ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Ιανουάριος 2014 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Σειρά Θέμα Ι (ΟΛΑ) Θέμα ΙΙ (2 από τα 3) Βαθμός /1 /1 /1 /1 /1 /2,5 /2,5 /2,5 /10 ΘΕΜΑ Ι: Ασχοληθείτε και με τα πέντε ερωτήματα. 1) Έστω δύο γεγονότα Α και Β τέτοια ώστε,,. Εξετάστε αν είναι ανεξάρτητα. 1, 11 2) Η τ.μ. Χ έχει πυκνότητα Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής της Χ και 0, ύ να επαληθεύσετε ότι η συνάρτηση που βρήκατε ικανοποιεί τις ιδιότητες μιας συνάρτησης κατανομής. 3) Ρίχνουμε ένα δίκαιο νόμισμα 3 φορές. Ορίζουμε την τ.μ. που μετρά το συνολικό πλήθος κεφαλών που εμφανίστηκε και την τ.μ. που δίνει την απόλυτη διαφορά του πλήθους των κεφαλών από αυτό των γραμμάτων. Βρέστε την από κοινού κατανομή των και και τις περιθώριες κατανομές και εξετάστε αν είναι ανεξάρτητες. 4) Οι κύκλοι που ορίζουν τις τέσσερις περιοχές στο διπλανό κυκλικό στόχο είναι ομόκεντροι με ακτίνες αντίστοιχα 1, 2, 3 και 4. Ένα βέλος ρίχνεται τυχαία στο στόχο. Ποια η πιθανότητα το βέλος να πέσει σε κάθε μία από τις τέσσερις περιοχές; (το βέλος θεωρείται ότι πέφτει μέσα στο στόχο) 5) Αν η τ.μ ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή με παράμετρο θ δείξτε ότι ικανοποιεί τη σχέση:, για κάθε,. Πως λέγεται αυτή η ιδιότητα και ποια η σημασία της; ΘΕΜΑ ΙΙ: Απαντήστε στα δύο από τα τρία: 1) H τ.μ. Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας, όταν x0 και 0 αλλού. α) Να υπολογιστούν (χωρίς χρήση τυπολογίου) η σταθερά c, η μέση και η ροπογεννήτρια της Χ. β) Να υπολογιστεί η διασπορά της Χ με τη βοήθεια της ροπογεννήτριας. γ) Να βρεθεί η κατανομή της τ.μ. 1. 2) Σ ένα αεροδρόμιο στις πρωινές ώρες 08:00 έως και 13:00 προσγειώνονται 30 αεροπλάνα. (α) Ποια κατανομή είναι κατάλληλη να περιγράψει το πλήθος αφίξεων σε ένα δεκάλεπτο και ποια για το πλήθος αφίξεων σε ένα δίωρο; (να δοθεί ο τύπος υπολογισμού της πιθανότητας για k αφίξεις) (β) Να βρεθεί η πιθανότητα δύο τουλάχιστον αεροπλάνα προσγειώνονται σε ένα συγκεκριμένο δεκάλεπτο. (γ) Να βρεθεί η πιθανότητα από τις 8:00 έως τις 10:00 να προσγειωθούν περισσότερα από 15 αεροπλάνα. (θεωρήστε γνωστό ότι για μεγάλο λ η κατανομή P(λ) τείνει στην Ν(λ,λ)). 3) Σε ένα τυχερό παιχνίδι οι παίκτες επιλέγουν τυχαία 3 μπάλες από ένα κουτί που περιέχει 10 άσπρες μπάλες, 9 μαύρες και μία κόκκινη. Η επιλογή τους κοστίζει 10 συνολικά. Αν επιλέξουν 3 άσπρες μπάλες παίρνουν 70, αν επιλέξουν 3 μαύρες παίρνουν 20, αν επιλέξουν 2 άσπρες και την κόκκινη παίρνουν 10. Να βρεθεί η κατανομή του καθαρού κέρδους ενός παίκτη και να εξεταστεί αν το παιχνίδι είναι ή όχι ευνοϊκό γι αυτόν. Ποια είναι η πιθανότητα ένας παίκτης που παίζει 100 παρτίδες, να μην κερδίσει τίποτε στις 80 ή περισσότερες από αυτές; (για το τελευταίο, αν δεν το βρείτε θεωρήστε ότι η πιθανότητα να μην κερδίσει τίποτε σε μία παρτίδα είναι 0.78, που δεν είναι βέβαια η σωστή) ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 2:45 ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Ιανουάριος 2014 Σειρά Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Θέμα Α (ΟΛΑ) Θέμα Β (2 από τα 3) Βαθμός /1 /1 /1 /1 /1 /2,5 /2,5 /2,5 /10 ΘΕΜΑ Ι: Ασχοληθείτε και με τα πέντε ερωτήματα. 1) Έστω δύο γεγονότα Α και Β τέτοια ώστε,,. Εξετάστε αν είναι ανεξάρτητα., 11 2) Η τ.μ. Χ έχει πυκνότητα. Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής της Χ και να 0, ύ επαληθεύσετε ότι η συνάρτηση που βρήκατε ικανοποιεί τις ιδιότητες μιας συνάρτησης κατανομής. 3) Ρίχνουμε ένα δίκαιο νόμισμα 3 φορές. Ορίζουμε την τ.μ. που έχει την 1 αν την πρώτη φορά έρθει κεφαλή και 0 αν την πρώτη φορά έρθει γράμματα και την τ.μ. που δίνει τη διαφορά του πλήθους των κεφαλών από αυτό των γραμμάτων. Βρέστε την από κοινού κατανομή των και και τις περιθώριες κατανομές και εξετάστε αν είναι ανεξάρτητες 4) Τα τετράγωνα που ορίζουν τις τέσσερις περιοχές στο διπλανό τετράγωνο στόχο έ- χουν ίδιο κέντρο και παράλληλες πλευρές με μήκη αντίστοιχα 1, 2, 3 και 4. Ένα βέλος ρίχνεται τυχαία στο στόχο. Ποια η πιθανότητα να πέσει σε κάθε μία από τις τέσσερις περιοχές; (το βέλος θεωρείται ότι πέφτει μέσα στο στόχο) 5) Αν η τ.μ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο θ δείξτε ότι ικανοποιεί τη σχέση: για κάθε,. Πως λέγεται αυτή η ιδιότητα και ποια η σημασία της; ΘΕΜΑ ΙΙ: Απαντήστε στα δύο από τα τρία: 1) H τ.μ. Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας, όταν x0 και 0 αλλού. α) Να υπολογιστούν (χωρίς χρήση τυπολογίου) η σταθερά c, η μέση και η ροπογεννήτρια της Χ. β) Να υπολογιστεί η διασπορά της Χ με τη βοήθεια της ροπογεννήτριας. γ) Να βρεθεί η κατανομή της τ.μ. 1. 2) Σ ένα αεροδρόμιο στις ώρες αιχμής 06:00-08:00 και 17:00-20:00 προσγειώνονται 60 αεροπλάνα. (α) Ποια κατανομή είναι κατάλληλη να περιγράψει το πλήθος αφίξεων σε ένα πεντάλεπτο και ποια για το πλήθος αφίξεων σε ένα δίωρο; (να δοθεί ο τύπος υπολογισμού της πιθανότητας για k αφίξεις) (β) Να βρεθεί η πιθανότητα δύο τουλάχιστον αεροπλάνα προσγειώνονται σε ένα συγκεκριμένο πεντάλεπτο. (γ) Να βρεθεί η πιθανότητα από τις 6:00 έως τις 8:00 να προσγειωθούν περισσότερα από 30 αεροπλάνα. (θεωρήστε γνωστό ότι για μεγάλο λ η κατανομή P(λ) τείνει στην Ν(λ,λ)). 3) Σε ένα τυχερό παιχνίδι οι παίκτες επιλέγουν τυχαία 3 μπάλες από ένα κουτί που περιέχει 8 άσπρες μπάλες, 11 μαύρες και μία κόκκινη. Η επιλογή τους κοστίζει 10 συνολικά. Αν επιλέξουν 3 άσπρες μπάλες παίρνουν 100, αν επιλέξουν 3 μαύρες παίρνουν 40, αν επιλέξουν 2 άσπρες και την κόκκινη παίρνουν 10. Να βρεθεί η κατανομή του καθαρού κέρδους ενός παίκτη και να εξεταστεί αν το παιχνίδι είναι ή όχι ευνοϊκό γι αυτόν. Ποια είναι η πιθανότητα ένας παίκτης που παίζει 100 παρτίδες, να μην κερδίσει τίποτε στις 80 ή περισσότερες από αυτές; (για το τελευταίο, αν δεν το βρείτε θεωρήστε ότι η πιθανότητα να μην κερδίσει τίποτε σε μία παρτίδα είναι 0.83, που δεν είναι βέβαια η σωστή). ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 2:45 ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Υποδείξεις για τις Απαντήσεις Θεμάτων Θεωρίας Πιθανοτήτων Ι, Ιανουαρίου 2013 (Σειρά Α) Ι.1) Ναι, διότι βρίσκουμε και και άρα ισχύει 0 1 1 Ι.2) /2 10 11. και εύκολα ικανοποιούνται οι ιδιότητες (οι ισότητες στα διαστήματα μπήκαν /2 01 1 1 για να φαίνεται η εκ δεξιών συνέχεια. Θα μπορούσαν να μπουν σε όλα). I.3) Από το παρακάτω πινακάκι βρίσκουμε τον πίνακα από κοινού πιθανοτήτων: Χ Υ Λόγω του ότι υπάρχουν 0-κά ενώ στις περιθώριες είναι μη-μηδενικά, άρα δεν είναι ανεξάρτητες. Ι. 4) Η ρίψη του βέλους ισοδυναμεί με την επιλογή τυχαίου σημείου στον κύκλο ακτίνος 4. Επομένως θα εφαρμόσουμε γεωμετρικές πιθανότητες. Αν Α 1 το βέλος πέφτει στον εσωτερικό μικρό κύκλο, Α 2 το βέλος πέφτει στο δακτύλιο με τον αριθμό 2, κλπ. Τότε:,,, και προφανώς αθροίζουν στη μονάδα, όπως αναμένονταν. Ι.5) Είναι η ιδιότητα έλλειψης μνήμης. Αφού Χ είναι γεωμετρική κατανομή με παράμετρο θ θα είναι: 1, 0,1,, οπότε: 1, 0,1, και II.1) α) 1 Θέτοντας /3, ολοκληρώνουμε είτε με χρήση της συνάρτησης Γ(α), είτε με κατά παράγοντες ολοκλήρωση και βρίσκουμε 9 9 9, 3, (εδώ θέτουμε ενδεχόμενα πιθανότητα ΚΚΚ 3 3 1/8 ΚΚΓ 2 1 1/8 ΚΓΚ 2 1 1/8 ΓΚΚ 2 1 1/8 ΚΓΓ 1 1 1/8 ΓΚΓ 1 1 1/8 ΓΓΚ 1 1 1/8 ΓΓΓ 0 3 1/8 β) 18 3, 54 3 άρα, όπως και πριν και 0, και άρα. γ) Y y 1, για y-1, άρα 1, 1 (αυτό μπορούσε και με τον τύπο για τη μονότονη συνάρτηση που ισχύει εδώ επειδή 0 ) ΙΙ. 2) α) Χ=πλήθος αφίξεων σε ένα 10-λεπτο, Υ=πλήθος αφίξεων σε ένα 2-ωρο, τότε ~1 Άρα, 0,1, Όμοια ~12 δηλ., 0,1,!! β) Ζητούμε 2 1 11 0.264 γ) Ζητούμε 15 1 Η τ.μ. Υ προσεγγίζεται από 12, 12. Άρα: 15 10.867 1 0.8070 0.1930 και με διόρθωση συνέχειας 15 14.5 0.1557! Υ Χ 0 1 2 3 fy(y) 1 0 3/8 3/8 0 3/4 3 1/8 0 0 1/8 1/4 fx(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1 )

ΙΙ. 3) Έστω Α={επιλ. 3 άσπρες}, Β={επιλ. 3 μαύρες}, Γ={επιλ. 2 άσπρες και η κόκκινη}, Δ={άλλη επιλογή} Τότε 0.1053, 0.0737, 0.0395, και 1 0.7815 Αν Κ το καθαρό κέρδος του παίκτη τότε έχει κατανομή Κ 60 10 0-10 P(Κ=k) 0.1053 0.0737 0.0395 0.7816 Άρα 0.76, δηλαδή το παιχνίδι δεν είναι ευνοϊκό για τον παίκτη ο οποίος χάνει σε κάθε παρτίδα κατά μέσον όρο 0.76. Αν Χ το πλήθος των φορών από τις 100 που δεν κερδίζει τίποτε, τότε ~100,0.7815 που προσεγγίζεται από την κανονική 78.16, 4.13. Ζητούμε 80. 0.446 10.446 1 0.6722 0.3278. (Για το τελευταίο κάνουμε γραμμική παρεμβολή) Με τη διόρθωση συνέχειας θα βρίσκαμε: 80 0.373 Αν χρησιμοποιήθηκε η δοθείσα, τότε ~78, 4.14 2, και: 80 0.3146, ή με τη διόρθωση συνέχειας 80 0.3587

Υποδείξεις για τις Απαντήσεις Θεμάτων Θεωρίας Πιθανοτήτων Ι, Ιανουαρίου 2013 (Σειρά Β) Ι.1)Ναι, διότι βρίσκουμε και, άρα και και άρα ισχύει I.2) 0 1 1 /2 1 0 1. και εύκολα ικανοποιούνται οι ιδιότητες (οι ισότητες στα διαστήματα μπήκαν για να φαίνεται η εκ δεξιών συνέχεια. Θα μπορούσαν να μπουν σε όλα). /2 01 1 1 Ι.3) Από το παρακάτω πινακάκι βρίσκουμε τον πίνακα από κοινού πιθανοτήτων: Χ Υ ενδεχόμενα πιθανότητα ΚΚΚ 1 3 1/8 ΚΚΓ 1 1 1/8 ΚΓΚ 1 1 1/8 ΓΚΚ 0 1 1/8 ΚΓΓ 1-1 1/8 ΓΚΓ 0-1 1/8 ΓΓΚ 0-1 1/8 ΓΓΓ 0-3 1/8 X Λόγω του ότι υπάρχουν 0-κά ενώ στις περιθώριες είναι μη-μηδενικά, άρα δεν είναι ανεξάρτητες. Ι. 4) Η ρίψη του βέλους ισοδυναμεί με την επιλογή τυχαίου σημείου στο τετράγωνο πλευράς 4. Επομένως θα εφαρμόσουμε γεωμετρικές πιθανότητες. Αν Α 1 το βέλος πέφτει στο εσωτερικό μικρό τετράγωνο, Α 2 το βέλος πέφτει στον τετράγωνο δακτύλιο με τον αριθμό 2, κλπ. Τότε:,,, και προφανώς αθροίζουν στη μονάδα, όπως αναμένονταν. Ι.5) Είναι η ιδιότητα έλλειψης μνήμης. Αφού Χ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο θ θα είναι:, 0 οπότε:, 0 και II.1) α) 1 / Θέτοντας 3, 3 ολοκληρώνουμε είτε με χρήση της συνάρτησης Γ(α), είτε με κατά παράγοντες ολοκλήρωση και βρίσκουμε / 6 /,, (εδώ θέτουμε ) β) 6 13, 54 13 άρα 6, όπως και πριν και 0 54 και άρα 18. γ) Y y 1, για y-1, άρα 1, 1 (αυτό μπορούσε και με τον τύπο για τη μονότονη συνάρτηση που ισχύει εδώ επειδή 0 ) Y -3-1 1 3 fy(y) 0 1/8 2/8 1/8 0 1/2 1 0 1/8 2/8 1/8 1/2 fx(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1 ΙΙ. 2) α) Χ=πλήθος αφίξεων σε ένα 5-λεπτο, Υ=πλήθος αφίξεων σε ένα 2-ωρο, τότε ~1 Άρα, 0,1, Όμοια ~24 δηλ.!! β) Ζητούμε 2 1 11 0.264 γ) Ζητούμε 30 1 Η τ.μ. Υ προσεγγίζεται από 24, 24. Άρα:!, 0,1,

30 11.224 1 0.8896 0.1104 και με διόρθωση συνέχειας 30 29.5 0.131 ΙΙ. 3) Έστω Α={επιλ. 3 άσπρες}, Β={επιλ. 3 μαύρες}, Γ={επιλ. 2 άσπρες και η κόκκινη}, Δ={άλλη επιλογή} Τότε 0.0491, 0.1447, 0.0245, και 1 Αν Κ το καθαρό κέρδος του παίκτη τότε έχει κατανομή Κ 90 30 0-10 P(Κ=k) 0.0491 0.1447 0.0245 0.7816 Άρα 0.9474, δηλαδή το παιχνίδι είναι ευνοϊκό για τον παίκτη ο οποίος κερδίζει σε κάθε παρτίδα κατά μέσον όρο 0.95. Αν Χ το πλήθος των φορών από τις 100 που δεν κερδίζει τίποτε, τότε ~100,0.7816 που προσεγγίζεται από την κανονική 78.16, 4.13. Ζητούμε 80. 0.446 10.446 1 0.6722 0.3278. (Για το τελευταίο κάνουμε γραμμική παρεμβολή) Με τη διόρθωση συνέχειας θα βρίσκαμε: 80 0.373 Αν χρησιμοποιήθηκε η δοθείσα, τότε ~83, 3.76 2, και: 80 0.7878, ή με τη διόρθωση συνέχειας 80 0.8240