Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Ενότητα 4 Πέτρος Στεφανέας, Γεώργιος Κολέτσος

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

Εξισωτική Λογική Η λογική βρίσκει εφαρμογή στην πληροφορική μέσω συγκεκριμένων λογικών συστημάτων, όπως η εξισωτική λογική (equational logic), η πρωτοβάθμια λογική (first-order logic), η χρονική λογική (temporal logic) κ.α. Τόσο η χρήση λογικών συστημάτων όσο και ο αριθμός εκείνων που αξιοποιούνται από την πληροφορική αναπτύσσεται ταχύτατα.

Η εξισωτική λογική συγκεκριμένα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προδιαγραφή και επαλήθευση δηλωτικών προγραμμάτων. Επίσης, η εξισωτική απαγωγή είναι σημαντικά απλούστερη συγκριτικά με την πρωτοβάθμια απαγωγή και έχει πολλά πλεονεκτήματα σχετικά με τις ενδεχόμενες εφαρμογές της στην πληροφορική. Η εξισωτική λογική χρησιμοποιείται ήδη για πολλά προβλήματα στις προδιαγραφές υλικού και λογισμικού.

Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί σαν μια μεταγλώσσα για την περιγραφή άλλων λογικών συστημάτων. Κάτι τέτοιο έχει γίνει ήδη για το λογικό πλαίσιο 2OBJ system, ένα μετα-λογικό σύστημα που υποστηρίζει απαγωγές σε όλα τα λογικά συστήματα που μπορούν να κωδικοποιηθούν στην εξισωτική λογική.

Ιδιαίτερο λόγο στη σχέση πληροφορικής και λογικής παίζει η άλγεβρα. Η θεωρία πεδίων (domain theory), η θεωρία κατηγοριών (category theory), ο σχεσιακός λογισμός (relational calculus) και οι άλγεβρες Boole (Boolean algebras) αποτελούν χαρακτηριστικά παραδείγματα εφαρμοσμένων αλγεβρικών θεωριών που σχετίζονται άμεσα με τη λογική και έχουν βρει σημαντικές εφαρμογές στην πληροφορική.

Η ΛΟΓΙΚΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ Η θεωρία των κατηγοριών προτείνει μια ιδιαίτερη οπτική αναφορικά με την περιγραφή των μαθηματικών αντικειμένων. Σύμφωνα με αυτή οι ιδιότητες των μαθηματικών δομών προκύπτουν μέσα από τη μελέτη των μορφισμών που τις διατηρούν. Η μέθοδος αυτή επεκτείνεται και στη συμβολική λογική εξαιτίας της μαθηματικής φύσης της τελευταίας.

Έτσι, η θεωρία των κατηγοριών έχει εφαρμοστεί σε περιοχές της λογικής όπως η θεωρία αλγορίθμων, η θεωρία τύπων, η θεωρία αποδείξεων, η αφηρημένη θεωρία μοντέλων και η εξισωτική λογική. Οι εφαρμογές αυτές τοποθετούνται σε μια ολόκληρη σχολή έρευνας που σκοπό της έχει την αλγεβροποίηση της συμβολικής λογικής. Τα τελευταία χρόνια η κατηγοριακή προσέγγιση της συμβολικής λογικής έχει γνωρίσει ιδιαίτερη άνθιση κυρίως λόγω των ευρύτατων εφαρμογών της στη θεωρητική πληροφορική.

Η θεωρία κατηγοριών μπορεί να μας βοηθήσει να απαντήσουμε το ερώτημα: Σε τι συνίσταται ένα λογικό σύστημα?

Μία κατηγορία C αποτελείται από: μία συλλογή από αντικείμενα μία συλλογή από μορφισμούς τελεστές που επισυνάπτουν σε κάθε μορφισμό f ένα αντικείμενο domf (πεδίο ορισμού του f) και ένα αντικείμενο codf (πεδίο τιμών του f). έναν τελεστή σύνθεσης που επισυνάπτει σε κάθε ζεύγος μορφισμών f και g με codf=domg τη σύνθεσή τους, έτσι ώστε να ικανοποιείται η προσεταιριστική ιδιότητα έναν ταυτοτικό μορφισμό id A : A A για κάθε αντικείμενο A που ικανοποιεί τον ταυτοτικό νόμο

Ορισμός Ένα μονοειδές (M,, e) αποτελείται από ένα σύνολο M, μια διμελή πράξη και ένα ουδέτερο στοιχείο e τέτοια ώστε να ισχύει: x (y z) = (x y) z για κάθε x, y, z M και e x = x = x e για κάθε x M

Διαγράμματα - Γραφική Αναπαράσταση Ιδιοτήτων Ορισμός Ένα διάγραμμα σε μια κατηγορία C είναι μια συλλογή από «ακμές» και «κόμβους» που αντιστοιχούν σε μορφισμούς και αντικείμενα της C με συνεπή τρόπο. Αυτό σημαίνει ότι εάν μια «ακμή» σε ένα διάγραμμα αντιστοιχεί σε ένα μορφισμό f και αυτός έχει τη μορφή f : A B τότε οι κόμβοι αυτής της ακμής είναι το A και το B.

Ορισμός Ένα διάγραμμα σε μια κατηγορία C ονομάζεται μεταθετικό εάν για κάθε ζεύγος από κόμβους X και Y, όλα τα «μονοπάτια» στο διάγραμμα από το X στο Y είναι ίσα, με την έννοια ότι κάθε μονοπάτι καθορίζει ένα μορφισμό και αυτοί οι μορφισμοί είναι ίσοι στη C. Πρόταση Εάν και τα δύο εσωτερικά τετράγωνα είναι μεταθετικά, τότε το αυτό συμβαίνει και με το εξωτερικό "παραλληλόγραμμο".

Μονομορφισμοί - Επιμορφισμοί Ισομορφισμοί Ορισμός Ένας μορφισμός f: C σε μια κατηγορία C είναι ένας μονομορφισμός εάν για κάθε ζεύγος C- μορφισμών g: A B και h: A B η ισότητα f g=f h συνεπάγεται ότι g = h. Πρόταση Στην κατηγορία των συνόλων Set οι μονομορφισμοί είναι οι (1 1) συναρτήσεις (δηλαδή οι συναρτήσεις f για τις οποίες ισχύει ότι f(x) = f(y) x = y.

Ορισμός Ένας μορφισμός f : A B είναι επιμορφισμός εάν για κάθε ζεύγος μορφισμών g : B C και h : B C, η ισότητα g f=h f συνεπάγεται ότι g=h. Πρόταση Στην κατηγορία Set οι επιμορφισμοί είναι οι επί συναρτήσεις. (Μία συνάρτηση f : A B είναι επί εάν για κάθε υπάρχει ένα τέτοιο ώστε f(a) = b).

Ορισμός Ένας μορφισμός f : A B είναι ισομορφισμός εάν υπάρχει ένας μορφισμός f -1 : A B (αντίστροφος του f) τέτοιος ώστε f -1 f = ida και f f -1 = idβ. Δύο αντικείμενα A και B είναι ισομορφικά εάν υπάρχει ένας ισομορφισμός μεταξύ τους.

Αρχικά και Τελικά Αντικείμενα Ορισμός Ένα αντικείμενο O καλείται αρχικό, εάν για κάθε αντικείμενο A υπάρχει ένας ακριβώς μορφισμός από το O στο A. Ένα αντικείμενο 1 καλείται τελικό εάν για κάθε αντικείμενο A υπάρχει ακριβώς ένας μορφισμός από! το A στο 1 (συμβολικά γράφουμε 1)

Γινόμενα Το καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων A και B ορίζεται ως εξής: B = {(α, b), Τα στοιχεία ενός συνόλου S μπορούν να αναπαρασταθούν από μορφισμούς που στέλνουν τα μονοσύνολα του S στο S, οι οποίοι είναι βέβαια σε (1-1) αντιστοιχία με τα στοιχεία του συνόλου S: { : { } }

Ορισμός Ένα γινόμενο (product) δύο αντικειμένων A και B είναι ένα αντικείμενο B, μαζί με δύο μορφισμούς προβολής B A και B B, τέτοιους ώστε για κάθε αντικείμενο C και ζεύγος μορφισμών f : C A και g : C B υπάρχει ακριβώς ένας ενδιάμεσος μορφισμός <, >: ο οποίος κάνει το παρακάτω διάγραμμα μεταθετικό, έτσι ώστε <, > = και <, > =

Εάν μια κατηγορία C έχει ένα γινόμενο για κάθε ζεύγος αντικειμένων λέμε ότι η κατηγορία έχει γινόμενα. Ορισμός Εάν A C και D είναι δύο γινόμενα, τότε για κάθε ζεύγος από μορφισμούς f : A B και g : C D, η απεικόνιση γινόμενο f g : A C B D είναι η απεικόνιση-μορφισμός f π1,g π2 Η δυϊκή έννοια του γινομένου είναι το συν-γινόμενο (co-product).

Ορισμός Ένα συν-γινόμενο (co-product) δύο αντικειμένων A και B είναι ένα αντικείμενο A + B, μαζί με δύο μορφισμούς i1 : A A + B και i2 : B A + B τέτοιους ώστε για κάθε αντικείμενο C και ζεύγος μορφισμών f : A C και g : B C υπάρχει ακριβώς ένας μορφισμός [f; g] : A + B C που κάνει το παρακάτω διάγραμμα μεταθετικό.

Ορισμός Έστω f,g : A B. Ένας μορφισμός e : X A καλείται εξισωτής (equalizer) των f,g αν (1) f e = g e (2) e : X A τέτοιο ώστε f e = g e,!k : X X με e k = e. Πρόταση Κάθε εξισωτής είναι μονομορφισμός.

Πρόταση Έστω e : X A, e : X A εξισωτές των f,g : A B. Τότε υπάρχει μοναδικός ισομορφισμός j : X X τέτοιος ώστε: e j = e. Ορισμός j j = idx, δηλαδή ο j είναι ισομορφισμός

Πρόταση Ένας εξισωτής που είναι επιμορφισμός είναι και ισομορφισμός. Ορισμός Έστω f,g : A B. Ένας μορφισμός e : B C καλείται συνεξισωτής (coequalizer) των f,g αν και μόνο εάν: (1) e f = e g

(2) e : B B τέτοια ώστε e f = e g,!k : C D τέτοιο ώστε k e = e. Ορισμός Εφέλκυση (pullback) των μορφισμών f : A C, g : B C καλείται ένα αντικείμενο P με μορφισμούς f : P B, g : P A τέτοιο ώστε f g = g f και αν i : X A, j : X B είναι τέτοια ώστε f i = g j τότε υπάρχει μοναδικό k : X P τέτοιο ώστε i = g k, j = f k.

[Λήμμα Εφέλκυσης] Έστω το ακόλουθο μεταθετικό σχήμα. (1) Αν τα εσωτερικά τετράγωνα I και II είναι εφελκύσεις, τότε κα το εξωτερικό τετράγωνο είναι εφέλκυση. (2) Αν το εξωτερικό τετράγωνο και το δεξί τετράγωνο είναι εφελκύσεις τότε και το αριστερό τετράγωνο είναι εφέλκυση

Πρόταση Έστω εφέλκυση και g ομομορφισμός. Τότε g μονομορφισμός. Καθολικές Κατασκευές. Μια καθολική κατασκευή (universal construction) περιλαμβάνει μια κλάση αντικειμένων και μορφισμών που τα συνοδεύουν, τα οποία χαρακτηρίζονται από μια κοινή ιδιότητα και επιλέγει τα αντικείμενα τα οποία είναι «τελικά» όταν αυτή η κλάση θεωρηθεί σαν κατηγορία.

Οι μορφισμοί που ορίζονται με μια καθολική κατασκευή ονομάζονται καθολικοί, ή λέμε ότι ικανοποιούν την καθολική ιδιότητα. Μία συν-καθολική κατασκευή (co-universal construction) έχει την ίδια μορφή με μια καθολική κατασκευή, με τη διαφορά ότι τα βέλη αντιστρέφονται και διαλέγει το αρχικό - αντί του τελικούαντικείμενο με την καθορισμένη ιδιότητα.

Ορισμός Έστω C μια κατηγορία και D ένα διάγραμμα στη C. Ένας κώνος (cone) του D είναι ένα C-αντικείμενο X και οι μορφισμοί fi : X Di (ένας για κάθε αντικείμενο Di στο D) τέτοιοι ώστε για κάθε μορφισμό g στο D, το ακόλουθο διάγραμμα να είναι μεταθετικό. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο {fi : X Di} για τους κώνους.

Ορισμός Ένα όριο για το διάγραμμα D είναι ένας κώνος {fi : X Di}με την ιδιότητα ότι εάν {f i : X Di} είναι ένας άλλος κώνος για το D τότε υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός k : X X έτσι ώστε το διάγραμμα να είναι μεταθετικό για κάθε Di D. «Οι κώνοι για ένα διάγραμμα D αποτελούν μια κατηγορία» Ένα όριο είναι ένα τελικό αντικείμενο σε αυτή την κατηγορία.

Ορισμός Ένας συν-κώνος (co-cone) για ένα διάγραμμα D μιας κατηγορίας C είναι ένα C-αντικείμενο X μαζί με μια συλλογή από μορφισμούς fi : Di X τέτοιους ώστε fi g = fi για κάθε g στο D. Ένα συν-όριο (colimit), ή αντίστροφο όριο, για το D είναι τότε ένας συν-κώνος fi : Di X με την συν-καθολική ιδιότητα ότι για κάθε άλλο συν-κώνο f i : Di X υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός k : X X τέτοιος ώστε το διάγραμμα να είναι μεταθετικό για κάθε Di 2 D.

Ορισμός Διακριτές κατηγορίες είναι οι κατηγορίες με μόνους μορφισμούς τους ταυτοτικούς. Θεώρημα (Ορίων) Έστω D ένα διάγραμμα σε μια κατηγορία C, με V το σύνολο των ακμών και το σύνολο των κορυφών. Εάν κάθε C-οικογένεια από αντικείμενα στη C έχει ένα γινόμενο και κάθε ζεύγος μορφισμών στη C έχει έναν εξισωτή, τότε το D έχει ένα όριο.

Ορισμός Έστω C μια κατηγορία με γινόμενα A και B αντικείμενα στη C. Ένα αντικείμενο BA είναι ένα εκθετικό αντικείμενο (exponential object) εάν υπάρχει ένας μορφισμός evalab : (B A x A) B τέτοιος ώστε για κάθε αντικείμενο C και μορφισμό g : (CxA) B υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός curry (g) : C B A που κάνει το ακόλουθο διάγραμμα μεταθετικό: δηλαδή υπάρχει μοναδικό curry (g) τέτοιο ώστε: evalab (curry (g) x ida) = g

Ορισμός Μια καρτεσιανά κλειστή κατηγορία είναι μια κατηγορία με: τελικό αντικείμενο (δυαδικό) γινόμενο εκθετικότητα

Η Κατηγορική Λογική κατά J.Lambek. Η κατηγοριακή λογική κατά J. Lambek αποτελεί μια από τις πιο γενικές θεωρίες απόδείξεων. Ασχολείται με λογικές παραγωγές (deductions) της μορφής : A1A2 An An+1, όπου οι τύποι (formulas) A1 An (δηλαδή οι υποθέσεις) παράγουν λογικά το An+1.

Ορισμός Ένα πολυγράφημα (multigraph) αποτελείται από: (1) μια κλάση A από βέλη (arrows), που θα τα καλούμε επίσης λογικές παραγωγές, (2) μια κλάση O από αντικείμενα (objects), που θα τα καλούμε επίσης τύπους και (3) δύο απεικονίσεις: (a) θ0 : A O* (b) θ1 : A O Η θ0 ονομάζεται αρχή (domain) και η θ1 τέλος (codomain).

Ο Αλγεβρικός Προγραμματισμός Είναι ιδιαίτερα επιθυμητό, δεδομένης της πληθώρας των λογικών συστημάτων που εμφανίζονται στην πληροφορική, να υπάρχει μια κοινή μεθοδολογία που να αντιμετωπίζει πολλές από τις σημαντικές εφαρμογές με τρόπο ανεξάρτητο από ένα συγκεκριμένο λογικό σύστημα.

Η παραπάνω ιδέα οδήγησε τους J. Goguen και R. Burstall να εισάγουν την αφηρημένη θεωρία μοντέλων στην πληροφορική, υπό τη μορφή της θεωρίας θεσμών (theory of institutions). Η θεωρία θεσμών προτείνει μια γενική έννοια λογικού συστήματος η οποία μας επιτρέπει την ανάπτυξη μιας σειράς εφαρμογών της πληροφορικής ανεξάρτητα από ένα συγκεκριμένο λογικό σύστημα.

Η θεωρία θεσμών προτείνει καταρχήν ένα αλγεβρικό ορισμό της αφηρημένης έννοιας του λογικού συστήματος. Οι θεσμοί είναι δηλαδή μια αλγεβρική συνεισφορά στο ανοικτό φιλοσοφικό ζήτημα του ορισμού μιας έννοιας αφηρημένου λογικού συστήματος.

Πολλές φορές στην πληροφορική υπάρχει η ανάγκη χρησιμοποίησης περισσότερων από ένα λογικών συστημάτων ταυτόχρονα, κατά τρόπο παράλληλο και οργανωμένο σ' αυτό που διαισθητικά αντιλαμβανόμαστε σαν δομή ή σύστημα. Ειδικά στην περίπτωση των προδιαγραφών είναι επιθυμητή η χρησιμοποίηση περισσότερων από ένα λογικών συστημάτων μια και έτσι μπορούν να αξιοποιηθούν τα ξεχωριστά πλεονεκτήματα που έχει το καθένα, με σκοπό τη βελτιστοποίηση της προδιαγραφής του συστήματος που μας ενδιαφέρει.

Ακόμα, τα οργανωμένα με αυτό τον τρόπο λογικά συστήματα μας επιτρέπουν και τη δυνατότητα ορθής μετάφρασης προδιαγραφών από ένα λογικό σύστημα σε ένα άλλο. Η θεωρία θεσμών προσφέρει κατάλληλο μαθηματικό πλαίσιο για την αξιοποίηση από την τεχνολογία λογισμικού περισσοτέρων του ενός λογικών συστημάτων.

Συνοψίζοντας, μπορεί να διακρίνει κανείς τρεις τουλάχιστον φάσεις στη σχέση λογικής και πληροφορικής: Πρώτη φάση: Οι έννοιες του αλγορίθμου, οι άλγεβρες του Boole, η λ-ορισιμότητα, οι μηχανές Turing και τα αυτόματα του John von Neumann παίζουν ξεχωριστό ρόλο. Δεύτερη φάση: Η πληροφορική αξιοποιεί συγκεκριμένα λογικά συστήματα όπως αυτά της λογικής του Horn, της εξισωτικής λογικής, του λ- λογισμού, κ.τ.λ.

Τρίτη φάση: Εδώ τον κύριο ρόλο παίζει μια αφηρημένη έννοια λογικού συστήματος (π.χ. ένας θεσμός). Τα συγκεκριμένα λογικά συστήματα αντιμετωπίζονται σαν ειδικές περιπτώσεις αυτής της αφηρημένης έννοιας, ενώ οι εφαρμογές διατυπώνονται στη μέγιστη δυνατή γενικότητά τους.

Η Θεωρία Θεσμών Η θεωρία θεσμών αποτελεί γενίκευση της αφηρημένης θεωρίας μοντέλων του Barwise με καταρχήν στόχο να καλύψει όλο το εύρος των λογικών συστημάτων που χρησιμοποιούνται στην πληροφορική. Όμως, παρά τη γενετική σχέση τους, η αφηρημένη θεωρία μοντέλων και η θεωρία θεσμών κάθε άλλο παρά έχουν την ίδια φιλοσοφία.

Πιο συγκεκριμένα, τα βασικά συστατικά στοιχεία ενός λογικού συστήματος (συντακτικό, σημασιολογία, σχέση αλήθειας) σύμφωνα με την αφηρημένη θεωρία μοντέλων κινούνται μέσα στο πνεύμα της πρωτοβάθμιας ή της δευτεροβάθμιας λογικής. Αντίθετα, τα ίδια στοιχεία αντιμετωπίζονται από τη θεωρία θεσμών στο επίπεδο γενικότητας της θεωρίας κατηγοριών.

Οι θεσμοί προσπαθούν να συμπεριλάβουν ως ειδικές περιπτώσεις όλα τα λογικά συστήματα που χρησιμοποιούνται στην πληροφορική καθώς και όλα εκείνα που είναι πιθανόν να χρησιμοποιηθούν στο μέλλον.

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΤΥΠΩΝ Καθολική Άλγεβρα Μια άλγεβρα Birkhoff αποτελείται από ένα σύνολο (μη κενό), που καλείται φορέας της άλγεβρας και από μία οικογένεια από συναρτήσεις ορισμένες πάνω σε καρτεσιανά γινόμενα του φορέα και τιμές στο φορέα. Πιο συγκεκριμένα:

Ορισμός Μία άλγεβρα Birkhoff είναι κάθε ζεύγος (A,B), όπου A είναι ένα μη κενό σύνολο και B είναι μία οικογένεια συναρτήσεων της μορφής :.

