Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας (simple scaling)

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας (simple scaling) Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση 23

Ελάχιστη στάθμη Νειλομέτρου (cm)_ Σύνολα δεδομένων αναφοράς Ελάχιστες στάθμες Νείλου 5 4 3 2 9 8 Ετήσια τιμή Μέση τιμή 5 ετών Μέση τιμή 25 ετών 6 7 8 9 2 3 Χρονοσειρά ετήσιας ελάχιστης στάθμης του Νείλου για το διάστημα 622-284 μ.χ. (663 δεδομένα), μετρημένης στο «Νειλόμετρο» στο νησί Ρόντα κοντά στο Κάιρο (Toussoun, 925, σ. 366-385 τα δεδομένα διατίθενται στο διαδίκτυο στη διεύθυνση http://lib.stat.cmu.edu/s/beran). Έτος μ.χ. Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας

Τυποποιημένο πάχος δακτυλίου 2. Πάχη δακτυλίων δένδρων στη Utah 3 2.5 2.5.5 3 2.5 Ετήσια τιμή Μέση τιμή 5 ετών Μέση τιμή 25 ετών 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Έτος μ.χ. Ετήσια τιμή Μέση τιμή 5 ετών Μέση τιμή 25 ετών Χρονοσειρά τυποποιημένου πάχους δακτυλίων από μια παλαιοκλιματολογική μελέτη στο Mammoth Creek, Utah (ΗΠΑ), για το διάστημα -989 (99 τιμές το έτος είναι στην πραγματικότητα το π.χ.). Τα δεδομένα προέρχονται από κωνοφόρα (Graybill, 99 τα δεδομένα διατίθενται στο διαδίκτυο στη διεύθυνση ftp://ftp.ngdc.noaa.gov/ paleo/treering/chronologies/ asciifiles/usawest/ut59.crn). 2.5.5 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Έτος Συνθετική χρονοσειρά κατασκευασμένη από ανέλιξη AR() με ίδια μέση τιμή, τυπική απόκλιση και συντελεστή αυτοσυσχέτισης για υστέρηση. (Για λόγους σύγκρισης) Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 2

Κύριοι συμβολισμοί Ανέλιξη στη βασική κλίμακα x i, i =, 2, Συναθροισμένη ανέλιξη Προφανώς, για k =, z () i x i. Για k = 2, z (k) i k z l l = (i ) k + i := για k = 3, κτλ. z (2) := x + x 2, z (2) 2 := x 3 + x 4, z (2) 3 := x 5 + x 6, z (3) := x + x 2 + x 3, z (3) 2 := x 4 + x 5 + x 6, z (3) 3 := x 7 + x 8 + x 9, Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 3

Κύρια μεγέθη αναφοράς Αυτοσυνδιασπορά γ j := Cov[x i, x i + j ], Αυτοσυσχέτιση ρ j := Corr[x i, x i + j ] = γ j / γ, γ (k) j := Cov[z (k) i, z (k) i + j], j =,, 2, ρ (k) j := Corr[z (k) i, z (k) i + j] = γ (k) j / γ (k), j =,, 2, Φάσμα ισχύος: διακριτός μετασχηματισμός Fourier της αυτοσυνδιασποράς s (k) γ (ω) := 2 γ (k) + 4 γ (k) j = γ (k) j cos (2 π j ω) = 2 j = j cos (2 π j ω) Αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier της αυτοσυνδιασποράς γ (k) /2 j = s (k) γ (ω) cos (2 π j ω) dω Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 4

Απλά μοντέλα αναφοράς. Μοντέλο λευκού θορύβου Μέση τιμή Διασπορά Αυτοσυνδιασπορά - Αυτοσυσχέτιση E[z (k) i ] = k E[x i ] γ (k) := Var[z (k) i ] = k γ γ (k) j := Cov[z (k) i, z (k) i + j] =, ρ (k) j := Corr[z (k) i, z (k) i + j] = Φάσμα ισχύος s (k) γ (ω) / γ (k) = 2 Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 5

