ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x."

Ρεία Λαγός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση Aν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο Aν η f δεν είναι συνεχής στο, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο 3 Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο, τότε η f είναι συνεχής στο 4 Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει α z zz β z z γ z z δ z z ε iz z 5 Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο, και συνεχής στο (, ] μια μέγιστη τιμή 6 Κάθε συνάρτηση που είναι στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη, τότε η f παίρνει πάντοτε στο, 7 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και lim f( ) τότε lim f( ) 8 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε f ( ) d f ( ) f ( ) d 9 Αν lim f( ) τότε f( ) κοντά στο Αν f ( ) d,τότε κατ ανάγκη θα είναι ( ) f για κάθε, Η εικόνα f ( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα,, στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle 3 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα, και σημείο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο Τότε πάντα ισχύει ότι f( ) στο,

2 4 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, και υπάρχει f( ),τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f( ) f( ) 5 Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z z z τέτοιο ώστε, 6 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Αν f( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του,τότε η f είναι κυρτή στο 7 Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ισχύει f ( ) d f ( ) c, cr 8 Αν μία συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του βρίσκεται «πάνω» από τη γραφικής της παράσταση 9 Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα και ένα εσωτερικό σημείο του Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και f( ), τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z z z z z z Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν f( ) στο, και f( ) στο f( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f, τότε το Μια συνάρτηση f : A R είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιοδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή : αν τότε f ( ) f ( ) 3 Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο τότε ισχύει : f ( ) g( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d 4 Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους 5 Aν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ισοδυναμία : lim f ( ) l αν και μόνο αν,,, τότε ισχύει η lim f ( ) lim f ( ) l 6 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση fg είναι παραγωγίσιμη στο f g ( ) f ( ) g( ) και ισχύει : 7 Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το 8 Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα, τότε f ( t) dt G( ) G( ) Αν G είναι μία παράγουσα της f στο,

3 9 Αν μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 3 Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών, είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους 3 Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού R και ορίζονται οι συνθέσεις f g και g f, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες 3 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και y, που διχοτομεί τις γωνίες oy και oy f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία 33 Αν υπάρχει το όριο της f στο τότε N και lim f ( ) lim f ( ) εφόσον το f( ) κοντά στο με 34 Αν η f είναι συνεχής στο, με f ( ) και υπάρχει, f ( ) ώστε f( ), τότε κατ ανάγκη 35 Αν υπάρχει το lim f ( ) g( ),τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα lim f( ) και lim g ( ) 36 Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση ευθεία τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο Α με την f 37 Αν lim f( ) και f( ) κοντά στο τότε lim f ( ) 38 Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει f ( t) dt f ( ) f ( ) για κάθε 39 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δε μηδενίζεται σ αυτό,τότε αυτή η είναι θετική για κάθε η είναι αρνητική για κάθε,δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα 4 Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παραγωγός της είναι ίση με το λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα 4 Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Αν η f είναι κυρτή στο, και κοίλη στο (, f ( )) είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f, η αντιστρόφως, τότε το σημείο 4 Το μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών είναι ισο με την απόσταση των εικόνων τους 43 Αν για δυο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι f gκαι g f, τότε είναι υποχρεωτικά f g g f

4 44 Οι εικόνες δυο συζυγών μιγαδικών αριθμών z, z είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα 45 Αν η συνάρτηση f έχει παράγουσα σε ένα διάστημα και R*,τότε ισχύει f ( ) d f ( ) d 46 Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z z 47 Αν υπάρχει το lim f( ) τότε f( ) κοντά στο 48 Η εικόνα f ( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα 49 Ισχύει ο τύπος 3 3 για κάθε R 5 Ισχύει η σχέση f ( ) g( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d όπου f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο, 5 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει z z z z 5 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο και g ( ), τότε η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο και ισχύει f f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( ) g g ( ) f g είναι 53 Για κάθε ισχύει ln 54 Μια συνάρτηση f : R είναι αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f ( ) y έχει ακριβώς μια λύση ως προς 55 Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα, τότε f ( t) dt G( ) G( ) 56 Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα, Αν G είναι μια παράγουσα της f στο, και για κάθε, ισχύει f( ) τότε f ( ) d 57 Έστω f μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του

5 58 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο,τότε η σύνθεση g είναι συνεχής στο f 59 Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε κάθε διάστημα και α είναι ένα σημείο του τότε g ( ) f ( t) dt f ( g( )) g( ) με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα 6 Αν lim 6 Η εικόνα f ( ) διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα 6 Αν f, g, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα,,τότε f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d 63 Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και είναι ένα σημείο του τότε f ( t) dt f ( ) για κάθε 64 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα,,τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα A, όπου A lim f ( ) και lim f( ) 65 Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f ( ) g( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του τότε ισχύει f ( ) g( ) για κάθε 66 Αν μια συνάρτηση f : f ( f ( )), και R είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f ( f ( y)) y, y f( ) f ισχύει: 67 Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της 68 Όταν η διακρίνουσα της εξίσωσης z z με,, R και είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγαδικών 69 Αν μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f( ) για κάθε πραγματικό αριθμό 7 Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα και,, τότε ισχύει: f ( ) d f ( ) d f ( ) d

6 7 Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι,αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες 7 Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ ένα διάστημα,τότε η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαιρέσει το σημείο επαφής τους 73 Το ολοκλήρωμα f ( ) d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα 74 Αν, πραγματικοί αριθμοί τότε i ή 75 Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής,, και l ένας πραγματικός αριθμός Τότε ισχύει η ισοδυναμία : lim f( ) l lim( f( ) l) 76 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί,τότε ίσχυε z z z z 77 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμοί λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο, όταν f ( ) f ( ) για κάθε 78 lim 79 Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σημείο του πεδίο ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 8 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα, και ισχύει f( ) για κάθε,, τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες, και τον άξονα είναι E( ) f ( ) d 8 Αν z είναι ένας μιγαδικός αριθμός τότε για κάθε θετικό ακέραιο ισχύειz 8 Η συνάρτηση f είναι αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο z 83 Αν lim f( ) και f( ) κοντά στο τότε lim f ( ) 84 Έστω η συνάρτηση f ( ) ισχύει f( ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R R / και

7 85 H διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών τους 86 Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε η παράγωγος της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του 87 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα,, όπου lim f( ) και lim f( ) 88, R 89 Αν lim f( ), τότε f( ) κοντά στο 9 Αν f,,τότε ισχύει 9 Αν ορίζονται οι συναρτήσεις f g και g f,τότε πάντοτε ισχύει f g g f 9 Αν lim f( ) ή, τότε lim f( ) 93 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα, και ισχύει f( ) για κάθε,,τότε f ( ) d 94 Για κάθε z C ισχύει z z z 95 Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z 96 Μια συνάρτηση f : αν τότε f f R λέγεται, όταν για οποιαδήποτε, ισχύει η συνεπαγωγή : 97 Για κάθε R R / ισχύει 98 Ισχύει ότι lim 99 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και ευθεία y που διχοτομεί τις γωνίες oy και oy f είναι συμμετρικές ως προς την

8 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε R ισχύει Για κάθε μιγαδικό αριθμό z i,, R ισχύει zz Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού θα λέμε ότι παρουσιάζει στο (ολικό ) μέγιστο το f( ), όταν f ( ) f ( ), για κάθε 3 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα, τότε είναι και στο διάστημα αυτό 4 Αν lim f( ) και f( ) κοντά στο, τότε lim f ( ) 5 Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό

Σχετικά έγγραφα

Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις Πανελλαδικές Εξετάσεις από το 2000 έως 204 χωρισμένα σε Κεφάλαια Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 = 2. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α.