Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. 1 3 υ υ 1 1. Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι σταθερό. υ υ 1 υ3 3 υ 3
Ομαλή Κυκλική Κίνηση Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων υ Προσδιορισμός θέσης: (x, ) x υ x υ Προσδιορισμός ταχύτητας: (υ x, υ ) υ υ υ x υ x x
Ομαλή Κυκλική Κίνηση Κινούμενο Σύστημα Συντεταγμένων (, t, z) Όπου: 1. Η αρχή Ο των αξόνων ταυτίζεται με τη θέση του σώματος που περιστρέφεται.. Ο -άξονας (ακτινικός)έχει διεύθυνση και φορά από το σωματίδιο προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. 3. Ο t-άξονας (εφαπτομενικός) είναι εφαπτόμενος στην κυκλική τροχιά και δείχνει στην ccw διεύθυνση. 4. Ο z-άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς. t υ t z k Ο
Περίοδος Κυκλικής Κίνησης: Τ Είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο το κινητό διανύει μια πλήρη περιστροφή. Συχνότητα Κυκλικής Κίνησης: Είναι ο αριθμός των περιστροφών που διανύει το κινητό σε ένα δευτερόλεπτο (1 s). Γωνία σε ακτίνια: (ad) Γωνιακή Ταχύτητα: ω Κεντρομόλος Επιτάχυνση: α Γωνιακή Επιτάχυνση: α ω Ομαλή Κυκλική Κίνηση Κινούμενο Σύστημα Συντεταγμένων (, t, z) f 1 T t t z k Ο Επιτρόχιος Επιτάχυνση: α t
Ομαλή Κυκλική Κίνηση Γωνιακή Ταχύτητα στην Κυκλική Κίνηση Γωνία σε Ακτίνια (ad) Γωνιακή Ταχύτητα: θ Δs d Μονάδες: ω dθ ccw ( ad ) s ad s dθ ω cw
ds d ds d ds d Επιτρόχια ή Εφαπτομενική Ταχύτητα υ υ t dθ Ομαλή Κυκλική Κίνηση ds 0 ( sin ) υ t sin ω ω φ υ 0
υ dυ d θ Ομαλή Κυκλική Κίνηση Κεντρομόλος Επιτάχυνση υ dυ υ θ d υ dυ d d d d d d a d d a a υ a
υ t υ t Δεν είναι σταθερή Υπάρχει επιτρόχια επιτάχυνση: Συνισταμένη επιτάχυνση: a net dυ t Ανώμαλη Κυκλική Κίνηση a net a t a a t a net υ t a a t a net d ω ω d υ t dω a ω a net ωυ t a ω dω Γωνιακή a ω επιτάχυνση
Αποδείξαμε: Ανώμαλη Κυκλική Κίνηση a ωυ a net t ω Κεντρομόλος Επιτάχυνση: Επιτρόχιος Επιτάχυνση: Γωνιακή Επιτάχυνση: ccw ω a ω a t υ t a a a a ω ccw t a t ω υt aω dω ω a ω a t ω υ t a ω υ t a a t ωυ a ω t
ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΡΜΟΝΙΚΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΤΕΣ Ελατήριο Απλό Εκκρεμές Φυσικό Εκκρεμές Στροφικό Εκκρεμές Ταλάντωση Πλωτήρα στην Επιφάνεια Υγρού
ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΑΛΙΔΡΟΜΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΣ: Κάθε κίνηση γύρω από ένα τυχαίο σημείο. ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ: Κάθε παλινδρομική κίνηση γύρω από ένα σημείο ισορροπίας η οποία επαναλαμβάνεται κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο ανά συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Το χρονικό αυτό διάστημα ονομάζεται περίοδος της ταλάντωσης και συμβολίζεται με T. ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ: Κάθε περιοδική ταλάντωση στην οποία η απομάκρυνση s του κινητού από τη θέση ισορροπίας είναι μια συνημιτονική ή ημιτονική συνάρτηση του χρόνου t. s = A cos(ωt) ή s = A sin(ωt) A = πλάτος ταλάντωσης ω = γωνιακή συχνότητα T
ΙΚΑΝΗ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΑ ΣΥΝΘΗΚΗ ΩΣΤΕ ΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΕΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ s = A cos(ωt) F ma m dυ md s md s m ω A cos(ωt) F = m ω s F = k s k = m ω Η Συνισταμένη των δυνάμεων ή των ροπών που ασκούνται πάνω σε ένα σύστημα πρέπει να είναι ανάλογη με την παραμόρφωση ή τη μετατόπιση ή τη στροφή που υφίσταται το σύστημα αυτό.
ΙΚΑΝΗ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΑ ΣΥΝΘΗΚΗ ΩΣΤΕ ΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΕΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ F = k s Οριζόντια Ταλάντωση: s= x Κατακόρυφη Ταλάντωση: s= Περιστροφική Ταλάντωση: F τ (ροπή) s θ (γωνία)
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ F=0 m x=0 Θέση ισορροπίας i F<0 m x>0 F<0 j F=0 =0 m >0 m F kx F k
ΣΥΝΘΗΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ F = - k x Νόμος του Newton: F mam d x ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΕ ΕΛΑΤΗΡΙΟ d x k m x0
ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Το απλό εκκρεμές αποτελείται από μια σημειακή μάζα m η οποία είναι δεμένη στο άκρο ενός αβαρούς και μη εκτακτού νήματος μήκους L. j L i x Στη κατακόρυφη θέση του εκκρεμούς, οι δυνάμεις που δρουν πάνω στο νήμα είναι: Το βάρος της μάζας: Bmg j Η τάση του νήματος: T T j T B
ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Όταν το απλό εκκρεμές εκτραπεί από την κατακόρυφη θέση (θέση ισορροπίας) κατά μικρή γωνία θ (πχ, θ<15 0 ) τότε το εκκρεμές θα αρχίσει να εκτελεί Απλή Αρμονική Κίνηση. Στη κατάσταση αυτή: Το βάρος της μάζας: Bmg j Προκαλεί ροπή στρέψης: τ LB L( mg j) τ ( mg) L sinθ 7 θ3 θ5 sinθ θ θ... 3! 5! 7! Όταν θ<15 0 τότε sin(θ) θ(ad)) πχ sin(10 0 )=sin(0.175ad)=0.174 0 j θ i L B x
ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Όταν το απλό εκκρεμές εκτραπεί από την κατακόρυφη θέση (θέση ισορροπίας) κατά μικρή γωνία θ (πχ, θ<15 0 ) τότε το εκκρεμές θα αρχίσει να εκτελεί Απλή Αρμονική Κίνηση. Στη κατάσταση αυτή: Το βάρος της μάζας: Bmg j Προκαλεί ροπή στρέψης: τ LB L( mg j) τ ( mg) L sinθ τ m g Lθ 0 j θ i x L T B Η τάση Τ νήματος δεν προκαλεί ροπή στρέψης ως προς το σημείο 0
ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ: Απλή Αρμονική Κίνηση ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Ροπή στρέψης απλού εκκρεμούς: τ m g Lθ ος Νόμος του Newton: Οπότε: τ Ia ω I d θ mglθ I dω I d θ d θ mgl θ 0 I 0 j θ i x L T B
ΤΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ ΣΥΝΘΗΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ d θ mgl θ 0 I Ροπή Αδράνειας Απλού Εκκρεμούς: Ι =ml d θ mgl θ 0 ml d θ g θ L 0 τ mglθ
ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Κάθε στερεό που στρέφεται γύρω από άξονα που απέχει απόσταση L από το κέντρο μάζας. j 0 i L cm B x
ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Κάθε στερεό που στρέφεται γύρω από άξονα που απέχει απόσταση L από το κέντρο μάζας. Όταν το φυσικό εκκρεμές εκτραπεί θ από τη θέση ισορροπίας κατά μικρή γωνία θ (πχ, θ<15 0 ) τότε αυτό θα αρχίσει να εκτελεί Απλή Αρμονική Κίνηση. Στη κατάσταση αυτή: Το βάρος της μάζας: B mg j Προκαλεί ροπή στέψης: τ LB L( mg j) τ ( mg) L sinθ τ ( mg) Lθ j 0 i L cm B x
ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ: Απλή Αρμονική Κίνηση ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Ροπή στρέψης φυσικού εκκρεμούς: τ m g Lθ j 0 i θ L x ος Νόμος του Newton: Οπότε: τ Ia ω I d θ mglθ I dω I d θ cm B d θ mgl θ 0 I
ΣΤΡΟΦΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Ένα αντικείμενο με μάζα m και με ροπής αδράνειας Ι ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του στηρίζεται στο άκρο ενός σύρματος ή μιας λεπτής ράβδου. m I
ΣΤΡΟΦΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ Όταν το αντικείμενο περιστραφεί κατά γωνία θ<15 0, τότε το σύρμα ή ο λεπτός κύλινδρος θα υποστεί διατμητική παραμόρφωση. Η ροπή επαναφοράς του αντικειμένου προς τη θέση ισορροπίας είναι ανάλογη της γωνίας στροφής θ: τ = - κ θ ος Νόμος του Newton: τ Ia ω I d θ m I θ I d θ κθ d θ κθ 0 I
ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΛΩΤΗΡΑ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ Κατάσταση Ισορροπίας: 0 <0 Άνωση: F B0 = ρ f gs 0 Βάρος: w= m g Συνθήκη Ισορροπίας: F B0 w = 0 ρ f gs 0 m g= 0 F B0 w ρ f 0 0 1 F B = ρ f gs 1 = F B w 0 Το Σώμα βυθίζεται κατά διάστημα 1 μέσα στο υγρό: 1 = 0 + <0 ρ f gs ( 0 +)
ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΛΩΤΗΡΑ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ Συνθήκη Ισορροπίας: ρ f gs 0 m g= 0 Δυναμική Βυθισμένου Σώματος: F F F B ρ w F ρ f gs ρ f g S0 f gs F B0 w ρ f ρ f gs 1 mg gs m g m g ρ f 0 F B 0 0 1 0 w
ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΛΩΤΗΡΑ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ F B0 F B Αποδείξαμε: F ρ f gs Νόμος Newton: F d m a m w ρ f Y 0 0 Y 0 w m d d ρ f gs ρ f gs 0 m
ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΤΑΛΑΝΤΟΥΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΙΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΣΥΝΘΗΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Ελατήριο - Μάζα Απλό Εκκρεμές Δύναμη Ροπή Μετατόπιση ξ=x ή ξ= Γωνία Στροφής θ F= - k ξ τ = - mglθ d ξ ξ 0 m k d θ g θ L 0 Φυσικό Εκκρεμές Στροφικό Εκκρεμές Ροπή Ροπή Γωνία Στροφής θ Γωνία Στροφής θ τ = - mgd θ τ = - κ θ d θ mgl θ 0 I d θ κ θ 0 I Ταλάντωση Πλωτήρα Δύναμη Κατακόρυφη Μετατόπιση F= -ρ f gs d ρ gs f 0 m