Πολλές από τις πιο γνωστές αλγεβρικές δομές ικανοποιούν τον παραπάνω ορισμό, όπως οι ομάδες, τα σώματα, οι δακτύλιοι και οι ημιομάδες. Από την άλλη μεριά όμως είναι φανερό ότι άλλες αλγεβρικές δομές, για παράδειγμα τα αυτόματα (ακολουθιακές μηχανές), ή τα modules ( διανυσματικοί χώροι πάνω σε δακτύλιο ) δεν είναι άλγεβρες.

Ορισμός Έστω S ένα μη κενό σύνολο (το σύνολο των τύπων). Ονομάζουμε τότε S-σύνολο κάθε οικογένεια συνόλων της μορφής {, όπου σε κάθε στοιχείο s του S αντιστοιχεί και ένα σύνολο A. Ορισμός Μια S-συνάρτηση : μεταξύ δύο S-συνόλων A και B, είναι μια οικογένεια από συναρτήσεις της μορφής.

Ορισμός Καλούμε S-χαρακτηριστική (S-sorted signature) κάθε -οικογένεια όπου S_ είναι το σύνολο που αποτελείται από όλες τις (πεπερασμένες) λίστες στοιχείων του S (δηλαδή = ό ). Τα στοιχεία, των, ονομάζονται συναρτησιακά σύμβολα τύπου W,S. Τα στοιχεία των [,], (όπου [,] η κενή λίστα) ονομάζονται σταθερές τύπου s.

Ορισμός Έστω Σ μια S-χαρακτηριστική. Τότε μια Σ-άλγεβρα (manysorted algebra) A αποτελείται από ένα S-σύνολο { } (τα στοιχεία του καλούνται φορείς της άλγεβρας) και μια -οικογένεια = {,, } όπου, είναι απεικονίσεις που λέγονται και ερμηνείες των συναρτησιακών συμβόλων).

Ορισμός Μια Σ-άλγεβρα B θα καλείται υποάλγεβρα της Σ- άλγεβρας A εάν για όλα τα και για κάθε ισχύει (,, ) = (,, ) όπου με i = 1,,n.

Ορισμός Έστω A και B δύο Σ-άλγεβρες, τότε ένας Σ- ομομορφισμός h είναι μια οικογένεια συναρτήσεων {h : } τέτοια ώστε: (1) Εάν [ ], τότε h ( ) = και (2) Εάν, και <,, > τότε h [ (,, )] = [h ( ),, h ( ]) Ένας Σ-ομομορφισμός h θα καλείται (1 1) (αντ. επί) όταν κάθε h : είναι (1 1) (αντ. επί) για κάθε.

Η σύνθεση δύο ομομορφισμών είναι επίσης ομομορφισμός. Μάλιστα η σύνθεση ομομορφισμών είναι προσεταιριστική. Ο ταυτοτικός ομομορφισμός από μια Σ-άλγεβρα στον εαυτό της είναι η ταυτοτική συνάρτηση από το φορέα Α στον εαυτό του.

Ορισμός Μια Σ-άλγεβρα A καλείται αρχική (initial) σε σχέση με μια κατηγορία Σ-πολυειδών αλγεβρών C εάν και μόνο εάν για κάθε Σ-πολυειδή άλγεβρα B της C υπάρχει ένας και μόνο ένας ομομορφισμός h. Θεώρημα Η άλγεβρα TΣ είναι αρχική στην κατηγορία AlgΣ όλων των Σ-αλγεβρών.

Πρόταση Έστω δύο Σ-άλγεβρες A και Α. Εάν και οι δύο είναι αρχικές σε σχέση με την κατηγορία AlgΣ όλων των Σ- αλγεβρών, τότε οι A και A είναι ισόμορφες. Εάν μια άλγεβρα A στην AlgΣ είναι ισόμορφη με μια άλγεβρα A που είναι αρχική σε σχέση με την AlgΣ, τότε και η A θα είναι επίσης αρχική.

Ορισμός Καλούμε αφηρημένο τύπο δεδομένων (abstract data type) κάθε κλάση ισομορφισμού που περιλαμβάνει μια αρχική άλγεβρα από την κατηγορία AlgΣ των Σ- αλγεβρών. Άλγεβρα με πολλούς Τύπους και Διάταξη. Η άλγεβρα με πολλούς τύπους και διάταξη (order sorted algebra), αποτελεί τη βάση για τον ορισμό της κρυφής άλγεβρας (hidden algebra) που είναι ο φορμαλισμός των τεχνικών αλγεβρικών προδιαγραφών.

Συγκεκριμένα η κρυφή άλγεβρα αποτελεί μια επέκταση της άλγεβρας με πολλούς τύπους και διάταξη η οποία επτιρέπει τον διαχωρισμό μεταξύ τύπων δεδομένων και καταστάσεων μίας αφηρημένης μηχανής, επιτρέποντας έτσι τον ορισμό μίας νέας έννοιας ικανοποιησιμότητας που διευκολύνει σε μεγάλο βαθμό την επαλήθευση των προδιαγραφών, επιτρέπει την ιεραρχική σύνθεση προδιαγραφών και αποδείξεων και τέλος επιτρέπει τη φυσική έκφραση του μη-ντετερμινισμού.

Η Άλγεβρα με διάταξη και Τύπους (Order Sorted Algebra) αποτελεί μία γενίκευση της γενικής άλγεβρας. Η γενίκευση αυτή επιτυγχάνεται με την εισαγωγή μίας σχέσης διάταξης στους τύπους (sorts) της γενικής άλγεβρας.

Μέσω αυτής της γενίκευσης μπορούμε να δώσουμε τυπική σημασιολογία σε τύπους δεδομένων με πολλαπλά επίπεδα κληρονομικότητας καθώς και διάφορες μορφές πολυμορφισμού, να ορίσουμε μή ολικούς τελεστές (partial operators) και σημασιολογία με βάση την αναγραφή όρων.

Θεώρημα Αν Σ = (S, F, ) είναι μία χαρακτηριστική τότε η TΣ αποτελεί μια πρωταρχική ΑΔΤ Σ-άλγεβρα. Πρόταση Αν η χαρακτηριστική Σ είναι συνεπής και Α και Β δύο ισομορφικές Σ-άλγεβρες με διάταξη τότε η Α ικανοποιεί την εξίσωση ( X)t = t ανν την ικανοποιεί και η Β.

Κρυφή Άλγεβρα (Hidden Algebra). Οι Προδιαγραφές Συμπεριφοράς (ΠΣ) παρέχουν μία νέα κατεύθυνση στις συνηθισμένες αλγεβρικές προδιαγραφές. Η διαφορά τους έγκειται στο ότι οι ΠΣ χαρακτηρίζουν το πώς διάφορα συστήματα (ή αντικείμενα) συμπεριφέρονται και όχι το πώς υλοποιούνται.

Αυτό το επίπεδο αφαίρεσης είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν επιθυμούμε να αναλύσουμε τη συμπεριφορά συστημάτων λογισμικού γιατί μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε με φυσικό τρόπο έννοιες όπως μη-ντετερμινισμός, αντικειμενοστράφεια, παραλληλισμός κτλ. Ο λογικός φορμαλισμός με βάση τον οποίο ορίζονται οι ΠΣ είναι η Κρυφή Άλγεβρα με πολλούς τύπους και διάταξη (Order Sorted Hidden Algebra), η οποία είναι μία επέκταση της γενικής άλγεβρας με διάταξη και πολλούς τύπους.

[Κρυφή Χαρακτηριστική] Υποθέτουμε ένα σύνολο τύπων V και μία χαρακτηριστική για αυτούς την οποία θα συμβολίζουμε με Ψ. Ακόμα υποθέτουμε ότι υπάρχει μία V -άλγεβρα με πολλούς τύπους D. Τέλος έστω H ένα σύνολο τύπων τέτοιο ώστε V H =. Τότε μία κρυφή χαρακτηριστική Σ, ορίζεται ως μία τριάδα (Ψ,D,Σ) την οποία συνήθως θα συμβολίζουμε με Σ, όπου: Σ είναι μία V H-χαρακτηριστική η οποία επεκτείνει την Ψ, έτσι ώστε κάθε τελεστής της Σ του οποίου το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών είναι εξολοκλήρου στην Ψ ανήκει κι αυτός στην Ψ.

Τους τύπους του H τους ονομάζουμε κρυφούς τύπους (hidden sorts) και αυτούς του V ορατούς (visible sorts). Τα στοιχεία που είναι κρυφού τύπου δηλώνουν καταστάσεις ενός συστήματος αυτού του τύπου, ενώ τα στοιχεία ορατού τύπου τιμές κάποιου τύπου δεδομένων.

Τους τελεστές της Σ με ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού τους στο H και τύπο του συνόλου τιμής στο V θα τους καλούμε παρατηρήσεις (ή ιδιότητες) και αυτούς με ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού τους στο H και τύπο του συνόλου τιμής στο H μεθόδους (ή τελεστές πράξης). Αυτούς που έχουν πεδίο ορισμού εξολοκλήρου στο V και τύπο συνόλου τιμών στο H θα τους λέμε κρυφές σταθερές.

Μία κρυφή υπό-χαρακτηριστική της Σ ορίζεται απλά ως μία κρυφή χαρακτηριστική (Ψ,D,Γ) τέτοια ώστε Γ. [Σ-προδιαγραφή] Δεδομένου ενός συνόλου Ε από Σ-εξισώσεις μία Σ- προδιαγραφή (ή Σ-θεωρία) ορίζεται ως η τριπλέτα (Σ,Γ,E) όπου Σ είναι μία κρυφή-χαρακτηριστική και Γ είναι μία υπό-χαρακτηριστική της Σ. Οι τελεστές στο Γ\Ψ καλούνται συμπεριφοριακοί τελεστές (behavioral operations).

[Γ-περιεχόμενο] Έστω μία κρυφή χαρακτηριστική Σ και μία υπόχαρακτηριστική της Γ. Ένα Γ-περιεχόμενο τύπου s, είναι ένας οποιοσδήποτε ορατού τύπου όρος από την άλγεβρα των όρων που μπορούμε να παράγουμε από το Γ, TΓ({z} X), c[z] ο οποίος έχει μία μοναδική εμφάνιση της μεταβλητής z που είναι τύπου s.

[Γ-Συμπεριφοριακή Ισότητα] Δεδομένης μίας κρυφής χαρακτηριστικής Σ και μίας Σ- άλγεβρας A, η ισότητα που ορίζεται από τη σχέση, αν και μόνο αν για κάθε Γ-περιεχόμενο c, Ac(a) = Ac(a ) καλείται Γ-συμπεριφοριακή ισότητα (Γbehavioral equivalence) στην A.

[Γ-Συμπεριφοριακή Ισοδυναμία] Μια Γ-Συμπεριφοριακή Ισοδυναμία (Γ-behavioral congruence) σε μία κρυφή άλγεβρα Α, για μία κρυφή υπό-χαρακτηριστική Γ ορίζεται ως οποιαδήποτε σχέση ισοδυναμίας που είναι ισότητα για τους ορατού τύπου όρους και κάθε τελεστής στο Γ είναι διατηρητικός ως προς αυτή.

[Θεμελιώδες Θεώρημα Κρυφής Άλγεβρας] Δεδομένης μιας υπόχαρακτηριστικής Γ της Σ και μίας Σ-άλγεβρας Α, η Γ-συμπεριφοριακή Ισότητα είναι η μεγαλύτερη Γ-συμπεριφοριακή ισοδυναμία πάνω στην Α.

[Γ-συμπεριφοριακή ικανοποιησιμότητα] Μια κρυφή Σ-άλγεβρα Α Γ-συμπεριφοριακά ικανοποιεί μια υπό-συνθήκη Σ-εξίσωση e = ( X)t = t αν t1 = t,,tn = t n αν και μόνο αν για κάθε απονομή θ : X A αν θ(ti), theta(t i) για i = 1 n τότε θ(t), θ(t ). Σε αυτή τη περίπτωση θα γράφουμε ότι =,.

Αν τώρα Ε είναι ένα σύνολο από τέτοιες Γ-εξισώσεις θα γράφουμε ότι =, αν και μόνο αν το Α Γ- συμπεριφοριακά ικανοποιεί όλες τις εξισώσεις του Ε. Ακόμα θα λέμε ότι το Α συμπεριφοριακά ικανοποιεί ή είναι μοντέλο μιας Σ-προδιαγραφής B = (Σ,Γ,E) ανν =,. Τέλος ένα τελεστής είναι συμπεριφοριακά διατηρητικός για μία προδιαγραφή B αν και μόνο αν ο σ είναι διατηρητικός για κάθε A = B.

Πρόταση Δεδομένης μιας συμπεριφοριακής προδιαγραφής B = (Σ,Γ,E) όλοι οι τελεστές του Γ είναι διατηρητικοί. Πρόταση Δεδομένης μιας συμπεριφοριακής προδιαγραφής B = (Σ,Γ,E) και ενός τελεστή συμβολίζουμε με eσ την ακόλουθη εξίσωση: (,,,,, ) (,,,,, ) =,,,,, αν, =.

Τότε ο σ είναι Γ-διατηρητικός για μία κρυφή Σ- άλγεβρα Α ανν: =, και είναι διατηρητικός για την προδιαγραφή ανν =.

[Θεώρημα κρυφών σταθερών] Έστω B = (Σ,Γ,E) είναι μια συμπεριφοριακή προδιαγραφή και e μία Σ-εξίσωση της μορφής t=t αν t1 = t1,, tn = t n. Αν συμβολίζουμε με ex την (Σ X)-εξίσωση ( Y ) t = t αν t1 = t,, tn = t n όπου με (Σ X) συμβολίζουμε τη χαρακτηριστική η οποία προέρχεται από τη Σ με την εισαγωγή των συμβόλων μεταβλητών του Χ ως φρέσκες σταθερές. Τότε ισχύει: B = ανν B =.

Ορισμός Δύο Σ-προδιαγραφές B1 = (Σ,Γ1,E) και B2 = (Σ,Γ2,E) πάνω στην ίδια χαρακτηριστική Σ, θα λέγονται ισοδύναμες ανν για κάθε Σ-άλγεβρα Α, Α = B1 ανν A = B2 και σε αυτή τη περίπτωση οι δύο συμπεριφοριακές ισότητες ταυτίζονται πάνω στην Α.

Ορισμός Έστω B1 και B2 όπως πριν μόνο που εδώ έχουμε ότι Γ1 Γ2 και υποθέτουμε ότι οι Σ-εξισώσεις του Ε δεν έχουν συνθήκες για κρυφούς τύπους. Τότε οι προδιαγραφές B1 και B2 είναι ισοδύναμες ανν όλοι οι τελεστές του Γ2 είναι συμπεριφοριακά διατηρητικοί για την B1.

Η ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΕΞΙΣΩΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΜΕ ΤΥΠΟΥΣ Τα μη Λογικά Σύμβολα της Εξισωτικής Λογικής με Τύπους. Χαρακτηριστικές (Signatures). Τα μη λογικά σύμβολα της εξισωτικής λογικής με τύπους προέρχονται από ένα ζεύγος S, Σ, όπου S είναι ένα σύνολο τύπων και Σ είναι μια S*S οικογένεια συνόλων τελεστών. Τα ζεύγη αυτά για λόγους συντομίας θα τα καλούμε από εδώ και στο εξής εξισωτικές χαρακτηριστικές (equational signatures).

Σ-Άλγεβρες. Έστω μια χαρακτηριστική Σ, μια Σ- άλγεβρα ερμηνεύει κάθε τύπο σαν ένα σύνολο και κάθε τελεστή σαν μια συνάρτηση. Οι Σ-άλγεβρες αντιστοιχούν στην προγραμματιστική έννοια των διακριτών τύπων δεδομένων (discrete data types). Η κατηγορία AlgΣ των Σ-αλγεβρών έχει τις Σ- άλγεβρες ως αντικείμενα και τους Σ- ομομορφισμούς ως μορφισμούς.

Εξισώσεις και Σχέση Ικανοποίησης. Ορίζουμε την έννοια της εξίσωσης και της ικανοποίησης μιας εξίσωσης από μία Σ-άλγεβρα. Έστω ένα άπειρο σύνολο X από μεταβλητές. Τότε μια συνάρτηση επισύναψης τύπων (sort assignment function) είναι μια μερική συνάρτηση X : X S όπου S είναι ένα σύνολο τύπων. Έστω επίσης ότι το X δηλώνει το S-σύνολο δεικτών με = { ( ) = }.

Ορισμός Μία Σ-εξίσωση e είναι μια τριάδα X,t1,t2, όπου X : X S είναι μια συνάρτηση επισύναψης τύπων, S είναι το σύνολο τύπων του Σ, και t1; t2 ( ) έχουν τον ίδιο τελικό τύπο s S. Μια τέτοια εξίσωση τη γράφουμε πολλές φορές ως ( X) t1 = t2.

Ορισμός Μία Σ-άλγεβρα A ικανοποιεί μια Σ-εξίσωση ( Χ)t1 = t2 αν και μόνο αν a(t1) = a(t2) για κάθε συνάρτηση επισύναψης a : X A. Σ αυτή την περίπτωση γράφουμε Α e. Πρόταση Έστω ϕ : Σ Σ ένας μορφισμός χαρακτηριστικών, e μια Σ-εξίσωση και Α μια Σ-άλγεβρα. Τότε ισχύει η εξής συνθήκη ικανοποίησης: Α φ(e) εάν και μόνο εάν φ(α ) e.

Η Λογική Προτάσεων του Horn (Horn Clause Logic). Η λογική προτάσεων του Horn (HCL) αποτελεί τη βάση για τη γλώσσα λογικού προγραμματισμού Prolog.

Ορισμός Μια πρωτοβάθμια χαρακτηριστική (first-order signature) Ω αποτελείται από την εξής τριάδα S,Σ,Π, όπου (1) S είναι ένα σύνολο (από τύπους), (2) Σ είναι μια S*S-οικογένεια συνόλων (από συναρτησιακά σύμβολα), και (3) Π είναι μια S * -οικογένεια συνόλων (από κατηγορηματικά ή σχεσιακά σύμβολα).

Ενας μορφισμός πρωτοβάθμιων χαρακτηριστικών, από το Ω στο Ω, είναι μια τριάδα φ1,φ2,φ3, όπου (1) ϕ1 : S S είναι μια συνάρτηση (2) ϕ2 : Σ είναι μια S*xS-οικογένεια συναρτήσεων ( ), :, ( ), ( ) (3) ϕ3 : Π Π είναι μια S*-οικογένεια συναρτήσεων ( ) : ( )

Ορισμός Έστω Ω μια πρωτοβάθμια χαρακτηριστική, τότε ένα Ω-μοντέλο (ή μια Ω-δομή) Α αποτελείται από: (1) μια S-οικογένεια Α αποτελούμενη από μη κενά σύνολα As s S, όπου As καλείται φορέας τύπου s, και

(2) μια S*xS-οικογένεια a από συναρτήσεις, :, [ ] που επισυνάπτει συναρτήσεις/μια συνάρτηση σε κάθε συναρτησιακό σύμβολο και μια S*-οικογένεια β από συναρτήσεις : ( ) που επισυνάπτει μια σχέση σε κάθε κατηγορηματικό σύμβολο, όπου Pow (Au) δηλώνει το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α (δυναμοσύνολο του A).

Ορισμός Μία καλώς ορισμένη (Ω,X)-πρόταση Horn (Horn clause sentence) έχει τη μορφή: π (t1,,tn) π όπου u = s1 sn και ti termx(ω)si.

Έστω HCL(Ω) το σύνολο όλων των Ω-προτάσεων Horn, δηλαδή η διακριτή ένωση των συνόλων HCLx(Ω) από κλειστές (Ω,X) προτάσεις. Τώρα ορίζουμε τη σχέση ικανοποίησης. Έστω A ένα πρωτοβάθμιο μοντέλο, και έστω AsgnX (A) το σύνολο όλων των συναρτήσεων επισύναψης τιμών του A σε μεταβλητές X, δηλαδή το σύνολο [X A], όλων των S-οικογενειών συναρτήσεων f : X A.

Ορισμός Έστω Ρ μια πρόταση Horn, ορίζουμε ως Asgnx(A,P), το σύνολο των συναρτήσεων επισύναψης στο A για το οποίο η P είναι αληθινή, αναδρομικά ως εξής: εάν P = π(t1,, tn) τότε f Asgnx(A,P) αν και μόνο αν (f (t1),,f (tn)) β(π) όπου f (t) δηλώνει την εκτίμηση (evaluation) του Σ-όρου t στην Σ-άλγεβρα-μέρος του Α όπως ακριβώς στην περίπτωση της κλασικής εξισωτικής λογικής με πολλούς τύπους.

Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.