ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Δωρίς Κοντόσταυλος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7 Α. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 4 Α3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Aτοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. β) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f () y έχει ακριβώς μία λύση ως προς. γ) Αν είναι lim f, τότε δ) σφ, ημ ημ f κοντά στο β β β ε) f g d α f g f g d, α όπου f, α g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β]. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z z 4 () w 5w () Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ. Μονάδες 6 Β. Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με zz τότε να βρείτε το z z. Μονάδες 7

Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 4 Α3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Aτοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 Α4.

2 Β3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση y 9 4 και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Μονάδες 6 Β4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: z w 4. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ f ln,. Δίνεται η συνάρτηση Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Μονάδες 6 3 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση, έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Μονάδες 6 Γ3. Αν, με είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) f ( ). Μονάδες 6 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() f () με, τον άξονα και την ευθεία. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f :(, ), η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις: f () f tdt ln t t ln dt f. ft Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Μονάδες f ln,, τότε: Αν είναι Δ. Να υπολογίσετε το όριο: lim f ημ f. Μονάδες 5 f Δ3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln, που ισχύει για κάθε, να αποδεί- ξετε ότι η συνάρτηση όπου α, α F f t dt,, είναι κυρτή (μονάδες ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F F3 F, για κάθε (μονάδες 4). Μονάδες 6

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Μονάδες 6 3 Γ.

3 Δ4. Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ β,β τέτοιο ώστε: ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 53. Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 9. Α3. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 58 Α4. α Σ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Λ ΘΕΜΑ Β Β. ος τρόπος F β F 3β F ξ. Μονάδες 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Είναι z z 4 z z z z 4 zz z z zz z z 4 zz zz z yi z y, επομένως ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο,y Ο(,) και ρ. ος τρόπος Είναι z i z i 4. Έστω A,, B,, M, y τότε: MA MB 4 και AB 4. Επομένως MA MB AB δηλαδή από το Πυθαγόρειο θεώρημα ο γ.τ. των σημείων Μ είναι κύκλος με διάμετρο την ΑΒ, άρα το κέντρο του είναι το μέσο του ΑΒ, δηλ. το Ο(,) και ρ. ΑΒ Β. ος τρόπος Ισχύει: z z z z z z () γιατί: z z z z z z z z z z z z zz zz zz zz zz zz zz zz z z z z z z άρα αφού zz και z z η () γίνεται άρα zz ος τρόπος Είναι zz άρα z z z z z z

ος τρόπος Είναι z i z i 4. Έστω A,, B,, M, y τότε: MA MB 4 και AB 4. Επομένως MA MB AB δηλαδή από το Πυθαγόρειο θεώρημα ο γ.τ. των σημείων Μ είναι κύκλος με διάμετρο την ΑΒ, άρα το κέντρο του είναι το μέσο του ΑΒ, δηλ.

4 z z z z z z z z z z z z Β3. Είναι z z z z z z z z z () z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z άρα zz w 5w w 5w w 5ww 5w ww 5w 5 w 5ww wyi 6ww 5 w w,y 6 y 5 y yi y yi y 6 36y 9 4 Επομένως ο γ.τ. των εικόνων του w είναι έλλειψη με α 9 α 3 β 4 β γ α β 5 γ 5 Ε γ, ή Ε 5, ή Ε 5, άρα εστίες και Ε γ, Είναι min w β και ma w α 3 Β4. Είναι από τριγωνική ανισότητα z w z w z w όμως ma w 3 άρα z w z w 3 4 και z και min w άρα z w w όμως w w επομένως z w δηλαδή z w 4. ΘΕΜΑ Γ f ln, Γ. Η f ως πράξεις συνεχών και παρ/μων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, ) με f ln ln,. Η f ως πράξεις συνε-

5 χών και παρ/μων είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, ) με f για κάθε, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) + f f f Αν f f f Αν - όταν (,] η f είναι συνεχής και f () στο (,), άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,], επομένως το σ.τ. της είναι το f, lim f, lim ln ) γιατί lim ln (αφού - όταν [, ) η f είναι συνεχής και f () στο (, ) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) επομένως το σ.τ. της είναι το γιατί f, lim f, lim f lim και Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το [, ). Γ. Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: 3 lim ln άρα 3 ln ln ln 3 ln f - όταν (,] το ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) : f ( ) και επειδή η f είναι στο (,] γνησίως μονότονη, αυτή η ρίζα είναι μοναδική - όταν [, ) το ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) :f( ) και επειδή η f είναι στο [, ) γνησίως μονότονη, αυτή η ρίζα είναι μοναδική. Επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς θετικές ρίζες, δηλαδή f ( ) και f ( ) (). Γ3. ος τρόπος k f f Έστω για, Η k ως πράξεις συνεχών (αφού η f είναι φορές παραγωγίσιμη) είναι συνεχής στο, f στο (,). k f f f γιατί και k f f f f f + ολ.ελ. το f()=

Γ. Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: 3 lim ln άρα 3 ln ln ln 3 ln f - όταν (,] το ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) : f ( ) και επειδή η f είναι στο (,] γνησίως μονότονη, αυτή

6 γιατί f στο, Δηλαδή kk Επομένως από θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον k f f ος τρόπος Θεωρώ τη συνάρτηση, : φ f,, και εφαρμόζω θ. Roll γι αυτήν στο.,. Γ4. Είναι g f ln, Η g ως γινόμενο συνεχών είναι συνεχής στο, g ln (διπλή) και άρα ln ln ln και g στο, Επομένως το ζητούμενο εμβαδό είναι E g d g d ln d ln d ln d d τ.μ. 4 ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι συνεχής στο, είναι συνεχής και f, επομένως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο,. Η f είναι συνεχής στο, άρα ορίζεται η k f tdt στο είναι παραγωγίσιμη με k f, η g f tdt k με,. Για, και ως σύνθεση παρ/μων είναι παραγωγίσιμη g k f,.

Είναι g f ln, Η g ως γινόμενο συνεχών είναι συνεχής στο, g ln (διπλή) και άρα ln ln ln και g στο, Επομένως το ζητούμενο εμβαδό είναι E g d g d ln

7 φ g,,. Θεωρώ την Είναι φ φ,,, δηλαδή η φ στο παρουσιάζει ακρότατο (ολ.ελ.) και είναι παραγωγίσιμη με φ g f. Από θ. Frmat φ f f και επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημο είναι f Είναι στο,. ln t t f ln dt f ft ln t t ln dt f () ft Η h ln, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, με Άρα h,,,. Επομένως και ln t t dt ft h f στο ln t t h dt f ft f h ln t t dt f t Η f ως πηλίκο παρ/μων είναι παραγωγίσιμη στο, και ln ln t t dt f f t ln ln Παραγωγίζοντας την () έχω, f, f ln άρα c,,, c. f Η () για δίνει f c c c. f h h + + ολ.μεγ. το h()= <

ln t t f ln dt f ft ln t t ln dt f () ft Η h ln, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, με Άρα h,,,.

8 Επομένως ln f Δ. lim f lim ln (αφού άρα f ln,. lim και lim ln ) ω f ημω lim f ημ f lim f όταν ω ω ω το ω ημω ω % συνω συνω lim lim lim. ω ω ω ω D.L.H. ω ω Δ3. Η f συνεχής στο, άρα ορίζεται η F f t dt, α είναι παραγωγίσιμη με F f,,. Η f παραγωγίσιμη στο, άρα η F παρ/μη στο F f ln ln ln ln,,. α, με στο, αφού, και στο Η F στα διαστήματα,,,3, ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής στα διαστήματα,,,3 είναι παραγωγίσιμη άρα σε καθένα από αυτά εφαρμόζεται το θεώρημα Μέσης Τιμής, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον, : F,3 : F F F F 3 F 3 F όμως 3 F F άρα F F F F 3 F F F F3,. Δ4. Έστω λ F Fβ F3β, β,β, β. Η λ είναι συνεχής στο [β,β] F F F3 F F3 γιατί F f άρα F β 3β F β F 3β. λ β F β F β F 3β από το Δ3 ερώτημα,

α, με στο, αφού, και στο Η F στα διαστήματα,,,3, ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής στα διαστήματα,,,3 είναι παραγωγίσιμη άρα σε καθένα από αυτά εφαρμόζεται το θεώρημα Μέσης

9 άρα λ β λ β Επομένως από θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον β,β : λ όμως λ F f άρα η λ γνησίως φθίνουσα στο [β,β], δηλαδή το μοναδική ρίζα. Επιμέλεια: Σ. ΚΟΥΤΣΟΥΒΕΛΗΣ Π. ΛΥΓΚΩΝΗΣ Μ. ΣΙΜΙΤΖΟΓΛΟΥ Τ. ΝΤΡΙΤΣΟΣ Μ. ΤΣΙΜΕΛΑΣ Δ. ΣΤΡΟΥΖΑΚΗΣ

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο