Ασκήσεις στην Μηχανική των Ρευστών

1 η Οµάδα Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 1. Ιξώδες ενός ρευστού ονομάζουμε α. τις δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνησή του όταν αυτό είναι ιδανικό. β. τις δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνησή του όταν αυτό είναι πραγματικό. γ. τις εξωτερικές δυνάμεις που αναγκάζουν το πραγματικό ρευστό να κινηθεί. δ. το φυσικό μέγεθος που καθορίζει τη φύση του. 2. Ο συντελεστής ιξώδους ενός ρευστού α. εξαρτάται από τη φύση του ρευστού. β. αυξάνεται όταν η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται. γ. δεν έχει διαστάσεις. δ. αναφέρεται μόνο στα Νευτώνεια ρευστά. 3. Νευτώνεια ρευστά ονομάζουμε αυτά που α. υπακούουν στο νόμο του Νεύτωνα. β. υπάρχει γραμμική αναλογία μεταξύ της εσωτερικής τριβής και της ταχύτητας ροής τους. υ γ. δεν υπακούουν στη σχέση T=n. L δ. έχουν την ιδιαιτερότητα καθώς αυξάνεται η ταχύτητα ροής, τα σωματίδια του ρευστού να παραμορφώνονται ώστε να διευκολύνουν την ροή. 4. Το αίμα α. είναι ένα Νευτώνειο ρευστό. υ β. υπακούει στη σχέση T=n. L γ. έχει την ιδιαιτερότητα καθώς αυξάνεται η ταχύτητα ροής, τα σωματίδιά του να παραμορφώνονται ώστε να διευκολύνουν την ροή. δ. έχει σταθερό συντελεστή ιξώδους. 5. Για τη λίπανση των μηχανών χρησιμοποιούμε α. το νερό γιατί έχει μικρό συντελεστή ιξώδους. β. το μηχανέλαιο γιατί έχει μικρότερο συντελεστή ιξώδους από το νερό. γ. το μηχανέλαιο γιατί έχει μεγάλο συντελεστή ιξώδους. δ. ένα οποιοδήποτε Νευτώνειο ρευστό με μικρό συντελεστή ιξώδους. 6. Η εσωτερική τριβή μέσα σ ένα ρευστό ονομάζεται α. τυρβώδης. β. δύναμη συνάφειας. γ. ιξώδες. δ. νευτώνεια. Ερωτήσεις µε αιτιολόγηση 7. Στην παραπάνω διάταξη, η πλάκα Π 2 είναι ακλόνητη, ενώ η Π 1 μπορεί να κινείται μέσω μιας ασκούμενης σε αυτήν εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F η οποία οφείλεται στο βάρος w του σώματος Σ. Μεταξύ των πλακών υπάρχει ένα παχύρευστο υγρό. Παρατηρούμε ότι μετά από λίγο, η Π 1 κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ. α. Η ενέργεια που προσφέρεται από την δύναμη F αφαιρεί μηχανική ενέργεια από την πλάκα Π 1 με συνέπεια την αύξηση της θερμοκρασίας του ρευστού. β. Η μείωση της δυναμικής ενέργειας του σώματος Σ έχει ως συνέπεια την μείωση της μηχανικής ενέργειας της πλάκας Π 1. γ. Η ενέργεια που προσφέρεται από την δύναμη F αναπληρώνει την ενέργεια που χάνεται λόγω του ιξώδους του ρευστού. Σελίδα 1

8. Οι κατακόρυφοι σωλήνες του σχήματος είναι ίδιοι και ανοικτοί στο πάνω τμήμα τους. Στον οριζόντιο σωλήνα ρέει με φορά προς τα δεξιά ένα πραγματικό υγρό με σταθερή ταχύτητα. Τα ύψη στους κατακόρυφους σωλήνες είναι σωστά σχεδιασμένα στο σχήμα α. (i). β. (ii). γ. (iii). 9. Ένα πραγματικό ρευστό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής κυλινδρικής διατομής. Η μέση ταχύτητα υ του ρευστού στην κατεύθυνση ροής του δίνεται από το διάγραμμα α. (i). β. (ii). γ. (iii). 10. Ένα πραγματικό ρευστό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής με σταθερή ταχύτητα. Η πίεση κατά μήκος του σωλήνα στην κατεύθυνση ροής του ρευστού μπορεί να δίνεται από το διάγραμμα. α. (i). β. (ii). γ. (iii). 11. Στην παραπάνω διάταξη, η πλάκα Π 2 είναι ακλόνητη, ενώ η Π 1 μπορεί να κινείται μέσω μιας ασκούμενης σε αυτήν εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F. Μεταξύ των πλακών υπάρχει ένα παχύρευστο υγρό. Τοποθετούμε βάρος w και παρατηρούμε ότι μετά από λίγο, η Π 1 κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ 1. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα χρησιμοποιώντας μεγαλύτερο βάρος. α. Η πλάκα Π 1 μετά από λίγο θα κινείται και πάλι με σταθερή ταχύτητα. β. Η πλάκα θα επιταχύνεται συνεχώς. γ. Θα μεγαλώσει το ιξώδες του υγρού με αποτέλεσμα η πλάκα να αποκτήσει μετά από λίγο σταθερή ταχύτητα. 12. Στη διπλανή διάταξη, η πλάκα Π 2 είναι ακλόνητη, ενώ η Π 1 μπορεί να κινείται μέσω μιας ασκούμενης σε αυτήν εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F η οποία οφείλεται στο βάρος w του σώματος Σ. Μεταξύ των πλακών υπάρχει ένα παχύρευστο υγρό. Παρατηρούμε μετά από λίγο, η Π 1 κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ. Αντικαθιστούμε το σώμα Σ με ένα άλλο μεγαλύτερου βάρους. Για να κινηθεί η πλάκα Π 1 πάλι προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ πρέπει να α. αυξήσουμε την απόσταση μεταξύ των πλακών και να διατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία (ρευστό, εμβαδόν πλακών) σταθερά. β. αυξήσουμε το εμβαδόν των πλακών και να διατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία (ρευστό, απόσταση μεταξύ πλακών) σταθερά. γ. αντικαταστήσουμε το ρευστό με άλλο που έχει μικρότερο συντελεστή ιξώδους και να διατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία (εμβαδόν πλακών και απόσταση μεταξύ τους) σταθερά. Σελίδα 2

2 η Οµάδα Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο του ρη 1. Η παροχή του καταρράκτη του Νιαγάρα είναι 8000 m³/s και η χωρητικότητα της τεχνητής λίμνης του Μαραθώνα 44 10 6 m³. Υπολογίστε τον χρόνο που απαιτείται ώστε τα νερά του Νιαγάρα να γεμίσουν την λίμνη του Μαραθώνα. 2. Στον πυθμένα βαρελιού είναι ανοιγμένη μια οπή από την οποία ρέει κρασί με ταχύτητα 6 m/s. Αν η ελεύθερη επιφάνεια του κρασιού κατέρχεται με σχεδόν μηδενική ταχύτητα ποιο είναι το ύψος του βαρελιού; Δίνεται g = 10 m/s². 3. Στο σωλήνα του σχήματος ρέει πετρέλαιο. Αν ο λόγος των διατομών είναι Α 1 /Α 2 = 5 και το ύψος h = 15 cm, να βρεθεί η ταχύτητα του υγρού στην διατομή Α 1. Η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s². 4. Οριζόντιος σωλήνας διαρρέεται από νερό. Σε δύο περιοχές του σωλήνα οι διατομές είναι 0,20 m² και 0,05 m² αντίστοιχα. Αν η ταχύτητα στην πρώτη διατομή είναι 5 m/s και η πίεση στην δεύτερη 2 10 5 Ν/m², να βρείτε : α. Την ταχύτητα του υγρού στην δεύτερη διατομή β. Την πίεση στην πρώτη διατομή Η πυκνότητα του νερού είναι 10 3 kg/m³. 5. Η οπή εκτόξευσης του νερού ενός νεροπίστολου είναι 1 mm² και το εμβαδόν του εμβόλου που πιέζει το νερό 75 mm². H εταιρεία κατασκευής απαιτεί γι αυτό, το νερό που εκτοξεύεται, όταν ένα παιδί χειρίζεται το παιχνίδι, να εκτοξεύεται οριζόντια κατά 3,5 m, ενώ η κατακόρυφη απόκλιση του να είναι μικρότερη από 1 m. Αν ένα παιδί μπορεί να ασκήσει δύναμη περίπου 10 Ν, έχει τις προδιαγραφές της εταιρείας το νεροπίστολο; Η πυκνότητα του νερού είναι 10³ kg/m³ και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 9,8 m/s². 6. Δοχείο είναι γεμάτο νερό μέχρι ύψους Η και βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο τραπέζι. Βρείτε σε ποιο ύψος από το τραπέζι, πρέπει να ανοίξουμε μικρή τρύπα στο δοχείο, ώστε το νερό που θα εκτοξευθεί να πέσει στην μέγιστη δυνατή απόσταση πάνω στο τραπέζι. Πόση είναι αυτή η μέγιστη απόσταση; 7. Ένα αρχικά άδειο δοχείο είναι κυλινδρικό και έχει εμβαδόν διατομής Α 1. Ενώ στο δοχείο εισέρχεται νερό με ρυθμό 2 10-4 m³/s, στον πυθμένα του έχει ανοιχθεί μια τρύπα διατομής 1 cm². Να αποδείξετε ότι η στάθμη του νερού στο δοχείο θα αυξάνεται μέχρι ενός ύψους στο οποίο πλέον θα διατηρηθεί. Επίσης να υπολογίσετε το ύψος αυτό. Είναι g = 10 m/s². 8. Ένα βεντουρίμετρο έχει διάμετρο σωλήνα 30 cm και διάμετρο λαιμού 15 cm. Αν οι πιέσεις στον σωλήνα και στην στένωση είναι αντίστοιχα 4 10 4 Ρα και 3 10 4 Ρα, να υπολογιστεί η παροχή του νερού στον σωλήνα. Η πυκνότητα του νερού είναι 10 3 kg/m³ και π = 3,14. 9. Η πίεση στην διατομή Α του σχήματος είναι 1,75 10 5 Ρα. Αν οι διατομές των σωλήνων και έχουν σχέση Α = 6 Α, υπολογίστε τις ταχύτητες υ και υ, ώστε η πίεση στην διατομή Α να είναι μηδέν. (Το φαινόμενο στην Α είναι γνωστό ως σπηλαίωση και παρατηρείται εξάτμιση του νερού και δημιουργία φυσαλίδων σε εκείνη την θέση, που αγνοούμε κατά την ανάλυση μας). Η πυκνότητα του νερού είναι 10 3 kg/m³. Σελίδα 3

Γενικές Ασκήσεις 10. Μέσα σε οριζόντιο κυλινδρικό σωλήνα ρέει νερό πυκνότητας ρ = 10 3 kg/m 3 με ταχύτητα υ 1 = 1 m/s. Το εμβαδόν της διατομής του σωλήνα είναι 1 = 25 cm 2 και η πίεση στο εσωτερικό του P 1 = 4 10 4 N/m 2. O σωλήνας έχει μία στένωση, όπου το εμβαδόν της διατομής του είναι Α 2 = 5 cm 2. Να υπολογιστούν, η ταχύτητα του νερού και η πίεση στην στένωση. 11. Ένας οριζόντιος σωλήνας αποτελείται από δύο τμήματα, των όποιων τα εμβαδά των διατομών έχουν λόγο Α 1 /Α 2 = 3. Στο σωλήνα ρέει υγρό πυκνότητας ρ, που η ταχύτητά του στο τμήμα με την μεγαλύτερη διατομή είναι υ 1. Να υπολογιστεί η διαφορά πιέσεως μεταξύ των δύο τμημάτων. 12. Ο οριζόντιος σωλήνας του σχήματος αποτελείται από δύο τμήματα, με διατομές Α 1 και Α 2. Στον σωλήνα ρέει νερό, με την ταχύτητά ροής του στο στενότερο σημείο του να είναι υ 2. Στα δύο τμήματα του σωλήνα είναι προσαρμοσμένοι δύο κατακόρυφοι σωλήνες Β και Γ. Αν h 1 = 27 cm, πόση πρέπει να είναι η υ 1 ώστε να είναι h 2 = 0; Δίνονται g = 10 m/s 2 και Α 1 /Α 2 = 4. 13. Μέσα σε σωλήνα ρέει νερό. Σε κάποιο σημείο η ταχύτητα του νερού είναι υ 1 = 10 m/s και η πίεση P 1 = 4 10 5 N/m 2. Να υπολογιστεί η πίεση σε κάποιο άλλο σημείο, πού βρίσκεται h = 20 m πιο χαμηλά από το προηγούμενο, αν το εμβαδόν της διατομής του σωλήνα στο δεύτερο σημείο είναι το μισό από εκείνο στο πρώτο σημείο. Δίνονται g = 10 m/s 2 και ρ = 10 3 kg/m 3. 14. Σε ένα βεντουρίμετρο η διαφορά πιέσεως μεταξύ του κύριου σωλήνα και της στένωσης είναι 1,5 10 5 N/m 2. Τα εμβαδά των διατομών των δύο τμημάτων είναι 0,1 m 2 και 0,05 m 2. Να υπολογιστεί η παροχή στο θεωρούμενο βεντουρίμετρο. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3. 15. Σε ένα βεντουρίμετρο που ρέει νερό, η διαφορά πιέσεως μεταξύ του κύριου σωλήνα και της στένωσης είναι ΔΡ = 0,75 10 4 N/m 2. Ό λόγος των ακτίνων των δύο διατομών του βεντουρίμετρου είναι R 1 /R 2 = 2. Να υπολογιστεί η ταχύτητα τον νερού στο τμήμα με την μεγαλύτερη διατομή. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3. 16. Ένα μεγάλο ανοιχτό δοχείο περιέχει νερό σε βάθος Η. Στο κατακόρυφο τοίχωμα του δοχείου ανοίγουμε μία μικρή τρύπα σε βάθος h κάτω από την επιφάνεια του νερού. Τότε παρατηρούμε ότι το νερό εκτοξεύεται οριζόντια και συναντά το οριζόντιο έδαφος σε κάποιο σημείο: α. Να υπολογιστεί η απόσταση x αυτού του σημείου από την βάση του δοχείου. β. Για ποια τιμή του h η απόσταση x γίνεται μέγιστη; 17. Ένα δοχείο περιέχει νερό ύψους Η = 80 cm και βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Ανοίγονται δύο οπές στο ίδιο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου, σε ύψη h 1 = 50 cm και h 2 από το δάπεδο και διαπιστώνουμε ότι το νερό που εκρέει από τις δύο οπές προσπίπτει στο ίδιο σημείο του δαπέδου. Σε ποιο ύψος ανοίχτηκε η δεύτερη οπή; 18. Ένα μεγάλο δοχείο περιέχει νερό που στην ελεύθερη επιφάνεια του ασκείται πίεση 1,2 10 5 N/m 2. Στο κατακόρυφο τοίχωμα του δοχείου υπάρχει μία μικρή τρύπα σε βάθος 8 m κάτω από την επιφάνεια του νερού. Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής του νερού. Δίνονται η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, g = 10 m/s 2 και Ρ ατμ = 10 5 N/m 2 η ατμοσφαιρική πίεση. 19. Ένας κηπουρός κρατάει σε ύψος h = 1,25 m πάνω από το έδαφος έναν λαστιχένιο σωλήνα, με διάμετρο δ = 2 cm, με τέτοιο τρόπο, ώστε το νερό να εκτοξεύεται οριζόντια από το στόμιο του σωλήνα. Το νερό συναντά το έδαφος σε οριζόντια απόσταση s = 2 m από το στόμιο του σωλήνα. Να υπολογιστεί η παροχή του σωλήνα. Δίνεται g = 10 m/s 2. Σελίδα 4

20. Ένα μεγάλο κλειστό δοχείο περιέχει νερό σε βάθος 5 m. O αέρας που υπάρχει πάνω από την επιφάνεια του νερού είναι υπό πίεση 5 10 5 N/m 2. Το δοχείο είναι τοποθετημένο πάνω σε μία οριζόντια επιφάνεια που βρίσκεται σε ύψος 5 m πάνω από το έδαφος. Ανοίγουμε μία τρύπα στο κατακόρυφο τοίχωμα του δοχείου, ακριβώς πάνω από την βάση του. Αν το εμβαδόν της τρύπας είναι 1 cm 2, να υπολογιστούν: α. Η οριζόντια απόσταση του σημείου όπου το νερό συναντά το οριζόντιο έδαφος, από την οπή. β. Η οριζόντια δύναμη που ασκείται στο δοχείο, εξαιτίας της εκτόξευσης του νερού. Δίνονται: πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, g = 10 m/s 2 και Ρ ατμ = 10 5 N/m 2 η ατμοσφαιρική πίεση. 21. Στον πυθμένα δοχείου, που είναι διαρκώς γεμάτο με ιδανικό ρευστό, ανοίγουμε οπή διαμέτρου δ 1 = 2 cm, με συνέπεια το υγρό να αρχίζει να ρέει από την οπή με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 5 m/s. Πόση θα είναι η διάμετρος της φλέβας 18,75 m κάτω από τον πυθμένα του δοχείου; Δίνεται g = 10 m/s 2. 22. Σε δοχείο, που είναι γεμάτο με υγρό πυκνότητας 0,8 g/cm 3, βυθίζουμε κατακόρυφο σωλήνα που είναι ανοικτός και από τα δύο άκρα. Στο άνω άκρο του σωλήνα πλησιάζουμε ηλεκτρικό πιστολάκι, που «σπρώχνει» τον αέρα, δημιουργώντας ρεύμα πυκνότητας 1,2 kg/m 3. Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινείται το αέριο ρεύμα, ώστε εντός του σωλήνα να υψώνεται στήλη 12 cm; Δίνονται: g = 10 m/s 2 και Ρ ατμ = 10 5 N/m 2 η ατμοσφαιρική πίεση. 23. Το γειτονικό σχήμα απεικονίζει ένα σιφώνιο, συσκευή που χρησιμοποιείται για την εξαγωγή υγρών από δοχεία. Ο σωλήνας BC αρχικά γεμίζει με το υγρό και ακολούθως αυτό ρέει μέσω του σωλήνα μέχρις ότου η επιφάνεια του υγρού στο δοχείο να φτάσει στο σημείο Α, όπου και το στόμιο εισαγωγής του σωλήνα. Το υγρό έχει πυκνότητα 10 3 kg/m 3 και αγνοήσιμο ιξώδες. Οι αποστάσεις του σχήματος είναι h 1 = 0,2 m, d = 0,4 m και h 2 = 0,4 m. α. Ποια η ταχύτητα εκροής του υγρού από το στόμιο C; β. Εάν η ατμοσφαιρική πίεση είναι Ρ ατμ = 10 5 N/m 2, πόση είναι η πίεση του υγρού στο σημείο Β, όπου ο σωλήνας καμπυλώνει στο μέγιστο ύψος του; γ. Ποιο είναι θεωρητικά το μέγιστο ύψος h 1 που μπορεί το σιφώνιο να ανυψώσει το υγρό; 24. Φλέβα νερού, με διάμετρο διατομής δ = 2 cm, προσπίπτει κάθετα σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχο, με ταχύτητα μέτρου υ = 10 m/s. Το νερό μετά την πρόσπτωση κινείται παράλληλα προς την επιφάνεια. Ποια η δύναμη που ασκείται από την φλέβα νερού στον τοίχο; Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3. 25. Δύο λεπτά στρώματα γλυκερίνης, που η μεταξύ τους απόσταση είναι L = 4 mm, κινούνται με ταχύτητες υ 1 = 4 cm/s και υ 2 = 3 cm/s στην ίδια κατεύθυνση. Αν κάθε στρώμα έχει επιφάνεια εμβαδού Α = 10 cm 2, να υπολογιστεί η δύναμη εσωτερικής τριβής που αναπτύσσεται μεταξύ των δύο στρωμάτων. Δίνεται ο συντελεστής εσωτερικής τριβής της γλυκερίνης η = 8 P (poise). 