ΘΕΜΑ o Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς z και w ισχύουν: z 6 i και w i w 3 3i τότε να βρείτε: α. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α. Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α,β]; Μονάδες 5 B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Αν µια συνάρτηση f:a είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f ισχύει: f f, A και f f y y, y f A Μονάδες β. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της. Μονάδες γ. Όταν η διακρίνουσα της εξίσωσης α z β z γ µε α, β, γ και α είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των µιγαδικών. Μονάδες δ. Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f > για κάθε πραγµατικό αριθµό. Μονάδες ε. Aν η f είναι συνεχής σε διάστηµα και α, β, γ τότε ισχύει β γ β f d f d f d α α γ Μονάδες Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

ΘΕΜΑ o Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς z και w ισχύουν: z 6 i και w i w 3 3i τότε να βρείτε: α. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z. β. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w. γ. την ελάχιστη τιµή του w δ. την ελάχιστη τιµή του z w Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 3o ln, > ίνεται η συνάρτηση f, α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο. Μονάδες 3 β. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f και να βρείτε το σύνολο τιµών της. Μονάδες 9 γ. Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης για όλες τις πραγµατικές τιµές του α. Μονάδες 6 δ. Να αποδείξετε ότι ισχύει f > f f, για κάθε >. Μονάδες 7 α Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

ΘΕΜΑ 4o Έστω f µια συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει α. Να αποδείξετε ότι 3 f 3 f d 45 f 3 6 45 Μονάδες 8 β. ίνεται επίσης µια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιµη στο. Να αποδείξετε ότι g' g' h g'' lim h h Μονάδες 4 γ. Αν για τη συνάρτηση f του ερωτήµατος α και τη συνάρτηση g του ερωτήµατος β ισχύει ότι g h g g h lim f 45 h h και g g', τότε: i. να αποδείξετε ότι g 5 3 ii. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι Μονάδες Μονάδες 3 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία Σελ. 35 σχολ. βιβλίου. Α. Θεωρία Σελ. 9 σχολ. βιβλίου. Β α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ ο α. Η ισότητα i z 6, γράφεται ισοδύναµα: i z 6 8 z 6 3 z 6 z. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z είναι ο κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, ακτίνα ρ και εξίσωση c: y. β. Η δοσµένη σχέση για τους µιγαδικούς αριθµούς w περιγράφει τη µεσοκάθετο του τµήµατος Γ, όπου Γ, και 3, 3. Πιο αναλυτικά αν w yi οι µιγαδικοί αριθµοί που ικανοποιούν τη δοσµένη σχέση, έχουµε: w i w 3 3i yi i yi 3 3i y i 3 y 3 i y 3 y 3 y y 6 9 y 6y 9 4 4y 6 y 4. Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μw είναι τα σηµεία της ευθείας ε µε εξίσωση: y 4. γ. Η ελάχιστη τιµή του w είναι η απόσταση του σηµείου Ο από την ευθεία ε: y 4, δηλαδή: 4 4 4 d O, ε. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 4

δ. Σύµφωνα µε το παρακάτω σχήµα, όπου αναπαριστώνται γεωµετρικά οι γεωµετρικοί τόποι των εικόνων c, ε αντίστοιχα των µιγαδικών αριθµών z και w βρίσκουµε ότι, η ελάχιστη τιµή του z w είναι το µήκος του τµήµατος ΑΒ: AB OB OA ρ. y c ε - A 4 - B -4 ΘΕΜΑ 3ο ln α lim f lim ln lim D l' Hospial ln lim lim lim. Επίσης f. Συνεπώς f συνεχής στο. β Η f είναι συνεχής στο, ως γινόµενο συνεχών και συνεχής στο λόγω του α. Άρα η f είναι συνεχής στο [,. Για > : f ln ln ln ln ln. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 5

f ln ln. Έχουµε τον παρακάτω πίνακα µεταβολών: f - f Στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα: f, lim f, f,. Στο, η f είναι γνησίως αύξουσα άρα: f, f, lim f,. f. Εποµένως: [,,,, γ. a Επειδή >, για κάθε, για την εξίσωση a προκύπτει ο περιορισµός,. Με τον περιορισµό αυτό η εξίσωση γράφεται ισοδύναµα: a a ln ln ln ln a f a, >. Επειδή το σύνολο των τιµών της f βρέθηκε, προκύπτουν οι περιπτώσεις: i Αν a, η είναι αδύνατη. a Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 6

ii Αν. a, η τιµή Έτσι η έχει την ρίζα είναι η ελάχιστη τιµή της f την οποία παίρνει µόνον για. iii Αν a,, επειδή, f, και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, προκύπτει ότι, η έχει ακριβώς µία ρίζα στο, που είναι θετική. Επίσης επειδή, f, και η f είναι γνησίως αύξουσα στο, προκύπτει ότι η έχει ακριβώς άλλη µία ρίζα στο, που είναι επίσης θετική. iv Αν a η γίνεται ln απορρίπτεται ή ln. Μία ρίζα θετική. v Αν a, επειδή,, f, αύξουσα στο είναι θετική. και η f γνησίως,, προκύπτει ότι η έχει ακριβώς µία ρίζα στο,, που δ. Είναι f > για κάθε >. Άρα f γνησίως αύξουσα στο,. Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [, ], για κάθε >. f f Άρα υπάρχει ξ, : f ξ f f f ξ. Όµως ξ f γν. αύξουσα < f ξ < f f f < f. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 7

Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 8 hu h u ΘΕΜΑ 4ο α Το d f είναι πραγµατικός αριθµός. Έτσι µπορούµε να θέσουµε R k d f. Τότε 45 3 3 k f και άρα : [ ] d k d f 3 45 3 9 46 9 6 4 45 3 4 4 k k k k. Από τις, προκύπτει ότι: k 46 k - 9 k Οπότε τελικά: 45 6 45 3 3 3 f. β Έστω. Έχουµε: h g h g h h g g h h ' ' lim ' ' lim u g u g u ' ' lim '' ' ' lim g u g u g u, αφού ή g από υπόθεση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη. γ i Έχουµε: [ ] ' lim H. D.L. lim ' h h g g h g h h g g h g h h h h g h g h h g h g h h ' ' lim ' ' lim h g h g g h g h ' ' ' ' lim [ ] ' ' ' ' ' ' ' ' lim g g h h g g h g h g h '' '' g g. Οπότε f g 6 45 45 6 45 3 3. H g 6 3 γράφεται: 4 4 3 5 6 4 c g g.

4 Για έχουµε: g c. Οπότε g 5 3. 4 Η g 5 3 τώρα γράφεται: g 5 3 Για έχουµε: g c 5 3 Άρα g. 5 3 5 3 5 3 g c ii H g 5 3 ως πολυωνυµική, είναι παραγωγίσιµη στο µε g 5 4 3. Όµως g 5 4 3 > για κάθε, οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και ' '. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω µία συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η f είναι συνεχής στο και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. Μονάδες Β. Πότε µία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Αν z, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει: z z z z Μονάδες β. Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο A, όταν f f για κάθε A. Μονάδες συν γ. lim Μονάδες δ. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της είναι και παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό. Μονάδες ε. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [α, β] και ισχύει f < για κάθε [α, β], τότε το εµβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες α, β και τον άξονα είναι: ΘΕΜΑ ο E Ω α β f d Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς: z λ λ i, λ Μονάδες Α. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z, για τις διάφορες τιµές του λ. Μονάδες 9 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

β. Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς να αποδείξετε ότι ο µιγαδικός αριθµός z i έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. Μονάδες 8 Β. Να βρεθούν οι µιγαδικοί αριθµοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση w w z όπου z ο µιγαδικός αριθµός που αναφέρεται στο προηγούµενο ερώτηµα. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση: όπου α > και α. f α ln, >, A. Αν ισχύει f για κάθε > να αποδείξετε ότι α. Β. Για α, α. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή. Μονάδες 8 Μονάδες 5 β. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, Μονάδες 6 γ. αν β, γ,,, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f β έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο, f γ Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 4ο Έστω f µία συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα [, ] για την οποία ισχύει: f d Ορίζουµε τις συναρτήσεις: H f d, [, ], H f d 3, G 6 lim,, ] Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι συνεχής στο διάστηµα [, ]. Μονάδες 5 β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα, και ότι ισχύει: H G', < < Μονάδες 6 γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας αριθµός α, τέτοιος ώστε να ισχύει Ηα. Μονάδες 7 δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας αριθµός ξ, α τέτοιος ώστε να ισχύει: ξ a f d ξ a f d Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία - Θεώρηµα σελίδα 5 σχολ. βιβλίου. Β. Θεωρία - Ορισµός σελίδα 3 σχολ. βιβλίου. Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜΑ ο Α. α. Έστω z yi και Μ, y η εικόνα του. Τότε yi λ λ i. Άρα λ και y λ. Έτσι όµως y y. ηλαδή οι εικόνες των µιγαδικών z βρίσκονται στην ευθεία ε : y. β. Ο µιγαδικός z µε το µικρότερο µέτρο έχει εικόνα το σηµείο Μ για το οποίο είναι ΟΜ ε. y : ε y- O M - y Αφού ΟΜ ε λ λ ε λ λ. OM OΜ OΜ Άρα η εξίσωση της ΟΜ είναι: y. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 4

Οι συντεταγµένες του Μ σηµείου τοµής των ΟΜ, ε προκύπτουν από τη λύση του συστήµατος των εξισώσεων y, y. Εποµένως M : y. y y y Άρα Μ, και z i. Β. Έστω w y i, µε, y R. Η εξίσωση w w z γράφεται y y i i y y i i y και y και y 4 ή 3 και y. Άρα w 4 i ή w 3 i. ΘΕΜΑ 3ο Α. Ισχύει ότι f για κάθε >. ηλαδή α ln για κάθε >. Όµως f, οπότε f f για κάθε >. Εποµένως η f παρουσιάζει στη θέση ολικό, άρα και τοπικό ελάχιστο το f. Ακόµη η f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα, ως διαφορά παραγωγίσιµων συναρτήσεων. Άρα σύµφωνα µε το θεώρηµα Frma είναι f. Όµως f a ln a, οπότε f lnα α. B. α. Για α είναι f ln. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα, µε f > για κάθε,. Άρα η f είναι κυρτή. f και β. Αφού η f είναι κυρτή στο, προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο,, µε προφανή ρίζα που είναι και µοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Έτσι αν < < f < f, ενώ αν > f > f. ηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [,. f β f γ γ. Η δοσµένη εξίσωση ισοδύναµα γράφεται:. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 5

Θεωρούµε τη συνάρτηση g f β f γ, µε [, ]. H g είναι συνεχής στο R ως πολυωνυµική άρα και στο [, ]. g f β f β f f β <, διότι f ολικό ελάχιστο της f και β, g f γ f γ f >, επίσης διότι f ολικό ελάχιστο της f και γ. *Πιο αναλυτικά είναι f f β < διότι: Αν β, επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα αυτό ισχύει: < β < f β > f f f β < Αν β,, επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα αυτό ισχύει: < β f > f β. Οµοίως προκύπτει f γ f >. Άρα g g <, οπότε λόγω του θεωρήµατος Bolzano υπάρχει, ώστε g f β f γ f β f. Άρα η δοσµένη εξίσωση έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο,. *Παρατήρηση: Θέτοντας χάριν συντοµίας f β κ > και f γ λ > θα µπορούσαν να δοθούν και οι παρακάτω λύσεις: κ λ α Η συνάρτηση h µε πεδίο ορισµού το, έχει όρια και αντίστοιχα όταν και ενώ αποδεικνύεται πολύ εύκολα ότι είναι και γνησίως κ λ φθίνουσα στο,, διότι h < για κάθε,, άρα έχει lim σύνολο τιµών το h, h, και άρα το µηδέν περιέχεται στο σύνολο lim τιµών της δηλαδή η h έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο,. Επίσης εναλλακτικά από το ότι η h έχει όρια και αντίστοιχα όταν και, προκύπτει ότι υπάρχουν αριθµοί γ, δ ώστε < γ < δ < µε f γ > και f δ < οπότε λόγω του θεωρήµατος Bolzano στο διάστηµα γ, δ υπάρχει ρίζα της εξίσωσης h. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 6

Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 7 β Αλγεβρική λύση: Θέτοντας, λ κ, προκύπτει λ κ κ λ κ λ κ λ λ κ λ κ. Η τιµή αυτή είναι αποδεκτή ως ρίζα της εξίσωσης αφού < < λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ και είναι µάλιστα µοναδική ρίζα. ΘΕΜΑ 4 ο α Η f συνεχής στο [, ] άρα και η f είναι συνεχής στο [, ]. Εποµένως η συνάρτηση H είναι παραγωγίσιµη στο [, ], άρα είναι και συνεχής. Η συνάρτηση f d είναι παραγωγίσιµη στο [, ] αφού η f είναι συνεχής στο [, ]. Άρα η G είναι συνεχής στο, ] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Εξετάζουµε τη συνέχεια της συνάρτησης G στη θέση. Είναι 3 3 3 d lim f H, διότι: ' ' d d DLH lim lim lim f f H lim f f. είναι lim f f, αφού η f είναι συνεχής στο [, ], και f f d d lim διότι η συνάρτηση f είναι συνεχής, άρα η f d παραγωγίσιµη άρα και συνεχής. Επίσης 6lim 6lim G 3 6 6lim 6lim. Οπότε 3 lim G G.

Άρα η συνάρτηση G είναι συνεχής και στο. Εποµένως η G είναι συνεχής στο [, ]. β. Στο διάστηµα, είναι: η συνάρτηση Η παραγωγίσιµη αφού η f είναι συνεχής, µε Η f. η συνάρτηση παραγωγίσιµη ως πολυωνυµική µε. H Άρα και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη ως πηλίκο παραγωγισίµων συναρτήσεων µε: H H H f f d f d f. Επίσης στο ίδιο διάστηµα, αφού η f είναι συνεχής συνάρτηση θα είναι παραγωγίσιµη και η συνάρτηση f d µε f d f. Άρα η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιµη ως διαφορά παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε: G f f d H f, < <. γ. Η συνάρτηση G είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο,, µε G 3 από το β ερώτηµα. H Βρίσκουµε την τιµή της G στη θέση : G f d 3. Όµως f d f d f d f d f d H f d. Έτσι λόγω της είναι f d G f d 3 3 G. Ισχύουν εποµένως για τη συνάρτηση G οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος Roll στο διάστηµα [, ], άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον α, τέτοιο ώστε G α. H α Όµως από β ερώτηµα G α. α Άρα είναι Η α. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 8

Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 9 δ. Η συνάρτηση G είναι συνεχής στο [, α] και παραγωγίσιµη στο, α. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής. Εποµένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, α: 3 3 d a H f H H a G a G G α α α ξ ξ ξ α α ξ α ξ d d f f α ξ ξ α d d f f. *β τρόπος: Αρκεί να δειχθεί ότι υπάρχει ρίζα στο, α, µε α, για την εξίσωση: α α α α α α d d d d f H f H f f d α f a G d f G α α. Θεωρούµε τη συνάρτηση a f G P d α αρχική της α α d f G, για την οποία έχουµε : α είναι συνεχής στο [, α ως άθροισµα της συνεχούς G από το α ερώτηµα και της πολυωνυµικής f α α d. β είναι παραγωγίσιµη στο, α ως άθροισµα της παραγωγίσιµης G από το β ερώτηµα και της πολυωνυµικής, f α α d µε α α d f G P. γ Ρ Ρ α 3 διότι Ρ G 3 και 3 3 3 d 3 d d α α α α α α α α α a H f f H f G P.

