Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να δείξετε ότι: f ( ) = Μονάδες 9 Β.. Πότε η ευθεία ψ = λ + β λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες. Πότε µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]; Μονάδες Γ. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ):. Ισχύει lim f ( ) = l lim f ( + h) = l h lim =. Αν <α< τότε a. Μονάδες Μονάδες. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] τότε η f έχει υποχρεωτικά ολικά ακρότατα τα f(α) και f(β). Μονάδες 4. Για τις συναρτήσεις f και g που έχουν συνεχείς παραγώγους στο [α,β] ισχύει: β a ÈÅÌÁÔÁ 9 a [ ] f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) d = f ( ) g( ) β β a Μονάδες 5. Αν για κάθε στοιχείο ψ του συνόλου τιµών της f(), η f(χ)=ψ έχει λύση ως προς τότε η f είναι -. Μονάδες

2 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση z + z =, z C και z, z οι ρίζες της. Να αποδείξετε ότι: A. z z = και z =. B. (z 9 + z 9 ) R. Γ. z 8 + z + =. Αν f() συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [,] µε z z f()-= + και f()= z z + z z τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (,), ώστε f( )=. Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες 7 Ε. Αν Γ είναι η εικόνα του µιγαδικού w = z + z και Α, Β οι εικόνες των z και z αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f() = + +ln. Α. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία και να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία είναι κυρτή ή κοίλη. Β. Να βρείτε το σύνολο τιµών και το πλήθος των ριζών της f. Γ. Αν ÈÅÌÁÔÁ 9 ln g ( ) = να δείξετε ότι υπάρχει > ώστε: + g() g( ) για κάθε >. Μονάδες 7. Να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει: f( ) < f( + ) f( + 4).

3 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f ορισµένη και παραγωγίσιµη στο (, + ) για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f ( ) = Α. Να δείξετε ότι f() = -/. + και f() = Μονάδες 8 Β.. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f() στο σηµείο µε τετµηµένη =. Μονάδες. Να δείξετε ότι f ( ) d >. Μονάδες 7 f ( ) Γ. Αν g() =, να βρείτε το εµβαδόν Ε(t) του χωρίου που περικλείεται από τη Cg, τον και τις ευθείες = και =t µε t>. Μονάδες 5 lim. Να βρείτε το E(t). t + Μονάδες ÈÅÌÁÔÁ 9

4 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο Α. Σχολ. Βιβλίο σελ. 6 Β.. Σχολ. Βιβλίο σελ. 8. Σχολ. Βιβλίο σελ. 9 Γ.. Σ. Λ. Λ 4. Σ 5. Λ ΘΕΜΑ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. z + = z + = z z + z + = µε z z= (τύποι Vita) z ή + i i = = = = z και z ( ) και z + z + = z + z + z = z = z + z = ή Β. Οι αριθµοί z και z συζυγείς οπότε z = z = z 9 9 z + σαν άθροισµα συζυγών Άρα ( ) R z Γ. ( ) ( ) ÈÅÌÁÔÁ 9 z z + + = z + z + = z. z + z z+ = z + z+ = 8 8 z = + i =.... Έστω g( ) = f ( ) +, συνεχής στο [,] σαν άθροισµα συνεχών (f παραγωγίσιµη οπότε και συνεχής και + συνεχής ως πολυωνυµική µε ( z z ) z z ( ) z z z + z +. () = f () + = = + 4 = + 4 = + 4 = > g z z zz zz z + z 5 5 και g() = f () + = + = = = < z z 4z z 4

5 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Άρα από το Θεώρηµα Bolzano υπάρχει (,) ώστε g ( ) = f ( ) + = f ( ) = Ε. w = (z +z )=(-)=- δηλαδή Γ (-,), και ΘΕΜΑ o 9 ΓΑ = + + = + = 4 4 ΓΒ = + + = Άρα ΓΑ = ΓΒ Α. f ( ) + + ln = µε π.ο. D = (,+ ) f ( ) = + > f (, + ) f ( ) = < f κοίλη στο (, + ) Β. lim f ( ) lim( + + ln ) = + = + = + > f Α, -, Β, ÈÅÌÁÔÁ 9 = ( + + ) = = + δηλαδή f(α)= (, + ) + f (A έχει η f()= ρίζα στο (,+ ) lim f ( ) lim ln + Αφού το ) f (,+ ) Γ. Θέλω g() g( ) δηλαδή η g να έχει ελάχιστο στο. Έχω g ()= ( ln + )( + ) ln ln + ln + = ( + ) ( + ) ln + + = = Αν f ( ) ( + ) ( + ) f ( ) g ( ) = = f ( ) = ( + ) + ln = τότε, µοναδική γιατί

6 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 άρα η g() έχει ελάχιστο στο δηλαδή g ) g( ) (. Θέλω f(-)<f(+)-f(+4) f(+4) f(+)<f(+)-f(-) f ( + 4) f ( + ) f ( + ) f ( ) < ( + 4) ( + ) ( + ) ( ) έχω από Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχουν ξ, ( +, + 4) και ξ (, + ) ώστε ( f ( + 4) f ( + ) ( ) ( ) f ξ ) = ( + 4) ( + και ) ( f + f f ξ ) = ( + ) ( δηλαδή θέλω ) f ( ξ ) < f ( ξ ) ΘΕΜΑ 4 o Όµως f κοίλη στο (,+ ) δηλαδή (, + ) f και< - < ξ <+<ξ <+4 Θα είναι f ( ξ ) > f '( ) δηλαδή ισχύει το ζητούµενο. ' ξ Α. Για κάθε (, + ) είναι: f ( ) = + - f ( + ) = (- ) [f( _ )] = ( ) _ f ( ) = + c Για = είναι f() = + c c= _ Άρα f ( ) = Έστω = ω τότε = ω, ω (, + ). Άρα f(ω) = ω -/ω Τελικά f() = -/ η λύση: f ( ) = +, > Θέτω = ω = ω > (, + ). ÈÅÌÁÔÁ 9 Άρα f (ω) = ( ω +) -/ω f (ω) = (ω -/ω ) f(ω) = ω -/ω + c Για = είναι ω = άρα f() = - + c c = Άρα f(ω) = ω -/ω, ω> ή f() = -/, >

7 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 4 Β.. Είναι f () = -/ + -/ f () =, f() = Η εφαπτοµένη στο = είναι: y f() = f ()(-) y = -. Είναι: f () = = -/ ( + ) (ε) -/ > για >. Άρα η f() είναι κυρτή στο (, + ) και η C f βρίσκεται πάνω από την (ε) εκτός του σηµείου επαφής. Είναι f() - f() - + για κάθε [,] Άρα f ( ) Γ. g() =. t Άρα Ε = lim t + (f() - + )d > f()d + [- + ] _ = > > στο [,t] g()d = t f()d + f()d - > -/ d = [ -/ ] t ω = lim ( ) = ( ) = t + ω E( t) lim (Έστω - t =ω, όταν t + τότε ω ) t (- + )d > ÈÅÌÁÔÁ 9 f()d > = -/t - - τ.µ. 4