26. Σωλήνας Pitot. Για την μέτρηση της ταχύτητας στα αεροπλάνα, σε σχέση με τον αέρα, χρησιμοποιείται ο σωλήνας Pitot. Θεωρώντας ότι η ταχύτητα του αέρα είναι μηδενική στο σημείο B να αποδειχτεί ότι η 2ρυgh ταχύτητα στο σημείο δίνεται από την σχέση: υ Α = ρ Όπου: ρ υ η πυκνότητα του υδραργύρου, ρ η πυκνότητα του αέρα και h η διαφορά στάθμης του υδραργύρου στον σωλήνα U. 27. Το δοχείο του σχήματος βρίσκεται έξω από την ατμόσφαιρα, το εμβαδόν των βάσεών του είναι Α = 0,5 m 2 και είναι γεμάτο με νερό πυκνότητας ρ = 10 3 kg/m 3. Το δοχείο φέρει πλευρικό σωληνάκι διατομής Α 1 = 20 cm 2 και κλείνει με αβαρές έμβολο. Το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το κάτω μέρος του εμβόλου απέχει κατά h = 40 cm από την πάνω βάση του δοχείου. Η διάταξη βρίσκεται μέσα στο πεδίο βαρύτητας, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s 2. Σελίδα 5

Α. Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή της εξωτερικής δύναμης F που πρέπει να ασκηθεί στο έμβολο για να ισορροπεί. Β. Αν στο έμβολο ασκηθεί εξωτερική δύναμη μέτρου F = 20 N B1. να υπολογιστεί η πίεση στο σημείο Β. B2. να συγκριθεί η πίεση στο Β με την υδροστατική πίεση στο ίδιο σημείο. B3. να δικαιολογηθεί η διαφορά της πίεσης του Β από την υδροστατική πίεση στο Β. 28. Στο διπλανό σχήμα, βλέπετε μια κατακόρυφη τομή ενός κυλινδρικού δοχείου ύψους h = 3 α = 3 m το οποίο είναι γεμάτο νερό, στο οποίο υπάρχουν δύο αβαρή έμβολα Α και Β, τα οποία μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές, σε ισορροπία. Τα εμβαδά των εμβόλων είναι Α = 4 cm 2, η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση p ατ = 10 5 Ρα και g = 10 m/s 2. Α. Για τα μέτρα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στα έμβολα ισχύει: α. F 1 < F 2 β. F 1 = F 2 γ. F 1 > F 2 Β. Αν F 1 = 20 Ν, να βρεθεί το μέτρο της δύναμης F 2. Γ. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκεί το νερό στην πάνω και κάτω βάση του κυλίνδρου, αν η κάθε βάση έχει εμβαδόν Α 1 = 2 m 2. 29. Τα δοχεία περιέχουν υγρό πυκνότητας ρ μέχρι ύψους h ενώ είναι ανοικτά από την πάνω πλευρά τους. Θεωρούμε ότι τα δοχεία βρίσκονται εντός πεδίου βαρύτητας g αλλά ότι δεν υπάρχει ατμόσφαιρα. Σε ποιο από τα τέσσερα δοχεία: α. Η πίεση στον πυθμένα είναι μεγαλύτερη; β. Ασκείται στον πυθμένα δύναμη ίση με το βάρος του υγρού που περιέχεται στο δοχείο; γ. Ασκείται στον πυθμένα δύναμη μικρότερη από το βάρος του υγρού που περιέχεται στο δοχείο; δ. Ασκείται στον πυθμένα δύναμη μεγαλύτερη από το βάρος του υγρού που περιέχεται στο δοχείο; ε. Ασκείται στο δοχείο δύναμη ίση με το βάρος του υγρού που περιέχεται στο δοχείο; 30. Κατακόρυφο πρισματικό δοχείο γεμάτο με νερό έχει στο ένα του κατακόρυφο τοίχωμα οριζόντιο στενό σωλήνα, ο οποίος κλείνει με έμβολο εμβαδού Α που μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Θεωρούμε ότι το δοχείο βρίσκεται εντός πεδίου βαρύτητας, αλλά δεν υπάρχει ατμόσφαιρα. Α. Στο έμβολο ασκείται εξωτερική οριζόντια δύναμη F 1 τέτοια ώστε στα σημεία του υγρού που εφάπτονται στην πάνω επιφάνεια του δοχείου, η πίεση είναι μηδενική p O και το έμβολο να ισορροπεί. Ποιες από τις επόμενες σχέσεις είναι σωστές; α. p = ρgh β. p B p = ρg(h 1 + h 2 ) γ. p Γ = ρg(h Α + h 1 ) F1 F1 F1 δ. p Γ = ε. p = -ρgh1 στ. p B = +ρgh2 Β. Ασκούμε στο έμβολο μεγαλύτερη δύναμη F 2 > F 1, όπου F 2 = F 1 + F. Εφόσον το υγρό είναι ασυμπίεστο το έμβολο συνεχίζει να ισορροπεί. Ποιες από τις επόμενες σχέσεις είναι σωστές; F F2 F2 α. p = +ρgh β. p = +ρgh γ. p = -ρgh1 F F2 δ. p B p = ρg(h 1 + h 2 ) ε. p B = +ρg( h + h 1+ h2) στ. p B = +ρgh2 F2 F ζ. p Γ = η. p Γ = ρg(h Α + h 1 ) θ. p Γ = +ρg( h + h1) Σελίδα 6

31. Σε ένα κυλινδρικό δοχείο βάρους w 1 περιέχεται νερό μάζας m. Α. Η δύναμη που ασκεί το νερό στην βάση του δοχείου έχει μέτρο F 1, όπου: α. F 1 < mg β. F 1 = mg γ. F 1 > mg Β. Τοποθετούμε το δοχείο αυτό πάνω σε μια ζυγαριά. Για την ένδειξη της ζυγαριάς F 2, ισχύει; α. F 2 < w 1 + mg β. F 2 = w 1 + mg γ. F 2 > w 1 + mg Τα παραπάνω πραγματοποιούνται μέσα στην ατμόσφαιρα. 32. Κύλινδρος ύψους h = 0,4 m, πυκνότητας ρ κ = 500 kg/m 3 και εμβαδού βάσης Α = 10 cm 2 ισορροπεί όρθιος βυθισμένος εν μέρει στο νερό, πυκνότητας ρ ν = 1000 kg/m 3, μιας μεγάλης πισίνας. Α. Πόση είναι η δύναμη που δέχεται ο κύλινδρος από το νερό; Πόση είναι η υδροστατική πίεση στα σημεία της κάτω βάσης του κυλίνδρου; Κατά ποιο βάθος h 1 είναι βυθισμένος ο κύλινδρος στο νερό; Β. Βυθίζουμε τον κύλινδρο κατά y 1 = 0,1 m επιπλέον στο νερό και στην συνέχεια τον αφήνουμε ελεύθερο. Να αποδείξετε ότι ο κύλινδρος θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό της. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες και δίνεται g = 10 m/s 2. 