2. Γραμμικό Μαρκοβιανό μοντέλο (AR()) Έκφραση του μοντέλου στη βασική κλίμακα Μέση τιμή x i = ρ x i + v i E[z (k) i ] = k E[x i ] Διασπορά γ (k) = γ k ( ρ2 ) 2ρ ( ρ k ) ( ρ) 2 Αυτοσυνδιασπορά - Αυτοσυσχέτιση γ (k) j = γ ρk j k + ( ρ k ) 2 ( ρ) 2, ρ (k) j = ρ (k) ρ k (j ) όπου ρ (k) ρ ( ρ k ) 2 = k ( ρ 2 ) 2ρ ( ρ k ) Φάσμα ισχύος s (k) γ (ω) / γ (k) = 2 + 4 ρ (k) cos (2 π ω) ρ k + ρ 2k 2 ρ k cos (2 π ω) Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 6

Σύγκριση δεδομένων αναφοράς και απλών μοντέλων αναφοράς Τυπική απόκλιση 3.2 Log[( γ ( k ) ) /2 ] 3 2.8 2.6 Κλίση =.85 Κλίση =.5 Πάχη δακτυλίων Utah 2.4 2.2 2.8 Κλίση =.5 Ιστορικό δείγμα AR() Λευκός θόρυβος.2.4.6.8.2.4 Log[( γ ( k ) ) /2 ].8.6.4 Κλίση =.5 Κλίση =.75 Log( k ).2 Κλίση =.5 Ετήσια ελάχιστη στάθμη Νείλου -.2 -.4 -.6 Ιστορικό δείγμα AR() Λευκός θόρυβος.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Log( k ) Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 7

Αυτοσυσχέτιση ρ ( k ), ρ 2 ( k ) Συντελεστές αυτοσυσχέτισης σε σχέση με τη χρονική κλίμακα.8.7.6 Πάχη δακτυλίων Utah.5.4.3.2. Υστέρηση, ιστορικό δείγμα Υστέρηση 2, ιστορικό δείγμα Υστέρηση, μοντέλο AR() Υστέρηση 2, μοντέλο AR() 5 5 2 25 Αυτοσυσχέτιση ρ ( k ), ρ 2 ( k ).8.7.6.5.4 Υστέρηση, ιστορικό δείγμα Υστέρηση 2, ιστορικό δείγμα Υστέρηση, μοντέλο AR() Υστέρηση 2, μοντέλο AR() Χρονική κλίμακα, k.3.2 Ετήσια ελάχιστη στάθμη Νείλου. 2 3 4 5 Χρονική κλίμακα, k Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 8

Συντελεστές αυτοσυσχέτισης σε σχέση με την υστέρηση Αυτοσυσχέτιση, ρ j ().7.6.5.4 Ιστορικό δείγμα Μοντέλο AR() Πάχη δακτυλίων Utah.3.2. 2 3 4 5 Υστέρηση, j Αυτοσυσχέτιση, ρ j ().5.45.4.35.3.25.2.5. Ιστορικό δείγμα Μοντέλο AR() Ετήσια ελάχιστη στάθμη Νείλου.5 2 3 4 5 Υστέρηση, j Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 9

Συμπέρασμα συγκρίσεων Αποτυχία των απλών μοντέλων αναφοράς να περιγράψουν τη φυσική πραγματικότητα. Τάση ομαδοποίησης χαμηλών (ή ψηλών) τιμών σε μεγαλύτερες περιόδους ξηρασιών (ή υδρολογικά πλούσιων) ετών (εμμονή μακράς κλίμακας (ή μακροπρόθεσμη) φαινόμενο Hurst φαινόμενο Ιωσήφ δυναμική Hurst- Kolmogorov βλ. Hurst, 95, Mandelbrot, 977, Koutsoyiannis, 22, 23, 2, 2). Τυπική απόκλιση συναθροισμένης ανέλιξης συναρτήσει της κλίμακας συνάθροισης: συνάρτηση δύναμης με εκθέτη Η >.5. Σημαντική αυτοσυσχέτιση ακόμη και για μεγάλες τιμές της υστέρησης (εξάρτηση μεγάλης εμβέλειας). Σημαντική αυτοσυσχέτιση ακόμη και για μεγάλες τιμές της κλίμακας συνάθροισης. Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας

Κάλυψη κενού: Μοντέλο απλής ομοιοθεσίας (simple scaling) Εισαγωγή Εναλλακτικές ονομασίες: ανέλιξη απλής ομοιοθεσίας, στάσιμα αυξήματα αυτο-όμοιων ανελίξεων (stationary increments of self-similar process), κλασματικός Γκαουσιανός θόρυβος (fractional Gaussian noise) *, ανέλιξη Hurst-Kolmogorov (Hurst-Kolmogorov process). Είναι στάσιμη ανέλιξη που ορίζεται από τη σχέση z i (k) k μ = d (k / l) H (z j (l) l μ) όπου το σύμβολο = d σημαίνει ισότητα στην (πεπερασμένης διάστασης από κοινού) κατανομή, i, j, k και l είναι οποιοιδήποτε ακέραιοι, μ είναι η μέση τιμή του z i () και H είναι μια σταθερά ( < H < ) γνωστή ως συντελεστής (ή εκθέτης) Hurst. * Σύμφωνα με ορολογία που καθιέρωσε ο Mandelbrot, Γκαουσιανός θόρυβος είναι ο λευκός θόρυβος, ενώ θόρυβος Brown είναι το ολοκλήρωμα ως προς το χρόνο του λευκού θορύβου. Αντιπροσωπεύει την τυχαία κίνηση των μορίων των αερίων (κίνηση Brown) και αποτελεί στάσιμη ανέλιξη. Αντίστοιχα, το ολοκλήρωμα ως προς το χρόνο του κλασματικού Γκαουσιανού θορύβου είναι γνωστό ως κλασματικός θόρυβος Brown και αποτελεί επίσης μη στάσιμη ανέλιξη. Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας

Βασικές ιδιότητες Διασπορά (συνάρτηση δύναμης της κλίμακας συνάθροισης k) γ (k) := Var[z (k) i ] = k 2H γ Αυτοσυσχέτιση ανεξάρτητη της κλίμακας συνάθροισης k ρ (k) j = ρ j = ( / 2) [(j + ) 2H + (j ) 2H ] j 2H, j > ή προσεγγιστικά (συνάρτηση δύναμης της υστέρησης) ρ (k) j = ρ j = Η (2 Η ) j 2 H 2 Φάσμα ισχύος (συνάρτηση δύναμης της συχνότητας) s (k) γ (ω) / γ (k) 4 ( H) (2 ω) 2 H Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 2

Τιμή, w i > Τιμή, v i > Τιμή, u i > Φυσική εξήγηση: Τυχαίες διακυμάνσεις πολλαπλής κλίμακας Τυχαία διακύμανση μικρής κλίμακας (ετήσια) Μέση τιμή Τυχαία διακύμανση μικρής κλίμακας (ετήσια) Τυχαία διακύμανση μέσης κλίμακας Μέση τιμή Τυχαία διακύμανση μικρής κλίμακας (ετήσια) Τυχαία διακύμανση μέσης κλίμακας Τυχαία διακύμανση μεγάλης κλίμακας n Μέση τιμή Πηγή: Κουτσογιάννης (22) (a) (b) (c) Χρόνος, i > Αυτοσυσχέτιση, ρ j Αυτοσυσχέτιση, ρ j Αυτοσυσχέτιση, ρ j.4.3.2..4.3.2..4.3.2. Ανέλιξη Μαρκόφ U FGN Corr[U i, U i + j ] = ρ j Ανέλιξη V FGN Μαρκόφ Corr[V i, V i + j ] = ( c)ρ j + c φ j Ανέλιξη W FGN Μαρκόφ Υστέρηση, j (a) (b) (c) Corr[W i, W i + j ] = ( c c 2 )ρ j + c φ j + c 2 ξ j Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 3

