ : ενδοπίεση λόγω αλληλεπίδρασης των μορίων. nb : σύνογκος λόγω του όγκου των μορίων. 47 III. Μεταβολές & νόμοι των αερίων 1. Διάγραμμα (, ). Αντιστρεπτές μεταβολές 3. Μη αντιστρεπτές μεταβολές 4. Νόμοι των αερίων( Boyle, Gay Lussac, Charles) 5. Η καταστατική εξίσωση του ιδανικού αερίου 48 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 16
Διάγραμμα ( / ) Ένα σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση (θερμοδυναμικής) ισορροπίας όταν οι μεταβλητές που το περιγράφουν έχουν την ίδια τιμή σε όλη την έκταση του συστήματος και δεν αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου. Μια κατάσταση ισορροπίας παριστάνεται σ ένα διάγραμμα (ή ή ) από ένα σημείο. (,, ) 49 Αντιστρεπτές μεταβολές Μια μεταβολή λέγεται αντιστρεπτή αν ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία το σύστημα επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση και δεν υπάρχει καμιά αλλαγή στο σύστημα και στο περιβάλλον. μπορούμε να προσεγγίσουμε μια αντιστρεπτή μεταβολή όταν: 1. Πραγματοποιείται πάρα πολύ αργά ώστε κάθε ενδιάμεση κατάσταση, να είναι κατάσταση ισορροπίας, και. Δεν έχουμε απώλεια ενέργειας υπό μορφή τριβών, υστερήσεων, κλπ. 50 Αντιστρεπτές μεταβολές Σ ένα διάγραμμα μια αντιστρεπτή μεταβολή παριστάνεται από μια συνεχή γραμμή όπως η μεταβολή ΑΒ δίπλα. Β 51 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 17
Μη αντιστρεπτές μεταβολές Αν υπάρχουν απώλειες ενέργειας και οι ενδιάμεσες καταστάσεις δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας, η μεταβολή ονομάζεται μη αντιστρεπτή. Β Στο διάγραμμα σημειώνεται μόνο η αρχική και τελική κατάσταση. 5 Μη αντιστρεπτές μεταβολές Όλες οι μεταβολές στη φύση είναι μη αντιστρεπτές. 53 54 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 18
Νόμος Boyle (ισόθερμη μετ.) 55 Μια μεταβολή (συγκεκριμένης ποσότητας) ενός αερίου, κατά την οποία η θερμοκρασία του P P 1 αερίου παραμένει σταθερή, 1 ονομάζεται ισόθερμη μεταβολή. Νόμος Boyle: Η πίεση ορισμένης ποσότητας 1 αερίου σε σταθερή θερμοκρασία, είναι αντιστρόφως ανάλογη του όγκου του. Νόμος Boyle (ισόθερμη μετ.) B Β 1, B 56 Νόμος Boyle (ισόθερμη μετ.) ΑΒ: ισόθερμη εκτόνωση ΒΑ: ισόθερμη συμπίεση B Β B 1, 57 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 19
Νόμος Boyle (ισόθερμη μετ.) Η σχέση μπορεί να γραφεί και με τη μορφή 1 1 Όπου (1) και () δυο τυχαίες καταστάσεις πάνω στην ισόθερμη Η σταθερά στο νόμο του Boyle εξαρτάται από τη μάζα και από τη θερμοκρασία (στην οποία γίνεται η μεταβολή) του αερίου. 58 Νόμος Boyle (ισόθερμη μετ.) Η σταθερά στο νόμο του Boyle εξαρτάται από τη μάζα και από τη θερμοκρασία (στην οποία γίνεται η μεταβολή) του αερίου. μάζα: σταθερή θερμοκρασία: σταθερή Τ > Τ 1 n > n 1 Τ 1 n 1 59 Νόμος Boyle (ισόθερμη μετ.) Για την ισόθερμη μεταβολή που φαίνεται στο διάγραμμα, συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. σημείο i i i i 1 4 1 1 Β 8 B 4 Οι μονάδες είναι στο SI 60 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 0
Νόμος Boyle (ισόθερμη μετ.) Να γίνει γραφική παράσταση του νόμου του Boyle (της ισόθερμης μεταβολής) σε άξονες.? B Β B Τ 61 Νόμος Boyle (ισόθερμη μετ.) Η θερμοκρασία παραμένει σταθερή. Άρα η καμπύλη θα είναι κάθετη στον άξονα των θερμοκρασιών B Β B Τ 6 Νόμος Boyle (ισόθερμη μετ.) Από το διάγραμμα, παρατηρούμε πως πηγαίνοντας από την κατάσταση Α στην κατάσταση Β η πίεση μειώνεται B Β Β B B Τ Α =Τ Β Τ 63 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 1
Νόμος Boyle (ισόθερμη μετ.) Άσκηση: Να γίνει γραφική παράσταση του νόμου του Boyle (της ισόθερμης μεταβολής) σε άξονες.? B Β B Τ 64 Πίεση αερίου σε δοχείο με έμβολο Οι δυνάμεις που δέχεται το έμβολο είναι: Η F έ Η F ί Το βάρος του w mg F ί w F έ Θεωρούμε ότι το έμβολο δεν παρουσιάζει τριβές με τα τοιχώματα του δοχείου. 65 Πίεση αερίου σε δοχείο με έμβολο F ί w F έ Το έμβολο ισορροπεί, άρα: F 0 w F F 0 έ ί wf F 0 έ ί 66 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc)