Έτσι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος Roll και άρα υπάρχει ξ, α ώστε α P ξ P ξ G ξ f d, δηλαδή αποδείχθηκε ότι η εξίσωση α έχει ρίζα ξ, α. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G F c, c είναι παράγουσες της f στο και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο παίρνει τη µορφή G F c, c Μονάδες 6 A. Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f; Μονάδες 4 A3. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε λέµε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο ; Μονάδες 5 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α Η διανυσµατική ακτίνα της διαφοράς των µιγαδικών αριθµών α β i και γ δ i είναι η διαφορά των διανυσµατικών ακτίνων τους. β Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του. γ Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα α, β, τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα Α, Β, όπου A lim f και B lim f. α β δ συν ηµ,. ε Αν lim f <, τότε f < κοντά στο. Μονάδες Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

ΘΕΜΑ Β ίνεται η εξίσωση z, όπου z C µε z. z B. Να βρείτε τις ρίζες z και z της εξίσωσης. B. Να αποδείξετε ότι z z B3. Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς w ισχύει Μονάδες 7 Μονάδες 6 w 4 3 i z z τότε να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 7 B4. Για τους µιγαδικούς αριθµούς w του ερωτήµατος Β3, να αποδείξετε ότι 3 w 7. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f ln,. Γ. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f. Γ. Να λύσετε την εξίσωση: 3 4 3 ln Μονάδες 5 Μονάδες 7 Γ3. Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο σηµεία καµπής και ότι οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της f στα σηµεία καµπής της τέµνονται σε σηµείο του άξονα ψ ψ. Μονάδες 6 Γ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα I f d Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

ΘΕΜΑ ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις: f f 3 d f. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο µε παράγωγο f f f, Μονάδες 5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g f f,, είναι σταθερή. Μονάδες 7 3. Να αποδείξετε ότι 4. Να αποδείξετε ότι f 9, Μονάδες 6 fd < fd, για κάθε Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, θεώρηµα, σελίδα 34 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, ορισµός, σελίδα 79 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, ορισµός, σελίδα 73 σχολικού βιβλίου. Α4. α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ ΘΕΜΑ Β Β. Είναι: z z z. z i i Άρα z i, z i. Β. Είναι: z z i i 5 5 i i 5 5 i i 5 5 i i 5 5 5 5 i i 5 5 5 5 i i i i 5 5 5 5 i i i i η λύση: Είναι: i i i i i [ ] i i i i i i Β3. Είναι w 4 3 i z z i i i Έστω w ψ i, τότε ψ i 4 3 i 4 ψ 3 i 4 ψ 3 4 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είναι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ 4, 3 και ακτίνα ρ. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 4

Β4. Το w είναι η απόσταση της εικόνας Μ w από την αρχή Ο,, δηλαδή το µήκος ΟΜ. Από τη Γεωµετρία όµως, γνωρίζουµε ότι αν η ευθεία ΟΚ τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α και Β τότε ΟΑ ΟΜ ΟΒ που σηµαίνει ότι η µέγιστη τιµή του w είναι το µήκος ΟΒ και η ελάχιστη το µήκος ΟΑ. Όµως ΟΑ ΟΚ ρ 5 3 και ΟΒ ΟΚ ρ 5 7 3 O A K4,-3 B Mw Εποµένως, λόγω των, και 3 έχουµε 3 w 7. η λύση: Γράφουµε : w w 4 3 i 4 3 i Οπότε σύµφωνα µε την τριγωνική ανισότητα έχουµε: w 4 3 i 4 3 i w 4 3 i 4 3 i w 4 3 i 4 3i ή z z 4 3i w z z 4 3i ή 5 w 5. Άρα 3 w 7. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 5

ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R, ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε παράγωγο: f Επειδή > καθώς και R. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. > για κάθε R, είναι f. > για κάθε Γ. Η δοσµένη εξίσωση γράφεται ισοδύναµα: 4 3 ln 3 ln 4 3 ln 3 ln 4 ln ln 3 3 4 ln 3 ln 3 f f 3 Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι και -. Εποµένως από την προκύπτει 3 3. Άρα ή. Γ3. Είναι f. Είναι f ή, ενώ είναι f >, και f <,,. Έτσι η C f έχει σηµεία καµπής στα σηµεία µε τετµηµένες,. Η εφαπτόµενη της C f στο έχει εξίσωση ε : y f f y ln y ln Για προκύπτει y ln Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 6

Η εφαπτόµενη της C f στο έχει εξίσωση ε : y f f y ln 3 y 3 ln Για προκύπτει y ln. Οι ε και ε τέµνονται στο σηµείο Μ, ln του άξονα y y. Γ4. f d ln d d ln d d [ ln ] ln d d ln d 3 4 3 3 3. ΘΕΜΑ. Η συνάρτηση ϕ f είναι α ορισµένη σε όλο το R αφού f για κάθε R και β συνεχής σε όλο το R, ως πηλίκο συνεχών. Έτσι η συνάρτηση f ϕ d 3 είναι παραγωγίσιµη στο R, µε f f f ' ϕ f f f, R.. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R, ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε παράγωγο: g f f f f f f f f f Άρα η g είναι συνεχής στο R. f f f, R. f 3. Είναι: f 3 d 3 f. Λόγω του είναι g c, c R, για κάθε R, άρα κάθε R. f f c, για Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 7

Για προκύπτει c f f 9. Έτσι f f 9 f f f 9. 9 Αν θέσουµε h f, έχουµε ότι η συνάρτηση h είναι συνεχής στο R και h για κάθε R, αφού f, R. Άρα η h διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R, δηλαδή είναι ή h > για κάθε R ή h < για κάθε R. Όµως h f 3 > άρα h >, R και f >, R.. Από την προκύπτει ότι 9 f f 9 f 9, R. 4. Έστω F f d, R. Είναι F f d f d, R c, c R. και F f f, R. c Όµως 9 f >, R. 9 9 9 9 ηλαδή f > για κάθε R, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Προκύπτει έτσι: < f < f f f >, R. Λόγω των, η F είναι γνησίως αύξουσα στο R. Εποµένως: < F < F f d < f d. η λύση: Η F f d είναι µια αρχική της f στο R και η προς απόδειξη ανισότητα a γράφεται F F F F F F < F F <. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 8

Από Θ.Μ.Τ. για την F στα διαστήµατα [, ] και [, ] προκύπτει ότι υπάρχουν αντίστοιχα ξ, και ξ, ώστε F F F ξ f ξ F F και F ξ f ξ. Έτσι αρκεί να δειχθεί f ξ < f ξ µε ξ < ξ, ή ισοδύναµα ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Πράγµατι: f 9 9 >, για κάθε 9 9 9 9 R, δηλαδή f > για κάθε R και η f γνησίως αύξουσα στο R. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f Μονάδες A. ίνεται συνάρτηση f ορισµένη στο. Πότε η ευθεία y λ β λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ; Μονάδες 5 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ορίζουµε z. β Μια συνάρτηση f : A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Aισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f f. γ Για κάθε { συν } ισχύει: εφ συν δ ηµ Ισχύει ότι: lim. ε Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy και Oy. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z και w µε z 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z 3i z 3i και w z 3i z 3i B. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z. B. Να αποδείξετε ότι z 3i z 3i. B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγµατικός αριθµός και ότι w. B4. Να αποδείξετε ότι: z w z Μονάδες 7 Μονάδες 4 Μονάδες 8 Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f :, δύο φορές παραγωγίσιµη στο, µε f f, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f f f f για κάθε. Γ. Να αποδείξετε ότι: f ln,. Μονάδες 8 Γ. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3 Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σηµεία καµπής. Μονάδες 7 Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln συν έχει ακριβώς µία λύση στο διάστηµα π,. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g :, οι οποίες για κάθε ικανοποιούν τις σχέσεις: i f > και g > f ii d g g iii d f. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο και ότι f g για κάθε. Μονάδες 9. Να αποδείξετε ότι: f,. Μονάδες 4 ln f 3 Να υπολογίσετε το όριο: lim. f Μονάδες 5 4. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης d F f τους άξονες και y y και την ευθεία µε εξίσωση. Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία θεώρηµα Frma σχολικό βιβλίο, σελ. 6-6. Α. Θεωρία ορισµός σχολικό βιβλίο, σελ. 8. Α3. α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ ΘΕΜΑ Β B. Έχουµε από υπόθεση ότι: z 3i z 3i Όµως z 3i z 3i z 3 i Οπότε από τις και προκύπτει ότι: z 3i z 3i z 3i z 3i 3. Αν z yi η 3 γράφεται: y 3 i y 3 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των z είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ, 3 και ακτίνα ρ. Β. Από το ερώτηµα Β έχουµε: z 3i Οπότε z 3i z 3 i z 3 i z 3 i z 3i z 3i z 3i. Β3. Σύµφωνα µε την προηγούµενη ισότητα ο w γράφεται w z 3 i 3 3 R 3 z i z i z i z z z R. Όµως από τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z έχουµε ότι:. Και επειδή Rz προκύπτει ότι: Rz. Οπότε: Rz. Άρα w. B4. Είναι: z w z z 3i 3i 3i z 3i z z z3i z3i. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 3

ΘΕΜΑ Γ Γ. Η δοσµένη σχέση γράφεται: f f f f f f f c, c R Για προκύπτει: f f c και λόγω των δεδοµένων αρχικών συνθηκών είναι c. Η τελευταία σχέση έτσι γράφεται: * f f f f f ln f ln c. Για προκύπτει c. Έτσι f ln. * Αν θέσουµε h,, είναι: h,.. h h > > > >. h < < < <. h h Έτσι η h έχει ολικό ελάχιστο στη θέση την τιµή h. ηλαδή h >, για κάθε.. Γ. Είναι f ln. Λόγω της παρατήρησης * του ερωτήµατος Γ οι ρίζες και το πρόσηµο, συνεπώς ο πίνακας µεταβολών της f εξαρτάται µόνον από τις ρίζες και το πρόσηµο του αριθµητού h. Συνεπώς f. f > >. f < <. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 4

Άρα η f είναι: γνησίως φθίνουσα στο, ], γνησίως αύξουσα στο [, και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση την τιµή f ln ln. Γ3. Είναι: f. Θέτουµε ϕ,. Είναι: φ φ φ > < φ < > Φ Φ - Προκύπτει ότι η φ είναι γνησίως αύξουσα στο, ], γνησίως φθίνουσα στο [, και έχει ολικό µέγιστο φ >. Βρίσκουµε τώρα τα όρια της φ στα, : limϕ lim lim lim lim lim lim Έτσι ϕ. lim Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 5

Λόγω της συνέχειας και της µονοτονίας της φ είναι ] ] ϕ, lim ϕ, ϕ,. [ ] ϕ, lim ϕ, ϕ,. Παρατηρούµε ότι: ϕ,] άρα υπάρχει,] ώστε ϕ. Εν τω µεταξύ η φ είναι γνησίως αύξουσα, άρα εκατέρωθεν του αλλάζει πρόσηµο. ιότι µε < είναι φ < φ φ < Ενώ µε > > είναι φ > φ φ >. Έτσι ισοδύναµα επειδή > για κάθε η f έχει µία µόνο ρίζα στο,], εκατέρωθεν της οποίας αλλάζει πρόσηµο. Όµοια τώρα ϕ [, ] άρα υπάρχει [,, ώστε φ. Εν τω µεταξύ η φ είναι γνησίως φθίνουσα άρα εκατέρωθεν του αλλάζει πρόσηµο. ιότι µε < < είναι φ > φ φ > Ενώ µε > είναι φ < φ φ <. Έτσι η f έχει επίσης µία µόνο ρίζα στο [,, εκατέρωθεν της οποίας αλλάζει πρόσηµο. Άρα τελικά, η f έχει ακριβώς δύο σηµεία καµπής στις θέσεις,. Γ4. Θέτουµε g ln συν f συν,. π Ύπαρξη : Η g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών στο, άρα και στο,. Είναι g f συν < g π f π συν π f π. π π π Όµως f στο [,, άρα είναι > f > f f >. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 6

Έτσι g g π <, οπότε λόγω του Θ. Bolzano η g έχει µία ρίζα στο π διάστηµα,. Μοναδικότητα: π Θα δείξουµε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε η ρίζα θα είναι µοναδική. π Έστω,, µε < τότε f < f διότι f στο [, συν π > συν διότι συν στο, Άρα συν < συν. Έτσι όµως f συν < f συν, άρα g < g. π Άρα g γνησίως αύξουσα στο,. Παρατήρηση ος τρόπος για τη µονοτονία: Η µονοτονία της g στο [, π / ] µπορεί να προκύψει και ως εξής: g f ηµ. Όµως f >, για κάθε, άρα και για κάθε, π /, ενώ επίσης ηµ > για κάθε, π /. Άρα g > για κάθε, π / και εποµένως g γνησίως αύξουσα στο [, π / ]. ΘΕΜΑ. Έχουµε ότι: f d g Θέτουµε: u u. Οπότε: d du. Ακόµη για έχουµε u και για έχουµε u. Εποµένως: Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 7

u u u f g u g u g u du du du u u d d f u f u gu gu Άρα u f d u gu Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι: u g d u f u u u Επειδή οι συναρτήσεις και g u f u συµπεραίνουµε ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο [, ] µε u u du και du gu f u είναι παραγωγίσιµες στο, εποµένως και οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο. f και g g f οπότε f g και g f άρα > f g g f f g g f g f g g f f. g g Από την τελευταία προκύπτει ότι: f c g και επειδή & f g, θα είναι c. Άρα f g. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 8

. Επειδή είναι: f Ερώτηµα f 3. Είναι f f f f f Σύµφωνα µε γνωστό θεώρηµα συνέπεια του Θ.Μ.Τ. έχουµε: f c Όµως f, οπότε c. Άρα [ ] f f f Και επειδή f >, προκύπτει ότι f. ln f ln lim lim lim lim lim D L' Hospial * f lim lim. *: Θέτουµε y οπότε το lim y lim : y y. 4. Είναι F f >. Άρα η F στο [, ]. Άρα για θα είναι F F και επειδή F, προκύπτει ότι F [,]. Εποµένως [,], θα είναι: [ ] E F d F d F F d F f d f d d d d τ.µ. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. Μονάδες 7 A. Πότε λέµε ότι µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]; Μονάδες 4 A3. Έστω συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α. Πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο A τοπικό µέγιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον πραγµατικό άξονα. β Μια συνάρτηση f είναι, αν και µόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της η εξίσωση f y έχει ακριβώς µία λύση ως προς. γ Αν είναι lim f, τότε f < κοντά στο. δ σφ ' ηµ, { ηµ } β ε f g β d [ f g ] α α α f g d συναρτήσεις στο [α,β] β, όπου f, g είναι συνεχείς Μονάδες ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόµενες σχέσεις: z z 4 w 5w B. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ Μονάδες 6 B. Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς z µε z z, τότε να βρείτε το z z. Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w στο y επίπεδο είναι η έλλειψη µε εξίσωση και στη συνέχεια να βρείτε τη 9 4 µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του w. Μονάδες 6 B4. Για τους µιγαδικούς αριθµούς z, w που επαληθεύουν τις σχέσεις και να αποδείξετε ότι: zw 4 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f ln, > Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα,] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [,. Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιµών της f. Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3, > έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Μονάδες 6 Γ3. Αν, µε < είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε f f Μονάδες 6 Γ4. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g f µε >, τον άξονα και την ευθεία Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f :,, η οποία για κάθε > ικανοποιεί τις σχέσεις: f f d ln ln d f f. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη και να βρείτε τον τύπο της. Αν είναι f ln, >, τότε:. Να υπολογίσετε το όριο: lim f ηµ f f Μονάδες Μονάδες 5 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln, που ισχύει για κάθε >, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F f d, >, όπου α >, είναι κυρτή µονάδες. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F F3 > F, για κάθε > µονάδες 4. a Μονάδες 6 4. ίνεται ο σταθερός πραγµατικός αριθµός β >. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ξ β, β τέτοιο ώστε: Fβ F3β Fξ Μονάδες 4 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α Σ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Λ ΘΕΜΑ Β Β. α τρόπος: Αν z yi, y, R, η σχέση γράφεται yi yi 4 y y 4 y. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ. β τρόπος: Η σχέση γράφεται: z z z z 4 z z z z 4 z zz z z z z z 4 z z z z z z. Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο επίπεδο είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ. Β. Έστω z z k, k. Τότε z z z z z z z z zz z z zz zz zz zz z z zz zz α z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z β. z z z z z z Προσθέτοντας τις α, β κατά µέλη έχουµε: Όµως z, z οπότε προκύπτει z z k. k k k 4, αφού k. Β3. 5 5 5 5 44 w w w w w w w w 5 5 5 44 ww w w ww w 5 w w 5 w 44 6 w 5 w w 44 3 Έστω w yi, y, R τότε η σχέση 3 γίνεται: 6 y 5 yi yi 44 6 y 5 y yi y yi 44 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 4

6 6y 5 y 44 6 6 y y 44 6 36y 44 y y 4 9y 36. 9 4 3 Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η παραπάνω έλλειψη µε µήκος µεγάλου ηµιάξονα a 3 και µήκος µικρού ηµιάξονα β. Είναι όµως γνωστό µαθ. κατεύθυνσης Β Λυκείου, σελίδα 4 ότι για οποιοδήποτε σηµείο Μ της έλλειψης ισχύει ότι β ΟΜ α ή β ΟΜ α. Αν Α, Α, Β, Β οι κορυφές της έλλειψης, τότε: Α 3,, Α3,, Β,, Β,. Έτσι w OA OA' 3 και w OB OB'. ma min Β M w Α Α -3 - - O 3 - Β Παρατήρηση : Το παραπάνω σχήµα είναι επιβοηθητικό της κατανόησης από τους µαθητές και δεν είναι απαραίτητο για τη λύση του ερωτήµατος. Β4. Με βάση την τριγωνική ανισότητα και επειδή z w w z έχουµε: w z wz w z w wz w 4 Όµως λόγω του Β 3 είναι w 3, άρα: w και w 4. Τότε όµως η 4 γράφεται: wz 4. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 5

Β M Λ Α Α -3 - - O 3 - - Β Η παραπάνω ανίσωση είναι η αλγεβρική έκφραση της ΛΜ 3, µε ΟΛ z, ΟΜ w και ΛΜ z w η οποία προκύπτει από το παραπάνω σχήµα. Παρατήρηση : Το σχήµα και εδώ δεν είναι απαραίτητο. Θα µπορούσε όµως πιθανώς και µια τέτοια «γεωµετρική λύση», αν και όχι τόσο αυστηρή όσο η αλγεβρική, να γίνει κατά ένα ποσοστό µονάδων βαθµολογίας αποδεκτή ανεξάρτητη λύση, καθόσον αναδεικνύει κατανόηση της έννοιας της µετρικής στο µιγαδικό επίπεδο. Παρατήρηση 3: Τα δύο πρώτα ερωτήµατα του δεύτερου θέµατος θα µπορούσαν να απαντηθούν χρησιµοποιώντας την άσκηση Α9 του σχολ. Βιβλίου σελ., γνωστή ως κανόνα του παραλληλογράµµου αφού πρώτα αποδειχθεί : Για κάθε z, z C ισχύει ότι z z z z z z Απόδειξη: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z B. γ τρόπος: για z z και z έχουµε : z z z 4 z z z z Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και ακτίνα ρ. Β. β τρόπος: Από τον κανόνα του παραλληλογράµµου έχουµε ότι z z z z z z z z z z z z Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 6

ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσµα πράξεων µεταξύ συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιµη µε f ' ln ln,. Όταν, είναι < και επειδή η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα έχουµε ln < ln ln <. Επίσης < και > άρα <. Έτσι ln < για κάθε,, άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο, ]. Όταν, είναι > και επειδή ln γνησίως αύξουσα είναι ln > ln ln >. Επίσης είναι > για κάθε,, οπότε ln > για κάθε,. ηλαδή f > για κάθε,. Έτσι όµως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,. Από τα προηγούµενα προκύπτει ο επόµενος πίνακας µεταβλητών για την f: f min - Επειδή f γνησίως φθίνουσα στο, ] είναι f,] f, lim f Όµως lim f lim [ ln ]. Άρα f,] [,. Επίσης επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, είναι f [, f, lim f. Όµως lim f lim [ ln ]. Άρα f [, [,. Από, προκύπτει ότι το σύνολο τιµών της f είναι το [,. Παρατήρηση: Η µονοτονία της f στα διαστήµατα, ] και [, µπορεί να προκύψει και από το πρόσηµο της δεύτερης παραγώγου: f >, για κάθε >. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, και επειδή f η είναι µοναδική ρίζα της f. Ακόµη, είναι:. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 7

< < f < f f < άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο, ]. > f > f f >, άρα η f είναι γν. αύξουσα στο [,. Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το f. ln. Γ. Η εξίσωση 3 επειδή η συνάρτηση y ln είναι γνησίως αύξουσα και άρα γράφεται ισοδύναµα: 3 ln ln ln 3 ln f. Από το Γ ερώτηµα είναι: α f,] [, άρα υπάρχει, ] ώστε f και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα είναι και, άρα η τιµή είναι µοναδική στο διάστηµα,]. f [, ] [,, άρα υπάρχει [, ώστε f και β επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και, άρα η τιµή είναι µοναδική στο διάστηµα [,. Από α και β προκύπτει ότι η δοσµένη εξίσωση έχει ακριβώς θετικές ρίζες. Γ3. Θεωρούµε τη συνάρτηση h f. µε,. Η h είναι συνεχής στο [, ] ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι παραγωγίσιµη στο, ως αποτέλεσµα πράξεων παραγωγίσιµων h f f. συναρτήσεων µε h f h f Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Roll για την h στο [, ], οπότε υπάρχει,, ώστε h f f f f. B τρόπος Θεωρούµε τη συνάρτηση h f f µε >. Η f είναι συνεχής στο, ως γινόµενο συνεχών. H f είναι συνεχής στο, ως άθροισµα συνεχών. Άρα η h είναι συνεχής στο, ως άθροισµα συνεχών. Άρα η h είναι συνεχής στο [, ]. Γ h f f f f <, αφού από το Γ για, είναι f <. Γ h f f f f >, αφού από το Γ για, είναι f >. ηλαδή είναι h h <. Από το Θεώρηµα Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε: h f f f f. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 8

Γ4. Είναι: g f ln ln> για κάθε,. Άρα: ΕΩ lnd lnd ln d ln d lnd ln d [ ln ] d d [ ] 3 3 τ.µ. 4 4 4 4 4 4 ΘΕΜΑ. Θεωρούµε τη συνάρτηση G fd,,. f d Η, όπου Η f d. H f είναι συνεχής στο, άρα η Η είναι παραγωγίσιµη στο στο,. Επίσης η y είναι παραγωγίσιµη στο, ως πολυωνυµική, άρα και η Η είναι παραγωγίσιµη ως σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων. Επίσης παραγωγίσιµη είναι και η ως πολυωνυµική. Έτσι η G είναι παραγωγίσιµη ως άθροισµα παραγωγίσιµων µε G f, για κάθε,. Η δοσµένη σχέση f d επειδή G γράφεται ισοδύναµα: f d G G, για κάθε,. Η συνάρτηση G είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο, και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για που είναι εσωτερικό σηµείο του,. Από το θεώρηµα Frma προκύπτει τότε ότι G f. Επειδή η f συνεχής στο, και f για κάθε,, η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο, και επειδή f <, είναι f <,,. Έτσι f f και από τη δοσµένη σχέση προκύπτει ln ln d f. f ln Για τη συνάρτηση h d ισχύει h για κάθε >, διότι αν f υπήρχε ξ, ώστε hξ τότε θα ήταν ln ξ ξ. Αυτό όµως είναι άτοπο επειδή για τη συνάρτηση φ ln ισχύει ϕ < για κάθε, σύµφωνα µε τη γνωστή εφαρµογή στη σελ.66 του σχολ. βιβλίου αλλά Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 9

µπορεί και να αποδειχθεί: ϕ οπότε όπως προκύπτει από τον πίνακα µεταβολών της φ είναι ϕ < για κάθε,. φ φ ma φ - ln * Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη ως πηλίκο ln d f ln ln παραγωγίσιµων συναρτήσεων, ενώ προκύπτει d f. f Οι συναρτήσεις και στα δύο µέλη είναι παραγωγίσιµες οπότε: ln ln ln ln d, f άρα. f f f ln Αν θέσουµε g έχουµε g g για κάθε,, οπότε f σύµφωνα µε την εφαρµογή της σελίδας 5 του σχολικού βιβλίου είναι: g c, δηλαδή ln c. f Για προκύπτει c c c. f Άρα τελικά f ln ln,,. * Παρατήρηση: Από το σηµείο αυτό θα µπορούσε να ακολουθηθεί και η εξής πορεία: ln Για την συνάρτηση h d έχουµε ότι είναι παραγωγίσιµη στο, f διότι η ln είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Είναι h ln, οπότε από f f ln την σχέση ln d f προκύπτει ln h f f ln h h h,,. Τότε όµως είναι h c. f Επειδή h προκύπτει c, άρα h. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

ηλαδή ln f f ln,,.. Είναι: lim lim ln, lim ln, lim. Άρα. Τότε όµως lim. f Αν θέσουµε u f έχουµε u < και ηµ u u συνu lim f ηµ f lim ηµ u lim lim f u u u u u u u συνu lim. u u 3. Η F είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο, µε F f και F f ln ln. Επειδή ln και >, για κάθε > είναι F >, για κάθε >. Άρα η F είναι κυρτή στο,. Η σχέση τώρα F F3 > F, > γράφεται: F3 F F F F3 F > F F, > >, >. 3 Από Θ.Μ.Τ. για την F στα διαστήµατα [, ] και [, 3] αντίστοιχα υπάρχουν F F F3 F ξ, και ξ, 3 ώστε F ξ και F ξ, 3 οπότε αρκεί να δειχθεί ότι F ξ > F ξ µε < ξ < < ξ < 3. Η τελευταία είναι αληθής διότι η F είναι κυρτή και άρα η F γνησίως αύξουσα στο,. 4. Θεωρούµε τη συνάρτηση h F Fβ F3β, [β, β]. Η F είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο, άρα και η h. hβ Fβ F3β hβ Fβ Fβ F3β. Επειδή F f < για κάθε, η F είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Έτσι από β < 3β έπεται: Fβ > F3β Fβ F3β > hβ >. Λόγω τώρα του 3 είναι hβ F β F β F3 β <. Άρα h β h β <, οπότε λόγω του θεωρ. Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει ξ β, β ώστε h ξ F β F3 β F ξ. Η τιµή ξ είναι µοναδική διότι η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα και άρα, αφού h F f <, για κάθε,. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συµπληρώνει σωστά την ηµιτελή πρόταση. A. Περιπολικό ακολουθεί αυτοκίνητο που έχει παραβιάσει το όριο ταχύτητας. Τα δύο αυτοκίνητα κινούνται µε ίσες ταχύτητες. Αν η σειρήνα του περιπολικού εκπέµπει ήχο συχνότητας f S, τότε, η συχνότητα f A που αντιλαµβάνεται ο οδηγός του άλλου αυτοκινήτου είναι: α f A f S β fa fs γ f A f S δ f A Μονάδες 5 A. ιακρότηµα δηµιουργείται από τη σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, µε ίδιο πλάτος, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, όταν οι ταλαντώσεις αυτές έχουν: α ίσες συχνότητες και ίδια φάση π β ίσες συχνότητες και διαφορά φάσης γ παραπλήσιες συχνότητες δ ίσες συχνότητες και διαφορά φάσης π. Μονάδες 5 A3. Σε µια µηχανική ταλάντωση της οποίας το πλάτος φθίνει χρονικά ως Α Α Λ, όπου Α είναι το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης και Λ είναι µια θετική σταθερά, ισχύει ότι: α οι µειώσεις του πλάτους σε κάθε περίοδο είναι σταθερές. β η δύναµη αντίστασης είναι F αντ b υ, όπου b είναι η σταθερά απόσβεσης και υ η ταχύτητα του σώµατος που ταλαντώνεται. γ η περίοδος Τ της ταλάντωσης µειώνεται µε το χρόνο για µικρή τιµή της σταθεράς απόσβεσης b. δ η δύναµη αντίστασης είναι F αντ b υ, όπου b είναι η σταθερά απόσβεσης και υ η ταχύτητα του σώµατος που ταλαντώνεται. Μονάδες 5 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

A4. Κατά τη διάδοση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος στο κενό, σε µεγάλη απόσταση από την πηγή, ισχύει ότι: α στη θέση που η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι µηδέν, η ένταση Β του µαγνητικού πεδίου είναι µέγιστη β τα διανύσµατα των εντάσεων Ε του ηλεκτρικού και Β του µαγνητικού πεδίου είναι παράλληλα µεταξύ τους γ το διάνυσµα της έντασης Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος δ το διάνυσµα της έντασης Β του µαγνητικού πεδίου είναι παράλληλο στη διεύθυνση διάδοσης του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος. Μονάδες 5 Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α Το όζον της στρατόσφαιρας απορροφά κατά κύριο λόγο την επικίνδυνη υπεριώδη ακτινοβολία. β Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση αυξάνεται το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος που ταλαντώνεται καθώς αυξάνεται το µέτρο της δύναµης επαναφοράς. γ Κατά τη διάδοση µηχανικού κύµατος µεταφέρεται ορµή από ένα σηµείο του µέσου στο άλλο. δ Σε στερεό σώµα σφαιρικού σχήµατος που στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από άξονα διερχόµενο από το κέντρο του ισχύει πάντα ΣF. ε Έκκεντρη ονοµάζεται η κρούση κατά την οποία οι ταχύτητες των κέντρων µάζας των δύο σωµάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες αλλά µη συγγραµµικές. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ B Β. Στο κύκλωµα του σχήµατος ο πυκνωτής χωρητικότητας C 6 F είναι φορτισµένος σε τάση Vc V και το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή 3 αυτεπαγωγής L H. 9 Τη χρονική στιγµή κλείνουµε το διακόπτη δ. Κάποια µεταγενέστερη χρονική στιγµή, το φορτίο του πυκνωτή είναι µηδέν και η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει το πηνίο είναι 6 Α. Από τη στιγµή έως τη στιγµή η συνολική ενέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης µειώθηκε κατά: i 3 J ii 3 J iii 4 3 J α Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. L R δ C β Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

Β. ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π και Π που βρίσκονται αντίστοιχα στα σηµεία Κ και Λ της επιφάνειας υγρού παράγουν πανοµοιότυπα εγκάρσια αρµονικά κύµατα µε ίδιο πλάτος, ίσες συχνότητες f και ίσα µήκη κύµατος λ. Αν η απόσταση των σηµείων Κ και Λ είναι d λ, τότε δηµιουργούνται τέσσερις υπερβολές απόσβεσης, µεταξύ των σηµείων Κ και Λ. Αλλάζοντας την συχνότητα των δύο πηγών σε f 3 f και διατηρώντας το ίδιο πλάτος, ο αριθµός των υπερβολών απόσβεσης, που δηµιουργούνται µεταξύ των δύο σηµείων Κ και Λ, είναι: i 6 ii 8 iii α Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες β Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 7 Β3. Ένας δίσκος µε ροπή αδράνειας Ι στρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω και φορά περιστροφής όπως φαίνεται στο σχήµα, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. I Ένας δεύτερος δίσκος µε ροπή αδράνειας I, που αρχικά είναι ακίνητος, 4 τοποθετείται πάνω στο δίσκο, ενώ αυτός περιστρέφεται, έτσι ώστε να έχουν κοινό άξονα περιστροφής, που διέρχεται από τα κέντρα των δύο δίσκων, όπως δείχνει το σχήµα. Μετά από λίγο οι δύο δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα ω. ω ω Αν L είναι το µέτρο της αρχικής στροφορµής του δίσκου, τότε το µέτρο της µεταβολής της στροφορµής του δίσκου είναι: i ii 5 L iii 5 L α Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες β Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 3

ΘΕΜΑ Γ Σώµα Σ µε µάζα m κινείται σε οριζόντιο επίπεδο ολισθαίνοντας προς άλλο σώµα Σ µε µάζα m m, το οποίο αρχικά είναι ακίνητο. Έστω υ η ταχύτητα που έχει το σώµα Σ τη στιγµή και ενώ βρίσκεται σε απόσταση d m από το σώµα Σ. Αρχικά, θεωρούµε ότι το σώµα Σ είναι ακίνητο πάνω στο επίπεδο δεµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου µε αµελητέα µάζα και σταθερά ελατηρίου k, και το οποίο έχει το φυσικό του µήκος l. Το δεύτερο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωµένο σε ακλόνητο τοίχο, όπως φαίνεται στο σχήµα: Σ Σ k d Αµέσως µετά τη κρούση, που είναι κεντρική και ελαστική, το σώµα Σ αποκτά ταχύτητα µε ' µέτρο υ m/s και φορά αντίθετη της αρχικής ταχύτητας. ίνεται ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των δύο σωµάτων µε το οριζόντιο επίπεδο είναι µ,5 και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g m/s. Γ. Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα υ του σώµατος Σ. Μονάδες 6 Γ. Να υπολογίσετε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που µεταφέρθηκε από το σώµα Σ στο σώµα Σ κατά την κρούση. Μονάδες 6 Γ3. Να υπολογίσετε το συνολικό χρόνο κίνησης του σώµατος Σ από την αρχική χρονική στιγµή µέχρι να ακινητοποιηθεί τελικά. ίνεται: 3, Μονάδες 6 Γ4. Να υπολογίσετε τη µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, αν δίνεται ότι m kg και k 5 N/m. Μονάδες 7 Θεωρήστε ότι η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αµελητέα και ότι τα δύο σώµατα συγκρούονται µόνο µία φορά. Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 4

ΘΕΜΑ ίνεται συµπαγής, οµογενής κύλινδρος µάζας Μ και ακτίνας R. Αφήνουµε τον κύλινδρο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας µε επιτάχυνση της βαρύτητας g, πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας φ, όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί:. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου. Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται οριζόντιος. Μονάδες 5. Από το εσωτερικό αυτού του κυλίνδρου, που έχει ύψος h, αφαιρούµε πλήρως ένα οµοαξονικό κύλινδρο ακτίνας r, όπου r < R, όπως απεικονίζεται στο παρακάτω σχήµα: φ R r h Να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας του κοίλου κυλίνδρου, ως προς τον άξονα του, που προκύπτει µετά την αφαίρεση του εσωτερικού κυλινδρικού τµήµατος, είναι I r R 4 κοιλ MR 4 Μονάδες 7 Στη συνέχεια λιπαίνουµε το κυλινδρικό τµήµα που αφαιρέσαµε και το επανατοποθετούµε στη θέση του, ούτως ώστε να εφαρµόζει απόλυτα µε τον κοίλο κύλινδρο χωρίς τριβές. Το νέο σύστηµα που προκύπτει αφήνεται να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας µε επιτάχυνση της βαρύτητας g, στο ίδιο κεκλιµένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 5

3. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του συστήµατος. Μονάδες 7 R 4. Όταν r, να υπολογίσετε, σε κάθε χρονική στιγµή της κύλισης στο κεκλιµένο επίπεδο, το λόγο της µεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια του συστήµατος. Μονάδες 6 Ο άξονας του συστήµατος διατηρείται πάντα οριζόντιος. ίνονται: Η ροπή αδράνειας Ι συµπαγούς και οµογενούς κυλίνδρου µάζας Μ και ακτίνας R, ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο στρέφεται: I MR. Ο όγκος V ενός συµπαγούς κυλίνδρου ακτίνας R και ύψους h: V π R h. φ Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 6

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A. γ Α. γ Α3. δ Α4. γ Α5. α Σ β Λ γ Σ δ Λ ε Σ ιευκρίνιση: κατά την µαθηµατική ορολογία υπάρχει αντίφαση στην εκφώνηση καθώς τα παράλληλα διανύσµατα είναι και συγγραµµικά ΘΕΜΑ Β Β. Αρχικά η ενέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι: Q 6 3 4 4 ET C Vc ET Joul C Τελικά, η ενέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι: 3 3 ET L I E T 6 Joul 9 Άρα η µείωση της συνολικής ενέργειας της ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι: Ε 3 3 3 E E 4 Τ Τ Joul Τ Οπότε η σωστή απάντηση είναι η ii. Β. Ισχύει υ λ f Αν f 3 f τότε: υ λ f υ 3λ f λ Από τις και έχουµε: λ f 3λ f λ 3 3 Έστω ένα σηµείο Σ απόσβεσης µεταξύ των Κ, Λ το οποίο απέχει αποστάσεις r, r από τα Κ, Λ αντίστοιχα. Ισχύει: Για r > r λ r r N όµως r r d r d r 3 λ λ λ r d r N r d N r N d 6 6 λ λ r N λ r N λ 4 6 Πρέπει: 4 λ λ λ λ λ λ < r < d < N < < N < Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 7

Ν < < < Ν < 4 < Ν 3 < 4 3 < Ν< 6,5<Ν< 5,5 Άρα, οι ακέραιες τιµές που µπορεί να πάρει το Ν είναι: Ν 6, 5, 4, 3,,,,,, 3, 4, 5 Άρα υπερβολές απόσβεσης. Εποµένως σωστή απάντηση είναι η iii B3. Από την Αρχή ιατήρησης της Στροφορµής έχουµε: I Lαρχ. L.. I. I I. I I συστ τελ ω ω συστ τελ ω ωτελ. 4 5 I 4 I ω ωτελ. ωτελ. ω 4 5 Άρα η τελική στροφορµή του δίσκου έχει µέτρο: 4 4 L τελ. I ωτελ. L τελ. I ω L 5 5 4 I ω L Οπότε: L L τελ. L ar. I ω I ω 5 5 5 Οπότε σωστή είναι η απάντηση ii. ΘΕΜΑ Γ Σ N Σ Σ T Α d B Γ Γ. Στο σώµα Σ απο το ΘΜΚΕ έχουµε: KΓ KA WT WB WN mυ mυ Td Σ Fy B N N m g Όµως T µ Ν T µ m g m m m g d g d υ υ µ υ υ µ 3 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 8

Σ Σ πριν ' Σ µετά ' Σ Από την ελαστική κρούση στο σηµείο Γ έχουµε την ταχύτητα που αποκτά το Σ µετά την κρούση: m m m m m υ υ υ υ υ υ 3 m/ s. m m m m 3m Από την 3 3 υ,5 9 υ υ υ ο m/s Από την ελαστική κρούση έχουµε: m m 3 υ υ υ υ υ 3 3 m m m m/s Γ. Στην ελαστική κρούση ισχύει η Α ΚΕ. ' ' Κ Κ Κ Κ Κ ολπριν ολµετά ' mυ Κ το ποσοστό m υ Π % % % Κ m mυ υ 4 8 8 % % 88,89% ή Κ Κ 9 9 9 Γ3. N ' T Σ Σ Σ B Γ Κίνηση του Σ µετά την κρούση Σχήµα Το σώµα Σ για την κίνηση από το Α στο Γ σχήµα εκφώνησης έχει επιτάχυνση Σ F ma Τ ma mµ g ma α µg,5 5 m/s άρα υ υ α 3 5 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 9

3 9,6,8 s 5 5 Για την κίνηση από Γ στο Σχήµα 5m/s Σ F ma Τ ma a 3, υ υ α 5,64s 5 5 ολ,7 s Γ4. ' Σ Θ. Τ.Θ Α.Θ Γ N F ελ T' B Σ Z Για το Σ µετά την κρούση έχει ταχύτητα υ και βρίσκεται σε Θ.Ι. Θα έχει µέγιστη συσπείρωση το ελατήριο αν το Σ πάει στην Α.Θ. που η ταχύτητα του είναι υ. Στην τυχαία θέση στο Σ ασκούνται οι δυνάµεις Βάρος - καθ. αντιδ. που το έργο τους είναι µηδέν και οι δυνάµεις τριβή και F ελατ. που καταναλωνούν ενέργεια. Παίρνοντας ΘΚΜΕ από Θ.Ι. µέχρι Α.Θ. έχουµε: Κ τελ Κ αρχ W T' W Fελ mu T K l l l l T µ Ν µ mg,5 5N υ 5 5 µε αντικατάσταση 4 5 Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

, 3 ±,57 m δεκτό 4 απορρ. Άρα µέγιστη συσπείρωση l,57 m ΘΕΜΑ. T N Wy W W Ο κύλινδρος εκτελεί και µεταφορική και περιστροφική κίνηση. Ισχύουν αντίστοιχα οι σχέσεις: φ Σ F M α M g ηµ ϕ T M α T M g ηµ ϕm α cm cm cm και α cm Σ τ I αγων T R MR T M α R cm Από τις σχέσεις, προκύπτει: 3 g ηµ ϕ M αcm M g ηµ ϕm αcm αcm g ηµ ϕ αcm. 3. Iκοιλ. IΜεγ. Iµικρ. Iκοιλ. MR m r Οι δύο κύλινδροι έχουν την ίδια πυκνότητα και άρα ισχύει: M m M m M r ρi ρ Μεγ. I m µικρ. V V π R h π r h R Μεγ. Μικρ. Άρα από τις σχέσεις, προκύπτει: 4 4 M r M r r Iκοιλ. M R r I κοιλ. MR I κοιλ. MR. 4 R R R Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

3. Σ F M α M g ηµ ϕ T M α cm στ cm 4 4 r αcm r Σ τ I αγων Tστ. R MR T 4 στ. M α 4 cm R R R Άρα 4 r Mgηµ ϕ M α 4 cm Μ αcm R 4 r g ηµ ϕ α 4 cm R 4 r g ηµ ϕ α 4 cm R g ηµ ϕ g ηµ ϕ αcm α 4 cm 4. 3 r r 3 4 4 R R T R r N Wy W W φ 4. kµετ M υcm M υcm 4 kπερ I ω r M R ω 4 R υcm 4 4 4 r r R R ω 4 4 R R 4 R 3. 4 R 5 5 6 6 6 4 R Τεχνική Επεξεργασία: Kyson

Τεχνική Επεξεργασία: Kyson 3

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ 4 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και fα fβ, τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των fα και fβ υπάρχει ένας τουλάχιστον α,β, τέτοιος ώστε f η. Μονάδες 7 A. Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο ; ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ Μονάδες 4 A3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Α τοπικό ελάχιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof, τότε ισχύει πάντοτε ότι fog gof. β Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και γ δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. γ Για κάθε ισχύει ότι συν ημ.

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν ισχύει ότι f για κάθε [α,β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε α β fd. ε Αν lim f και f κοντά στο, τότε lim. f ΘΕΜΑ Β Μονάδες Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: z 4 z. B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων αυτών των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ. B. Έστω Β. w, Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 7 z z z z όπου z, z δύο μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος α Ο w είναι πραγματικός και β - 4 w 4. μονάδες 4 μονάδες 7 Μονάδες B3. Αν w -4, όπου w είναι ο μιγαδικός αριθμός του ερωτήματος Β, να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς z, z και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες Az, Bz, Γz 3 των μιγαδικών αριθμών z, z και z, 3 με z3 iz, είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ f,. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα,. Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 f έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα. Γ3. Να αποδείξετε ότι για κάθε. Γ4. Δίνεται η συνάρτηση g 4 fd 4 5 f4 fd,, Μονάδες 8 Μονάδες 4 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [,. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: f f f για κάθε και f. Δ. Να αποδείξετε ότι f n,. Μονάδες 5 Δ. α Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την ευθεία y και τις ευθείες και. μονάδες 4 Δ3. Να υπολογίσετε το όριο: Μονάδες 7 lim f d n f. Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: Μονάδες 6 3 f d 8 3 f d 3 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,3. Μονάδες 7 ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω -πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις 3 ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5 lisari am / 4 5 : 5 5 : & : 7., 94 A., 88 3.,, 59 A4.,, 44,, 89,, 5,, 33,, 78 5: lisari am

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5 B.., z4 z z4 z z4z44zz zz 4z 4z 6 4zz 4z 4z 4 3zz zz 4 z 4 z z. : 4 z z zz 4 z z z,z, z z w z z, w. 4 4 z z z z 4 4 4 4 z z z z w z z z z,, z z z z z z z w z z z z z 5: lisari am

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5 w w w 4 4 w4 3. z z z z w 4 zz z z z z z z Az,Bz, iz, A izz z i 4 5 B iz z z i 4 5. z. : i,, z R, z z i. i,, R.,,, z i i, z i z z R w i i 4 z z 4w4444. 3., Az,Bz, iz w 44 z z z. z A izz z i 4 5 B iz z z i 4 5 5: lisari am 3

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5. H f, :, f f, f. f : imf, imf f imf, imf, im im im im f im im im im f im im im DLH DLH. : 3 3 3 3 f f f f 5 3 3 f 3 f f, 3... f, f f f f f 3 f: 3 3 3 f A f f 3. G f d f R R G X f,. G R. G.. [, 4],,4 : 3 5: lisari am 4

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5 4 4 G4 G G f f d f d f f d 4 G 4 G G4 4 4 fd f4 fd f4 4 f 4f f4 f4 f [f4 f]d 4 4 4 4 4 f 4d f d f 4 d f d f 4 f d F f,, 4 F f, f4 f d F f4 F 4 F f 4 F4 4 F f 4 4,.. F [, 4],4, F F F4 4 4. g. : 4 fd 4f 4 f lim g lim lim 4 g. D.L.H. g,,,,. g : 5: lisari am 5

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5 4 4 4 fd fd 4f 4 f f d g 4 4f4 f fd f4 f4 f fd : 3 : 4 f4 f f4 fd. f g,. 4f f4 f4 f 4 f4 fd,, g 4,, g 5: lisari am 6

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5 f f f f f f f f f f f c f f c c f f f f f f f f f f f f g Dg g f f g g g f g g f f f ln,, f, f f, f f 5: lisari am 7

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5 f,. f :yffy, f Cf, f,. E f d ln d d ln d ln d ln d ln ln ln ln.. 3 f f f f f f f, f d f f f f d h. f - f 3 4 f d lim h h 5: lisari am 8

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5 f d f d lim ln f lim ln f f d f d f lim lim d.l.h. f ln f ln f f f f d lim 3 f ln f f d f lim f ln f f, f d f f lim f f uf ln u lim f ln f lim u ln u lim lim u lim u u u u u u d.l.h. u u L f d f d f f d L lim ln f lim ln f lim ln f, 5: lisari am 9

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5,, f d f d f d f lim lim lim f f f lim ln f lim lim lim lim f lnf ln f f f f lim lim lim f f f f f d L lim lnf 4., [,3] g 3 f d 3 83 f d g [, 3]. g 83 f d3 f d 8 3 f, y, f, f > f, [,] f [,] h f [, ] f d f d d f d d 3 8 d 3 3 5: lisari am

& hp://lisari.blogspo.gr 5 5 5 g <., 8 f d 3 f d 8 3 f d 8 3 g3 3 f d, f, f, [,] [, ], f f d f d d f d d 3 d 3 3 f d 3 f d 3 f d g3 3 g g3 Bolzano g 3 f d 8 3 f d 3, 3. 5: lisari am