Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Transcript

1 Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 ()

2 (Δ). Γάμμα κατανομή, ~ G(α,λ) Μία τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας Λέμε ότι ακολουθεί την Γάμμα κατανομή με α > και λ > Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 ()

3 Γάμμα κατανομή ~G(,λ), Οικογένεια κατανομών Αν α= τότε () = λ -λ δηλ. Εκθετική Αν α= τότε κατανομή rlg ( )! (άθροισμα εκθετικών μεταβλητών, δηλ. συνολικός χρόνος ζωής εκθετικών συστημάτων) Αν α=ν/ και λ=/ τότε / / / κατανομή χ (χι-τετράγωνο) με ν βαθμούς ελευθερίας (χρησιμοποιείται στην εκτίμηση διαστημάτων εμπιστοσύνης και στον έλεγχο υποθέσεων) / Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (3)

4 Άλλες κατανομές συνεχών τ.μ. Κατανομή Βήτα (για τιμές μεταξύ ορίων π.χ. ποσοστά) συνάρτηση Βήτα: b, b, b ( Κατανομή Wibull (για χρόνο ζωής σύνθετων συστημάτων) h ) ( ) b d, ( ) ( b) ( b) συνάρτηση διακινδύνευσης (ρυθμός διακοπής) αν β= -> h()=β σταθερός (εκθετική) αν β> -> h() αυξάνει ο ρυθμός διακοπής αν β< -> h() φθίνει ο ρυθμός διακοπής Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (4)

5 Άλλες κατανομές Κατανομή Cuchy Κατανομή Lplc Κατανομή Mwll,, R,, R,, 4 3 Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (5)

6 Γενικές Ασκήσεις στις γνωστές κατανομές ) Το βάρος (σε κιλά) ενός ζώου είναι μία τ.μ. που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή και τυπική απόκλιση 6. α) Βρείτε την πιθανότητα το βάρος του να είναι μεταξύ 5 και 8 κιλά. β) Βρείτε την πιθανότητα το βάρος του να είναι περισσότερο από 3 κιλά. γ) Αν υποθέσετε ότι επιλέχτηκαν τυχαία ζώα για μια μελέτη, βρείτε την πιθανότητα τουλάχιστον από αυτά να έχουν βάρος περισσότερο από 3 κιλά. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (6)

7 ) Η θερμοκρασία ενός υγρού είναι τ.μ. Χ με σ.π.π. α) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου c. β) Να βρείτε την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα η θερμοκρασία του υγρού να είναι τουλάχιστον. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (7)

8 3) Μία αθλήτρια του άλματος εις ύψος, επεξεργαζόμενη στοιχεία από τις προπονήσεις της, ανακαλύπτει ότι κατόρθωσε να ξεπεράσει τα.85 μ στο % των προπονήσεών της, ενώ τα.7 στο 9% των προπονήσεών της. Υποθέτοντας ότι το ύψος Χ που μπορεί να υπερπηδήσει η αθλήτρια είναι μία τ.μ. που ακολουθεί την κανονική κατανομή, να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων μ, σ της κατανομής. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (8)

9 Ενότητα III Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις Συναρτήσεις τυχαίας μεταβλητής Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (9)

10 Χαρακτηριστικά μεταβλητών Η συμπεριφορά μια τ.μ. Χ καθορίζεται από την σ.π.π. () ή την σ.κ.π. F(). Παρόλ αυτά πολλές φορές είναι χρήσιμο η εξαγωγή ορισμένων χαρακτηριστικών της μεταβλητής. Η γνώση και μόνο τέτοιων χαρακτηριστικών μας βοηθά στην κατανόηση και ερμηνεία της συμπεριφοράς της μεταβλητής, χωρίς να είναι κατ ανάγκη γνωστή η (). Χαρακτηριστικά = Μέτρα περιγραφής μιας μεταβλητής Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 ()

11 Μέση ή Αναμενόμενη Τιμή (μ) Έστω τυχαία μεταβλητή. Ορίζεται ως μέση τιμή: μ = Ε(Χ) (M or pcttio vlu) το κέντρο μάζας της κατανομής της μεταβλητής. Περιπτώσεις ανάλογα με τον τύπο της μεταβλητής Αν τ.μ. Χ διακριτή με σ.π.π. ()=P(=) P δηλ. ο σταθμισμένος μέσος όρος Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 ()

12 Μέση ή Αναμενόμενη Τιμή (μ) Αν Χ συνεχής τ.μ. με σ.π.π. () d δηλ. περιοχές με μεγαλύτερη πυκνότητα πιθανότητας έχουν μεγαλύτερο βάρος (συνεισφορά) στον υπολογισμό του στατιστικού μέσου. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 ()

13 Η αναμενόμενη τιμή ως πράξη Ε( ) Γενικά η πράξη (g()) ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή μιας συνάρτησης g() η οποία ορίζεται με βάση την τυχαιότητα της τυχαίας μεταβλητής Χ. g g gp g d ή, αν Χ συνεχής, αν Χ διακριτή Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (3)

14 Ορισμός: Διακύμανση ή Διασπορά (σ ) (Vric) V () Εκφράζει την έκταση ή πλάτος τιμών της μεταβλητής (>) Διακρίνουμε περιπτώσεις Αν τ.μ. διακριτή με σ.π.π. ()=P(=) V P Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (4)

15 Διακύμανση ή Διασπορά (σ ) Αν τ.μ. συνεχής με σ.π.π. () V d Ορίζουμε ως τυπική απόκλιση (stdrd dvitio) STD( ) V ( ) Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (5)

16 Μέση Τιμή και Διακύμανση (συν.) Χρήσιμες σχέσεις: Μέση τιμή και διακύμανση σταθεράς V c c d c d c c c c c c c Έτσι: c c Vc Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (6)

17 Μέση Τιμή και Διακύμανση (συν.) Μέση τιμή και διακύμανση γραμμικής σχέσης +b V b b d d b b b V b b b d b Έτσι: b b V b V Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (7)

18 Μέση Τιμή και Διακύμανση (συν.) Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού της διακύμανσης Έτσι: V ) ( ) ( ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (8) V

19 Μέση Τιμή και Διακύμανση γνωστών διακριτών κατανομών Χρήσιμες σχέσεις: Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (9) V

20 , Broulli κατανομή Υπολογισμός του μέσου: Υπολογισμός της διακύμανσης: ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 () ) ( V

21 Χαρακτηριστικά της Διωνυμικής κατανομής

22 ,,,, Διωνυμική κατανομή b(,ρ) Υπολογισμός του μέσου: )! )!( ( )! ( )!!(! Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 () γιατί;;;;

23 Διωνυμική κατανομή (συν.) Υπολογισμός διακύμανσης: Έτσι: )! )!( ( )! ( )!!(! ) ( ) ( ) ( V Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (3)

24 Χαρακτηριστικά της Γεωμετρικής κατανομής

25 ,, Γεωμετρική κατανομή G(ρ) Υπολογισμός μέσου: Καθώς ισχύει ότι ( α <): παίρνουμε: ' ' k k k k k k k Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (5)

26 Γεωμετρική κατανομή (συν.) Υπολογισμός διακύμανσης: Καθώς ισχύει ότι: παίρνουμε: 3 3 k k k k V Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (6)

27 Χαρακτηριστικά της Poisso κατανομής

28 ,,, Poisso κατανομή P(λ) Υπολογισμός μέσου: Καθώς ισχύει ότι:!!! k k k! Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (8)

29 Poisso κατανομή P(λ) (συν.) Υπολογισμός διακύμανσης: V )! (! Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ8 (9)

30 Μέση Τιμή και Διακύμανση Γνωστών κατανομών Κατανομή σ.π.π. () Μέση Τιμή (μ) Διακύμανση (σ ) Διωνυμική Γεωμετρική Poisso! Πιθανότητες & Στατιστική Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ9 ( 3 )