ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η σχέση, α μ βγ α, α να αποδείξετε ότι α β γ βγ β να υπολογιστεί η γωνία 1 4 Ενός τριγώνου τα μήκη των πλευρών του είναι 5 cm, cm και 7 cm α) Να προσδιοριστεί το είδος του ως προς τις γωνίες του β) Να υπολογιστεί σε μοίρες η γωνία του τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά του 5 Στη βάση ισοσκελούς τριγώνου με = = 11 παίρνουμε σημείο Δ, τέτοιο ώστε να είναι Δ = και Δ = 7 Να υπολογίσετε το Δ 6 Μια ευθεία παράλληλη προς τη βάση ισοσκελούς τριγώνου τέμνει τις πλευρές και στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι: 7 Διαιρούμε την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου σε τρία ίσα τμήματα Δ = ΔΕ = Ε και φέρνουμε τις Δ και Ε Να δείξετε ότι: Δ + Ε = 5 9 8 Δίνεται το τρίγωνο με = Προεκτείνουμε την πλευρά κατά ευθύγραμμο τμήμα Δ = Να αποδείξετε ότι: Δ = + 9 Δίνεται το τρίγωνο με = και τη γωνία του αμβλεία ν να αποδείξετε ότι: 10 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) Φέρνουμε τη διάμεσο Μ και προς την Μ στο σημείο Μ κάθετη ευθεία που τέμνει την στο Σ Να αποδείξετε ότι: Σ + Σ = Σ

11 ν Μ,Ν τα μέσα των διαγωνίων,δ ενός τετραπλεύρου Δ, να δείξετε ότι: + +Δ +Δ = +Δ +4ΜΝ 1 ν σε τρίγωνο ισχύει β +γ =αμ α, να υπολογιστεί η γωνία 1 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) Προεκτείνουμε την πλευρά κατά ευθύγραμμο τμήμα Δ = Να αποδείξετε ότι: 14 ν η διάμεσος Μ τριγώνου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε, να δείξετε ότι + =Μ Ε 15 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο A 90,εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) και το ύψος του Δ ν μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι: Μ Η= 16 Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι =6, =1 και =8 α Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι αμβλυγώνιο β Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου Μ γ Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της διαμέσου Μ στην πλευρά 17 Δίνεται κύκλος (O,R) και μια διάμετρός του πό ένα σημείο Μ του κύκλου, διαφορετικό των και, φέρουμε κάθετη στη διάμετρο, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ζ και τη διάμετρο στο σημείο Δ Επί της θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα Ο=ΟΔ και φέρουμε τη Μ, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε Να αποδείξετε ότι: α) β) R γ) R 18 Δίνεται ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέτρου =R Στην προέκταση του προς το, θεωρούμε ένα σημείο, τέτοιο ώστε =R πό το φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα Ε του ημικυκλίου Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο σημείο τέμνει την προέκταση του τμήματος Ε στο σημείο Δ α Να αποδείξετε ότι Ε = R β Να αποδείξετε ότι Ο=Δ Ε γ Να υπολογίσετε το τμήμα Δ συναρτήσει του R 19 Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο µε //, <, 90, =4, =, =5Να υπολογίσετε: α) την προβολή της πάνω στην β) το εμβαδόν του τραπεζίου γ) το εμβαδόν του τριγώνου

0 Στο σχήμα που ακολουθεί, δίνεται κύκλος (Ο,R) διαμέτρου και ημιευθεία x τέτοια, ώστε η γωνία x να είναι 0 ο Έστω ότι η x τέμνει τον κύκλο στο σημείο Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο, η οποία τέμνει τη x στο σημείο Ρ Ρ x Να αποδείξετε ότι: α = R β 4 γ R 0 0 Ο 1 Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Κ και Λ είναι µμέσα των τμημάτων και αντιστοίχως Να δείξετε ότι: α) Ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων Κ και Λ είναι ίσος µε 1 β) ν Ρ είναι το σημείο τομής των Λ και Κ, τότε τα τρίγωνα ΛΡ και ΚΡ έχουν ίσα εμβαδά A Λ Κ Ρ B Έστω τρίγωνο και έστω Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών, και αντίστοιχα Να δείξετε ότι: α) (ΔΕΖ) = (ΖΕ) β) (ΔΕΖ) = 1 4 () Όταν οι διαγώνιες ενός κυρτού τετραπλεύρου Δ σχηματίζουν γωνία Ο = 0, να δείξετε ότι ισχύει: α) (ΟΔ) = 1 4 ΟΔΟ β) (Δ) = 1 4 Δ 4 Προεκτείνουμε τις πλευρές,, τριγώνου αντιστοίχως κατά τμήματα Δ =, Ε = και Ζ = Να δείξετε ότι: α) (ΖΕ) = () και β) (ΔΕΖ) = 7 () 5 Σε τρίγωνο φέρνουμε παράλληλη στην πλευρά που τέμνει τις πλευρές και στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα Να δείξετε ότι: 6 Ένα τρίγωνο έχει = γ, = β και γωνία = 0 Επί των πλευρών και και έξω από το τρίγωνο κατασκευάζουμε τετράγωνα ΔΕ, ΖΗ και φέρνουμε την ΕΗ α) Δείξτε ότι τα τρίγωνα ΕΗ και είναι ισοδύναμα β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του ΖΗΕΔ 7 Σε τρίγωνο με 90 φέρουμε τα ύψη Ζ και Η Να δείξετε ότι:

(ΖΗ)=()συν 8 Θεωρούμε τρεις διαδοχικές γωνίες xoy, yoz, zox έτσι ώστε xoy yoz 150 Στις ημιευθείες Ox, Oy, Oz παίρνουμε τα σημεία,, αντίστοιχα έτσι ώστε Ο=, Ο=4 και Ο=6 α Να υπολογίσετε το εμβαδό Ε Ο του τριγώνου Ο ΕΟA β Να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών Ε OB 9 Επί της πλευράς τριγώνου θεωρούμε τα σημεία Δ,Ε τέτοια ώστε Δ=Ε α Η παράλληλη της από το Δ τέμνει την στο Ζ και οι Ζ, Ε Τέμνονται στο Θ Να δείξετε ότι: (Θ)=(ΘΕΖ) 4 0 Δίνεται τρίγωνο και Ε το μέσο της πλευράς Προεκτείνουμε την πλευρά προς το μέρος του κατά ευθύγραμμο τμήμα και φέρουμε την Δ 1 α Να αποδείξετε ότι β Να βρείτε τους λόγους και γ ν Μ είναι η διάμεσος του τριγώνου, να αποδείξετε ότι 1 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο Στην α πλευρά θεωρούμε το σημείο Ε έτσι ώστε και προεκτείνουμε την Ε που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ζ α 7 α Να αποδείξετε ότι 7α β Να αποδείξετε ότι 1 γ Να βρείτε το λόγο των εμβαδών των τριγώνων Ε και ΕΖ Σε κύκλο ακτίνας R παίρνουμε τα διαδοχικά τόξα α) Να αποδείξετε ότι το Δ είναι ισοσκελές τραπέζιο β) Να υπολογίσετε τις πλευρές του γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του AB 60, B 90, Δ 10 Δύο ίσοι τεμνόμενοι κύκλοι (Ο, R) και (Ο, R) έχουν διάκεντρο ίση με R και κοινή χορδή Να βρεθούν: α) Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα Ο β) Το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κύκλων

4 Δίνεται κύκλος (Ο,R) και χορδή του Δ=λ 6 Πάνω σε τυχαία ευθεία ε που διέρχεται από το κέντρο του Ο παίρνουμε σημεία,, ώστε Ο=Ο=α ν Μ το μέσο της Δ, να δείξετε ότι: Μ +Μ = λ 4 5 Δίνεται τμήμα ΚΛ=ρ και οι κυκλικοί δίσκοι (Κ,ρ) και (Λ,ρ) Να βρεθεί το εμβαδόν της κοινής επιφάνειας των κυκλικών δίσκων 6 Σε κύκλο (Ο,R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά =15 Να υπολογίσετε: α) την ακτίνα R του κύκλου β) το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου (O,R) γ) το εμβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου δ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον κύκλο και το ισόπλευρο τρίγωνο 5 7 Τρεις κύκλοι,r,,r και,r 1 1 εφάπτονται ανά δύο εξωτερικά στα σημεία, και ν R1 R και R : α Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο O1OO είναι ορθογώνιο β Να υπολογίσετε την περίμετρο του καμπυλόγραμμου τριγώνου γ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου 8 Σε κύκλο (Ο,R) θεωρούμε τις διαδοχικές χορδές AB R, R Να υπολογίσετε συναρτήσει του R: α το εμβαδόν του κυκλικού τομέα Ο που αντιστοιχεί στην κυρτή γωνία Ο β το άθροισμα των εμβαδών των κυκλικών τμημάτων τ 1,τ,τ γ τη χορδή τ τ 1 Ο τ 9 Στο διπλανό σχήμα, σε τετράγωνο Δ πλευράς 7 cm, εγγράφουμε τετράγωνο ΕΖΗΘ έτσι, ώστε: Ε = Ζ = Η = ΔΘ = cm α Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ β Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖ και να αποδείξετε ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (Λ, ρ) στο τρίγωνο ΕΖ είναι ρ = 1cm γ Εάν (Κ, R) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος στο τετράγωνο ΕΖΗΘ, να υπολογίσετε το λόγο του εμβαδού του κύκλου (Κ, R) προς το εμβαδόν του κύκλου (Λ,ρ) Δ Θ Ε Κ Η Λ Ζ