Αλγόριθμοι παραγωγής χρονοσειρών απλής ομοιοθεσίας. Με τη λογική των τυχαίων διακυμάνσεων πολλαπλής κλίμακας Η ανέλιξη x i παράγεται ως άθροισμα τριών ανελίξεων AR(): x i = A i + B i + C i με συντελεστές αυτοσυσχέτισης για υστέρηση, αντίστοιχα, ρ =.52 (H.5).32, φ =.953 7.69 ( H) 3.85, ξ = Και διασπορές αντίστοιχα,.932 +.87 H, H.76,.993 +.7 H, H >.76 Αυτοσυσχέτιση, ρ j.8.7.6.5.4.3.2. H =.6 H =.7 H =.8 Ακριβής τιμή Προσέγγιση H =.9 Υστέρηση, j ( c c 2 ) γ, c γ, c 2 γ όπου τα c και c 2 εκτιμώνται σε τρόπο ώστε η αυτοσυσχέτιση του αθροίσματος των τριών ανελίξεων ρ j = ( c c 2 )ρ j + c φ j + c 2 ξ j να ταυτίζεται με τη θεωρητική αυτοσυσχέτιση της ανέλιξης απλής ομοιοθεσίας για υστέρηση και. Βαθμός προσέγγισης της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του κλασματικού Γκαουσιανού θορύβου που επιτυγχάνεται με χρήση τριών ανελίξεων AR() Πηγή: Κουτσογιάννης (22) Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 4

Log[(γ (k) ) /2 ] Τυποποιημένο πάχος δακτυλίου Αποτελέσματα αλγορίθμου 3 2.5 2.5 Ετήσια τιμή Μέση τιμή 5 ετών Μέση τιμή 25 ετών Εφαρμογή: Παραγωγή και ανάλυση συνθετικού δείγματος μεγέθους 99 ετών με χαρακτηριστικά ίδια με αυτά του ιστορικού δείγματος πάχους δακτυλίων στη Utah.5 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Έτος Πηγή: Κουτσογιάννης (22).2.8.6.4.2 -.2 Εμπειρική (Συνθετικό δείγμα, n = 99) FGN (H =.75) Λευκός θόρυβος Αυτοσυσχέτιση, ρ j ().5.4.3.2. Εμπειρική (Συνθετικό δείγμα, n = 99) Εμπειρική (Συνθετικό δείγμα, n = 64 ) FGN (H =.75) AR() (ρ =.4) -.4 -.6.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Log(k) 2 3 4 5 Υστέρηση, j Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 5

2. Μέθοδος βασισμένη σε διαδοχικούς επιμερισμούς z (n) (n / 2) (n / 2) z z 2 z (k) z (k) i z (k) i z (k) i + z (k) n / k (k / 2) (k / 2) z z 2 (k / 2) (k / 2) (k / 2) (k / 2) (k / 2) (k / 2) z 2 i 3 z 2 i 2 z 2 i z 2 i z 2 i + z 2 i + 2 (k / 2) (k / 2) z 2 n / k z 2 n / k Παρόν βήμα Πηγή: Κουτσογιάννης (22) Η παραγωγή της ανέλιξης x i (i =,, n, όπου το n θεωρείται ως δύναμη του 2) γίνεται σε διαδοχικά βήματα. Στο πρώτο βήμα παράγεται το άθροισμα z (n) για τη συνολική περίοδο n. (n / 2) (n / 2) Στο δεύτερο βήμα αυτό επιμερίζεται σε δύο συνιστώσες z και z 2 κοκ. Σε κάθε βήμα επιμερισμού ισχύει η σχέση (k / 2) z (k / 2) 2 i + z 2 i = z (k) i ενώ στην παραγωγή διατηρούνται οι αυτοσυσχετίσεις με προηγούμενες μεταβλητές ίσης κλίμακας (k / 2) και επόμενες μεταβλητές μεγαλύτερης κλίμακας (k). Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 6

Μέθοδος βασισμένη σε διαδοχικούς επιμερισμούς (συνέχεια) Σύμφωνα με τη μεθοδολογία που αναπτύχθηκε από τον Koutsoyiannis (2, 22), σε κάθε (k / 2) βήμα επιμερισμού το z 2 i παράγεται από τη γραμμική σχέση (k / 2) και το z 2 i από τη σχέση (k / 2) z (k / 2) (k / 2) 2 i = a 2 z 2 i 3 + a z 2 i 2 + b z (k) i + b z (k) i + + v (k / 2) z (k / 2) 2 i + z 2 i = z (k) i όπου οι παράμετροι a 2, a, b και b και η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής V εκτιμώνται από (k / 2) (k / 2) τις αυτοσυσχετίσεις Corr[z 2 i, z 2 i + j] = ρ j και τη διασπορά γ, σύμφωνα με τις εξισώσεις a 2 a b b = ρ ρ 2 + ρ 3 ρ 4 + ρ 5 ρ ρ + ρ 2 ρ 3 + ρ 4 (k / 2) ρ 2 + ρ 3 ρ + ρ 2 2( + ρ ) ρ + 2ρ 2 + ρ 3 ρ 4 + ρ 5 ρ 3 + ρ 4 ρ + 2ρ 2 + ρ 3 2( + ρ ) (k / 2) Var[V] = γ ( [ρ 2, ρ, + ρ, ρ 2 + ρ 3 ] [a 2, a, b, b ] T ) ρ 2 ρ + ρ ρ 2 + ρ 3 Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 7

Log[(γ (k) ) /2 ] Τυποποιημένο πάχος δακτυλίου Αποτελέσματα αλγορίθμου 2 3 2.5 2.5 Ετήσια τιμή Μέση τιμή 5 ετών Μέση τιμή 25 ετών Εφαρμογή: Παραγωγή και ανάλυση συνθετικού δείγματος μεγέθους 99 ετών με χαρακτηριστικά ίδια με αυτά του ιστορικού δείγματος πάχους δακτυλίων στη Utah.5 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Πηγή: Κουτσογιάννης (22) Έτος.2.8.6.4.2 Εμπειρική (Συνθετικό δείγμα, n = 99) FGN (H =.75) Λευκός θόρυβος Αυτοσυσχέτιση, ρ j ().5.4.3.2 Εμπειρική (Συνθετικό δείγμα, n = 99) Εμπειρική (Συνθετικό δείγμα, n = 64 ) FGN (H =.75) AR() (ρ =.4) -.2. -.4 -.6.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Log(k) 2 3 4 5 Υστέρηση, j Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 8

3. Μέθοδος μοντέλου συμμετρικού κυλιόμενου μέσου (SΜΑ) Το σχήμα συμμετρικού κυλιόμενου μέσου (symmetric moving average SMA) έχει εισαχθεί από τον Koutsoyiannis (2) και μετασχηματίζει μια ανέλιξη λευκού θορύβου v i σε μια ανέλιξη με αυτοσυσχέτιση x i σύμφωνα με τη σχέση q x i = a j v i + j = a q v i q + + a v i + a v i + a v i + + + a q v i + q j = q όπου ο τα a j είναι συντελεστές βάρους και ο αριθμός τους q θεωρητικά είναι άπειρος αλλά στην πράξη λαμβάνει μια πεπερασμένη τιμή. Η μέθοδος είναι κατάλληλη για τυχούσα συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Στην περίπτωση του μοντέλου απλής ομοιοθεσίας αποδεικνύεται ότι οι συντελεστές βάρους είναι a j (2 2 H) γ 3 2H και ο αναγκαίος αριθμός βαρών [(j + ) H +.5 + (j ) H +.5 2 j H +.5 ], j > q max m 2 β H 2.25 / (H.5) όπου m ο αριθμός των αυτοσυσχετίσεων που πρέπει να διατηρηθούν και β συντελεστής ακρίβειας (π.χ. β =.). Η μέθοδος μπορεί να διατηρήσει και την ασυμμετρία ξ x της x i αν ο λευκός θόρυβος έχει ασυμμετρία ξ v που δίνεται από τη σχέση a 3 q + 2 3 aj ξ j = V = ξ Χ γ 3/2 Αυτοσυσχέτιση, ρ j... Ακριβής τιμή Προσέγγιση H =.9, q = 25 H =.8, q = 5 24 H =.7, q = H =.6, q =. Υστέρηση, j Βαθμός προσέγγισης της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του κλασματικού Γκαουσιανού θορύβου που επιτυγχάνεται με χρήση του μοντέλου SMA Πηγή: Κουτσογιάννης (22) Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 9

Log[(γ (k) ) /2 ] Τυποποιημένο πάχος δακτυλίου Αποτελέσματα αλγορίθμου 3 3 2.5 2.5 Ετήσια τιμή Μέση τιμή 5 ετών Μέση τιμή 25 ετών Εφαρμογή: Παραγωγή και ανάλυση συνθετικού δείγματος μεγέθους 99 ετών με χαρακτηριστικά ίδια με αυτά του ιστορικού δείγματος πάχους δακτυλίων στη Utah.5 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Έτος Πηγή: Κουτσογιάννης (22).2.8.6.4.2 Εμπειρική (Συνθετικό δείγμα, n = 99) FGN (H =.75) Λευκός θόρυβος Αυτοσυσχέτιση, ρ j ().5.4.3.2 Εμπειρική (Συνθετικό δείγμα, n = 99) Εμπειρική (Συνθετικό δείγμα, n = 64 ) FGN (H =.75) AR() (ρ =.4) -.2 -.4. -.6.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Log(k) 2 3 4 5 Υστέρηση, j Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 2

Πρόσθετες εφαρμογές Α. Να αναλυθούν τα ιστορικά δείγματα:. απορροής στη θέση Διώρυγα Καρδίτσας του Βοιωτικού Κηφισού (9 χρόνια το μακρότερο δείγμα απορροής στην Ελλάδα, Κουτσογιάννης κ.α., 2) 2. ανακατασκευασμένης μέσης ετήσιας θερμοκρασίας του Βορείου Ημισφαιρίου (992 χρόνια Jones et al., 998). με στόχο να διαπιστωθεί η ύπαρξη μακροπρόθεσμης εμμονής. Β. Να μοντελοποιηθούν κατάλληλα οι αντίστοιχες ανελίξεις και να παραχθούν συνθετικά δείγματα μήκους ετών. Γ. Να ελεγχθούν τα συνθετικά δείγματα ως προς τη διατήρηση των σημαντικών στατιστικών ιδιοτήτων, στις οποίες συμπεριλαμβάνεται και η εμμονή. Δ. Να εκτιμηθεί η ασφαλής απόληψη από τη λίμνη Υλίκη, στην οποία καταλήγουν τα νερά του Βοιωτικού Κηφισού, χρησιμοποιώντας δύο εναλλακτικά μοντέλα εισροών και συγκεκριμένα τα FGN και AR() και με τις ακόλουθες επιπρόσθετες υποθέσεις:. Η ωφέλιμη χωρητικότητα της λίμνης είναι 55 hm 3. 2. Λόγω του καρστικού υποβάθρου της λίμνης, ένα ποσοστό του αποθηκευμένου νερού διαρρέει υπόγεια. Το ποσοστό αυτό να θεωρηθεί αμελητέο όταν η λίμνη είναι άδεια και 6% όταν είναι γεμάτη. 3. Το επίπεδο αξιοπιστίας επιλέγεται 99%. 4. Για την ενδο-ετήσια ρύθμιση, δεσμεύεται ρυθμιστικός όγκος ίσος με το 6% της ετήσιας απόληψης. Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 2

Παράρτημα: Η έννοια του εύρους Ορισμοί Παραδοσιακά, το φαινόμενο Hurst έχει αναλυθεί σε όρους τυχαίων μεταβλητών που σχετίζονται με την αποθήκευση σε ταμιευτήρες (π.χ. Salas, 993, σ. 9.4; Kottegoda, 98, σ. 84). Έστω το μερικό άθροισμα y n := x + x 2 + + x n της στοχαστικής ανέλιξης x i, i =, 2,, για οποιοδήποτε ακέραιο n. Aν μ είναι η μέση τιμή της ανέλιξης, y n /n η δειγματική μέση τιμή της και s n η δειγματική διασπορά της, τότε ορίζονται: Tο εύρος (range) R n := max(y i i μ; i n) min(y i i μ; i n) Tο διορθωμένο εύρος (adjusted range) R * n := max(y i i y n / n; i n) min(y i i y n / n; i n) Το ανηγμένο εύρος (rescaled range) R ** n = R * n / s n Τα R n, R * n και R ** n είναι τυχαίες μεταβλητές των οποίων η κατανομή εξαρτάται από τη κατανομή των x i, τον αριθμό n και τη δομή συνδιασποράς των x, x 2,, x n. Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 22

Στατιστικές ιδιότητες Η μελέτη των κατανομών των R n, R * n, και ιδίως του R ** n είναι πολύ πολύπλοκη. Ακόμη και οι μέσες τιμές τους είναι δύσκολο να εκτιμηθούν με ακρίβεια (Yevjevich, 972, pp. 48-73). Για παράδειγμα, στην απλή περίπτωση που τα x, x 2,, x n είναι ανεξάρτητες μεταβλητές με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ, η μέση τιμή του εύρους είναι (Yevjevich, 972, σ. 5) E[R n ] = σ 2 π i = n i και στην επίσης απλή περίπτωση που τα x i ακολουθούν ανέλιξη AR() με κατανομή Gauss και με γνωστά μ και σ, το μέσο εύρος είναι (Yevjevich, 972, σ. 58) E[R n ] = σ 2 π ( ρ 2 ) n i = + ρ i ( ρ) 2 ρ ( ρi ) i 2 ( ρ) 2 Για τα R * n και R ** n μόνο προσεγγιστικές σχέσεις έχουν διατυπωθεί. Γενικά είναι γνωστό ότι σε ανελίξεις τύπου ARMA το ανηγμένο εύρος ασυμπτωτικά έχει μέση τιμή ενώ για την ανέλιξη απλής ομοιοθεσίας E[R ** n ] c n E[R ** n ] c n H όπου c σταθερά (π.χ. Bras and Rodriguez-Iturbe, 985, σ. 22). Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 23

Προβλήματα Η τελευταία εξίσωση παραδοσιακά έχει χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση του συντελεστή Hurst (βλ. διαγράμματα επόμενης σελίδας). Ωστόσο, η αβεβαιότητα της εκτίμησης είναι πολύ μεγάλη. Αρκεί να λεχθεί ότι η σχέση μπορεί να οδηγήσει σε τιμή του H μεγαλύτερη της μονάδας, κάτι που μαθηματικά δεν είναι δυνατό (για συνεπείς μεθόδους εκτίμησης βλ. Koutsoyiannis, 23 και Tyralis and Koutsoyiannis, 2) Η έννοια του εύρους σε ορισμένες περιπτώσεις έχει ένα φυσικό αντίστοιχο, που συνδέεται με την ανάλυση αθροιστικών καμπυλών εισροών και εκροών ταμιευτήρων, μια γραφική μέθοδο που αναπτύχθηκε από τον Ripple το 883 και χρησιμοποιήθηκε ευρέως στο σχεδιασμό ταμιευτήρων. Συγκεκριμένα, το R n αντιπροσωπεύει τον απαιτούμενο όγκο ταμιευτήρα που λειτουργεί χωρίς υπερχείλιση ή άλλη απώλεια και παρέχει σταθερή εκροή ίση με τη μέση εισροή. Προφανώς, η μέθοδος εισάγει μια υπεραπλούστευση της λειτουργίας των ταμιευτήρων και πρέπει να αντικατασταθεί από πιθανοτικά θεμελιωμένες μεθόδους. Άλλωστε, το εύρος δεν έχει κανένα νόημα «αποθήκευσης» σε περίπτωση που εξετάζονται άλλες μεταβλητές πλην εισροών ταμιευτήρων π.χ. θερμοκρασία, κλιματικές μεταβλητές (όπως τα πάχη δένδρων που εξετάστηκαν εδώ) κτλ. Λόγω των προβλημάτων στον ορισμό και την εννοιολογία των διάφορων εκφράσεων του εύρους, των πολύπλοκων εξισώσεων των στατιστικών ιδιοτήτων του, και των προβλημάτων εκτίμησης, στην παρουσίαση αυτή αποφύγαμε τη χρήση αυτών των εννοιών, προτιμώντας την απλούστερη και συνεπέστερη εννοιολογική θεμελίωση στη μεταβολή της τυπικής απόκλισης ή διασποράς συναρτήσει της χρονικής κλίμακας. Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 24