Πίεση αερίου σε δοχείο με έμβολο 67 F ί w F έ Όπου S είναι το εμβαδό του εμβόλου. Από τον ορισμό της πίεσης F S Έχουμε: w F F 0 έ ί w F F έ ί 0 S S S w atm S Νόμος Gay-Lussac (ισοβαρής μετ.) Μια μεταβολή (συγκεκριμένης ποσότητας) ενός αερίου, κατά την οποία η πίεση του αερίου παραμένει σταθερή, ονομάζεται ισοβαρής μεταβολή. Νόμος Gay-Lussac: Ο όγκος ορισμένης ποσότητας αερίου υπό σταθερή πίεση, είναι ανάλογος της θερμοκρασίας του. 68 Νόμος Gay-Lussac (ισοβαρής μετ.) B B: ισοβαρής εκτόνωση (θέρμανση) ΒΑ: ισοβαρής συμπίεση (ψύξη) 69 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 3
Νόμος Gay-Lussac (ισοβαρής μετ.) Να γίνει γραφική παράσταση του νόμου του Gay - Lussac (της ισοβαρούς μεταβολής) σε άξονες. B? 70 Νόμος Gay-Lussac (ισοβαρής μετ.) Τ Α Τ Β B B: ισοβαρής εκτόνωση (θέρμανση) ΒΑ: ισοβαρής συμπίεση (ψύξη) Α Α B 71 Νόμος Gay-Lussac (ισοβαρής μετ.) Η σχέση μπορεί να γραφεί και ως 1 1 Α Τ Α Α Τ Β B B Όπου (1) και () δυο τυχαίες καταστάσεις πάνω στην ισοβαρή. Η σταθερά στο νόμο του Gay Lussac εξαρτάται από τη μάζα και από τη πίεση (στην οποία γίνεται η μεταβολή) του αερίου. B 7 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 4
Νόμος Gay-Lussac (ισοβαρής μετ.) Η σταθερά στο νόμο του Gay Lussac εξαρτάται από τη μάζα και από τη πίεση (στην οποία γίνεται η μεταβολή) του αερίου. μάζα: σταθερή πίεση: σταθερή 1 n > n 1 > 1 n 1 73 Νόμος Gay-Lussac (ισοβαρής μετ.) Άσκηση: Να γίνει γραφική παράσταση του νόμου του Gay - Lussac (της ισοβαρούς μεταβολής) σε άξονες. B? 74 Νόμος Charles (ισόχωρη μετ.) Μια μεταβολή (συγκεκριμένης ποσότητας) ενός αερίου, κατά την οποία ο όγκος του αερίου παραμένει σταθερός, ονομάζεται ισόχωρη μεταβολή. Νόμος Charles: Η πίεση ορισμένης ποσότητας αερίου υπό σταθερό όγκο, είναι ανάλογη της (απόλυτης) θερμοκρασίας του. 75 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 5
Νόμος Charles (ισόχωρη μετ.) B B: ισόχωρη θέρμανση ΒΑ: ισόχωρη ψύξη 76 Νόμος Charles (ισόχωρη μετ.) Να γίνει γραφική παράσταση του νόμου του Charles (της ισόχωρης μεταβολής) σε άξονες. B? 77 Νόμος Charles (ισόχωρη μετ.) B: ισόχωρη θέρμανση ΒΑ: ισόχωρη ψύξη Τ Α Τ Β B B Α 78 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 6
Νόμος Charles (ισόχωρη μετ.) 79 Η σχέση 1 μπορεί να γραφεί και ως 1 Όπου (1) και () δυο τυχαίες καταστάσεις πάνω στην ισόχωρη. Η σταθερά στο νόμο του Charles εξαρτάται από τη μάζα και από τον όγκο (στον οποία γίνεται η μεταβολή) του αερίου. B Τ Α Τ Β B Α B Νόμος Charles (ισόχωρη μετ.) Η σταθερά στο νόμο του Charles εξαρτάται από τη μάζα και από τον όγκο (στον οποία γίνεται η μεταβολή) του αερίου. μάζα: σταθερή όγκος: σταθερός 1 n > n 1 > 1 n 1 80 Νόμος Charles (ισόχωρη μετ.) Άσκηση: Να γίνει γραφική παράσταση του νόμου του Charles (της ισόχωρης μεταβολής) σε άξονες. B? 81 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 7
Το ιδανικό αέριο Από μακροσκοπικής άποψης το ιδανικό αέριο είναι αυτό που υπακούει στην (καταστατική) εξίσωση nr : πίεση, : όγκος, R: σταθερά, n: αριθμός mol (μάζα), : (απόλυτη) θερμοκρασία. 8 Πραγματικά αέρια Θυμάστε πότε ένα πραγματικό αέριο συμπεριφέρεται (περίπου) ως ιδανικό? 83 Πραγματικά αέρια Ένα πραγματικό αέριο συμπεριφέρεται ιδανικά όταν βρίσκεται μακριά από τις συνθήκες υγροποίησής του: Χαμηλή πίεση Μικρή πυκνότητα Σχετικά υψηλή θερμοκρασία Στη συνέχεια ΟΛΑ τα αέρια θα τα θεωρούμε ιδανικά. 84 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 8
Σταθερά ιδανικού αερίου Η σταθερά R στην καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων έχει την τιμή: R = 8,314 JK -1 mol -1 = = 0,08 L atm mol -1 K -1. nr 85 Η καταστατική εξίσωση του ΙΑ nr m M R 1 m M R R M n = αριθμός mol m = μάζα αερίου Μ = γραμμομοριακή μάζα ρ = πυκνότητα m n M m 86 Παράδειγμα 1 1 / σελ 1 Στην αρχή ενός ταξιδιού η θερμοκρασία των ελαστικών ενός αυτοκινήτου είναι 7 C. Κατά τη διάρκεια του ταξιδιού τα ελαστικά θερμαίνονται στους 7 C. Αν στην αρχή του ταξιδιού ο αέρας στο εσωτερικό των ελαστικών βρισκόταν σε πίεση 3 atm, πόση θα έχει γίνει η πίεση στο τέλος του ταξιδιού; Υποθέτουμε ότι ο όγκος των ελαστικών παραμένει αμετάβλητος. 87 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 9
Παράδειγμα 1 1 / σελ 1 1 = 3 atm 1 = 7 C = 80 K = 7 C = 300 K = σταθ. K C73,15 =? K C73 88 Παράδειγμα 1 1 / σελ 1 1 = 3 atm 1 = 7 C = 80 K = 7 C = 300 K = σταθ. Αφού υποθέτουμε ότι ο όγκος παραμένει σταθερός, μπορούμε να θεωρήσουμε πως η μεταβολή είναι ισόχωρη και συνεπώς ισχύει ο νόμος του Charles. =? 89 Παράδειγμα 1 1 / σελ 1 1 = 3 atm 1 = 7 C = 80 K = 7 C = 300 K = σταθ. =? Αφού υποθέτουμε ότι ο όγκος παραμένει σταθερός, μπορούμε να θεωρήσουμε πως η μεταβολή είναι ισόχωρη και συνεπώς ισχύει ο νόμος του Charles. Άρα θα έχουμε: 1 1 90 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 30
Παράδειγμα 1 1 / σελ 1 1 = 3 atm 1 = 7 C = 80 K = 7 C = 300 K = σταθ. =? Αφού υποθέτουμε ότι ο όγκος παραμένει σταθερός, μπορούμε να θεωρήσουμε πως η μεταβολή είναι ισόχωρη και συνεπώς ισχύει ο νόμος του Charles. Άρα θα έχουμε: και συνεπώς: 1 1 1 1 91 Παράδειγμα 1 1 / σελ 1 1 = 3 atm 1 = 7 C = 80 K = 7 C = 300 K = σταθ. =? Αφού υποθέτουμε ότι ο όγκος παραμένει σταθερός, μπορούμε να θεωρήσουμε πως η μεταβολή είναι ισόχωρη και συνεπώς ισχύει ο νόμος του Charles. Άρα θα έχουμε: 1 1 και συνεπώς: 1 1 300K με αντικατάσταση: 3atm 3, atm 80K 9 Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 0, mol H βρίσκονται σε δοχείο με κινητό έμβολο σε θερμοκρασία Τ 1 = 300 Κ και πίεση atm (κατάσταση Α). Διατηρώντας σταθερή την πίεσή του θερμαίνουμε το αέριο μέχρις ότου η θερμοκρασία του γίνει Τ = 400 Κ (κατάσταση Β). Στη συνέχεια το αέριο εκτονώνεται ισόθερμα μέχρις ότου η πίεσή του γίνει ίση με 1,5 atm (κατάσταση Γ) και μετά ψύχεται με σταθερό όγκο μέχρι η θερμοκρασία του να γίνει Τ 1 = 300 Κ (κατάσταση Δ). Τέλος, το αέριο συμπιέζεται ισόθερμα μέχρι να φτάσει στην αρχική του κατάσταση. Να βρείτε τις τιμές του όγκου της πίεσης, και της θερμοκρασίας που αντιστοιχούν στις καταστάσεις Α, Β, Γ και Δ και να αποδώσετε την παραπάνω διαδικασία σε διαγράμματα με άξονες,, και. Δίνεται η τιμή της σταθεράς R = 0,08 L atm mol -1 K -1. 93 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 31
Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 n = 0, mol = 300 K = atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. Για κάθε κατάσταση πρέπει να ξέρουμε τις τιμές των καταστατικών μεταβλητών (,, ). (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα 94 n = 0, mol = 300 K = atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. Γ = 1,5 atm Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Για κάθε κατάσταση πρέπει να ξέρουμε τις τιμές των καταστατικών μεταβλητών (,, ). κατάσταση Α = atm =? = 300 K : σταθ κατάσταση Β = atm =? = 400 K με : σταθ. Τ Δ = 300 K Τ: σταθ Τ: σταθ με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα κατάσταση Δ =? =? = 300 K : σταθ κατάσταση Γ = 1,5 atm =? = 400 Κ 95 Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 n = 0, mol = 300 K = atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα Στην κατάσταση Α μπορούμε να υπολογίσουμε τον όγκο του αερίου από την καταστατική εξίσωση: nr nr L atm 0,mol 0,08 300K mol K atm,46 L Άρα, για την κατάσταση Α έχουμε: κατάσταση Α = atm =,46 L = 300 K 96 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 3
n = 0, mol = 300 K = atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Η μεταβολή ΑΒ είναι ισοβαρής, άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον νόμο του Gay Lussac. B B B 400K B,46 L 300K 3, 8L B με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. κατάσταση Α = atm : σταθ κατάσταση Β = atm (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα = =,46 L 300 K = = 3,8 L 400 K 97 n = 0, mol = 300 K = atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Η μεταβολή ΓΔ είναι ισόχωρη, άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον νόμο του Charles. 300 K 1, 5atm 400 K 1,15atm με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. κατάσταση Γ = 1,5 atm : σταθ κατάσταση Δ = 1,15 atm (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα = = 4,37 L 400 Κ = = 4,37 L 300 K 98 n = 0, mol = 300 K = atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. Γ = 1,5 atm Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Για κάθε κατάσταση πρέπει να ξέρουμε τις τιμές των καταστατικών μεταβλητών (,, ). κατάσταση Α = atm =,46 L = 300 K : σταθ κατάσταση Β = atm = 3,8 L = 400 K με : σταθ. Τ Δ = 300 K Τ: σταθ Τ: σταθ με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα κατάσταση Δ = 1,15 atm = 4,37 L = 300 K : σταθ κατάσταση Γ = 1,5 atm = 4,37 L = 400 Κ 99 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 33
n = 0, mol = 300 K = atm Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Δημιουργία του διαγράμματος. κατάσταση Α = atm κατάσταση Β = atm κατάσταση Γ = 1,5 atm κατάσταση Δ = 1,15 atm με : σταθ. Τ Β = 400 K = =,46 L 300 K = = 3,8 L 400 K = = 4,37 L 400 K = = 4,37 L 300 K με Τ: σταθ. Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα 100 n = 0, mol = 300 K = atm Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Σχεδιάζουμε και βαθμολογούμε τους άξονες. κατάσταση Α = atm κατάσταση Β = atm κατάσταση Γ = 1,5 atm κατάσταση Δ = 1,15 atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. = =,46 L 300 K = 3,8 L = 400 K (atm) = = 4,37 L 400 K = = 4,37 L 300 K Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα (L) 101 n = 0, mol = 300 K = atm Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Σχεδιάζουμε την ισοβαρή μεταβολή ΑΒ. κατάσταση Α = atm κατάσταση Β = atm κατάσταση Γ = 1,5 atm κατάσταση Δ = 1,15 atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. = =,46 L 300 K = 3,8 L = 400 K (atm) = = 4,37 L 400 K = = 4,37 L 300 K Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K B με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα,46 3,8 (L) 10 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 34
n = 0, mol = 300 K = atm Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Σχεδιάζουμε τις δυο ισόθερμες των 300 K και 400 Κ. κατάσταση Α = atm κατάσταση Β = atm κατάσταση Γ = 1,5 atm κατάσταση Δ = 1,15 atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. = =,46 L 300 K = 3,8 L = 400 K (atm) = = 4,37 L 400 K = = 4,37 L 300 K Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K B με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. 400 Κ 300 Κ (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα,46 3,8 (L) 103 n = 0, mol = 300 K = atm Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Σχεδιάζουμε την ισόθερμη μεταβολή ΒΓ. κατάσταση Α = atm κατάσταση Β = atm κατάσταση Γ = 1,5 atm κατάσταση Δ = 1,15 atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. = =,46 L 300 K = 3,8 L = 400 K (atm) = = 4,37 L 400 K = = 4,37 L 300 K Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. B Γ 1,5 400 Κ 300 Κ (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα,46 3,8 4,37 (L) 104 n = 0, mol = 300 K = atm Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Σχεδιάζουμε την ισόχωρη μεταβολή ΓΔ. κατάσταση Α = atm κατάσταση Β = atm κατάσταση Γ = 1,5 atm κατάσταση Δ = 1,15 atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. = =,46 L 300 K = 3,8 L = 400 K (atm) = = 4,37 L 400 K = = 4,37 L 300 K Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. 1,5 1,15 B Γ Δ 400 Κ 300 Κ (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα,46 3,8 4,37 (L) 105 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 35
n = 0, mol = 300 K = atm Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 Σχεδιάζουμε και την ισόθερμη μεταβολή ΔΑ. κατάσταση Α = atm κατάσταση Β = atm κατάσταση Γ = 1,5 atm κατάσταση Δ = 1,15 atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. =,46 L = 300 K (atm) = = 3,8 L 400 K = = 4,37 L 400 K = = 4,37 L 300 K Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. 1,5 1,15 B Γ Δ 400 Κ 300 Κ (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα 106,46 3,8 4,37 (L) Παράδειγμα 1 3 / σελ 13 n = 0, mol = 300 K = atm με : σταθ. Τ Β = 400 K με Τ: σταθ. Γ = 1,5 atm με : σταθ. Τ Δ = 300 K με Τ: σταθ μεταβαίνει στην αρχική κατάσταση. Έχοντας έτοιμο το διάγραμμα μπορούμε πολύ εύκολα (?) να κάνουμε και τα υπόλοιπα διαγράμματα: &. κατάσταση Α = atm =,46 L = 300 K κατάσταση Γ = 1,5 atm = 4,37 L κατάσταση Β = atm = 3,8 L = 400 K κατάσταση Δ = 1,15 atm = 4,37 L (atm) 1,5 1,15,46 B Γ 400 Κ Δ 300 Κ 3,8 4,37 (L) = 400 K = 300 K (,, ) Α/Β/Γ/Δ? Διαγράμματα 107 Άσκηση 1.8 / σελ 7 Δυο ποσότητες (n 1 και n ) ιδανικού αερίου εκτελούν ισοβαρή μεταβολή στην ίδια πίεση. n πίεση: σταθερή n 1 Να αποδείξετε ότι n > n 1. 108 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 36
Άσκηση 1.8 / σελ 7 Γνωρίζουμε για την κλίση μιας ευθείας της μορφής y axb y ότι ισχύει a ω x 109 Άσκηση 1.8 / σελ 7 Από το διάγραμμα παρατηρούμε πως ω > ω 1. πίεση: σταθερή Άρα: 1 n n 1 Οι ευθείες είναι της μορφής a ω ω 1 110 Άσκηση 1.8 / σελ 7 Άρα α > α 1. Αφού είναι ιδανικό αέριο θα ισχύει: και συνεπώς nr nr πίεση: σταθερή n n 1 ω ω 1 111 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 37
Άσκηση 1.8 / σελ 7 Συγκρίνοντας τις σχέσεις a nr Καταλαβαίνουμε πως: nr a πίεση: σταθερή n n 1 ω ω 1 11 Άσκηση 1.8 / σελ 7 και επειδή α > α 1 θα έχουμε: πίεση: σταθερή nr nr 1 n n1 n ω ω 1 n 1 113 Στοιχεία Στατιστικής 114 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 38
Στοιχεία Στατιστικής Έστω ένα σύνολο Ν αριθμών: 1 3 Συμβολίζεται και ως: x, x, x,... x,... x, x : j 1,,... N j j N Πχ: 4,8,15 άρα: x1 4, x 8, x3 15 115 Στοιχεία Στατιστικής Η μέση τιμή αυτών των αριθμών ορίζεται ως: N 1 1 x x xk x1 x... x N N k1 N Το τετράγωνο της μέσης τιμής είναι: N 1 1 x x xk x1 x... xn N k1 N 116 Στοιχεία Στατιστικής Η μέση τιμή του τετραγώνου αυτών των αριθμών ορίζεται ως: 1 1 x x x x x x N k 1... N N k1 N 117 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 39
Στοιχεία Στατιστικής Η τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής των τετραγώνων αυτών των τιμών ονομάζεται ενεργός τιμή: x x x rms N 1 1 xk x1 x... xn N k 1 N 118 Στοιχεία Στατιστικής Έστω το σύνολο των Ν (=8) αριθμών του πίνακα. Η μέση τιμή τους είναι: N 1 x x x k N k 1 1 4 6 6 6 8 1 14 8 7,5 x j (x j ) 4 4 16 6 36 6 36 6 36 8 64 1 144 14 196 119 Στοιχεία Στατιστικής Έστω το σύνολο των Ν (=8) αριθμών του πίνακα. Το τετράγωνο της μέσης τιμής τους είναι: N k 1 N 1 x xk 7,5 5,565 x j (x j ) 4 4 16 6 36 6 36 6 36 8 64 1 144 14 196 10 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 40
Στοιχεία Στατιστικής Έστω το σύνολο των Ν (=8) αριθμών του πίνακα. Η μέση τιμή των τετραγώνων τους είναι: N 1 x x xk N k 1 1 4 16 36 36 36 64 144 196 8 66,5 x j (x j ) 4 4 16 6 36 6 36 6 36 8 64 1 144 14 196 11 Στοιχεία Στατιστικής Έστω το σύνολο των Ν (=8) αριθμών του πίνακα. Η ενεργός τιμή τους είναι: 1 x x x x rms 66,5 8,15 N k N k1 x j (x j ) 4 4 16 6 36 6 36 6 36 8 64 1 144 14 196 1 Στοιχεία Στατιστικής 13 Έστω το σύνολο των Ν (=8) αριθμών του πίνακα. Προσοχή! Μέση τιμή των τετραγώνων: x 66,5 Τετράγωνο της μέσης τιμής: Άρα: x 5,565 x x x j (x j ) 4 4 16 6 36 6 36 6 36 8 64 1 144 14 196 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 41
I. Κινητική θεωρία των αερίων 1. θερμική κίνηση στατιστική μηχανική ιδανικό/πραγματικό αέριο..πίεση ιδανικού αερίου 3.Μέση κινητική ενέργεια ενεργός ταχύτητα 4.Βαθμοί ελευθερίας, θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας. 5.Κατανομή Maxwell Boltzmann 14 Θερμική κίνηση Σε κάθε σώμα στη φύση, και κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες, τα στοιχειώδη μέρη που το αποτελούν κινούνται. Η χαρακτηριστική ιδιότητα της κίνησης που συζητάμε είναι ότι γίνεται με τυχαίο τρόπο. Αυτή τη τυχαία και άτακτη κίνηση των μορίων της ύλης θα την ονομάζουμε θερμική κίνηση. nimation 15 Στατιστική Φυσική Η στατιστική φυσική μελετάει τις φυσικές ιδιότητες συστημάτων που αποτελούνται από πολύ μεγάλο αριθμό ατόμων ή μορίων (10 3!). Ακόμη κι αν είναι γνωστός ο νόμος αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων, ο αριθμός τους δεν επιτρέπει την αντιμετώπιση ενός τέτοιου συστήματος όπως θα αντιμετωπίζαμε ένα απλό σύστημα 16 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 4
Στατιστική Φυσική Οι νόμοι των μακροσκοπικών σωμάτων δεν κάνουν πλήρη μικροσκοπική περιγραφή ενός συστήματος (δηλ δεν δίνουν τη θέση κάθε μορίου ενός αερίου σε κάθε χρονική στιγμή). Παρέχουν ορισμένα μετρήσιμα μακροσκοπικά μεγέθη, όπως η πίεση, η θερμοκρασία, κλπ, που αποτελούν μέσους όρους μικροσκοπικών ιδιοτήτων. 17 Στατιστική Φυσική Οι μακροσκοπικοί νόμοι είναι λοιπόν στατιστικής φύσης. Λόγω του τεράστιου αριθμού σωματιδίων οι διακυμάνσεις είναι εξαιρετικά μικρές. Έτσι οι στατιστικοί νόμοι οδηγούν σε αποτελέσματα απόλυτης βεβαιότητας! 18 Κινητική θεωρία των αερίων Το αποτέλεσμα της εφαρμογής της στατιστικής μηχανικής στα αέρια αποτελεί το αντικείμενο της κινητικής θεωρίας των αερίων. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιεί η κινητική θεωρία είναι οι γενικές μέθοδοι της στατιστικής φυσικής που συνδυάζει τους νόμους της κλασικής μηχανικής με τους νόμους της θεωρίας των πιθανοτήτων. 19 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 43
Το ιδανικό αέριο Από μακροσκοπικής άποψης το ιδανικό αέριο είναι αυτό που υπακούει στην (καταστατική) εξίσωση nr : πίεση, : όγκος, R: σταθερά, n: αριθμός mol (μάζα), : (απόλυτη) θερμοκρασία. 130 Το ιδανικό αέριο Μικροσκοπικά, οι παραδοχές της κινητικής θεωρίας για το μοντέλο του ιδανικού αερίου είναι: 1. Το πλήθος των μορίων είναι πολύ μεγάλο.. Τα μόρια του είναι σφαιρικές σημειακές μάζες χωρίς εσωτερική δομή. 3. Κατά την κίνηση και κατά την κρούση των μορίων ισχύουν οι νόμοι της κλασικής μηχανικής. 4. Όλες οι κρούσεις μεταξύ των μορίων αλλά και αυτές μεταξύ των μορίων και των τοιχωμάτων του δοχείου θεωρούνται απολύτως ελαστικές. 5. Η διάρκεια κάθε κρούσης είναι αμελητέα. 6. Δυνάμεις στα μόρια ασκούνται μόνο στη διάρκεια των κρούσεων. Άρα, μεταξύ των κρούσεων η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή. 7. Τα μόρια του αερίου βρίσκονται σε διαρκή κίνηση και όλες οι κατευθύνσεις είναι ισοπίθανες. 8. Ο όγκος κάθε μορίου χωριστά είναι αμελητέος σε σχέση με τον όγκο που καταλαμβάνει το αέριο. 9. Η κινητική ενέργεια κατανέμεται το ίδιο σε όλες τις δυνατές κινήσεις (βαθμούς ελευθερίας) του μορίου. 131 Πραγματικά αέρια Ένα πραγματικό αέριο αποτελείται από μόρια που: Έχουν εσωτερική δομή Δεν είναι σφαιρικά Καταλαμβάνουν όγκο Αλληλεπιδρούν μεταξύ τους 13 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 44
