ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης"

Χριστιανός Βαρνακιώτης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

2 Τετάρτη, 9 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι : Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G()=F() c, c R Είναι παράγουσες της f στο Δ και Κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G()=F() c, c R Μονάδες 6 Α. Πότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f; Μονάδες 4 Α. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ ; Μονάδες 5 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών αβi και γδi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. β) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε η παράγωγος της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Δ. γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α,Β), όπου Α= lim f() και Β= lim f() α β δ) (συν) =ημ, R. ε) Αν lim f() <, τότε f()< κοντά στο. Μονάδες

3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α. Θεωρία σχολ. σελ 4. Α. Θεωρία σχολ. σελ 79 Α. Θεωρία σχολ. σελ 7 Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση z z = όπου z C με z Β. Να βρείτε τις ρίζες z και z της εξίσωσης. Β. Να αποδείξετε ότι z z = Μονάδες 6 Β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w 4i = z z τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο. Β4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β, να αποδείξετε ότι w 7. Μονάδες 5 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β. z z = z =z z z = ±i Δ= 4 8= 4 z= z z = i = i= z Β. z =[(i) ] 5 =(i) 5 = 5 i 5 = 5 i 4 5 = 5 i z ==[( i) ] 5 =( i) 5 = 5 i 5 = 5 i 4 5 = 5 i αρα z z = 5 i 5 i= Β. 4 i = z z w (4 i) = i i w w (4 i) = i w (4 i) = αρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος C με κέντρο το Κ(4, ) και ακτίνα ρ=. C:( 4) (ψ) =4.

4 Β4. Α τρόπος Ισχύει : w 4 i w (4 i) w 4 i αρα w 4 i w 5 w 5 5 w 5 w 7 Β τρόπος A M(w) K(4,-) B Έστω C : ( 4) (ψ) = και η ΟΚ τέμνει τον C στα Α,Β τότε αν Μ(w) ισχύει (ΟΑ) (ΟΜ) (ΟΒ) (ΟΚ) ρ w (ΟΚ)ρ 5 w 5 w 7. (ΟΚ)= 4 ( ) = 5 = 5. ΘΕΜΑ Γ Δ ίνεται η συνάρτηση f()=ln( ), R Γ. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. Γ. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( )=ln 4 Μονάδες 5 Γ. Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο σημεία καμπής και ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία καμπής της τέμνονται σε σημείο του άξονα ψ ψ. Μονάδες 6 Γ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι=f()d 4

5 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. Είναι f () = Άρα f στο R. = = = ( ) > ( ) Γ. Είναι ( )=ln ( )=ln[( ) ] ln( 4 ) 4 ln[( ) ] = ln[( ) ] ( ) ln[( ) ] = ln[( ) ]( ) f( )=f( ) f = = = ή =. Γ. Είναι () f = f () = = =±. ( ) = = ( ) f () f f () < < > < ή >. f () > > < <<. Η f είναι κυρτή στο [,] και κοίλη στα (, ],[, ) και παρουσιάζει στις θέσεις =, = σημεία καμπής με f( )= ln και f()=ln. Έστω (ε) η εφαπτομένη της Cf στο Α(,f( )) (ε): y f( )= f ( ) () y ( ln)= () y= ln Έστω (η) η εφαπτομένη της Cf στο Β(, f()) (η): y f()= f () ( ) y (ln)=( ) y= ln Θέτουμε στην εξίσωση των εφαπτομένων (ε) και (η) όπου = και έχουμε y= ln άρα οι εξισώσεις των εφαπτομένων στα σημεία καμπής τέμνονται στον άξονα y y στο σημείο Γ(, ln) Γ4. ( Ος τρόπος) Είναι Ι=f ()d=( ln( ))d=[ ln( )]d= d Αν Ι= ln( )d d= = 4 = και 5

6 Ι= και ln( )d με u= du=d u Όποτε Ι= ln( 4 4 Άρα Ι= = )d= lnudu=. ( Ος τρόπος) Ι=f ()d=[ ln( )]d= d ln( )d= = ln( 4 = ln ln ³ ² - = ( ) = d = = (ln ln)= () )d= ln( ) d () d d= Από () και () έχουμε ότι Ι= 4 d )d= = [ ln( ) ] = ΘΕΜΑ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:r R η όποια για κάθε R ικανοποιεί τις σχέσεις : f() f() = d f() 6

7 Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο f() f ()= f(), R Μονάδες 5 Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g()=(f()) f(), R, είναι σταθερή. Δ. Να αποδείξετε ότι Δ4. Να αποδείξετε ότι f()= 9, R f ()d< f ()d, για κάθε R. Μονάδες 6 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ. Είναι f () = d επειδή η f() f() είναι ορισμένη στο R αφού σύμφωνα με την υπόθεση και συνεχής ως πηλίκο των συνεχών συνάρτησης ολοκλήρωμα d f() f() f() και, η είναι παραγωγίσιμη στο R και επειδή η παραγωγίσιμη στο R, η f παραγωγίσιμη στο R ως άθροισμα f() f() παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: f'() = = =. f() f() f() Δ. Είναι g() = (f()) f() παραγωγίσιμη στο R ως πράξη παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: g'() = f()f'() f() f'() = (f() )f'() f() = f() = (f() ) f() = λόγω Δ f() = f() f() = και από συνέπειες του Θ.Μ.Τ. προκύπτει g () = c, R. Δ. Από (Δ) είναι (f()) f() = c () και από f () = d, για =, έχουμε f () = =, f() οπότε από () για =, έχουμε: (f()) f() = c 9= c, επομένως ισχύει ( f()) f() = 9 (f()) f() = 9 ( f() ) = 9 () Αν τώρα h() = f(), έχουμε (h()) = 9. 7

8 Αν υπάρχει o R ώστε h( o ) = προκύπτει από την ισότητα (h(o)) = o 9 = o 9, άτοπο αφού o 9>, άρα h(), Rκαι επειδή συνεχής ως διαφορά συνεχών θα έχει σταθερό πρόσημο στο R και επειδή από h() = f(), είναι h () = f() = >, θα είναι h () > για κάθε R. Επομένως από (h()) = 9, έχουμε άρα f () = 9 f() = 9, 8 = 9 και αφού g () > h () R. Σημείωση για την εύρεση του προσήμου μπορούμε να σκεφτούμε και ως εξής: η h()=f() από υπόθεση και επειδή είναι συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο και αφού h()=f()=> h()> για κάθε R. Δ.4 α τρόπος Θέλουμε να δείξουμε ότι f()d f()d f()d< f()d< f()d f()d f()d< f()d f()d f() d Έτσι, αν F() = f()d, μια αρχική της f στο R, αρκεί F( ) F() < F( ) F() () Η F στα [, ] και [, ] είναι παραγωγίσιμη με F '() = f(), οπότε σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν (, ) και (, ) τέτοια ώστε: F( ) F() F( ) F( ) F'() = και F'() =, άρα αρκεί να δείξουμε ότι F'( ) < F'() f() < f() f() Από (Δ) f'() = και επειδή από (Δ) f () > κάθε R f() και f() = 9 >, R (αφού 9 > > ) η f '() > R άρα η f γνησίως αύξουσα στο R και επειδή < ισχύει ( ) f( ). f < β τρόπος Έστω η συνάρτηση φ() = f()d= f()d f()d= f()d f()d, παραγωγίσιμη με φ'() = f( )( )' f() = f( ) f(), που είναι όπως δείξαμε παραπάνω στο προηγούμενο τρόπο f '() >, άρα f γνησίως αύξουσα και επειδή > ισχύει f ( ) > f(), άρα φ '() > R επομένως φ γνησίως αύξουσα, άρα για > φ ( ) > φ() f()d< f() d.

9 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Α. Τα σημερινά θέματα διακρίνονται για την εκτεταμένη εξέταση της ύλης σε βασικές γνώσεις απαιτώντας αρκετή κριτική και συνθετική ικανότητα από τους υποψηφίους καθώς και ευχέρεια στις πράξεις. Η κλιμάκωση της δυσκολίας των θεμάτων δεν έφθασε σε ιδιαίτερα υψηλά επίπεδα, με αποτέλεσμα οι επιδόσεις των υποψηφίων να μην έχουν πιθανόν μεγάλες διαφορές. Β. Οι παραπάνω λύσεις είναι ενδεικτικές. 9

Σχετικά έγγραφα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις