Λογισμός 3. Ενότητα 3: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Σχετικά έγγραφα
Λογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 3. Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 3. Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 17: Απόδειξη Θεωρήματος Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 11: Κανόνας της αλυσίδας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 9: Ιδιότητες της κλίσης. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός 3. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 7: Κλίση και παράγωγος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 3. Ενότητα 12:Οι κλασικοί μετασχηματισμοί και ο κανόνας της αλυσίδας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 16: Θεώρημα Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 6: Μερικές παράγωγοι. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 3. Ενότητα 8: Ιδιότητες της κλίσης, Κανόνας της αλυσίδας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 14: Τοπικά ακρότατα. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 3. Ενότητα 1: Τοπολογία των Ευκλείδειων χώρων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 15: Τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 4 Ενότητα 12

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4. Ενότητα 9: Παραδείγματα από άλλες αλλαγές. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 4 Ενότητα 10

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 6: Εφαρμογές του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 4. Ενότητα 4: Ιδιότητες του Ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4 Ενότητα 17

Λογισμός 4 Ενότητα 18

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Λογισμός 4 Ενότητα 15

Ιστορία της μετάφρασης

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Λογισμός 4 Ενότητα 19

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Λογισμός 4 Ενότητα 16

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ

Λογισμός 4 Ενότητα 11

Λογισμός 4 Ενότητα 14

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Παράκτια Τεχνικά Έργα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4 Ενότητα 13

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Ιστορία της μετάφρασης

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 8: Αλλαγή μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης

Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Διπλωματική Ιστορία Ενότητα 2η:

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών

Διοικητική Λογιστική

Οδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Transcript:

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Περιεχόμενα ενότητας 1. Όριο συνάρτησης. 2. Συνέχεια Συνάρτησης. 3. Παραδείγματα, Ασκήσεις. 4. Συνέχεια με ακολουθίες. 4

Σκοποί ενότητας Ορισμός του ορίου συναρτήσεων και της συνέχειας συναρτήσεων. 5

Ορισμός ορίου Έστω ανοικτό του, και. Λέμε ότι η έχειόριοτοκαθώς το τείνει στο, αν για κάθε 0, υπάρχει 0τ.ω. αν,τότε. Γράφουμε lim ή 6

Παράδειγμα1 (1) Έστω Δείξτε ότι,! "!,#$, %0,0 lim,0,&, Λύση: Θα προσπαθήσουμε να κάνουμε όσο μικρή θέλουμε την διαφορά, 0. 7

Παράδειγμα1 (2) Έχουμε Όμως, 0! "! "! "!! "!! "! Άρα και! "! 8

Παράδειγμα1 (3), 0!! "! "!! "!! "!! "! Αν λοιπόν για δοθέν, διαλέξουμε, τότε για τα, που ικανοποιούν ισχύει, 0,0! "!, 0! "! ε 9

Ορισμός συνέχειας Έστω ανοικτό του και. 1. Λέμε ότι η είναι συνεχήςστο σημείο, αν lim, Δηλαδή, αν για κάθε 0, υπάρχει, 0 τ.ω. αν τότε. 2. Η είναι συνεχής σε όλο το + αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του +. 10

Παράδειγμα 2 (1) Έστω -,,!, #$, %0,0 "!,./0 0,0 Για ποιες τιμές του # η είναι συνεχής στο 0,0? Λύση: Για να έχουμε την συνέχεια της στο 0,0 πρέπει να έχουμε lim,&,, 11

Παράδειγμα 2 (2) Ας μαντέψουμε πρώτα το ως άνω όριο δίνοντας ειδικές τιμές στο,. Π.χ. για τα σημεία,0 έχουμε,! 0. Άρα υποψήφια τιμή για το # είναι η # 0. Τώρα πρέπει να δείξουμε ότι η διαφορά, 0 -! "! 12

Παράδειγμα 2 (3) μπορεί να γίνει όσο μικρή θέλουμε. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα -, 1,1 έχουμε -! "! " -! "! "! "!! "!! "!!! "! "!! "!! "!! "! 13

Παράδειγμα 2 (4) για κάθε, που ικανοποιεί, 0,0! "!. Από τα παραπάνω παραδείγματα διαπιστώνουμε ότι δεν είναι πάντα εύκολο να αποδείξουμε την συνέχεια μιας συνάρτησης σ ένα σημείο ή ισοδύναμα να υπολογίσουμε το όριο της σε ένα σημείο. Ας κοιτάξουμε τα πράγματα λίγο πιο γεωμετρικά για να κατάλήξουμε σε μια τεχνική που μας επιτρέπει: 14

Τεχνική (1) Να μαντεύουμε με σχετική ευκολία το όριο μιας συνάρτησης. Να δείχνουμε ότι μια συνάρτηση δεν έχει όριο σε ένα σημείο. Όπως βλέπουμε στο σχήμα που ακολουθεί, στις δύο διαστάσεις έχουμε πολλούς τρόπους για να πλησιάσουμε το σημείο (, ). Μπορούμε να το φτάσουμε διαλέγοντας ως δρόμο τις ευθείες 3 4,3! ή την καμπύλη γ ή οτιδήποτε άλλο μας βολεύει. 15

Σχήμα 1 16

Τεχνική (2) Προφανώς,αν η,έχει όριο στο,, τότε το όριο αυτό θα είναι ανεξάρτητο του δρόμου που θα ακολουθήσουμε για να φτάσουμε στο,. Έτσι λοιπόν Για να μαντέψουμε το όριο της,στο,, κινούμεθα συνήθως πάνω σε μία ευθεία που περνά από το,. Π.χ. έστω, - "! "!,, % 0,0. 17

Τεχνική (3) Θέλουμε να βρούμε το όριο της στο (0,0). Κινούμεθα πάνω στην ευθεία 5 για να φτάσουμε στο (0,0). Επί της ευθείας έχουμε:,,5-1"5! " 5! 1"5 1"5! 0 18

Τεχνική (4) και συνεπώς το πιθανό όριο της,στο (0,0) είναι το 0. Για να δείξουμε ότι το όριο της,στο (0,0) είναι πράγματι το 0, πρέπει να κάνουμε χρήση του ορισμού με τα ε και δ, (άσκηση). 19

Τεχνική (5) Ας δούμε τώρα ότι η ίδια τεχνική μας επιτρέπει να δείξουμε ότι μια δεν έχει όριο σε ένα σημείο. Π.χ. έστω, & 6 7& 6,,%0,0. Θέλουμεναδούμεανη έχειόριοστο(0,0). Αν κινηθούμε πάνω στην ευθεία 5 για να φτάσουμε στο(0,0), έχουμε 20

Τεχνική (6) lim,5 lim 5! 1"5! lim Άρα για κάθε τιμή του 5βρίσκουμε και διαφορετικό όριο. Άρα η δεν έχει όριο στο (0,0). 5 1"5 5 1"5 21

Παράδειγμα 3 (1) Δείξτε ότι η συνάρτηση δεν έχει όριο στο (0,0).,! 89:6 /& <, %0 Λύση: Αν κινηθούμε επί των ευθειών 5, έχουμε,5 6 = <9:6 /= < 4 = < 69:4/=< 6. 22

Παράδειγμα 3 (2) Θέτοντας έχουμε lim > 4 = < 6,,5 lim? @ >9:? 0. Άρα πάνω σε όλες τις ευθείες 5,5 %0, το όριοτης είναιτο0. Όμως,ανκινηθούμεεπίτηςκαμπύλης!,τότε 23

Παράδειγμα 3 (3) άρα!, &6 6 & < 9 : &6 6 /& < 4 A, %0, lim &!, 1 9, καισυνεπώςη δενέχειόριοστο0. 24

Παράδειγμα 4 (1) Να εξεταστεί η οριακή συμπεριφορά της στο σημείο (0,0)., 4! "!!,"! %0, Λύση: Θα δείξουμε ότι η δεν έχει όριο στο (0,0) διαλέγοντας να κινηθούμε σε δύο καμπύλες που περνούν από το (0,0). Διαλέγουμε πρώτα την διαγώνιο και έχουμε 25

Παράδειγμα 4 (2) 4, "!! 4! 1"! 4 0. 1"! Κατόπιν θεωρούμε την καμπύλη! και έχουμε!, 4!!! "!! 48 4 8 1 26

Παράδειγμα 4 (3) για κάθε άρα και για 0. Άρα οι δύο καμπύλες δίνουν διαφορετικά όρια στο (0,0) και συνεπώς η δεν έχει όριο. 27

Η συνέχεια με ακολουθίες(1) Όπως και στην διάσταση 1, ο ορισμός των ορίων και της συνέχειας έχει τον ισοδύναμο του με τις ακολουθίες. Ορισμός: Έστω ανοικτό του, και. 1. Η έχει όριο το # καθώς το τείνει στο, αν για κάθε ακολουθία D D @, τότε D D @. 28

Η συνέχεια με ακολουθίες(2) 2. Η είναι συνεχής στο +, αν για κάθε ακολουθία D D @, τότε D D @. Γράφουμε lim D lim D. D @ D @ Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι ο ως άνω ακουληθιακός ορισμός του ορίου και της συνέχειας είναι ισοδύναμος με τον ορισμό με τα και τα που ήδη ξέρουμε. 29

Παράδειγμα 5 (1) Έστω,,E F! "F! "F! E! "! "E!,,,E%0,0,0 Πώς πρέπει να οριστεί η στο (0,0,0) ώστε να είναι συνεχής στην κλειστή μπάλλα G0,1; Λύση: Για να έχουμε συνέχεια στο (0,0,0), πρέπει να δώσουμε στην f στο (0,0,0) την τιμή που ικανοποιεί 30

Παράδειγμα 5 (2) 0,0,0 lim D @ D, D,E D, για κάθε ακολουθία D, D,E D που τείνει στο (0,0,0). Αν λοιπόν η ακολουθία D, D,E D τείνει στο (0,0,0), τότε και οι συνιστώσες της τείνουν στο 0: Άρα D 0, D 0,H#I E D 0καθώς J 31

Παράδειγμα 5 (3) Συνεπώς LM N N 1, LM& N & N 1,και LMO N O N 1(1) D, D,E D F! D "F! D "F! E D! D "! D "E! D F! D! D! " F! D D! D! " F! E D D E! E D! D! D "! 1 D "E! D 32

Παράδειγμα 5 (4) Άρα το πιθανό όριο της f στο (0,0,0) είναι το 1. Γράφουμε, D, D,E D 1 F! D "F! D "F! E D! D "! 1 D "E! D F! D! D! " F! D D! D! " F! E D D E! E D! D! D "! 1 D "E! D 33

Παράδειγμα 5 (5) F! D D! 1 D! " F! D D! 1 D! " F! E D E D! 1 E D! D! " D! "E D! Από την (1) για κάθε 0, μπορούμε να βρούμε δείκτη P Qτ.ω. για J RP, 1 LM 6 N N 6 1, Άρα για J RP, LM 6 & N & N 6 1 H#I LM6 O N O N 6 1. D, D,E D 1 D! "!! D "E D! D "! D "E! D 34

Παράδειγμα 5 (6) δηλαδή, lim D, D,E D 1 S @ για κάθε ακολουθία D, D,E D που τείνει στο (0,0,0). Όπως η κατάλληλη επιλογή δρόμων στα προηγούμενα παραδείγματα έτσι και η κατάλληλη επιλογή ακολουθιών μας επιτρέπει ή να μαντέψουμε το όριο μιας συνάρτησης ή να δείξουμε ότι δεν είναι συνεχής. 35

Παράδειγμα 6 (1) Το παράδειγμα που ακολουθεί είναι τυπικό του είδους. Παράδειγμα: Δείξτε ότι η 1, -, % 0,0,! "!, δεν έχει όριο στο (0,0). 36

Παράδειγμα 6 (2) Λύση: Η συνάρτηση του παραδείγματος είναι μια παραλλαγή της γνωστής συνάρτησης T - 1, %0, που ως γνωστόν δεν είναι συνεχής στο 0. Πράγματι θέτοντας D 2,J Q, JV έχουμε 37

Παράδειγμα 6 (3) T D - JV 2 0,W1. Τώρα στις δύο διαστάσεις, διαλέγουμε την ακολουθία D D 2 JV. Τότε D! " D! 2 JV! " 2 JV! 2 2 JV! 38

Παράδειγμα 6 (4) Συνεπώς D, D - 1 - JV 2 0,W1. D! " D! Άρα η πάλλεται συνεχώς μεταξύ του -1, 0 και του +1, και συνεπώς δεν έχει όριο στο (0,0). 39

Βιβλιογραφία 1. V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1974. 2. J. Marsden, A. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2000. 3. J.-M. Monier, Analyse 4, Dunod, Paris, 2000. 4. M. Spivak, ΛογισμόςσεΠολλαπλότητες, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1994. 5. Τ. Χατζηαφράτης, Απειροστικός Λογισμός σε Πολλές Μεταβλητές, Αθήνα, 1996. 40

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Θεσσαλονικης,Μιχάλης Μαριάς. «. Όρια και συνέχεια συναρτήσεων». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs289/.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative CommonsΑναφορά -Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχοξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015