Log(E [R k ** ]) Log(E [R k ** ]) Log(E [R k ** ]) Εκτίμηση συντελεστή Hurst με βάση το εύρος 2.5 3 2 Κλίση =.88 Δεδομένα Νειλομέτρου.5 Κλίση =.5 Ιστορικά δεδομένα δακτυλίων δένδρων.5 2.5 Ιστορικά δεδομένα FGN (H =.88) Λευκός θόρυβος.5 2 2.5 3 Log(k) 2.5 Δεδομένα συνθετικής σειράς δακτυλίων δένδρων 2 Κλίση =.74 2.5.5.5 Κλίση =.5 Ιστορικά δεδομένα Ιστορικά δεδομένα FGN (H =.74).5 FGN (H =.75) Λευκός θόρυβος Λευκός θόρυβος.5 2 2.5 3 3.5.5 2 2.5 3 Log(k) Log(k) Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 25 3.5

Αναφορές Bras, R. L. and Ι. Rodriguez-Iturbe (985), Random functions and hydrology, Addison-Wesley, USA. Graybill, D. A., (99). IGBP PAGES/World Data Center for Paleoclimatology, NOAA/NGDC Paleoclimatology Program, Boulder, Colorado, USA. Hurst, H. E. (95). Long term storage capacities of reservoirs, Trans. ASCE, 6, 776-88. Jones, P.D., K.R. Briffa, T.P. Barnett, and S.F.B. Tett (998), High-resolution Palaeoclimatic Records for the last Millennium: Interpretation, Integration and Comparison with General Circulation Model Control-run Temperatures, The Holocene 8, 455-47. Kottegoda, N. T. (98). Stochastic Water Resources Technology, Macmillan Press, London. Koutsoyiannis, D., (2). A generalized mathematical framework for stochastic simulation and forecast of hydrologic time series Water Resources Research, 36(6), 59-534. Koutsoyiannis, D., (2). Coupling stochastic models of different time scales, Water Resources Research, 37(2), 379-392. Koutsoyiannis, D. (22). The Hurst phenomenon and fractional Gaussian noise made easy, Hydrological Sciences Journal, 47(4), 573-595. Koutsoyiannis, D. (23). Climate change, the Hurst phenomenon, and hydrological statistics, Hydrological Sciences Journal, 48 (), 3 24. Koutsoyiannis, D. (2). A random walk on water, Hydrology and Earth System Sciences, 4, 585 6. Koutsoyiannis, D. (2). Hurst-Kolmogorov dynamics and uncertainty, Journal of the American Water Resources Association, 47 (3), 48 495. Mandelbrot, B. B. (977). The Fractal Geometry of Nature, Freeman, New York. Salas, J. D. (993). Analysis and modeling of hydrologic time series, Handbook of Hydrology, edited by D. Maidment, Chapter 9, pp. 9.-9.72, McGraw-Hill, New York. Toussoun, O. (925). Mémoire sur l histoire du Nil, in Mémoires a l Institut d Egypte, vol. 8, pp. 366-44. Tyralis, H., and D. Koutsoyiannis (2). Simultaneous estimation of the parameters of the Hurst-Kolmogorov stochastic process, Stochastic Environmental Research & Risk Assessment, 25 (), 2 33. Yevjevich, V. (972). Stochastic Processes in Hydrology, Water Resources Publications, Fort Collins, Colorado. Δ. Κουτσογιάννης, Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας 26