Πραγματικά αέρια Ένα πραγματικό αέριο συμπεριφέρεται ιδανικά όταν βρίσκεται μακριά από τις συνθήκες υγροποίησής του: Χαμηλή πίεση Μικρή πυκνότητα Σχετικά υψηλή θερμοκρασία 133 Πραγματικά αέρια Ο J. an der Waals πρότεινε τον 19 ο αιώνα μια καταστατική εξίσωση για τα πραγματικά αέρια: na nb nr a, b : χαρακτηριστικές σταθερές του κάθε αερίου n a/ : ενδοπίεση λόγω αλληλεπίδρασης των μορίων. nb : σύνογκος λόγω του όγκου των μορίων. 134 Πίεση ιδανικού αερίου Σύμφωνα με την κινητική θεωρία, η πίεση ενός αερίου οφείλεται στις συγκρούσεις των μορίων του αερίου (λόγω της τυχαίας / άτακτης κίνησής τους) πάνω στα τοιχώματα του δοχείου που περιέχει το αέριο. 135 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 45
Πίεση ιδανικού αερίου Αν: =όγκος δοχείου Ν = αριθμός μορίων m 0 = μάζα ενός μορίου. Αποδεικνύεται ότι 1 3 Nm0 Όπου η μέση τιμή των τετραγώνων των ταχυτήτων των μορίων 136 Πίεση ιδανικού αερίου Η μάζα (m) του αερίου είναι m Nm 0 Άρα η πίεση γίνεται: 1 Nm0 1m 3 3 Και συνεπώς: 1 1 m 3 3 137 Η μέση κινητική ενέργεια Για Ν μόρια, από τον ορισμό της μέσης τιμής, θα έχουμε για τη (μέση) κινητική ενέργεια: 1 1 1 1 1 1 K m m N N N N K j m0 j 0 j 0 j1 N j1 N j1 1 1 1 1 1 K K1K... KN m0 1 m0... m0 N N 1 1 1 m0 1... m0 N 138 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 46
Η μέση κινητική ενέργεια 1 Nm0 Από τη σχέση 3 έχουμε: 1 1 1 Nm Nm 3 3 1 1 3 0 0 N m0 NK 3 139 Η μέση κινητική ενέργεια Χρησιμοποιώντας και την καταστατική εξίσωση έχουμε: 3 nr NK nr N K 3 3 N 3 R 3 N K R K k N N 140 Η μέση κινητική ενέργεια Τελικά λοιπόν: 3 1 K k K 3 k Δηλαδή η μέση κινητική ενέργεια εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία και όχι από τη μάζα των μορίων. 141 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 47
Η μέση κινητική ενέργεια 3 K k 0 K 0 Παρατηρήσεις: 1. Για δηλαδή στο απόλυτο μηδέν τα μόρια ηρεμούν?. Αν τοποθετήσουμε ένα δοχείο με ιδανικό αέριο σ ένα κινούμενο όχημα, η θερμοκρασία του αερίου θα αυξηθεί? 14 Η ενεργός ταχύτητα Από τη σχέση 3 K k έχουμε: 1 3 k m0 k 3 m 0 Εξ ορισμού: 3k m 0 143 Η ενεργός ταχύτητα Η σχέση 3k m 0 παίρνει μια πιο χρήσιμη μορφή: R 3 3k N 3R 3R m m Nm M 0 0 0 Όπου Μ = γραμμομοριακή μάζα. 144 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 48
est: Πέμπτη, 0 Νοεμβρίου 014 1. Να δείξετε ότι η πίεση δίνεται από τη σχέση:. Η μέση κινητική ενέργεια δίνεται από την: 1 3 1 K m0 3. Η ενεργός ταχύτητα είναι: Διάρκεια: 15 min. Καλή επιτυχία. 3k m 0 145 Ασκήσεις: 0/11/014 1. Μέσα σε δοχείο όγκου 0 L περιέχονται 1,0 10 3 μόρια ιδανικού αερίου. Αν η ασκούμενη πίεση είναι 1,0 10 5 Pa, να βρεθεί η μέση κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου.. Μια ποσότητα αερίου που έχει όγκο 1 = 5 L θερμαίνεται υπό σταθερή πίεση. Αν η ενεργός ταχύτητα των μορίων του διπλασιάστηκε, να βρείτε τον τελικό όγκο του αερίου. 146 Ασκήσεις: 0/11/014 3. Σε δοχείο όγκου L περιέχεται ήλιον (He) υπό θερμοκρασία 300 K και πίεση 10-1 N/m. 1. Πόσα μόρια περιέχονται στο δοχείο;. Πόση είναι η ενεργός ταχύτητας; 3. Συμπιέζουμε το αέριο ώστε ο όγκος του να γίνει 1 L. Πόση θα είναι η νέα ενεργός ταχύτητα, αν η συμπίεση γίνει: i. Με σταθερή πίεση. ii. Με σταθερή θερμοκρασία. N = 6 10 3 μόρια/mol, R = 8,314 J mol -1 K -1, MB He = 4 147 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 49
Βαθμοί ελευθερίας Στη μηχανική βαθμοί ελευθερίας είναι ο ελάχιστος αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών που καθορίζουν τη θέση ενός σώματος. Στη θερμοδυναμική είναι ο ελάχιστος αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών που καθορίζουν την ενέργεια ενός σωματιδίου (μορίου). 148 Βαθμοί ελευθερίας 1 Nm0 Για την απόδειξη της σχέσης 3 δεχθήκαμε τρεις δυνατές κινήσεις των μορίων (x, y, z) και μάλιστα ισοπίθανες: 1 1 1 1 K m0 m0x m0y m0z 1 1 1 k k k 1 3 k 149 Ισοκατανομή της ενέργειας Σύμφωνα με το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας, σε κάθε έναν από τους f βαθμούς ελευθερίας, αποδίδεται (μέση) ενέργεια k/. Άρα: 1 1 1 1 K k k... k f k f έ 150 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 50
Ισοκατανομή της ενέργειας 151 Είδη αερίων Τα άτομα θεωρούνται σημειακά. Μονοατομικά αέρια: Εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση. Άρα : f 3 15 Είδη αερίων Διατομικά αέρια: Με σταθερή σύνδεση ατόμων: Μεταφορική κίνηση: f 3 Περιστροφική κίνηση: (ως προς τον άξονα που διέρχεται από τα άτομα η ροπή αδράνειας είναι μηδέν. Άρα: f 35 f 153 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 51
Είδη αερίων Διατομικά αέρια: Με χαλαρή σύνδεση ατόμων: Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης: f 1 Κινητική ενέργεια ταλάντωσης: f 1 Άρα: f 5117 154 Είδη αερίων Τριατομικά αέρια: Συνήθως θεωρούμε : f 336 Μεταφορική κίνηση: f 3 Περιστροφική κίνηση: f 3 155 Ιδανικό vs πραγματικό αέριο Η ατομικότητα και το είδος των δεσμών επιδρούν όπως θα δούμε αργότερα στο λόγο των γραμμομοριακών ειδικών θερμοτήτων (γ). C 5 Για ιδανικό αέριο: C 3 Για πραγματικό αέριο: C f C f 156 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 5
Κατανομή Maxwell Boltzmann 157 Κατανομή Maxwell Boltzmann Επειδή δεν υπάρχει τρόπος καθορισμού των ταχυτήτων των μορίων, δεχόμαστε ότι αυτές καλύπτουν μια περιοχή από το μηδέν μέχρι το άπειρο. Με τη στατιστική μηχανική μπορούμε να υπολογίσουμε το ποσοστό των μορίων που έχουν ταχύτητες μέσα σε μια ορισμένη περιοχή τιμών. 158 Κατανομή Maxwell Boltzmann Σύμφωνα με την κατανομή Maxwell Boltzmann ο αριθμός των μορίων (dn) που έχουν ταχύτητες μεταξύ υ και υ+dυείναι: Όπου dn f d 3/ m0 m0 k f 4N e k 159 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 53
Κατανομή Maxwell Boltzmann Το ποσοστό των μορίων με ταχύτητες στο διάστημα υ και υ+dυ είναι dn/ν. Είναι φανερό πως ο λόγος dn/ν μας δίνει την πιθανότητα να βρούμε ένα μόριο με ταχύτητα διάστημα υ και υ+dυ 160 Κατανομή Maxwell Boltzmann Από τι εξαρτάται η κατανομή των ταχυτήτων? f 3/ m0 m0 k 4 N k e 161 Κατανομή Maxwell Boltzmann 3/ m0 f 4N e k m0 k 16 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 54
0 Φυσική Προσανατολισμού Β Λυκείου 0/11/014 Κατανομή Maxwell Boltzmann Η καμπύλη τείνει ασυμπτωτικά προς τον άξονα των ταχυτήτων για μεγάλες ταχύτητες αφού δεν υπάρχει ανώτερο όριο ταχύτητας. Αυτός είναι και ο λόγος της ασυμμετρίας της καμπύλης. 163 Κατανομή Maxwell Boltzmann 3/ m 0 f 4 N e k m k υ 0 Το εμβαδό που περικλείεται από την καμπύλη και τον άξονα των ταχυτήτων ισούται με τον συνολικό αριθμό των μορίων. Το γραμμοσκιασμένο εμβαδό αντιστοιχεί στο ποσοστό των μορίων που έχουν ταχύτητες μικρότερες ή ίσες με υ 0. 164 Κατανομή Maxwell Boltzmann Με τον γνωστό τρόπο αναζήτησης ακρότατων τιμών βρίσκουμε πως η πιθανότερη ταχύτητα είναι: max k m 0 Επίσης, η ενεργός ταχύτητα: 3 max Και η μέση ταχύτητα: max 165 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 55
Κατανομή Maxwell Boltzmann 3/ m0 f 4N e k m0 k υ max <υ> υ εν 166 Κατανομή Maxwell Boltzmann Για Τ > Τ 1 η καμπύλη μετατοπίζεται δεξιά. Άρα ο αριθμός των μορίων που έχουν ταχύτητες μεγαλύτερες από μια συγκεκριμένη τιμή αυξάνεται. Τ 1 Τ > Τ 1 167 Κατανομή Maxwell Boltzmann Η πιθανότερη ταχύτητα αυξάνεται, όμως μειώνεται το ποσοστό των μορίων που έχουν αυτή τη ταχύτητα. Τ 1 Τ > Τ 1 max k m 0 168 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 56
Κατανομή Maxwell Boltzmann Ο αριθμός των μορίων που έχουν ταχύτητες μεγαλύτερες από κάποια συγκεκριμένη τιμή είναι μεγαλύτερος στο αέριο με το μικρότερο ΜΒ. (ΜΒ) 1 (ΜΒ) < (ΜΒ) 1 169 Κατανομή Maxwell Boltzmann Η πιθανότερη ταχύτητα μειώνεται με αύξηση του ΜΒ, αυξάνεται όμως το ποσοστό των μορίων που έχουν αυτή την ταχύτητα. (ΜΒ) 1 (ΜΒ) < (ΜΒ) 1 170 Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) 57