33. Στο σχήμα φαίνεται ένα κλειστό δοχείο ύψους H που περιέχει νερό πυκνότητας ρ σε ύψος h. Το πάνω μέρος του δοχείου περιέχει αέρα σε πίεση p. Η εξωτερική πίεση είναι p 0. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου ανοίγουμε μία μικρή τρύπα σε βάθος h 1 από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού, από την οποία αρχίζει να τρέχει νερό. Αν θεωρήσουμε ότι δεν εισέρχεται αέρας από την τρύπα στο δοχείο, το νερό θα τρέχει από την τρύπα έως ότου Α. Η στάθμη του νερού h αποκτήσει την τιμή h = h 2. Β. Η πίεση p αποκτήσει την τιμή p = p 0. Γ. Η πίεση p αποκτήσει την τιμή p = p 0 ρgh 1. p Η h h 1 h 2 p 0 34. Στο διπλανό δοχείο σχήματος U ρίχνουμε υδράργυρο όπως φαίνεται στο σχήμα (α). Οι διατομές των δύο σκελών (σωλήνων) του δοχείου έχουν εμβαδά Α 1 = 10 cm 2 και Α 2 = 5 cm 2 αντίστοιχα. Στην συνέχεια ρίχνουμε 204 g νερού στο δεξιό σκέλος του σωλήνα όπως φαίνεται στο σχήμα (β). Τα δύο υγρά δεν αναμειγνύονται. Α. Να υπολογιστεί το ύψος της στήλης του νερού h 2. Β. Να υπολογιστεί η ανύψωση h, της ελεύθερης επιφάνειας του υδραργύρου στο αριστερό σκέλος του σωλήνα. Δίνονται η πυκνότητα του υδραργύρου ρ υ = 13,6 10 3 kg/m 3 και η πυκνότητα του νερού ρ ν = 10 3 kg/m 3. 35. Στο σχήμα, ένα μικρό ψάρι κινείται οριζόντια και περνά από τις θέσεις Α, Β και Γ, όπου στο χώρο Σ υπάρχει μια σπηλιά. Α. Για τις πιέσεις στις θέσεις Α, Β και Γ ισχύει: α. p Α < p Β < p Γ β. p Α = p Β < p Γ γ. p Α = p Β = p Γ Β. Σε ποια από τις παραπάνω θέσεις, το μάτι του ψαριού δέχεται μεγαλύτερη δύναμη από το νερό της θάλασσας; Γ. Υποστηρίζεται ότι η σπηλιά Σ του σχήματος, επικοινωνεί με την ατμόσφαιρα, μέσω κάποιων σχισμών που εμφανίζονται στα πετρώματα που βρίσκονται από πάνω της. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε; Εξηγήστε την άποψή σας. 36. Μια οριζόντια σύριγγα περιέχει νερό, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό. Το έμβολο της σύριγγας μπορεί ωα κινείται χωρίς τριβές και έχει εμβαδόν Α 1, ενώ 1 το νερό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα από μια τρύπα εμβαδού 2=. 3 Σελίδα 7

Ασκούμε στο έμβολο της σύριγγας μια οριζόντια δύναμη μέτρου F. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το νερό εξέρχεται από την τρύπα είναι ίσο με α. 3 F 2 ρ 1 β. F ρ 1 γ. 2 F 3 ρ 37. Ένας οριζόντιος κυλινδρικός σωλήνας που μεταφέρει νερό, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό, έχει ακτίνα 2 r=3 π 10 m και παροχή Π = 9 10-3 m 3 /s. Ο κεντρικός σωλήνας διακλαδίζεται σε δύο μικρότερους 2 2 οριζόντιους κυλινδρικούς σωλήνες με ακτίνες r 1=2 π 10 m και r 2 = π 10 m αντίστοιχα. Στον σωλήνα r 1 το νερό ρέει με ταχύτητα υ 1 = 1,5υ, όπου υ η ταχύτητα του νερού στον κεντρικό σωλήνα. Ο σωλήνας r 1 ρίχνει νερό σε δεξαμενή χωρητικότητας 300 kg. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3 και π 2 = 10. Να υπολογίσετε: Α. Την ταχύτητα ροής υ στον κεντρικό σωλήνα. Β. Τις παροχές του νερού στους δύο μικρότερους σωλήνες. Γ. Τις ταχύτητες ροής στους δύο μικρότερους σωλήνες. Δ. Τον χρόνο που χρειάζεται για να γεμίσει η δεξαμενή. 38. Το ανοιχτό δοχείο του σχήματος περιέχει υγρό πυκνότητας ρ. Στο σημείο Β που βρίσκεται σε βάθος h B = 0,2 m από την ελεύθερη επιφάνειά του υπάρχει μικρή τρύπα εμβαδού διατομής Α B = 3 10-4 m 2. Το υγρό εκρέει από την τρύπα με ταχύτητα υ Β. Α. Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας εκροής (θεώρημα Toriccelli). Β. Να υπολογιστεί η παροχή του υγρού από την τρύπα. Γ. Σε ποιο βάθος h Γ θα πρέπει να ανοιχθεί μία δεύτερη τρύπα, ώστε το υγρό να εξέρχεται από αυτήν με ταχύτητα διπλάσιου μέτρου υ Γ = 2υ Β ; Η πίεση στην επιφάνεια του υγρού είναι ίση με p ατμ, το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας είναι πολύ μεγαλύτερο από αυτό της τρύπας και g = 10 m/s 2. 39. Ο οριζόντιος σωλήνας του σχήματος, διατομής Α Α = Α 1 =20 cm 2 παρουσιάζει σε μια περιοχή ένα στένωμα διατομής Α Β = Α 2 = 5 cm 2. Στο σωλήνα ρέει νερό που στο στένωμα έχει ταχύτητα 0,8 m/s. Το ύψος του νερού στον σωλήνα Α είναι 23 cm. Α. Πόσο είναι το ύψος του νερού στον σωλήνα Β και πόσο στον σωλήνα Γ, όπου ο σωλήνας έχει ξανά διατομή Α 1. Β. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο στένωμα, όταν το ύψος του νερού στον σωλήνα Α είναι 12 cm και στον Β μηδέν. Η ροή να θεωρηθεί μόνιμη και στρωτή ροή ιδανικού ρευστού. Η πυκνότητα του νερού είναι ίση με 10 3 kg/m 3. 40. Ένας οριζόντιος σωλήνας συνδέεται κοντά στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής σε βάθος Η = 10 m, όπως στο διπλανό σχήμα. Αρχικά ο σωλήνας έχει διατομή Α 1, ενώ στην συνέχεια στενεύει αποκτώντας διατομή Α 2 = 0,4Α 1. Οι ακτίνες των δύο σωλήνων θεωρούνται αμελητέες σε σχέση με το ύψος Η. Α. Αν η στρόφιγγα Σ στο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτή και το νερό θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, ενώ η ροή μόνιμη και στρωτή, να υπολογιστούν: α. Το ύψος h 2 της στήλης στον σωλήνα Β. β. Το ύψος h 1 της στήλης στον σωλήνα Α. Β. Κλείνουμε την στρόφιγγα Σ. Να υπολογιστούν ξανά τα ύψη h 1 και h 2 στους σωλήνες Α και Β. Γ. Αν η στρόφιγγα Σ στο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτή και το νερό θεωρηθεί πραγματικό ρευστό, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται εσωτερικές τριβές: α. Θα ανέβει ή όχι το νερό στην στήλη Β; β. Κλείνουμε την στρόφιγγα Σ. Να υπολογιστούν ξανά τα ύψη h 1 και h 2 στους σωλήνες Α και Β. 1 Σελίδα 8

41. Σε ένα τρίποδο σε ύψος h 1 = 1,25 m από το έδαφος, έχουμε στερεώσει ένα δοχείο το οποίο είναι αεροστεγώς κλεισμένο και το οποίο περιέχει νερό μέχρι ύψος h = 5 m. Το δοχείο, κυλινδρικού σχήματος, έχει εμβαδόν βάσεως 0,4 m 2 και ύψος α = 5,5 m. Αν ανοίξουμε μια μικρή τρύπα, κοντά στην βάση του δοχείου, το νερό πετάγεται, φτάνοντας σε οριζόντια απόσταση x = 10 m, ενώ σιγά - σιγά η φλέβα εξασθενεί και μετά από λίγο, το νερό σταματά να τρέχει. Α. Να βρεθεί η πίεση του αέρα πάνω από την επιφάνεια του νερού, την στιγμή που αρχίζει η εκροή του νερού. Β. Να ερμηνευτεί γιατί το νερό θα φτάνει στην συνέχεια όλο και σε μικρότερη οριζόντια απόσταση στο έδαφος. Γ. Να υπολογιστεί η πίεση του αέρα μέσα στο δοχείο, όταν σταματήσει η εκροή του νερού. Δ. Τελικά πόσος όγκος νερού βγήκε από την τρύπα που ανοίξαμε; Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ = 10 3 kg/m 3, η θερμοκρασία στην διάρκεια του πειράματος παραμένει σταθερή και η ατμοσφαιρική πίεση είναι ίση με p ατ = 10 5 Ν/m 2. Δίνεται g = 10 m/s 2. 42. Ένα δοχείο περιέχει νερό μέχρι ορισμένο ύψος. Από κάποια βρύση διατομής Α 2 που βρίσκεται στον πυθμένα του δοχείου, στην θέση Β, χύνεται το νερό. Η επιφάνεια του δοχείου έχει εμβαδόν διατομής Α 1 = 10 Α 2. Κάποια χρονική στιγμή t 1 η ταχύτητα εκροής του νερού είναι υ 2 = 10 m/s, ενώ την ίδια χρονική στιγμή η ταχύτητα πτώσης της ελεύθερης επιφάνειας του νερού έχει μέτρο υ 1. Δίνεται g = 10 m/s 2. Να υπολογίσετε: Α. Την ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια του νερού την στιγμή t 1. Β. Το ύψος h 1 του νερού στο δοχείο την στιγμή t 1. Γ. Όταν η επιφάνεια του νερού στο δοχείο κατέβει κατά Δh = 3,75 m σε σχέση με την προηγούμενη στάθμη h 1, ανοίγουμε μία δεύτερη βρύση που βρίσκεται που βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την πρώτη, στην θέση Γ και έχει την ίδια διατομή. Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη επιφάνεια στο δοχείο. 43. Οριζόντιος σωλήνας Σ 1 κυκλικής διατομής Α 1 έχει διάμετρο δ 1 = δ. Σε κάποιο σημείο ο σωλήνας χωρίζεται σε δύο άλλους οριζόντιους σωλήνες Σ 2 και Σ 3 κυκλικών δ 2δ διατομών Α 2 και Α 3 με διαμέτρους δ 2 = και δ 3= αντίστοιχα. Το υγρό από τον 3 3 Σ 2 εξέρχεται στην ατμόσφαιρα. Στον Σ 1 το υγρό κινείται με ταχύτητα υ 1 = 5 m/s, ενώ στον Σ 2 το υγρό κινείται με ταχύτητα υ 2 = 25 m/s. Να υπολογίσετε: Α. την πίεση στο σημείο Α. Β. το μέτρο της ταχύτητας υ 3 στον σωλήνα Σ 3. Γ. την πίεση στην θέση Γ. Το υγρό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα ή ακόμη βρίσκεται μέσα σε σωλήνα; Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p ατμ = 10 5 N/m 2 και η πυκνότητα του υγρού ρ = 10 3 kg/m 3. Το υγρό θεωρείται ιδανικό, η ροή στρωτή και οι τριβές αμελητέες. 44. Ένας οριζόντιος σωλήνας ύδρευσης Σ 1, εμβαδού Α 1, διακλαδίζεται σε δυο σωλήνες Σ 2 και Σ 3 με εμβαδά Α 2 = Α 1 /4 και Α 3 = Α 1 /3, που τα άκρα τους Σ 2 καταλήγουν στην ατμόσφαιρα όπως στο σχήμα (κάτοψη). Η ταχύτητα του Σ 1 υ νερού στο σωλήνα Σ 1 είναι υ 1 και η ροή είναι στρωτή και μόνιμη. 2 Α. Οι ταχύτητες υ 2 και υ 3 εξόδου του νερού από τους σωλήνες Σ 2 και Σ 3 είναι υ 1 α. υ 2 = 4υ 3 β. υ 2 = 3υ 3 γ. υ 2 = υ 3 υ 3 Π2 Β. Ο λόγος Π των παροχών των σωλήνων Σ 2 και Σ 1 είναι Σ 3 1 α. 7/3 β. 3/7 γ. 1 Γ. Αν σφραγίσουμε το σωλήνα Σ 3, χωρίς να αλλάξουμε την παροχή του σωλήνα Σ 1, η πίεση στο σημείο Β α. θα αυξηθεί β. θα μειωθεί γ. θα μείνει σταθερή Σελίδα 9

45. Το δοχείο του σχήματος περιέχει δύο υγρά που δεν αναμειγνύονται. Το υγρό που είναι σε επαφή με τον πυθμένα είναι νερό πυκνότητας ρ 1 = 10 3 kg/m 3 και πάνω σε αυτό υπάρχει λάδι πυκνότητας ρ 2 = 0,8 10 3 kg/m 3. Τα ύψη των υγρών είναι h 1 = 1,4 m και h 2 = 0,5 m αντίστοιχα. Το δοχείο είναι ανοικτό στην ατμόσφαιρα και στον πυθμένα του υπάρχει μία μικρή κυκλική οπή μικρού εμβαδού συγκριτικά με το εμβαδόν βάσης του δοχείου. Δίνεται g = 10 m/s 2 και p ατμ = 10 5 N/m 2. Ανοίγουμε την οπή. Να βρείτε: Α. την πίεση στην διαχωριστική επιφάνεια λαδιού νερού. Β. την ταχύτητα εκροής του νερού από την οπή (σημείο Γ). Γ. την παροχή από την οπή αν η διάμετρός της είναι δ = 2 cm. Δ. την διάμετρο της υδάτινης στήλης σε απόσταση h 3 = 1,4 m κάτω από το σημείο εκροής Γ. 46. Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό και περιέχει ιδανικό υγρό. Σε αποστάσεις y 1 = 0,2 m και y 2 = 0,8 m από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και στην ίδια κατακόρυφο ανοίγουμε δύο μικρές οπές εμβαδού Α = 0,1 cm 2 η κάθε μία. Το υγρό αρχίζει να χύνεται ταυτόχρονα και από τις δύο οπές. Δίνεται g = 10 m/s 2. Α. Να βρείτε: α. τις ταχύτητες εκροής από τις δύο οπές. β. την θέση του σημείου συνάντησης των δύο φλεβών υγρού θεωρώντας ότι το δοχείο είναι αρκετά ψηλά σε σχέση με το έδαφος. Β. Πάνω από το δοχείο βρίσκεται μία βρύση από την οποία χύνεται το ίδιο υγρό με τέτοια ροή ώστε, παρόλο που το υγρό εκρέει από τις οπές, η στάθμη του στο δοχείο να παραμένει σταθερή. Να υπολογίσετε την παροχή του υγρού από την βρύση. 47. Σε ένα δίκτυο ύδρευσης, σε σημείο Α ενός οριζόντιου σωλήνα διατομής Α 1 = 3 cm 2, έχουμε ροή νερού με ταχύτητα υ 1 = 1 m/s, ενώ η πίεση είναι ίση με p 1 = 106.500 Pa. Ο σωλήνας εμφανίζει μια ανοδική πορεία καταλήγοντας σε άλλο οριζόντιο σωλήνα, διατομής Α 2. Σε σημείο Β του σωλήνα αυτού, η πίεση είναι p 2 = 10 5 Pa, ενώ η κατακόρυφη απόσταση των σημείων Α και Β είναι h = 0,5 m. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3 και g = 10 m/s 2. Α. Αν το νερό θεωρηθεί ασυμπίεστο ιδανικό ρευστό και η ροή μόνιμη και στρωτή, να βρεθεί η διατομή του σωλήνα στο σημείο Β. Β. Να υπολογιστεί το έργο που παράγει πάνω σε ένα σωμάτιο ρευστού όγκου V 1 = 20 cm 3, το υπόλοιπο νερό, κατά την μετάβασή του από το σημείο Α στο σημείο Β. Γ. Το νερό βέβαια δεν είναι ιδανικό ρευστό, με αποτέλεσμα για να έχουμε την ίδια σταθερή παροχή, πρέπει να αυξήσουμε την πίεση στο σημείο Α στην τιμή p Α = 1,2 10 5 Ρα. Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική κατά την μετακίνηση του παραπάνω σωματίου ρευστού από το Α στο Β, εξαιτίας της τριβής. 48. Σε ένα δοχείο γεμάτο με νερό ανοίγουμε μία οπή στον πυθμένα του, με αποτέλεσμα σταδιακά να αδειάζει το δοχείο μέσα σε χρονικό διάστημα Δt = 200 s. Ο αρχικός όγκος του νερού στο δοχείο είναι V 0 = 0,4 m 3 και η παροχή Π του νερού από την οπή, λόγω ελάττωσης του ύψους του νερού στο δοχείο, ελαττώνεται γραμμικά με τον χρόνο. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 10 3 kg/m 3. Α. Να υπολογίσετε την σχέση της παροχής με τον χρόνο και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση. Β. Πόση μάζα νερού εξέρχεται από την οπή τα τελευταία 10 s της εκροής; 49. Δύο δεξαμενές έχουν διατομές με εμβαδά Α 1 και Α 2 αντίστοιχα. Οι δεξαμενές είναι γεμάτες με νερό σε ύψη h 1 και h 2 (h 1 > h 2 ) αντίστοιχα. Οι δεξαμενές συνδέονται στην βάση τους με σωλήνα με εμβαδόν διατομής Α (πολύ μικρότερο των Α 1 και Α 2 ) o οποίος έχει μικρό μήκος και αρχικά είναι κλειστός με βρύση Β. Την t 0 = 0 ανοίγουμε Σελίδα 10

την βρύση, οπότε το νερό ρέει από το δοχείο 1 προς το δοχείο 2 μέχρι να αποκτήσει την ίδια στάθμη h και στα δύο δοχεία. Δίνεται το g. 1 Α. Να υπολογίσετε την αρχική παροχή. Β. Σε ποια θέση εξισώνονται οι δύο στάθμες; h 1 Γ. Πόσος όγκος νερού θα μετακινηθεί τελικά από το δοχείο 1 στο δοχείο 2; B h 2 Δ. Αν θεωρήσουμε την παροχή γραμμική συνάρτηση του χρόνου σε πόσο χρόνο εξισώνονται οι δύο στάθμες; Αριθμητική εφαρμογή: Α 1 = 3 m 2, Α 2 = 2 m 2, h 1 = 1,6 m, h 2 = 0,8 m, Α = 10-3 m 2, g = 10 m/s 2. 50. Τα δύο υγρά Υ 1 και Υ 2 του σχήματος έχουν πυκνότητες ρ 1 και ρ 2 < ρ 1 αντίστοιχα. Οι δύο κύλινδροι είναι ανοιχτοί στο πάνω μέρος τους. Μεταξύ των δύο υγρών υπάρχει έμβολο αμελητέας μάζας που δεν επιτρέπει την ανάμιξη τους. Αρχικά το ύψος κάθε υγρού είναι h. Κάποια στιγμή ανοίγουμε την κάνουλα και σχεδόν αμέσως αποκαθίσταται η σταθερή ροή. Θεωρούμε σε κάθε περίπτωση ότι τα υγρά είναι ιδανικά, η ροή γίνεται αμέσως στρωτή, το έμβολο κινείται χωρίς τριβές μέσα στον κάθε κύλινδρο και η ελεύθερη επιφάνεια κατεβαίνει με σχεδόν μηδενική ταχύτητα. Α. Για τις αρχικές ταχύτητες μόλις αποκατασταθεί η ροή ισχύει: α. υ 1 > υ 2 β. υ 1 = υ 2 γ. υ 1 < υ 2 Β. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία έχοντας το "κάτω" υγρό σε κάθε σύστημα στο μισό ύψος απ αυτό που το είχαμε αρχικά. Για τις διαφορές 2 2 2 2 2 2 των τετραγώνων των ταχυτήτων Δυ = υ2 -υ 1 και Δυ = υ 2 -υ 1 κατά την έναρξη στα σχήματα 1 και 2 ισχύει: 2 2 2 2 α. Δυ >Δυ β. Δυ =Δυ γ. 2 2 Δυ <Δυ 51. Σε ένα μεγάλο κατακόρυφο σωλήνα ηρεμούν δύο υγρά, νερό με πυκνότητα ρ 1 = 10 3 kg/m 3 και λάδι πυκνότητας ρ 2 = 700 kg/m 3, όπως στο σχήμα, όπου h 1 = 0,8 m και h 2 = 0,7 m. Μια τάπα, κλείνει μια οπή του δοχείου, εμβαδού Α = 0,4 cm 2, η οποία βρίσκεται σε ύψος h = 0,2 m από την βάση του σωλήνα. Α. Να υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται η τάπα από το νερό, καθώς και η δύναμη την οποία δέχεται από τα τοιχώματα του σωλήνα, θεωρώντας αμελητέο το βάρος της. Β. Σε μια στιγμή βγάζουμε την τάπα, οπότε μέσα σε ελάχιστο χρόνο, αποκαθίσταται μια μόνιμη και στρωτή ροή. Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής, θεωρώντας ότι η διατομή του σωλήνα, είναι πολύ μεγαλύτερη από την διατομή της οπής. Γ. Αν η διατομή του σωλήνα έχει εμβαδόν Α 1 = 2 cm 2, να υπολογιστεί ξανά η ταχύτητα εκροής, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο κατεβαίνει η πάνω επιφάνεια του λαδιού. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s 2, η ατμοσφαιρική πίεση p ατ = 10 5 Ν/m 2, ενώ και οι δύο παραπάνω ροές να θεωρηθούν μόνιμες και στρωτές ροές ιδανικού ρευστού. Παρατήρηση: Η ταχύτητα εκροής του νερού δεν θα παραμένει σταθερή, αλλά θα μειώνεται καθώς θα κατεβαίνει η στάθμη του λαδιού, οπότε γενικά, η ροή δεν θα είναι μόνιμη. Η ζητούμενη ταχύτητα εκροής, είναι αυτή που θα αποκατασταθεί μέσα σε ελάχιστο χρόνο, μόλις απομακρυνθεί η τάπα και την οποία για ένα μικρό διάστημα μπορούμε να θεωρήσουμε σταθερή. 2 52. Σε κυλινδρικό δοχείο εμβαδού βάσης Α, που είναι τοποθετημένο σε ύψος h από το έδαφος, περιέχεται υγρό μάζας M. Ανοίγουμε μια μικρή οπή στην βάση του και το υγρό εκρέει και φτάνει σε οριζόντια απόσταση x 1. Τοποθετούμε συμπαγή κύλινδρο μάζας m όρθιο μέσα στο υγρό, έτσι ώστε να ισορροπεί επιπλέοντας, οπότε το υγρό φτάνει σε οριζόντια απόσταση x 2. Αποδείξτε ότι η μάζα του 2 x 2 κυλίνδρου δίνεται από την σχέση m= M 1. x 1 h h 1 x 1 h h 2 x 2 Σελίδα 11

Δίνεται ότι η άνωση που δέχεται ο κύλινδρος, είναι ίση με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού. Ισχύει η παραπάνω σχέση, αν το σώμα που επιπλέει είναι συμπαγές αλλά με ακανόνιστο σχήμα; 53. Σε ένα οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής 100 cm 2 έχουμε μια στρωτή ροή νερού. Σε δύο σημεία Β και Γ, τα οποία απέχουν οριζόντια απόσταση x = 4 m, συνδέονται δυο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες, στους οποίους το νερό ανέρχεται σε ύψη h 1 = 40 cm και h 2 = 39,6 cm αντίστοιχα, όπως στο διπλανό σχήμα. Κάποια στιγμή, την οποία θεωρούμε t 0 = 0, η παροχή του σωλήνα, είναι Π 0 = 0,2 L/s. Α. Να βρεθούν οι ταχύτητες ροής στα σημεία Β και Γ την στιγμή t 0 = 0. Β. Να υπολογιστούν οι τιμές της πίεσης στα σημεία Β και Γ, καθώς και η διαφορά πίεσης μεταξύ τους. Γ. Να βρεθεί η επιτάχυνση της στήλης του νερού, μεταξύ των σημείων Β και Γ. Δ. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β την στιγμή t 1 = 10 s, καθώς και ο όγκος του νερού που εξέρχεται από το δεξιό άκρο του σωλήνα μέχρι την στιγμή t 1, θεωρώντας σταθερά τα ύψη του νερού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες. Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ασυμπίεστο ρευστό το οποίο δεν εμφανίζει εσωτερική τριβή ή τριβή με τα τοιχώματα του σωλήνα. Δίνονται επίσης η ατμοσφαιρική πίεση p ατ = 10 5 Ν/m 2, g = 10 m/s 2 και η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3. 54. Μια τριώροφη κατοικία τροφοδοτείται με νερό από μια δεξαμενή, στην επιφάνεια του εδάφους, με την βοήθεια μιας αντλίας όπως στο σχήμα. Ο κεντρικός σωλήνας τροφοδοσίας έχει διατομή Α 1 = 3 cm 2, οι τρεις οριζόντιες διακλαδώσεις Α 2 = 1 cm 2, ενώ με πλήρως ανοικτές τις βρύσες, το νερό εξέρχεται από διατομές Α = 0,3 cm 2. Η βρύση στο ισόγειο, βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την αντλία, ενώ κάθε όροφος έχει ύψος h = 3,95 m. Η αντλία λειτουργεί αυτόματα, εξασφαλίζοντας στην έξοδό της, σταθερή πίεση p = 2 10 5 Ν/m 2. Α. Με κλειστές τις βρύσες, να υπολογιστεί η πίεση του νερού σε κάθε βρύση. Β. Ανοίγουμε πλήρως την βρύση του πρώτου ορόφου. Θεωρώντας ότι η ροή πραγματοποιείται χωρίς τριβές και είναι μόνιμη και στρωτή, να υπολογιστούν: α. Η παροχή της βρύσης. β. Η πίεση στους τρεις οριζόντιους σωλήνες. γ. Η ισχύς της αντλίας. Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p ατ = 10 5 Ν/m 2, η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3 και g = 10 m/s 2, ενώ το κατακόρυφο μήκος κάθε βρύσης θεωρείται αμελητέο. 55. Πάνω σε ένα τραπέζι έχει στρωθεί ένα λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους L = 10-3 m. Μια πλάκα μάζας m 1 = 0,5 kg και εμβαδού Α = 0,2 m 2, ηρεμεί πάνω στην γλυκερίνη. Δένουμε την πλάκα με αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από αβαρή τροχαλία όπως στο σχήμα, στο άλλο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ, μάζας m 2 = 0,5 kg, το οποίο κάποια στιγμή (t 0 = 0) αφήνουμε να κινηθεί. Α. Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ. Β. Αν μετά από λίγο, το σώμα Σ αποκτά σταθερή ταχύτητα πτώσης υ = 0,1 m/s, να βρεθεί ο συντελεστής ιξώδους του μηχανέλαιου. Γ. Ποια η επιτάχυνση της πλάκας την στιγμή που έχει ταχύτητα υ 1 = 0,04 m/s; Δίνεται g = 10 m/s 2. Σελίδα 12