ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Τισιφόνη Βασιλείου
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής G()=F()+c, c είναι παράγουσες της στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της στο παίρνει τη μορφή G()=F()+c, c Μονάδες 6 A. Πότε η ευθεία = 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ; Μονάδες 4 A3. Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Πότε λέμε ότι η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο ; Μονάδες 5 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους.

Μονάδες 6 A. Πότε η ευθεία = 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ; Μονάδες 4 A3. Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του.

2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 β) Έστω συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του. γ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α,Β), όπου Α= lim ( ) a + και Β= lim ( ) β δ) (συν) =ημ, ε) Αν lim ( ) < 0, τότε ()<0 κοντά στο 0 0 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση z + = όπου z C με z 0 z B. Να βρείτε τις ρίζες z και z της εξίσωσης. Β. Να αποδείξετε ότι z + z 00 =0 00 Μονάδες 6 B3. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w 4+ 3i = z z τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο.

γ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α,Β), όπου Α= lim ( ) a + και Β= lim (

3 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Β4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος B3, να αποδείξετε ότι 3 w 7 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση ()=+ln( +), Γ. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση. Μονάδες 5 Γ. Να λύσετε την εξίσωση: (3 ) + ( 3+ ) = ln 4 + Γ3. Να αποδείξετε ότι η έχει δύο σημεία καμπής και ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της στα σημεία καμπής της τέμνονται σε σημείο του άξονα ψ ψ. Μονάδες 6 Γ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = ( ) d ΘΕΜΑ Δ ίνεται η συνεχής συνάρτηση : η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις: () ( ) = 3+ d () 0

Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση. Μονάδες 5 Γ. Να λύσετε την εξίσωση: (3 ) + ( 3+ ) = ln 4 + Γ3.

4 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Δ. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο ( ) '( ) =, ( ) Μονάδες 5 Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g()=(()) -(),, είναι σταθερή. Δ3. Να αποδείξετε ότι Δ4. Να αποδείξετε ότι ( ) = + + 9, + + () d< () d, για κάθε χ + Μονάδες 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα A Α. Θεώρημα Σχολικό βιβλίο σελίδα 304 Α Ορισμός Σχολικό βιβλίο σελ 79 Α3. Ορισμός σχολικό βιβλίο Σελίδα 73 Α4. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ Θέμα B Β. z + = z z z+ = 0 Δ= 4 οπότε z = + i και z = i = + + = Β. ( i) ( i) ( i) ( i)

Να αποδείξετε ότι ( ) = + + 9, + + () d< () d, για κάθε χ + Μονάδες 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα A Α.

5 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ = i + i = 0 Β3. w 4+ 3i = κύκλος με κέντρο Κ(4, 3) και ακτίνα ρ = Β4. w = ( w 4+ 3i) + ( 4 3i) w 4+ 3i 4 3i w w 4+ 3i + 4 3i 5 w w 7 Θέμα Γ Γ. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με + + ( ) = + = > 0 για κάθε + + Άρα γνησίως αύξουσα στο Γ. ( ) ( ) = ln = ln ( 3 ) + ln( + ) 4 + ln( + ) = ( 3 ) + ln ( 3 ) + ' ' = 3 = 3 3+ = 0 = ή = (Η είναι - αφού είναι γνησίως αύξουσα στο ) Γ3. Για κάθε έχουμε: ( ) ( ) = 0 = ή = = ( + ) Το πρόσημο της, η κυρτότητα της και τα σημεία καμπής της C φαίνονται στο παρακάτω πίνακα.

Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με + + ( ) = + = > 0 για κάθε + + Άρα γνησίως αύξουσα στο Γ.

6 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ () ( ) Η είναι κοίλη στα διαστήματα (, ] και [, + ) Η είναι κυρτή στο διάστημα [,] Τα σημεία Α(,ln ) και Β(, ln + ) είναι σημεία καμπής της C Η εφαπτομένη ε της C στο σημείο Α έχει εξίσωση ε :y = + y = + ln ( ) Η εφαπτομένη ε της C στο σημείο Β έχει εξίσωση ε :y () = ()( ) y = 3 + ln Η ευθείες ε και ε τέμνονται στο σημείο Γ(0, ln ) του άξονα yy Γ I= d = d+ ln + d = + 0= 3 3 Αφού: αν J= ln( + ) d και θέσουμε u= τότε du = d ( ) ( ). Για = : u = Για = : u = Τότε ( ) J = uln u + du = ln + d = J Οπότε J = 0 J = 0 ΣΚ ΣΚ

σημείο Β έχει εξίσωση ε :y () = ()( ) y = 3 + ln Η ευθείες ε και ε τέμνονται στο σημείο Γ(0, ln ) του άξονα yy Γ4.

7 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Θέμα Δ Δ. Έχουμε ( ) = + 3+ d () 0 () Η συνάρτηση h() = είναι συνεχής στο, οπότε η () συνάρτηση d είναι παραγωγίσιμη στο 0 () Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων + 3 και ( ) ( ) ( ) = + =, ( ) Δ. Η g συνεχής και παραγωγίσιμη στο με g = = ( ) ( ) ( ) ( ) d με 0 () = = = 0, Άρα η g σταθερή στο Δ3. Αφού η g είναι σταθερή στο τότε υπάρχει σταθερά c g c, = c, τέτοια ώστε ( ) = ή Για = 0 από την σχέση () έχουμε ( 0) = 0, οπότε c = 9 Άρα 9 9 = + = + ( ) = + 9, Θέτουμε g( ) = ( ), οπότε ( ) Επειδή η g είναι συνεχής στο με g( ) 0, (αφού g = + 9, ( ), ) τότε η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο και επειδή g( 0) = 3> 0 τότε g( ) > 0,. g 9, 9, = + = + Άρα ( ) = + + 9,

συναρτήσεων + 3 και ( ) ( ) ( ) = + =, ( ) Δ. Η g συνεχής και παραγωγίσιμη στο με g = = ( ) ( ) ( ) ( ) d με 0 () = = = 0, Άρα η g σταθερή στο Δ3.

8 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Δ4. Έστω G μια αρχική της στο οπότε: G ( ) = ( ), + και Έχουμε: () d = G( + ) G( ) + + () = ( + ) ( + ) d G G. Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την G στα διαστήματα [, ] [ +,+ ] οπότε υπάρχουν ξ (, + ) και ξ ( +,+ ) τέτοια ώστε G( + ) G( ) G ( ξ ) = = G( + ) G( ), οπότε ( + ) + ξ = d και ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + και G G G ξ = = G + G +, οπότε + ξ = + d Για κάθε έχουμε ( ) = + = > = 0, > 0, οπότε η γνησίως αύξουσα στο Άρα ( ) Επειδή ξ <ξ τότε ( ξ ) < ( ξ ) δηλαδή () d < () d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κούσης Π. Σιφναίος Δ. Τζωρτζίνης Ι. Φιλιόγλου Β. Φλωρόπουλος Α.

) + ξ = d και ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + και G G G ξ = = G + G +, οπότε + ξ = + d Για κάθε έχουμε + 9 + + + ( ) = + = > = 0, + 9 + 9 + 9 + 9 > 0, οπότε

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης Τετάρτη, 9 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε