ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 26 Σεπτεμβρίου 2014 Ομάδα Θεμάτων Α ΘΕΜΑ 1 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα (δύο δυνατά αποτελέσματα: «Κ», «Γ») συνεχόμενες φορές. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α = Το αποτέλεσμα «Κ» εμφανίζεται για πρώτη φορά στην 4 η ρίψη. Β = Το αποτέλεσμα «Κ» εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά στις πρώτες 4 ρίψεις Γ = Το αποτέλεσμα «Κ» εμφανίζεται για πρώτη φορά μετά τη 2 η ρίψη. Δ = Το αποτέλεσμα «Κ» εμφανίζεται για πρώτη φορά σε ρίψη άρτιου βήματος (2 η, 4 η, 6 η, ) ΘΕΜΑ 2 Μία διαγνωστική συσκευή ελέγχου καλής λειτουργίας ενός συγκεκριμένου τύπου μηχανής δίνει σωστό αποτέλεσμα στο 95% των περιπτώσεων. Γνωρίζουμε ότι το γενικό ποσοστό των ελαττωματικών μηχανών αυτού του τύπου είναι 1 στις Πραγματοποιούμε έλεγχο με τη διαγνωστική αυτή συσκευή σε δύο ανεξάρτητες μηχανές Α και Β. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: Ι. Δεδομένου ότι ο έλεγχος που πραγματοποιήθηκε στην μηχανή Α έδειξε ότι αυτή είναι ελαττωματική, η μηχανή να είναι πράγματι ελαττωματική. ΙΙ. Οι διαγνωστικοί έλεγχοι που έγιναν στις δύο μηχανές να δείξουν και οι δύο πρόβλημα. ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ff(xx) = aaaaee xx2 2aa, xx 0 0, xx < 0 όπου α θετικός πραγματικός αριθμός. Ι. Να προσδιοριστεί η σταθερά α. ΙΙ. Να υπολογιστεί η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της X. ΙΙΙ. Να υπολογιστεί η πιθανότητα στην συγκεκριμένη περιοχή το ύψος κύματος να είναι: Α: πάνω από 1m. Β: κάτω από 2m. ΙV. Αν γνωρίζουμε ότι το ύψος κύματος σε μία χρονική στιγμή είναι πάνω από 1m ποια η πιθανότητα να είναι μικρότερο από 2m; ΘΕΜΑ 4 Το βάρος σε κιλά των δεμάτων που αποθηκεύονται σε μία συγκεκριμένη υπηρεσία ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 250 Κgr και τυπική απόκλιση σ. Είναι γνωστό ότι η πιθανότητα το βάρος ενός δέματος να είναι λιγότερο από 240 Kgr είναι ίση με 15,87%. Ι. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση σ. ΙΙ. Να βρεθεί η πιθανότητα το βάρος ενός δέματος που επιλέγεται τυχαία να είναι μεταξύ 245 και 255 Kgr. ΙΙΙ. Να βρεθεί η πιθανότητα σε 10 δέματα που επιλέγονται τυχαία τουλάχιστον τα 2 να έχουν βάρος μεταξύ 245 και 255 Kgr. Δίνονται οι τιμές της αθροιστικής συνάρτησης της τυποποιημένης κανονικής κατανομής: Φ(1) = , Φ(0.5) = , Φ(1.5) =

2 ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 12 Σεπτεμβρίου 2013 ΘΕΜΑ 1 I. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με πιθανότητες Ρ(Α)=0.2, Ρ(Β)=0.3 και P(A B)=0.02, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: - Γ = να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β. - Δ = να πραγματοποιηθεί μόνο το Α. - Ε = να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β. - Ζ = να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α, Β. II. Από μια ομάδα 20 ατόμων από τους οποίους 6 είναι γυναίκες και 14 άνδρες επιλέγουμε τυχαία 4. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: - Χ = 2 άτομα από τα 4 που επιλέξαμε είναι γυναίκες - Υ = ένα τουλάχιστον άτομο είναι γυναίκα - Ζ = και τα 4 άτομα είναι του ίδιου φύλου. ΘΕΜΑ 2 Ι. Στις εισαγωγικές εξετάσεις μιας σχολής οι υποψήφιοι επιλέγονται βάσει ενός τεστ. Γνωρίζουμε, από τη στατιστική ανάλυση των αποτελεσμάτων προηγούμενων ετών, ότι αν ένας υποψήφιος είναι καλά προετοιμασμένος έχει πιθανότητα 80% να περάσει το τεστ ενώ ένας μη επαρκώς προετοιμασμένος υποψήφιος 25%. Αν γνωρίζουμε ότι 40% των υποψηφίων είναι επαρκώς προετοιμασμένοι, να υπολογίσετε την πιθανότητα ένας σπουδαστής της συγκεκριμένης σχολής που επιλέγεται τυχαία να ήταν καλά προετοιμασμένος. ΙΙ. Τρείς παίκτες Α, Β, Γ ρίχνουν διαδοχικά ένα νόμισμα (δύο ισοπίθανα αποτελέσματα: «κεφαλή»- «γράμματα») πάντα με την ίδια σειρά Α-Β-Γ-Α-Β-Γ-. Κερδίζει εκείνος που για πρώτη φορά θα φέρει «κεφαλή». Να ελέγξετε αν το παιχνίδι είναι δίκαιο. ΘΕΜΑ 3 Η τυχαία μεταβλητή X έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 0, x< a f( x) = bx be, x a όπου abπραγματικοί, αριθμοί, και μέση τιμή ίση με 3. Ι. Να προσδιορισθούν τα ab., ΙΙ. Να βρεθεί η τιμή κάτω από την οποία βρίσκεται το 50% των τιμών της X. ΘΕΜΑ 4 Ο χρόνος ζωής σε έτη μιας μηχανής ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 20 έτη και τυπική απόκλιση 2 έτη. I. Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι μεταξύ 18 ετών και 22 ετών ; II. Ποιά είναι η τιμή q ώστε το γεγονός «η διάρκεια ζωής μιας μηχανής υπερβαίνει την τιμή q» έχει πιθανότητα ίση προς 0.9 ; III. Ποιά είναι η πιθανότητα από 4 μηχανές του παραπάνω τύπου οι 2 το πολύ να έχουν διάρκεια ζωής μεταξύ 18 και 22 ετών; Δίνονται οι τιμές της αθροιστικής συνάρτησης της τυποποιημένης κανονικής κατανομής: Φ(1) = , Φ(2.5) = , Φ(1.28) = 0.9,

3 ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ Α TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2 Οκτωβρίου 2012 ΘΕΜΑ 1 Ρίχνουμε ένα ζάρι (πιθανά αποτελέσματα 1, 2, 3, 4, 5, 6) διαδοχικά τρεις φορές και θεωρούμε τα εξής ενδεχόμενα: Α: και στις τρεις ρίψεις έρχεται το ίδιο αποτέλεσμα, Β: το άθροισμα των αριθμών στις τρεις ρίψεις είναι 5, Δ: στη δεύτερη ρίψη έρχεται το 1. I. Να περιγράψετε το δειγματοχώρο Ω του παραπάνω πειράματος. Πόσα στοιχεία έχει; Να βρείτε ποια υποσύνολά του αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα Α, Β και Δ και στη συνέχεια να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Δ). II. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P( Α ), P(B' ') και P( Α ). Εξετάστε αν τα ενδεχόμενα Α, Δ είναι ανεξάρτητα. ΘΕΜΑ 2 Σε ένα σύνολο 150 γραπτών 40 από την τάξη Τ 1, 50 από την Τ 2 και 60 της Τ 3 η βαθμολογία κάτω από τη βάση είναι στο 15% των γραπτών της Τ 1, στο 20% της Τ 2 και στο 10% της Τ 3. Επιλέγουμε τυχαία ένα γραπτό και ζητάμε τις πιθανότητες: Ι. Να έχει βαθμό κάτω από τη βάση. ΙΙ. Αν το γραπτό έχει βαθμό κάτω από τη βάση, να προέρχεται από την τάξη Τ 1. ΘΕΜΑ 3 Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας 2 ax, αν x [0,3] Ι. Να προσδιοριστεί η πραγματική σταθερά α. II. Να βρεθεί η μέση τιμή της Χ. III. Να υπολογιστεί η πιθανότητα P(X<1 X<2). f(x) = 0, αν x [0,3] ΘΕΜΑ 4 Η ποσότητα πετρελαίου που καίει ένας καυστήρας σε 24 ώρες είναι κανονική τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 200 λίτρα και τυπικά απόκλιση 20. Ι. Αν υπάρχουν διαθέσιμα ακόμη 210 λίτρα, ποια η πιθανότητα ο καυστήρας να συνεχίσει να λειτουργεί τις επόμενες 24 ώρες; ΙΙ. Σε ένα συγκρότημα κατοικιών στο οποίο λειτουργούν 5 καυστήρες του προηγούμενου τύπου και όπου σε κάθε κατοικία υπάρχουν 210 λίτρα πετρελαίου διαθέσιμα, ποια είναι η πιθανότητα σε τουλάχιστον μία κατοικία ο καυστήρας να λειτουργεί τις επόμενες 24 ώρες; Δίνεται η τιμή της αθροιστικής συνάρτησης της τυποποιημένης κανονικής κατανομής: Φ(0.5)=0.6915

4

5

6

7

8

9

10

11