Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Transcript

1

2 .Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα. Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη του ανθρώπου τρομάζεις γιατί από τη στιγμή που θα καταλάβεις πως υπάρχει η δύναμη αυτή δεν μπορείς πια να βρεις δικαιολογίες για τις ασήμαντες ή άναντρες πράξεις σου, για τη ζωή σου τη χαμένη, ρίχνοντας το φταίξιμο στους άλλους ξέρεις πια πως εσύ, όχι η τύχη, όχι η μοίρα, μήτε οι ανθρώποι γύρα σου, εσύ μονάχα έχεις, ό,τι κι αν κάνεις, ότι κι αν γίνεις ακέραιη την ευθύνη. Και ντρέπεσαι τότε να γελάς, ντρέπεσαι να περγελάς αν μια φλεγόμενη ψυχή ζητάει το αδύνατο. Καλά πια καταλαβαίνεις πως αυτή είναι η αξία του ανθρώπου: να ζητάει και να ξέρεις πως ζητάει το αδύνατο και να ναι σίγουρος πως θα το φτάσει, γιατί ξέρει πως αν δεν λιποψυχήσει αν δεν ακούσει τι του κανοναρχάει η λογική, μα κρατάει με τα δόντια την ψυχή του κι εξακολουθεί με πίστη, με πείσμα να κυνηγάει το αδύνατο, τότε γίνεται το θάμα, που ποτέ ο αφτέρουγος κοινός νους δε θα μπορούσε να το μαντέψει: το αδύνατο γίνεται δυνατό. Νίκος Καζαντζάκης (πό τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

3 εωμετρία Λυκείου Θ.Θαλή Όμοια τρίγωνα ΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜ ΘΛΗ ΚΙ Θ. ΙΧΟΤΟΜΩΝ Λ/01. ) ν //, Ε = 6, =, Ε = x + 4 και Ε = x υπολογίστε το x. ) ν Ε //, = 4, = x, Ε = x + 3 και Ε = 1 υπολογίστε το x. ) ν = x, =, Ε = 4 και = x + υπολογίστε το x ώστε να είναι: Ε //. ) ν Ε //, ΕΖ // = 4, = 8, = 4 και = 18 υπολογίστε τα Ε και Ζ. Ζ E E Λ/0. Σε τρίγωνο φέρνω Ε// και Ζ//Ε. ν =6, Ε=8 και =1, βρείτε τα και Ζ. Ε Ζ Λ/03. Έστω παραλληλόγραμμο και Ρ 1 σημείο Ρ της διαγωνίου ώστε =. Ρ 4 ν η Ρ τέμνει την στο Ε να δείξετε ότι: Ε = 5 ΡΕ. Ε Ρ Λ/04. Έστω τρίγωνο και ευθεία Ε παράλληλη στη. ν η ευθεία Ζ είναι παράλληλη στην ευθεία Ε να αποδείξετε ότι: Ε = Ζ. Λ/05. Έστω τετράπλευρο και τυχαίο σημείο Ρ της διαγωνίου. Φέρουμε την ευθεία ΡΕ παράλληλη στην και τη ΡΖ παράλληλη στη. είξτε ότι η ΕΖ είναι παράλληλη στην. (ρκεί Ε = Ζ Ε Ζ ) Ε Ρ Ζ E Ζ

4 εωμετρία Λυκείου Η Θ.Θαλή Όμοια τρίγωνα Λ/06.πό την κορυφή παρ/μου φέρνουμε ευθεία έξω από αυτό που τέμνει τις, στα Ε και Ζ αντίστοιχα. είξτε ότι: + = 1. Ε Ζ Λ/07. πό ένα σημείο της πλευράς τριγώνου φέρνουμε Ε //, ΕΖ//, ΖΗ //. είξτε ότι: = Η Η Λ/08. Έστω Μ τυχαίο σημείο της πλευράς τριγώνου. Φέρνω ΜΕ // και Μ //. Να αποδείξετε ότι: Μ + ΜΕ = 1 Λ/09. ν τυχαίο σημείο της διαμέσου Μ τριγώνου και φέρω τις ευθείες και που τέμνουν τις και στα Ζ και Ε, να αποδειχθεί ότι: ΕΖ//. (Υπόδειξη: Παίρνω στην προέκταση της Μ τμήμα ΜΕ = Μ οπότε το Ε είναι παρ/μο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται) Λ/10. Έστω σημείο Μ στην προέκταση της πλευράς τριγώνου, προς το. πό το Μ φέρνω παράλληλες προς τις πλευρές και που τέμνουν τις προεκτάσεις τους στα και Ε. είξτε ότι: Μ ΜΕ = 1. Λ/11. Έστω τυχαίο σημείο της Ζ Ε πλευράς τριγώνου και Θ Μ Μ τυχαίο σημείο της. Φέρνω Ε, Η, ΜΖ, ΜΘ. είξτε ότι ΘΖ// ΗΕ. Λ/1. ίνεται τραπέζιο ( // ) και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. πό το Ο φέρνουμε δύο ευθείες παράλληλες προς τις, που τέμνουν την μεγάλη βάση στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. ποδείξτε ότι Ε = Ζ. Λ/13. ίνεται τραπέζιο και από τις κορυφές του και φέρνω δυο παράλληλες ευθείες που τέμνουν τις ευθείες των μη παράλληλων πλευρών και στα Ε και Ζ αντίστοιχα. είξτε ότι Ζ// Ε. (Υπόδειξη: Προεκτείνετε τις μη παράλληλες πλευρές μέχρι που να τμηθούν στο Ο ) Λ/14.ίνεται τρίγωνο και τα ύψη του και Ε. ν Ζ και ΕΗ είναι τα ύψη του τριγώνου Ε να δείξετε ότι: Ι) Ε = Η = Ζ ΙΙ) ΖΗ //

5 εωμετρία Λυκείου Θ.Θαλή Όμοια τρίγωνα Λ/15. Έστω σημείο Ρ της διαμέσου Μ τριγώνου. Φέρνω Ρ // και ΡΕ //. ποδείξτε ότι: Μ = ΜΕ. Λ/16. Έστω τρίγωνο και τα σημεία, Ε της πλευράς ώστε = Ε. Φέρνω Ζ // και ΕΗ //. ποδείξτε ότι: ΖΗ //. Λ/17. Έστω τρίγωνο και σημείο Ο στο εσωτερικό του. πό σημείο Ε του Ο Ε φέρνω ΕΗ // και από το Η φέρνω ΗΖ//. Ζ O Η είξτε ότι ΕΖ //. Λ/18. ν η διάμεσος του τριγώνου και φέρουμε τις διχοτόμους Ε και Ζ των γωνιών και αντίστοιχα, να E Ζ δείξετε ότι: ΕΖ //. Λ/19. ν σε τοίχο = 4cm θα τοποθετηθούν διαφημιστικές ταμπέλες Σ και Σ, βρείτε 40m τη θέση του Σ ώστε οι δύο ταμπέλες Σ να φαίνονται από το σταυροδρόμι υπό την ίδια γωνία. 30m ΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤ ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ Λ/0. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο, τυχαίο σημείο της πλευράς και Ε Ε κάθετο τμήμα προς την υποτείνουσα. ) είξτε ότι: Ε = Ε. ) ν = 9, = 6 και = 1, υπολογίστε το Ε. Λ/1. Έστω τρίγωνο, τα ύψη του και Ε και το ορθόκεντρό του Η. Να αποδείξετε ότι: Η Η = Η ΗΕ. Λ/. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο και το ύψος του. Να αποδείξετε ότι: ) είξτε ότι: =. ) είξτε ότι: =.

6 εωμετρία Λυκείου Θ.Θαλή Όμοια τρίγωνα Λ/3. Έστω Ρ τυχαίο σημείο στο εξωτερικό του κύκλου, Ρ, Ρ τυχαίες τέμνουσες και ΡΕ η εφαπτομένη του κύκλου. είξτε ότι: ) Ρ Ρ = Ρ Ρ. ) ΡΕ = Ρ Ρ Ε Ρ Λ/4.ίνεται παραλληλόγραμμο και σημείο Ε στην πλευρά τέτοιο 1 ώστε Ε =. ν = 1 να 3 υπολογίσετε το Ζ. Ζ E Λ/5. Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και = υ α το ύψος του. ποδείξτε ότι β γ = R υ α. Ο Ε Λ/6.Σε κάθε τρίγωνο δείξτε ότι: α υα = β υβ = γ υγ. Λ/7.Έστω παραλληλόγραμμο. Φέρω Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι Ε = Ζ. Λ/8.Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ). πό τυχαίο σημείο Ε της φέρνω την Ε κάθετη στην. Να αποδείξετε ότι: Ε = Ε. Λ/9. ίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ = 90. ν είναι το ύψος του να δείξετε ότι =. Λ/30. ν χορδή και φέρω την κάθετη στην εφαπτομένη του κύκλου στο, να αποδείξετε ότι = R όπου R η ακτίνα του κύκλου. E Ε Ζ Λ/31. ν στο σημείο τομής δύο τεμνόμενων κύκλων φέρω τις εφαπτόμενες των κύκλων που τους τέμνουν στα και

7 εωμετρία Λυκείου Θ.Θαλή Όμοια τρίγωνα να δείξετε ότι: = Λ/3. ίνεται τρίγωνο. πό την κορυφή φέρνουμε ευθεία που τέμνει την προέκταση της στο τέτοια ώστε ˆ = ˆ. Να δείξετε ότι: =. ˆ = 90. Φέρνουμε το ύψος Λ/33.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ) του και την Ε. είξτε ότι: = Ε. Λ/34. ίνεται τετράπλευρο και Κ, Λ τα βαρύκεντρα των τριγώνων και. είξτε ότι ΕΖ = //. 3 Λ/35. Σε κάθε τραπέζιο να δείξετε ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του διχοτομεί το τμήμα που φέρεται παράλληλα στις βάσεις από το σημείο αυτό και έχει τα άκρα του στις μη παράλληλες πλευρές. Λ/36. Θεωρούμε τραπέζιο ( // ) και ευθεία ε παράλληλη προς τις βάσεις του που τέμνει τις,,, στα Ε, Ζ, Η, Θ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι ΕΖ = ΗΘ. Λ/37.Θεωρούμε παραλληλόγραμμο και στη διαγώνιο σημείο Ε έτσι που 3Ε = Ε. ν η Ε τέμνει τη στο Ζ, υπολογίστε το Ζ αν = 6. Η Λ/38. Έστω τραπέζιο και Ε το E μέσο της βάσης του. ν η ευθεία Ε τέμνει την προέκταση της πλευράς στο σημείο Η και Ζ την διαγώνιο στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: ΖΕ = ΗΕ Ζ Η. Λ/39. Θεωρούμε τρίγωνο και στις προεκτάσεις των πλευρών του, παίρνουμε τα ίσα τμήματα, Ε και ονομάζουμε Ρ την τομή της Ε με τον φορέα της πλευράς. ποδείξτε ότι: ΡΕ =. Ρ Λ/40.Σε τυχαίο σημείο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου φέρνω κάθετη στη που τέμνει τις πλευρές και στα σημεία Ε και Ζ. είξτε ότι: Ζ = ΕΖ και Ε Ε = ΕΖ Ε. Λ/41.ίνεται τρίγωνο και η διχοτόμος του. ν η παράλληλη από το προς την τέμνει την ευθεία στο Μ, να αποδειχθεί οτι: Μ =.

8 εωμετρία Λυκείου Θ.Θαλή Όμοια τρίγωνα Λ/4. Μια μεταλική πλάκα έχει σχήμα ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές α, β, γ. Η πλάκα θερμαίνεται και από τη διαστολή αυξάνεται κάθε πλευρά της κατά το 1 15 της. Θα παραμείνει ορθογώνιο το σχήμα της πλάκας; Λ/43.Σε ένα τρίγωνο ( ) φέρνουμε τις Ε και Ζ κάθετες προς την διχοτόμο. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Ζ και Ε είναι αρμονικα συζυγή ως προς τα και δηλ.: Ε = Ε. Ζ Ζ Λ/44. Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος. ν φέρω τις Ε και Ζ κάθετες στην ευθεία να αποδείξετε ότι: ) Ε = Ζ ) Ζ = Ε ) =. Λ/45. Ένας άνθρωπος ύψους m απομακρύνεται από έναν φανοστάτη ύψους 8m. Όταν βρίσκεται σε απόσταση 1m από το φανοστάτη πόσο μήκος έχει η σκιά του; Λ/46.ίνεται τρίγωνο με = και παίρνουμε σημείο Ζ 1 στην έτσι που Ζ =. Να δειχθεί ότι: Ζ ˆ = ˆ. ˆ ˆ = = 90 Λ/47.Έστω δυο ορθογώνια τρίγωνα και ΕΖ ( ) τέτοια που να ισχύει: =. είξτε ότι τα δυο τρίγωνα είναι όμοια. Ε ΕΖ Λ/48.είξτε ότι αν για δυο τρίγωνα και ισχύει η σχέση: α γ μα = = τότε τα τρίγωνα είναι όμοια. α γ μα Λ/49.Έστω τραπέζιο με ˆ = ˆ = 90 και. είξτε ότι =. Λ/50. Έστω τρίγωνο και τα σημεία και Ε στις πλευρές του και αντίστοιχα έτσι που = και Ε =. είξτε ότι ˆ = ˆ Ε και Ε =. Λ/51. ίνεται τρίγωνο και σημείο της. πό τα και φέρνουμε παράλληλες στην που τέμνουν τις, στα Ε και Ζ είξτε ότι: = +. Ε Ζ

9 εωμετρία Λυκείου Μετρικές σχέσεις Μετρικές σχέσεις "μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγη, τουτέστιν άδικος μηδείς παρεισερχέσθω τήδε. Ισότης γαρ και δίκαιον εστί γεωμετρία." Πλάτωνας ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Π/01.ν οι διαγώνιες κυρτού τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα, δείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των δύο απέναντι πλευρών ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών. Π/0.ν οι μη παράλληλες πλευρές και ενός τραπεζίου είναι κάθετες, να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των βάσεών του. Π/03.Υπολογίστε τις πλευρές πλευρές ορθογωνίου τριγώνου =90, αν γνωρίζουμε ότι έχουν μήκη α = x + 3, β = x +, γ = x. ( ) Π/04.Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( =90 ) του οποίου η περίμετρος είναι 40 και η υποτείνουσα =17. Να υπολογίσετε τα μήκη των κάθετων πλευρών του. Π/05.Σ'ένα τρίγωνο η προβολή της κορυφής πάνω στη βρίσκεται μεταξύ των και. ν = δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Π/06.Έστω τρίγωνο με < και το ύψος του. ν Μ τυχαίο σημείο του δείξτε ότι : Μ Μ =. Π/07.(Θ. Carnot) ν Μ τυχαίο σημείο στο εσωτερικό τριγώνου και φέρω ΜΕ, Μ, ΜΖ, δείξτε ότι +Ε +Ζ = +Ε +Ζ. Π/08.ν Ε σημείο της διαγωνίου τετραγώνου δείξτε ότι: Ε = Ε Ε και Ε + Ε = Ε. Π/09.ίνεται τραπέζιο (//) με == ˆ ˆ 90. ν Μ,Ν τα μέσα των διαγωνίων του δείξτε ότι : = 4ΜΝ. Π/10.ποδείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των διαμέσων ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με τα 3/ του τετραγώνου της υποτείνουσας.

10 εωμετρία Λυκείου Π/11.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ) Μετρικές σχέσεις και το ύψος του. ν Ε και Ζ οι προβολές του στις και αντίστοιχα, να δείξετε ότι = Ε Ε + Ζ Ζ. Π/1.ν τυχαίο σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου να δείξετε ότι: =. Π/13.Έστω σημείο Μ στην προέκταση της διαγωνίου (προς το ) ρόμβου.είξτε ότι : Μ = Μ Μ. Π/14.ίνεται γωνία xο ˆ y = 45 και σημείο Μ εσωτερικό της πό το Μ φέρνουμε κάθετη στην Ox που την τέμνει στο και την Oy στο. είξτε ότι ΟΜ = Μ +. Π/15.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με βάση και το ύψος του. είξτε ότι + + = Π/16.Έστω τρίγωνο ορθογώνιο στο και το ύψος του. ν = 6 και = 8. ) ρείτε τη. ) ρείτε το. ) ρείτε το. Π/17.Έστω τρίγωνο ορθογώνιο στο και το ύψος του. ν = 6 και = 13, υπολογίστε τα,, και. Π/18.Έστω τρίγωνο ορθογώνιο στο και το ύψος του. ν = 0 και = 5, υπολογίστε τα,,,. Π/19.Έστω τρίγωνο ορθογώνιο στο και το ύψος του. ν = 6,4 και = 3,6 βρείτε τις πλευρές,. Π/0.Έστω τρίγωνο ορθογώνιο στο και το ύψος του. ν 9 = και = 6 υπολογίστε τα,,. 4 Π/1.Έστω ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α, το ύψος του και Μ το μέσο του. Υπολογίστε τα και Μ. Π/.Έστω διάμετρος κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα R. ν Ο, Ο είναι ακτίνες κάθετες μεταξύ τους και Ε, Ζ οι προβολές των και στην, δείξτε ότι ΟΕ + ΟΖ = R. Π/3.Σε ένα τετράγωνο πλευράς 9α παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ πάνω στις πλευρές και αντίστοιχα, έτσι που Ε = 3α και Ζ = α. Να αποδείξετε ότι Ε ΕΖ.

11 εωμετρία Λυκείου Μετρικές σχέσεις Π/4.Έστω η διάμετρος ενός κύκλου και μια χορδή του παράλληλη στη. είξτε ότι + = 4R. Π/5.ν τα τρίγωνα και ''' είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ και ισχύει αα'=ββ'+γγ', δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. Π/6. Έστω τραπέζιο και, Ε Ζ τα ύψη του. ν = 10, = 15, Ε = 5 = 13, να υπολογίσετε τα Ε, ΖΕ,. α+γ β α Π/7.ν σε τρίγωνο ισχύει: + = β α+γ β ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Ε Ζ να αποδείξετε Π/8.ν ορθογώνιο, Ε το μέσο της και Ζ το μέσο της 5, να αποδείξετε ότι: Ε + Ζ = 4 Π/9.ν τα τρίγωνα και ''' είναι ορθογώνια και όμοια μεταξύ τους, δείξτε ότι :αα'=ββ'+γγ' (όπου α, α' οι υποτείνουσες). Π/30.Έστω ορθογώνιο με = α και = α. πό τις κορυφές και φέρνουμε κάθετες στην που την τέμνουν στα Ε και Ζ αντίστοιχα. ) Υπολογίστε την ) Υπολογίστε το Ε ) ποδείξτε ότι Ε = ΕΖ = Ζ. Π/31. Έστω τρίγωνο ορθογώνιο στο με = α και το ύψος α του. ν = υπολογίστε τα:,,. 3 ΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΤΟΣ Π/3.ν σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου και είναι =3, =7 και ==11, να υπολογίσετε το. Π/33.ια τις βάσεις, ενός τραπεζίου ισχύει: =. είξτε ότι + = + +. Π/34.ρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του αν οι πλευρές του είναι: ) α= 3 λβ, = 4 λγ, = 6λκαι λ λ ) α = λ, β =, γ = 3

12 εωμετρία Λυκείου Π/35.ίνεται τρίγωνο με =3, =5 και =7. Υπολογίστε τη γωνία. Π/36.ίνεται ορθογώνιο τριγωνο =90 ( ) Μετρικές σχέσεις με πλευρές α,β,γ. ρείτε το είδος του τριγώνου που έχει πλευρές : 1) κα, κβ, κγ και ) 4α, 4β, 3γ. Π/37. ίνεται τρίγωνο με πλευρές 8, 4 7 και 4. ) Να εξετάσετε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. ) Να υπολογίσετε τη γωνία ˆ του τριγώνου. ) Να αποδείξετε ότι η προβολή της πλευράς πάνω στην είναι Π/38. ίνεται τρίγωνο με 4, 5 και ˆ 10 0, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ν 10 τότε: ) Να αποδείξετε ότι 7. ) Να υπολογίσετε την ημιπερίμετρο του τριγώνου. ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με 4 6. ) Να υπολογίσετε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Π/39.Έστω ισοσκελές τρίγωνο (=) και τυχαίο σημείο της πλευράς.να δείξετε ότι: =.

13 εωμετρία Λυκείου Μετρικές σχέσεις Π/40.ίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και χορδή ΕΖ//. ν Ρ τυχαίο σημείο της να δειχθεί ότι: ΡΕ + ΡΖ = Ρ + Ρ. Π/41.ίνεται τρίγωνο με =, = 7 και φέρω. ) είξτε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. ) Υπολογίστε το ) είξτε ότι = 10. Π/4.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και φέρω ευθεία παράλληλη στη βάση που τέμνει τις και στα και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: Ε = Ε + Ε. Π/43.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ). Προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα =. ποδείξτε ότι: =. Π/44. ν τραπέζιο με βάσεις,, να αποδείξετε ότι: + = + +. Π/45.ίνεται τετράπλευρο με < και < στο οποίο φέρνουμε τις Κ και Λ. Να δειχθεί ότι: + = + + ΚΛ. Π/46.Σε τρίγωνο είναι 5 =, = 13 και = 7. ρείτε το είδος των γωνιών του τριγώνου και υπολογίστε τη μεγαλύτερη γωνία του. Π/47.Σε τρίγωνο με μήκη πλευρών α 7, β 5, γ 4 υπολογίσετε το μήκος του ύψους του. = = = να Π/48.ν σε τρίγωνο ισχύει: γ = α + β + αβ, να υπολογιστεί η γωνία ˆ. Π/49.ν ', ' είναι ύψη οξυγωνίου τριγώνου δείξτε ότι: α = β ' + γ '. Π/50.Σε τρίγωνο είναι =, = 1+ 3, = 6. είξτε ότι: = ˆ 60. Π/51. Έστω τρίγωνο και Ε το ύψος του. Να δείξετε ότι: + Ε Ε = Ε.

14 εωμετρία Λυκείου Μετρικές σχέσεις Π/5. ν στο τρίγωνο με ύψος και διάμεσο Μ είναι: = 97, = 5, = 1. ) ρείτε το είδος του τριγώνου. ) Υπολογίστε τα τμήματα :, Μ,. M Π/53. Στο διπλανό σχήμα έχουμε: ˆ Εˆ 90 0, 4, 5, E 15 και Ε 9. ) Να βρείτε τη πλευρά ) Να βρείτε τη πλευρά. ν η πλευρά ισούται με 5 10, να βρείτε το είδος του τριγώνου.

15 εωμετρία Λυκείου Εμβαδά "Η γεωμετρία, η επιστήμη του χώρου,οι διαστάσεις και οι σχέσεις των αντικειμένων μεταξύ τους πάντα καθόριζαν τους κανόνες της ζωγραφικής. Πρέπει να ειπωθεί ότι η γεωμετρία για τις πλαστικές τέχνες είναι ότι η γραμματική για την τέχνη του συγγραφέα" κιγιώμ πολλιναίρ "Η σύγχρονη ζωγραφική" 197 Εμβαδά Ρ/01.ν Μ σημείο της πλευράς παραλληλογράμμου, να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ) Μ = Μ + Μ. Ρ/0.Έστω τυχαίο σημείο της διαμέσου Μ ενός τριγώνου. Να αποδείξετε ότι ( ) = ( ). Ρ/03.Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ενός παρ-μου. 1 Nα αποδείξετε ότι ( Ε ) + ( Ε ) = ( ). Ρ/04.Έστω τραπέζιο με = 90, = 90, = 4, = 4 και = 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου. Ρ/05.Έστω τραπέζιο με = 5, = 4 και = 5 και = 10. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου. 10 Ρ/06.ίνεται τρίγωνο και οι διάμεσοι του, Ε που τέμνονται στο σημείο Θ. Να αποδείξετε ότι : ) ( ) = ( Ε ) ) ( Θ ) = ( ΕΘ ) ) ( ΘΕ ) = ( Θ ) Ρ/07. Υπολογίστε τις πλευρές ενός παρ-μου με περίμετρο 4 και το ένα ύψος διπλάσιο από το άλλο. Ρ/08.ν Σ είναι σημείο της διαγωνίου παρ-μου να δειχθεί ότι ( Σ ) = ( Σ ). Ρ/09.πό τις κορυφές ενός τετραπλεύρου φέρνουμε παράλληλες προς τις διαγώνιές του. είξτε ότι το παρ/γραμμο που σχηματίζεται έχει εμβαδόν διπλάσιο από αυτό του τετραπλεύρου. Ρ/10. Έστω παραλληλόγραμμο και Κ το μέσο της διαγωνίου. Φέρνουμε μια τυχαία ευθεία που διέρχεται από το σημείο Κ και τέμνει τις και στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα

16 εωμετρία Λυκείου Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ΕΚ = ΚΖ. Ρ/11.ν τραπέζιο και Μ μέσο της.ν η Μ τέμνει τη στο Σ να αποδείξετε ότι: ( ) = ( Σ ). Μ Εμβαδά Σ Ρ/1.ίνεται τετράγωνο πλευράς 4 και σημείο Σ της πλευράς, ώστε Σ = 1. Υπολογίστε την απόσταση του από την Σ. Ρ/13.Σε τρίγωνο είναι = και η διάμεσος = 1. ν είναι = 30 να υπολογιστεί το εμβαδόν του. Ρ/14.Έστω τρίγωνο με = 60. είξτε ότι 3 ( ) = αγ. 4 Ρ/15.Έστω ισοσκελές τραπέζιο, < βάσεις, και Ε το ύψος του. είξτε ότι ( ) = ( Ε ). Ρ/16.Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι 10 και χωρίζει το τραπέζιο σε δύο μέρη με λόγο εμβαδών 3:5. Υπολογίστε τις βάσεις του τραπεζίου. Ρ/17.) ποδείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές το μέσο μιας από τις μη παράλληλες πλευρές τραπεζίου και τα άκρα της άλλης, είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του τραπεζίου. ) ποδείξτε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους μιας από τις μη παράλληλες πλευρές του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτήν. Ρ/18.Οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου σχηματίζουν γωνία είξτε ότι ( ) =. 4 Ρ/19.Ένας ρόμβος έχει περίμετρο 48 και άθροισμα διαγωνίων 6. Υπολογίστε το εμβαδόν του. Ρ/0.Οι διαγώνιες ενός ρόμβου είναι 16 και 1. Υπολογίστε την απόσταση των απέναντι πλευρών του. Ρ/1.ν το άθροισμα των διαγωνίων ρόμβου είναι 14cm και η περίμετρός του 0cm, να βρεθούν το εμβαδόν του και το ύψος του από την κορυφή. Ρ/.ν η γωνία ενός ρόμβου είναι 60, δείξτε ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιας διαγωνίου επί την πλευρά του.

17 εωμετρία Λυκείου Ρ/3.Σε ένα τρίγωνο με = 6 η διάμεσος Μ είναι κάθετη στην και ίση με αυτή. ρείτε το εμβαδόν του. Ρ/4.Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ), Μ το μέσο της και ( ) Ν σημείο της ώστε = 3 Ν.είξτε ότι ( ΜΝ ) =. 3 Ρ/5.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο. πό τυχαίο σημείο Μ της βάσης φέρνω ΜΚ και ΜΛ. είξτε ότι το άθροισμα ΜΚ + ΜΛ είναι σταθερό (ανεξάρτητο της θέσης του Μ ). Ρ/6.ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο. πό τυχαίο σημείο Μ στο εσωτερικό του τριγώνου φέρνω ΜΚ, ΜΛ, ΜΝ. είξτε ότι το άθροισμα ΜΚ + ΜΛ + ΜΝ είναι σταθερό (ανεξάρτητο της θέσης του Μ ). Ρ/7.Έστω Μ τυχαίο σημείο στο εσωτερικό τριγώνου και Μ ΜΕ Μ φέρνουμε Μ, ΜΕ, ΜΖ. είξτε ότι : + + = 1. υ υ υ Ρ/8.Έστω τραπέζιο ( // ) α β γ Εμβαδά κι έστω Μ το μέσο της. ν η παράλληλη από το Μ προς την τέμνει τις βάσεις στα ΚΛ, αντίστοιχα και η ευθεία Μ την στο Σ, να αποδειχθεί ότι ( ΚΛ ) = ( Σ ). Ρ/9.Στην πλευρά τριγώνου παίρνουμε τυχαίο σημείο Κ και από τις κορυφές και φέρνουμε ευθείες παράλληλες προς την Κ που τέμνουν τις προεκτάσεις των και στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ( ΚΛΜ ) = ( ). Ρ/30.ίνεται τρίγωνο και Κ δοσμένο σημείο της τέτοιο που 3 Κ =. ρείτε σημείο Λ στην τέτοιο που ( ) = ( ΚΛ ). 4 Ρ/31.Σε ένα τρίγωνο έχουμε = ˆ 60, = ˆ 45 και = 10. ρείτε το εμβαδόν του. Ρ/3.Ορθογώνιο έχει εμβαδόν Ε =. ποδείξτε ότι η οξεία 4 γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιοί του είναι 30. Ρ/33.Σε τρίγωνο με = ˆ 30 και α = υ α έχουμε ( ) = 9. Να υπολογιστούν τα μήκη των πλευρών και των υψών του.

18 εωμετρία Λυκείου Ρ/34.Σε τραπέζιο οι μη παράλληλες πλευρές και τέμνονται στο Κ. ποδείξτε ότι τα τρίγωνα Κ και Κ είναι ισοδύναμα. Ρ/35.ν η πλευρά ενός τετραγώνου αυξηθεί κατά 4 μ., το εμβαδόν του αυξάνεται κατά 136 τ.μ.. ρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου αυτού. Ρ/36.ν τα σημεία Μ και Ν χωρίζουν την διαγώνιο παραλληλογράμμου σε τρία ίσα μέρη (Μ=ΜΝ=Ν) να αποδείξετε ότι το ΜΝ είναι παραλληλόγραμμο με εμβαδόν το 1/3 του εμβαδού του. Ρ/37.Θεωρούμε ένα τραπέζιο με βάσεις = α, = β με α > β και ύψος υ.ν Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε ( α β ) υ ( Ο ) ( Ο ) =. Ρ/38.ίνεται ένα τετράγωνο με πλευρά α και κέντρο Ο. Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο ΟΕΖΗ με πλευρά β, όπου α < β. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο τετραγώνων. Ρ/39.Ένα τρίγωνο έχει γωνία = ˆ 60 Ρ/40.Σε παραλληλόγραμμο, συνδέουμε την κορυφή με τα μέσα Κ και Λ των πλευρών και αντίστοιχα. Να δείξετε ότι : 1 ( ΚΛ ) = ( ). Ρ/41. Έστω τραπέζιο τέτοιο που = = = και. ) Υπολογίστε την πλευρά ) Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου. Ρ/4.Σε τραπέζιο είναι = = ˆ ˆ 90, = = 3 και = 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου και την απόσταση d του σημείου από την ευθεία. Ρ/43.ίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις = α και = α. Φέρνουμε την ΟΜ όπου Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του και Μ το μέσο της πλευράς. α)υπολογίστε τις πλευρές του ΟΜ, συναρτήσει των α και β. β)είξτε ότι τα τρίγωνα ΟΜ και ΟΜ είναι ισοδύναμα. γ)υπολογίστε το εμβαδόν του ΟΜ, συναρτήσει του α. Εμβαδά, β=1cm, α=3cm και είναι ισοδύναμο με ισόπλευρο τρίγωνο. Υπολογίστε την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου.

19 εωμετρία Λυκείου δ)υπολογίστε τα ύψη του ΟΜ, συναρτήσει του α. Ρ/44.Ένα τετράπλευρο έχει 4, 6 Εμβαδά = = και είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα ρ = 6. Υπολογίστε το εμβαδόν του. (Υπόδειξη : Στο περιγεγραμμένο τετράπλευρο τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα ) Ρ/45.Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) και τα ισόπλευρα τρίγωνα, Ε, Ζ που δεν έχουν κοινά σημεία με το. είξτε ότι ( ) = ( Ε ) + ( Ζ ) Ρ/46.είξτε ότι + + = αβ βγ γα Rρ α Ρ/47.Σε τρίγωνο είναι ( ) = ( τ β )( τ γ ). είξτε ότι β + γ = α. Ρ/48.Σε τρίγωνο είναι β + γ = α. ποδείξτε ότι: ) βγ = 6Rρ ) = υ υ υ γ β α Ρ/49.ν σε τρίγωνο ισχύει: ( τ β)( τ γ) τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Ε= δείξτε ότι το Ρ/50.ν σε τρίγωνο ισχύει: βγ = αυα δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Ρ/51.ν σε τρίγωνο είναι = 5 και = 7 και η διάμεσος Μ = 7 να υπολογιστεί η, το εμβαδόν του και η ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου του κύκλου. Ρ/5. ίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ). Με πλευρές τις αβγ,, του τριγώνου κατασκευάζονται κανονικά πολύγωνα με το ίδιο πλήθος πλευρών. ν Ε α, Ε β και Ε γ είναι αντίστοιχα τα εμβαδά των πολυγώνων αυτών, να αποδείξετε ότι Ε β +Ε γ =Ε α. Ρ/53.ίνεται τρίγωνο με α = 68, β = 3, γ = 60 και το ύψος του Κ. είξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και βρείτε το λόγο των εμβαδών ( Κ ) και ( Κ ). Ρ/54.Έστω ορθογώνιο τρίγωνο και το ύψος του Κ. ν = γ και = β υπολογίστε τα Κ,( Κ ) και ( Κ ). Ρ/55.Στις προεκτάσεις των πλευρών,, τριγώνου παίρνουμε τα σημεία ΕΖ,, αντίστοιχα, ώστε =Ε=Ζ= 4.

20 εωμετρία Λυκείου Υπολογίστε το λόγο των εμβαδών των τριγώνων ΕΖ και αν α =, β = 3, γ = Εμβαδά Ρ/56.Υπολογίστε τις ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου που είναι ισοδύναμο με τρίγωνο, όταν η γωνία των ίσων πλευρών του είναι ίση με τη γωνία και είναι = 10 και = 6,4. Ρ/57.Στις πλευρές,, τριγώνου παίρνουμε Κ =, 3 8 Λ =. Να αποδείξετε ότι 9 ( ΚΛΜ ) = ( ). 9 Ρ/58.Στις πλευρές,, τριγώνου παίρνουμε Ε 1 Μ =, 3 3 =, Ε =, Ζ =. Να αποδείξετε ότι ( ΕΖ ) = ( ) Ρ/59.Έστω τρίγωνο. Στις πλευρές του,, παίρνουμε 1 1 αντίστοιχα τα σημεία,ε,ζ έτσι ώστε =, Ε = 3 Υπολογίστε : α)τα εμβαδά των τρίγώνων Ε, ΕΖ, Ζ, αν γνωρίζουμε το εμβαδόν του τριγώνου =Ε, και β)το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖ αν γνωρίζουμε ότι =Ε. Ρ/60. Στο διπλανό τραπέζιο υπολογίστε: ) Το Ε ) Το Ζ ) Το ) Το () 1, Ζ =. 4 Ρ/61.Προεκτείνουμε την πλευρά τριγώνου προς το κατά 3 5 το τμήμα = και την προς το κατά τμήμα Ε =. Να 5 7 υπολογιστεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου Ε συναρτήσει του ( ) = Ε. Ρ/6.Σε τρίγωνο φέρνω ευθεία ε παράλληλη στην που τέμνει τις άλλες πλευρές στα και Ε. είξτε ότι ( ) = ( Ε) ( ). Ρ/63.ν Ο το σημείο τομής των διαγωνίων τραπεζίου (//), δείξτε ότι ( Ο ) = ( Ο) ( Ο ). Ρ/64.ίνεται τρίγωνο και από τυχαίο εσωτερικό του σημείο Μ φέρνω τα τμήματα ΜΚ, ΜΛ, ΜΝ ίσα και κάθετα στις πλευρές,, αντίστοιχα. είξτε ότι ( ΚΛΝ ) = 3( ) Ζ

21 εωμετρία Λυκείου Ρ/65.ν τραπέζιο ( // ) με = 4, = 6 και ( ) = 6. ) Υπολογίστε το εμβαδόν του ) Υπολογίστε το εμβαδόν του Ο = Ο ) είξτε ότι ( ) ( ) ) είξτε ότι ( Ο ) Ο = ( Ο) Ο υ Ο = Ε) είξτε ότι ( ) ( Ο) O 4 9. Εμβαδά Ρ/66.ποδείξτε το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου με τρόπο που να στηρίζεται στα εμβαδά. Ρ/67.ύο τρίγωνα και ''' έχουν =και ' + ' = 180 Να α β δειχθεί ότι =. α' β ' Ρ/68.Στο εσωτερικό ενός τριγώνου παίρνουμε ένα σημείο Κ ώστε να είναι Κ ˆ = Κ ˆ = 10 και Κ=cm, K=6cm, K=10cm.Να υπολογιστούν τα εμβαδά των τριγώνων Κ και. Ρ/69.Θεωρούμε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες xoy, yoz, zox και επί των ημιευθειών Ox, Oy, Ozτα σημεία,, αντιστοίχως ώστε Ο=1, Ο=4, Ο=8. Να δείξετε ότι ( ) = Ρ/70.Ένα παραλληλόγραμμο έχει μία γωνία του πενταπλάσια από μια άλλη και την περίμετρό του δωδεκαπλάσια μιας πλευράς του. ν το εμβαδόν του είναι 40cm να υπολογιστούν οι πλευρές και τα ύψη του. Ρ/71.ίνεται τρίγωνο με ύψος Η= 3, γωνία = ˆ 60 και γωνία = ˆ 45.Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου, το εμβαδόν του και τα ύψη του προς τις πλευρές και. Ρ/7.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο (=) με =6cm και γωνία ˆ = 10. α) ρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. 1 β) ν Ε σημείο της, τέτοιο που Ε = Εκαι το ύψος του τριγώνου, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου Ε. Ρ/73.ίνεται τρίγωνο με β=γ, διχοτόμος του και Μ μια ( Μ ) 1 διάμεσός του. είξτε ότι: = και ( Μ ) 1 =. ( Μ) ( ) 3

22 εωμετρία Λυκείου Ρ/74.Σε τρίγωνο είναι α=17cm, β=8cm, και γ=15cm. α) Να αποδείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, και ( ) β) ν το ύψος του, υπολογίστε το. ( ) Ρ/75.Εστω τραπέζιο και τα ύψη του Ε, Ζ. ν = 4, = 5, = 4 και Ε=Ζ= 4, τότε:. ) Υπολόγισε τη ) Υπολόγισε το ( ) ) είξε ότι ( ) = ( ) Ε ) είξτε ότι ( Ο ) = ( Ο ) Ε) είξτε ότι: ( Ο ) Ο ( Ο ) 11 = και = ( Ο) Ο ( Ο) 16 Ο 7 ΣΤ) ν = υπολόγισε τα ( Ο ) και ( Ο ). 15 Ρ/76.Έστω τραπέζιο με, Ζ μέσο του και Ε το ύψος του. Ζ ν = α, = α + 1, = α και = α +, τότε: ) Να βρεθούν οι πλευρές του τραπεζίου Η Ε ) Να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου ) ποδείξτε ότι ( ) = ( Η ) ) Να βρεθεί η απόσταση του από τη. Ρ/77.Ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν 90cm. πό ένα σημείο Μ του ύψους, που το διαιρεί σε δύο τμήματα Μ,Μ με λόγο /1, φέρουμε παράλληλη προς τη που τέμνει τις, στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Υπολογίστε το (ΕΖ). Ρ/78.Υπολογίστε τις πλευρές ισοσκελούς τραπεζίου, αν γνωρίζετε ότι η περίμετρός του είναι 60 m, το εμβαδόν του 160 m και το ύψος του 8 m. Ρ/79.Σε τραπέζιο (//) είναι = = και η βάση είναι κατά μικρότερη από το άθροισμα των τριών άλλων πλευρών. ν το ύψος του τραπεζίου είναι 5, να υπολογίσετε το εμβαδόν του. Ο Ζ Εμβαδά

23 εωμετρία Λυκείου Εμβαδά Ρ/80.ίνεται ένα τραπέζιο, που έχει βάσεις = 70cm, = 0cm και μη παράλληλες πλευρές = 40cm και = 30cm ποδείξτε ότι οι και είναι κάθετοι και να υπολογίσετε το εμβαδόν του. Ρ/81.είξτε ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο με διαμέσους µ, µ, και εμβαδόν Ε, ισχύει: µ µ + = 3Ε 3. α β µ γ α + β µ γ Ρ/8. ίνεται τρίγωνο με πλευρές: α 5 β 4 γ 3 x, x, x ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου E ως συνάρτηση του x. ) ν E 4cm τότε : 1) Να βρείτε το x. ) Να υπολογίσετε το ύψος προς τη υποτείνουσα. Ρ/83.ιαιρέστε ένα τετράγωνο πλευράς α = 6cm σε τρία ισοδύναμα μέρη με ευθείες που διέρχονται από μία κορυφή του. Ρ/84.Έστω τρίγωνο, Ε, τα μέσα των πλευρών του,, Η το μέσο του Ε και Ζ το μέσο του. ποδείξτε ότι ( ) = 16( ΗΖ ). Ρ/85. Θεωρώ τρίγωνο και τη διάμεσό Του Μ. ν = 5, = 13 και Μ = 61 βρείτε: ) την. ) το είδος του τριγώνου. ) το εμβαδόν του τριγώνου. Μ Ρ/86. Έστω τρίγωνο. ν οι πλευρές του τριγώνου είναι α= 5, β= 7, γ= 8, να υπολογίσετε: ) Το εμβαδόν του τριγώνου. ) Τα ύψη του ) την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου ) Την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου Ε) Το ημίτονο της γωνίας. Ρ/87. Έστω τρίγωνο. ν οι πλευρές του τριγώνου είναι α= 5, β= 6, γ= 7, να υπολογίσετε: ) Το εμβαδόν του τριγώνου. ) Τα ύψη του. ) την ακτίνα R και το μήκος του περιγεγραμμένου κύκλου. ) Την ακτίνα ρ και το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου. Ρ/88. Έστω στο τρίγωνο με ύψος Είναι = 8, = 10, = 6: ) είξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

24 εωμετρία Λυκείου Z M H Εμβαδά ) Υπολογίστε τα, και. ) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγ.. ) ρείτε το λόγο: ( ) ( ). Ρ/89. ίνεται ορθογώνιο με κέντρο Ο, Λ εμβαδόν () = 48 και = 8, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Προεκτείνουμε την διαγώνιο κατά τμήμα Μ = και την πλευρά κατά τμήμα Λ. ) Να υπολογίσετε την πλευρά και O την διαγώνιο του ορθογωνίου. K ) ν Κ, η προβολή του πάνω στην, να υπολογίσετε την προβολή Κ της πάνω στην. ) Να υπολογίσετε τον λόγο (Ο) (ΛΜ). ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν (ΛΜ) του τριγώνου ΛΜ. Ρ/90. Στο παρακάτω σχήμα, το σημείο Ζ είναι το μέσο της πλευράς και το σημείο Η είναι το μέσο της πλευράς του παραλληλογράμμου. ν το Μ είναι ένα τυχαίο σημείο του τμήματος ΗΖ και το εμβαδόν του είναι 0, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου Μ. Μ Ρ/91. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) φέρνουμε το ύψος και τη διάμεσο Μ, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. ν ισχύει 6 και 8, να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων,, και Μ, καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου Μ.

25 εωμετρία Λυκείου Ρ/9.Θεωρούμε τρεις διαδοχικές γωνίες xoy ˆ, yoz ˆ, zox ˆ έτσι ώστε xoy ˆ = yoz ˆ = 150. Στις ημιευθείες Ox, Oy, Oz παίρνουμε τα σημεία,, αντίστοιχα έτσι ώστε Ο=, Ο=4 και Ο=6. α. Να υπολογίσετε το εμβαδόν (Ο) του τριγώνου Ο ( Ο ) β. Να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών. ( Ο) (3 ο θέμα Πανελλαδικών 001) Ρ/93. ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με πλευρές = 7, = 6, = 5 και το ύψος του. ) Υπολογίστε το. ) Να βρείτε το ύψος. ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι 6 6. ) Να βρείτε τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου. Ε) ν προεκτείνουμε την πλευρά προς το μέρος του κατά 1 ευθύγραμμο τμήμα, να βρείτε το λόγο των εμβαδών 3. Ρ/94.ίνεται ορθογώνιο τραπέζιο με //, <, = = ˆ ˆ 90, = 4, = 3, = 5. Να υπολογίσετε: α) την προβολή της πάνω στην, β) το εμβαδόν του τραπεζίου, γ) το εμβαδόν του τριγ.. ( ο θέμα Πανελλαδικών 000) Ρ/95. Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Κ και Λ είναι μέσα των και αντίστοιχα. είξτε ότι : α) Ο λόγος των εμβαδών των ριγώνων Κ και Λ είναι ίσος με 1. Κ Λ Ρ Εμβαδά β) ν Ρ είναι το σημείο τομής των Λ και Κ, τότε τα τρίγωνα ΛΡ και ΚΡ έχουν ίσα εμβαδά. (3 ο θέμα Πανελλαδικών 1999) Ρ/96.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με = = 1 και = 3. Να υπολογίστε: α. τη γωνία ˆ.

26 εωμετρία Λυκείου Εμβαδά β. το εμβαδόν του τριγώνου. γ. τη διάμεσο Μ = µ β. ( ο θέμα Πανελλαδικών 003) Ρ/97.Στο σχήμα που ακολουθεί,δίνεται κύκλος (O,R) διαμέτρου και ημιευθεία x τέτοια, ώστε η γωνία x να είναι 30. Έστω ότι η x τέμνει τον κύκλο στο σημείο. Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο, x η οποία τέμνει τη x στο σημείο Ρ. είξτε ότι: Ρ α. =R ( Ρ) β. = 4 ( Ρ) Ο γ. R 3 Ρ =. 3 (3 ο θέμα Πανελλαδικών 00) Ρ/98. ίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών γ =, β = 1+ βγ και εμβαδόν ( ) =. 4. Να αποδείξετε ότι το μήκος της πλευράς α = 3. Να υπολογίσετε την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.. Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της πλευράς πάνω στην πλευρά. (3 ο Θέμα Πανελλαδικών 004) Ρ/99.ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο, πλευράς α. Στις πλευρές,, παίρνουμε τα σημεία ΕΖ,, ώστε = Ε = Ζ= 1 3 α όπως στο διπλανό σχήμα. Ζ Να υπολογίσετε το εμβαδόν ως συνάρτηση του α. α. του τριγώνου Ζ Ε β. του τριγώνου ΕΖ γ. του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο. (4 ο θέμα Πανελλαδικών 003)

27 εωμετρία Λυκείου Ρ/100. Έστω τραπέζιο με = 9, = 10, = 10, = 1. ) Υπολογίστε τη διαγώνιο. ) Υπολογίστε το ύψος Ε. ) Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου. Ρ/101. ίνεται τρίγωνο με 4 φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 0 1, 5 και Ε Εμβαδά Ζ ˆ 10 0, όπως ν 10 τότε: 5 ) Να αποδείξετε ότι 7. ) Να υπολογίσετε την ημιπερίμετρο του τριγώνου. ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με 4 6. ) Να υπολογίσετε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

28 εωμετρία Λυκείου Μέτρηση κύκλου Kανονικά Πολύγωνα Ως ο γεωμέτρης που όλος βυθισμένος τον κύκλο να μετρήσει, μα δε βρίσκει στο νού του το θεμέλιο που 'χει ανάγκη, όμοια κι εγώ στο αλλόκοτο αυτό θάμμα. Ποθώ να δω μορφή πως σμίγει ανθρώπου με κύκλο Θείο και πως τοπώνει εντός του. Όμως γι' αυτό μικρές οι φτερούγες μου. άντης, Θεία Κωμωδία Σ/01.Eξετάστε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με κεντρική γωνία : α) 5 β) 15 γ) 4 Σ/0.Εξετάστε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο του οποίου η γωνία να είναι: α) 80 β) 140 γ) 165 Σ/03.Ο λόγος των αποστημάτων δύο κανονικών πολυγώνων με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι 3. Να βρείτε : 4 ) Το λόγο των εμβαδών τους. ) Τις περιμέτρους αν διαφέρουν κατά 8cm. Σ/04. ) ν το απόστημα κανονικού εξαγώνου είναι 6 3m υπολογίστε την ακτίνα του και το εμβαδόν του. ) Όμοια αν το απόστημα κανονικού τετραγώνου είναι 6 m υπολογίστε την ακτίνα του και το εμβαδόν του. Σ/05.ποδείξτε ότι η γωνία κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές είναι αμβλεία όταν ν > 4. R λ λ ν 4R λ Σ/06.είξτε ότι : αν = και λ = ν ν ν. R R Σ/07.ν Εα, Εβ, Ε γ είναι τα εμβαδά κανονικών ν-γώνων που έχουν πλευρές ίσες αντίστοιχα με τις πλευρές αβγ,, ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα α, δείξτε ότι Ε α =Ε β +Ε γ. Σ/08.Στις προεκτάσεις των πλευρών,,. τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ( OR, ) παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα Κ = Λ = Μ = Ν =, όπου λ 3 η πλευρά του εγγεγραμμένου στον κύκλο λ 3

29 εωμετρία Λυκείου Ε Ζ Μέτρηση κύκλου κανονικού τριγώνου. είξτε ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και υπολογίστε την ακτίνα του περιγγεγραμμένου του κύκλου. Σ/09.Ένα τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (, R) = λ 3. Υπολογίστε τις γωνίες και το εμβαδόν του. ν ν ν Ο έχει = λ4 και Σ/10.ποδείξτε ότι Ε =Ε Ε όπου Ε ν το εμβαδόν του κανονικού ν- γώνου του εγγεγραμμένου στον κύκλο, Ε ν το εμβαδόν του περιγεγραμμένου στον κύκλο κανονικού ν-γώνου και Εν το εμβαδόν του εγγεγραμμένου στον κύκλο κανονικού ν-γώνου Σ/11.Οι προεκτάσεις των πλευρών και κανονικού εξαγώνου ΕΖ εγγεγραμμένου σε κύκλο ( Ο, R) τέμνονται σε σημείο Σ. Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου Σ. Σ/1.Μια αυλή πρόκειται να στρωθεί με πλάκες τριών σχημάτων κανονικού κ-γώνου, λ-γώνου και μ-γώνου. είξτε ότι = 1. κ λ µ Σ/13.Έστω ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (, ) OR. ν στην προέκταση της προς το πάρουμε Σ = και από το Σ φέρουμε την εφαπτομένη ΣΜ του κύκλου, δείξτε ότι ΣΜ = 3λ4. Σ/14.ν Σ το μέσο της πλευράς Ε κανονικού εξαγώνου ΕΖ εγγεγραμμένου σε κύκλο ( Ο, R), να βρεθεί το εμβαδόν καθενός από τα μέρη στα οποία η Σ χωρίζει το εξάγωνο. Σ/15.Σε κύκλο εγγράφουμε τετράγωνο και κανονικό οκτάγωνο. ρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τις περιμέτρους των δύο αυτών σχημάτων. Σ/16.ν σε κύκλο ( Κ, R), είναι = R και = R 3 δύο παράλληλες χορδές εκατέρωθεν του κέντρου Κ, υπολογίστε τις χορδές και, το εμβαδόν του τραπεζίου και το εμβαδόν του κύκλου που βρίσκεται έξω από το τραπέζιο. Σ/17.ίνεται τετράγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και στην προέκταση της παίρνουμε τμήμα Η=. είξτε ότι η Η εφάπτεται στον κύκλο. Σ/18.ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο, Ζ το μέσο του τόξου και Η το μέσο της. ν η ΖΗ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Θ,βρείτε τα μήκη των ΖΗ και ΗΘ. Ο

30 εωμετρία Λυκείου Σ/19. ίνεται ένας κύκλος (, R) Μέτρηση κύκλου Ο και μια χορδή του = λ4. Στην ημιευθεία θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε = R. ν = x είναι εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου, να δείξετε ότι x = λ8 όπου λ 8 η πλευρά του κανονικού οκταγώνου του εγγεγραμμένου στον κύκλο. Σ/0.Υπολογίστε ως συνάρτηση του R η πλευρά λ 8 και το απόστημα α ενός κανονικού οκταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ( Ο, R). 8 Σ/1.ποδείξτε ότι ένα δάπεδο μπορεί να καλυφθεί με τρία μόνο είδη πλακιδίων που έχουν σχήμα κανονικού ν-γώνου και είναι ίσα μεταξύ τους. Σ/.. Έστω ένας κύκλος (, R) Ο. α. Στον κύκλο ( Ο, R) να εγγράψετε τετράγωνο. β. Να αποδείξετε ότι λ 4 = R όπου λ 4 η πλευρά του τετραγώνου. R γ. Να αποδείξετε ότι α 4 =, όπου α 4 το απόστημα του τετραγώνου.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη ' Σωστό'' αν η πρόταση είναι σωστή και "Λάθος" αν η πρόταση είναι λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. ν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο της ομοιότητας. β. Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροί-σματος των βάσεών του επί το ύψος του. γ. Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο ( Ο, R) ορίζεται με τον τύπο: Ρ ( Ο, R) = R + ΟΡ. δ. Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολής της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτή.. Ποιο πολύγωνο λέγεται κανονικό ; (1 ο θέμα Πανελλαδικών 003) Σ/3.Έστω κανονικό πολύγωνο 1 ν εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R. ν η γωνία του πολυγώνου είναι ϕ ν = 150, να βρείτε :. Τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου. Την κεντρική γωνία του πολυγώνου. Το εμβαδόν του πολυγώνου συναρτήσει της ακτίνας R. ( ο Θέμα Πανελλαδικών 004)

31 εωμετρία Λυκείου Μέτρηση κύκλου Μέτρηση κύκλου Σ/4. Ο τροχός ενός αυτοκινήτου σε ν στροφές διατρέχει απόσταση S. Υπολογίστε την ακτίνα του τροχού. Σ/5. Όταν ένα ποδήλατο διανύει μια απόσταση, ο ένας τροχός του, που έχει ακτίνα R, κάνει v στροφές, ενώ ο άλλος που έχει ακτίνα ρ κάνει µ R µ στροφές. Να δείξετε ότι =. ν ρ Σ/6. ύο τόξα µ και ν ενός κύκλου (, R) Ο έχουν μέτρα 7 και 3π 5 rad αντίστοιχα. Το μήκος του τόξου µ είναι π. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου και το μήκος του τόξου ν. Σ/7. ύο κάθετες χορδές, ενός κύκλου ( Ο, ρ) έχουν μήκη 6cm και 8cm αντίστοιχα. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου και το μήκος ενός τόξου του που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 3rad. ρείτε επίσης το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου. Σ/8. ν στο σχήμα = 6cm και = 8cm, υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου και το Ο εμβαδόν του μέρους του κύκλου που βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Σ/9. ύο κύκλοι (, R),(, ρ) Κ Λ έχουν διάκεντρο ΚΛ =, R = 3 και ρ = 1. ποδείξτε ότι οι κύκλοι τέμνονται και να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου σχήματος που ορίζεται από τα σημεία τομής των κύκλων και τα δύο κυρτογώνια τόξα. Σ/30. Να βρεθεί ο λόγος των δύο τμημάτων στα οποία χωρίζεται ένας κύκλος ( Ο, R) από μια χορδή του = R. Σ/31. ίνεται τετράγωνο πλευράς α. ν γράψουμε τα τόξα των κύκλων (, α),(, α) που είναι στο εσωτερικό του τετραγώνου, να υπολογιστεί το εμβαδόν του μέρους του τετραγώνου που είναι εκτός των τόξων. Σ/3. ίνεται τετράγωνο πλευράς α. Με διαμέτρους τις, γράφουμε δύο ημικύκλια εντός του τετραγώνου. Να βρεθεί το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο ημικυκλίων.

32 εωμετρία Λυκείου Σ/33. ύο ίσοι κύκλοι (, ρ),(, ρ) K Μέτρηση κύκλου Κ Λ εφάπτονται σε σημείο και είναι ένα κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους. Να υπολογιστεί η περίμετρος και το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου. Σ/34. ίνεται κύκλος ( Κρ, ) και στην προέκταση μιας ακτίνας του Κ παίρνουμε τμήμα = Κ και από K το φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου. ) είξτε ότι ˆ Κ= 60 ) ρείτε το εμβαδόν του τριγώνου Κ. ) ρείτε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου. ) ρείτε την περίμετρο του μικτόγραμμου τριγώνου. Ε) ρείτε την ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Κ,,. Σ/35. Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε σε κύκλο με τη διάμετρο και το ύψος του. ν = 4 και = 3, τότε: ) Υπολογίστε το ) Υπολογίστε το ) Υπολογίστε το μήκος του κύκλου ) Υπολογίστε το εμβαδόν του κύκλου Ε) Υπολογίστε το μέρος του κύκλου που βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Σ/36. ύο ακτίνες Ο, Ο κύκλου σχηματίζουν γωνία 60. πό το σημείο φέρνω την κάθετη στην εφαπτομένη του κύκλου στο. Υπολογίστε το εμβαδόν του μέρους που περιλαμβάνεται μεταξύ της, της και του τόξου. Σ/37. ύο κύκλοι (, ρ),(,3 ρ) Κ Λ εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο. ν το κοινό εξωτερικό τους εφαπτόμενο τμήμα, τότε: ) Υπολογίστε το τμήμα. ) Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου ΚΛ. ) Υπολογίστε τη γωνία ΛΚ ) Υπολογίστε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου που περικλείεται από τη και τα τόξα και. Λ

33 εωμετρία Λυκείου Μέτρηση κύκλου Σ/38.ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ( Ο, ρ). ράφουμε τα τόξα των κύκλων (, ρ),(, ρ) και (, ρ) που περιέχονται στον κυκλικό δίσκο ( Ο, ρ). Υπολογίστε το εμβαδόν του σχηματιζόμενου τρίφυλλου. Σ/39.ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με υποτείνουσα = α. Με κέντρο και και ακτίνα το μισό του ύψους γράφουμε κύκλο. ρείτε το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του μέρους του που είναι έξω από το τρίγωνο. Σ/40.ίνεται κύκλος ( Κ, R) και μία διάμετρός του. ν με κέντρο το και ακτίνα την πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου στον κύκλο αυτό γράψουμε νέο κύκλο, να βρεθεί το εμβαδό του κοινού μέρους των δύο κύκλων. Σ/41. Έστω ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με πλευρά λ 3 = 4 3. Υπολογίστε το εμβαδόν του μέρους του κύκλου που βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Σ/4.Με διάμετρο την πλευρά = α ισοπλεύρου τριγώνου, γράφουμε ημικύκλιο που τέμνει τις, στα Η και Θ αντίστοιχα. Υπολογίστε το εμβαδόν του ημικυκλίου που βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο. Σ/43. Θεωρώ τρεις ίσους κύκλους ( Κρ, ) ( Λρ, ) και ( Μρ, ) που εφάπτονται ανά δύο στα σημεία.,, Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του σχηματιζόμενου καμπυλόγραμμου τριγώνου. Σ/44.Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ( = ) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ( Ο, ρ). ν γράψουμε το τόξο του κύκλου (, ) που περιέχεται στον κυκλικό δίσκο ( Ο, ρ), να δειχθεί ότι το εμβαδόν του σχηματιζόμενου μηνίσκου είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. Σ/45.ίνεται τετράγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ( Κ, ρ). Με κέντρα τις κορυφές και και ακτίνα γράφουμε δύο τεταρτοκύκλια εντός του τετραγώνου. ρείτε το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο τεταρτοκυκλίων. Κ Μ Λ

34 εωμετρία Λυκείου Σ/46.ύο ίσοι κύκλοι (, ρ),(, ρ) Ο Σ Μέτρηση κύκλου Κ Λ έχουν διάκεντρο ΚΛ = ρ. Να βρεθεί το εμβαδόν του κοινού μέρους τους. Σ/47.Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των δύο κυκλικών τμημάτων στα οποία χωρίζεται ένας κύκλος ( Κ, R) από μία χορδή κάθετη στο μέσο μιας ακτίνας του. Σ/48.ίνεται ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέτρου = ρ. Με διαμέτρους Ο, Ο γράφουμε ημικύκλια. Να βρεθεί το εμβαδόν και το μήκος του κύκλου που εφάπτεται στα τρία αυτά ημικύκλια. Σ/49.Να βρεθεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που είναι εγγεγραμμένος σε κυκλικό τομέα ακτίνας R και γωνίας 10. Σ/50. Να βρεθεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που είναι εγγεγραμμένος σε κυκλικό τομέα ακτίνας R και γωνίας 60. Σ/51. ίνεται κύκλος (, R) Ο και τα διαδοχικά του τόξα = 90 και = 30. Να βρεθεί το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου. Σ/5. ίνεται κύκλος ( Ο, R) και δύο κάθετες ακτίνες του Ο, Ο. Με κέντρο το και ακτίνα R γράφουμε τόξο που τέμνει το τόξο στο Μ. ρείτε το εμβαδόν του μικτογράμμου σχήματος ΜΟ. Σ/53. ίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι (, ),(, ) Ο ρ Ο ρ. πό το τυχαίο σημείο του μεγάλου κύκλου φέρνω τις εφαπτόμενες Μ, Ν του μικρού όπου ΜΝ, τα σημεία επαφής. Υπολογίστε το εμβαδόν του μικτογράμμου σχήματος που ορίζεται από τα ευθύγραμμα τμήματα Μ, Ν και το κυρτογώνιο τόξο ΜΝ. Σ/54. ίνεται κύκλος με διάμετρο. Να βρεθεί σημείο Μ στην τέτοιο που αν με διαμέτρους τα Μ και Μ γράψουμε ημικύκλια εκατέρωθεν της, η γραμμή που σχηματίζεται από τα ημικύκλια να διαιρεί τον κυκλικό δίσκο σε δύο μέρη με λόγο εμβαδών 3/. Σ/55. ίνεται τεταρτοκύκλιο Κ με ακτίνα Κ = α και με διαμέτρους τις Κ, Κ γράφουμε ημικύκλια μέσα στο τεταρτοκύκλιο, που τέμνονται στο. ρείτε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου. Σ/56. ίνεται κύκλος κέντρου Κ και ακτίνας ρ σημείο Ο εξωτερικό του. πό το Ο φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα Ο, Ο προς τον κύκλο. ν Ο = 60 και Ο = 4 3: ) είξτε ότι ρ= 4 ρ ρ Κ

35 εωμετρία Λυκείου Μέτρηση κύκλου ) είξτε ότι Κ = 10 ) Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΟΚ. ) Υπολογίστε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου που ορίζεται από τα τμήματα Ο, Ο και το τόξο Σ. Ε) Υπολογίστε τη δύναμη του σημείου Ο ως προς τον κύκλο. Σ/57. ίνεται κύκλος (Ο,R) διαμέτρου και ημιευθεία x που τέμνει τον κύκλο στο σημείο, ώστε η γωνία Ρ 30. Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο, η οποία τέμνει τη x στο σημείο Ρ. ) Να αποδείξετε ότι: = R. ) Να αποδείξετε ότι: (Ρ) 4 (Ρ). R 3 3. Να αποδείξετε ότι: Ρ 3 Σ/58. ίνεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας R, και δύο διαδοχικές χορδές του και τέτοιες ώστε και.. Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου.. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα (Ο.) με κέντρο Ο και αντίστοιχο τόξο.. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου Ο. Σ/59. ίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο με = 90, = 5, = 4 5, το ύψος του και κατασκευάζω τον κύκλο κέντρου και ακτίνας. ) Υπολογίστε τη ) ποδείξτε ότι =. ) Υπολογίστε το. ) Υπολογίστε το εμβαδόν του κύκλου, το εμβαδόν του τριγώνου, το εμβαδόν του μέρους του κύκλου που βρίσκεται εκτός του τριγώνου και το εμβαδόν του μέρους του τριγώνου που βρίσκεται εκτός του κύκλου. Σ/60. ίνεται τρίγωνο, το ύψος του και η διάμεσος του Μ. ν = 5, = 97, και Μ = 5: ) Υπολογίστε την. Ο Ο Μ

36 εωμετρία Λυκείου ) Υπολογίστε το Μ. ) Υπολογίστε το. ) ρείτε το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου διαμέτρου. Μ Μέτρηση κύκλου Σ/61. ίνεται τρίγωνο το ύψος του και η διάμεσός του Μ. ν = 4, = 4 3 και Μ = 4: ) ρείτε τη. ) ρείτε τη Μ. ) Υπολογίστε το ύψος. ) είξτε ότι το τριγ. είναι ορθογώνιο. Ε) Υπολογίστε το εμβαδόν του κύκλου, το εμβαδόν του τριγώνου, το εμβαδόν του μέρους του κύκλου που βρίσκεται εκτός του τριγώνου Μ και το εμβαδόν του μέρους του τριγώνου που βρίσκεται εκτός του κύκλου. Σ/6. Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα R. ν οι πλευρές του τριγώνου είναι α= 5, β= 5, γ= 6, να υπολογίσετε: ) Το εμβαδόν του. ) την ακτίνα R. ) Το εμβαδόν του κύκλου. ) Το εμβαδόν του μέρους του κύκλου που βρίσκετε εκτός του τριγώνου. Σ/63. Έστω τρίγωνο με πλευρές α= 5, β= 7, γ= 8 και ο εγγεγραμμένος του κύκλος με ακτίνα ρ. Να υπολογίσετε: ) Το εμβαδόν του. ) την ακτίνα ρ. ) Το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου. ) Το εμβαδόν του μέρους του τριγώνου που βρίσκεται εκτός του κύκλου. Σ/64.Σε τρίγωνο έχει εμβαδόν 1 τ. μον. ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου 4 ρ=, = 7 και = 6. 3 Υπολογίστε την πλευρά, τη διάμεσο Μ, το ύψος και το ηµ. Σ/65. ίνεται κύκλος (O, R) με εμβαδόν Ε = 4π και δύο διαδοχικές χορδές του = λ 6 και = λ 3, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ) Να αποδείξετε ότι R =. ) Να αποδείξετε ότι η χορδή είναι διάμετρος του κύκλου. Σ

37 εωμετρία Λυκείου Μέτρηση κύκλου ) Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου και το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος. Σ/66. Στο σχήμα που ακολουθεί δίνεται το κανονικό εξάγωνο ΕΖ εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο, R) και ο κυκλικός τομέας με κέντρο το και αντίστοιχο τόξο Ζ. Να υπολογίσετε συναρτήσει της ακτίνας R : ) Το εμβαδό του τριγώνου και το εμβαδό του εξαγώνου. ) Την περίμετρο του γραμμοσκιασμένου μέρους του παραπάνω σχήματος ) Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου μέρους του παραπάνω σχήματος. Σ/67. Στο επόμενο σχήμα δίνεται το τραπέζιο με 90, =5, =13 και ()=54. Ο κύκλος διαμέτρου έχει κέντρο το Μ και Μ τέμνει τη στο Ε. ) Να υπολογίσετε την περίμετρο του Ε τραπεζίου. ) Να υπολογίσετε την Μ. ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου Μ. Σ/68.Σε κύκλο (Ο,R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά = 15. Να υπολογίσετε: α) την ακτίνα R του κύκλου. β) το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο,R). γ) το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου. δ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον κύκλο και το ισόπλευρο τρίγωνο. ( ο θέμα Πανελλαδικών 000) Σ/69.ίνεται ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέτρου = R. Στην προέκταση του προς το, θεωρούμε ένα σημείο, τέτοιο ώστε = R. πό το φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα Ε του ημικυκλίου. Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο σημείο τέμνει την προέκταση του τμήματος Ε στο σημείο. α. Να αποδείξετε ότι Ε = R.

38 εωμετρία Λυκείου Μέτρηση κύκλου β. Να αποδείξετε ότι Ο = Ε γ. Να υπολογίσετε το τμήμα συναρτήσει του R. δ. Να υπολογίσετε το άθροισμα των εμβαδών των μικτόγραμμων τριγώνων Ε και Ε συναρτήσει του R. (4 ο θέμα Πανελλαδικών 001) Σ/70.α) Ένας τετραγωνικός κήπος έχει πλευρά 40 μέτρα Στις τέσσερις κορυφές του τοποθετούνται περιστρεφόμενοι μηχανισμοί ποτίσματος που έχουν τη δυνατότητα να ποτίζουν κυκλικές περιοχές (κυκλικούς δίσκους) ακτίνας 5 μέτρων. α)να βρείτε το εμβαδόν του κήπου που δεν ποτίζεται, όταν λειτουργούν και οι τέσσερις μηχανισμοί ταυτόχρονα. β) Ένας πέμπτος μηχανισμός, που τοποθετείται στο κέντρο του κήπου και ποτίζει μια κυκλική περιοχή αυτού, λειτουργεί ταυτόχρονα με τους άλλους τέσσερις.ποια είναι η ακτίνα της μεγαλύτερης κυκλικής περιοχής που πρέπει να ποτίζει ο κεντρικός μηχανισμός έτσι, ώστε καμιά περιοχή του κήπου να μην ποτίζεται από δύο ή περισσότερους μηχανισμούς ; γ) Πόσο είναι το εμβαδόν του κήπου που παραμένει απότιστο στην περίπτωση δ) Ποια είναι η ακτίνα της μικρότερης κυκλικής περιοχής που πρέπει να ποτίζει ο κεντρικός μηχανισμός έτσι, ώστε καμιά περιοχή του κήπου να μη μένει απότιστη, όταν λειτουργούν και οι πέντε μηχανισμοί ταυτόχρονα; (4 ο θέμα Πανελλαδικών 1999) Σ/71.Στο σχήμα που ακολουθεί, σε Η τετράγωνο πλευράς 7 cm, εγγράφουμε τετράγωνο ΕΖΗΘ έτσι, ώστε : Θ Ε = Ζ = Η = Θ = 3cm α. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ. β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου K ΕΖ και να αποδείξετε ότι η ακτίνα του Ζ εγγεγραμμένου κύκλου (Λ,ρ) στο Λ τρίγωνο ΕΖ είναι ρ=1cm. Ε γ.εάν (K,R) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος στο τετράγωνο ΕΖΗΘ, να υπολογίσετε το λόγο του εμβαδού του κύκλου (K,R) προς το εμβαδόν του κύκλου (Λ,ρ). (4 ο θέμα Πανελλαδικών 00) Σ/7.1.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεων του επί το ύψος του..να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη "Σωστό" ή "Λάθος" δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

39 εωμετρία Λυκείου R Μέτρηση κύκλου Ρ ( O, R) > α. Το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου ( O, R), αν και μόνο αν 0 Ρ όπου ( O, R) η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο ( O, R). β. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία: α < β + γ, αν και μόνο αν < γ. Το εμβαδόν Ε κάθε τριγώνου δίνεται από τον τύπο Ε = αβηµ. δ. Σε κύκλο ( O, R), το εμβαδόν Ε του κυκλικού τομέα µ δίνεται από τον πr µ τύπο Ε =. 180 ε. Το 1 ο θεώρημα των διαμέσων σε κάθε τρίγωνο εκφράζεται από τον µ α τύπο β + γ = α +.α. Να εγγραφεί κανονικό εξάγωνο σε κύκλο ( O, R) και να αποδείξετε ότι λ 6 = R, όπου λ 6 η πλευρά του εξαγώνου. R 3 β. Να αποδείξετε ότι α 6 = όπου α 6 το απόστημα του εξαγώνου. (1 ο θέμα Πανελλαδικών 00) Σ/73. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = ˆ 90 ) με μήκη πλευρών = R και = R 3. ράφουμε τους κύκλους (, R) και (, R 3). Να υπολογίσετε :. Το μήκος της πλευράς συναρτήσει του R.. Τις γωνίες ˆ και ˆ.. Το εμβαδόν του τετραπλεύρου συναρτήσει του R.. Το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κύκλων συναρτήσει του R. (4 ο Θέμα Πανελλαδικών 004)

40 εωμετρία Λυκείου σκήσεις Επανάληψης σκήσεις Επανάληψης Y/01. Έστω τετράγωνο πλευράς 4α και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Μ 1 Ν ν Μ το μέσο του Ο και ΟΝ = Ο : 4 Ο ) Υπολογίστε τα ΜΝ και Μ ) είξτε ότι το τρίγωνο ΜΝ είναι ορθογώνιο. Y/0. Έστω τρίγωνο ορθογώνιο στο με = α και το ύψος α 3 του ώστε =. 4 Υπολογίστε τα:,,, καθώς και τις γωνίες και. Y/03. Έστω τρίγωνο με 60 =, = 6 και = 13. Υπολογίστε την πλευρά. Y/04. ν σε τρίγωνο έχουμε = 1, = 0 και η διάμεσος Μ = 4 17, βρείτε την πλευρά καθώς και το είδος του τριγώνου. Y/05. ν = 15, = 0 και = 5: ) είξτε ότι το τρίγωνο είναι Ζ ορθογώνιο. Ε ) Υπολογίστε τα,. ) Υπολογίστε το. ) Υπολογίστε τα Ε, Ζ. Y/06. ίνεται τραπέζιο ( // ) με 10 = 5. Η παράλληλη από το σημείο Προς την τέμνει την στο σημείο Ε. Να βρείτε. ) Το εμβαδόν του τριγώνου Ε. ) Το εμβαδόν του τραπεζίου ) Το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο Ε. 5 =, = 7, = 4, 4 E 10 7

41 εωμετρία Λυκείου Y/07. ίνεται τρίγωνο με α =γ και β=γ 7. ) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. ) ν είναι ύψος του τριγώνου να γ 7 δείξετε ότι = 7 ) Να υπολογίσετε τον λόγο των εμβαδών: ( ) ( ) Y/08.Οι πλευρές ενός τρίγωνου είναι: = 3, = 5, = 7. ) Να δείξετε ότι η γωνία είναι αμβλεία. ) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς πάνω στη. ) Να υπολογίσετε τη γωνία. ) Να υπολογίσετε τη διάμεσο Μ του τρίγωνου. Ε) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τρίγωνου. Y/09. Σε κύκλο (Ο,R) θεωρούμε διαδοχικά,, τέτοια ώστε =R, = R 3, και =R. ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. ) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου. ) Να δείξετε ότι η γωνία Ο είναι 60 ) Να βρεθούν τα μήκη των τόξων,, Ε) Να βρεθούν τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων που ορίζει το τρίγωνο στον κύκλο. Y/10. ίνεται τρίγωνο με β= 16, γ= 1 και = υ α = 4,8. ) Να υπολογίσετε την πλευρά α. ) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. ) Το εμβαδόν του. ) Την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου. σκήσεις Επανάληψης E Ο ρ Μ Κ σημεία