( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

Transcript

1 ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G()=F()+c, c R είναι παράγουσες της f στο, και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο παίρνει τη µορφή G()=F()+c, c R. Μονάδες 7 Α. Πότε µια συνάρτηση f:α R λέγεται συνάρτηση -; Μονάδες 4 Α. Πότε µια ευθεία = 0 λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστή, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. v α) Αν z C, τότε ( z) ( z) v =, όπου ν θετικός ακέραιος. β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο 0 και ισχύει g() κοντά στο 0, τότε lim f lim g ( ) ( ) 0 0 γ) Αν lim f( ) 0 =, τότε >0 κοντά στο 0 δ) Υπάρχει πολυωνυµική συνάρτηση βαθµού µεγαλύτερου ή ίσου του, της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύµπτωτη. ε) Αν f είναι µία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] και G είναι µία παράγουσα της f στο [α, β], τότε πάντοτε ισχύει: α β () = G( α) G( β) f d Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z, w για τους οποίους ισχύουν: z-i -8= z- w-i =Im(w)+ Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z είναι η ευθεία µε εξίσωση -y-=0 Μονάδες 9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα

2 ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w είναι η παραβολή µε εξίσωση y= 4 Μονάδες 9 Β. Για τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς z, w να βρείτε την ελάχιστη τιµή του µέτρου z-w. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση =e - -ln, (0, + ) Γ. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιµών της. Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g µε ( ) h()=f( +)-+. h( ) g = d, όπου Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f f( ) = έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες,. Μονάδες 6 Γ4. Αν για τις ρίζες, του ερωτήµατος Γ ισχύει ότι <, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ξ (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (ξ, f(ξ)) να διέρχεται από το σηµείο Μ 0, Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Έστω µια παραγωγίσιµη συνάρτηση f: (0, + ) R για την οποία ισχύει: f ' + f =, για κάθε (0, + ) ( ) ( ) ( ). Να αποδείξετε ότι ( ) ln,0 < f =,= Μονάδες 6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα

3 ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 f. Να αποδείξετε ότι d= d, για κάθε (0, + ) () Μονάδες 4. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = d, (0, + ) είναι κοίλη. (µονάδες 5) β. Έστω Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, της εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g στο σηµείο που η γραφική παράσταση της g τέµνει τον άξονα και την ευθεία =. Να αποδείξετε ότι Ε<. (µονάδες 4) Μονάδες 9 4. Να αποδείξετε ότι () () f d f d, για κάθε (0, + ). Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 04. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 5. Α.Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 79. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α4. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Λάθος, ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Έστω z=+yi (, y R), τότε έχουµε διαδοχικά ( )( ) ( )( ) z i 8= z z i z+ i 8= z z+ zz iz iz+ 9 8= zz z z+ 9 i( z z) 8= ( z+ z) 6y= 8= 6 y = 0 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z είναι η ευθεία -y-=0. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα

4 ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 Β. Έστω w=+yi (, y R), τότε έχουµε διαδοχικά w i= Im z+ + yi i= y+ ( ) ( ) ( ) ( ) + y i= y+ + y i = y+ ( ) ( ) + y = y+ + y y+ = y + y+ = 4y y= 4 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w είναι η παραβολή y=. 4 Β. Έστω Μ( 0, y 0 ) τυχαίο σηµείο της παραβολής. Άρα έχουµε y0= 0. 4 Οι αποστάσεις του σηµείου Μ από την ευθεία (ε)-y-=0 είναι y d( Μ,ε) = = = = 4 4 Αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση f( ) = 4+, R αυτή είναι η παραγωγίσιµη (ως πολυωνυµική) και έχουµε f ' = 4 ( ) ( ) f ' = 0 = Οι ρίζες και το πρόσηµο της f () φαίνονται στον παρακάτω πίνακα - + f () ελ. Άρα η συνάρτηση f έχει ελάχιστο στο σηµείο 0 =, το =4-8+=8. Εποµένως η ελάχιστη απόσταση z-w είναι 8 z w = = =. min 4 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση ( ) f e ln πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων) µε f( ) =, (0, + ) είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) (ως e =, (0, + ). ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 4

5 ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 Αρκεί να εξετάσουµε το πρόσηµο της συνάρτησης ( ) Η συνάρτηση φ( ) e =, (0, + ). φ e =, (0, + ) είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) (ως πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων) µε φ ()=e - (+)>0, (0, + ) και άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης η φ έχει ρίζα το αφού φ()=0. Τώρα έχουµε > φ > φ φ > 0 f ' > 0 και άρα η είναι γνησίως αύξουσα ( ) () ( ) ( ) στο διάστηµα [, + ). 0< < φ( ) < φ() φ( ) < 0 f '( ) < 0 και άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (0, ]. Α= f, + f 0,. Για το σύνολο τιµών της Α έχουµε [ ) Είναι f[, ) f, lim f, διάστηµα [, + ) και έχουµε =0 ( + ) = () ( ) = [ + ) ( ) ( ) ln lim lim lim 0 e = e = e = lim f = = lim f = lim e ln = lim e ( ) ( ] ( ) (( ]), αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο ln e f( 0,) =, lim f( ) [, ) + = +, αφού η είναι γνησίως φθίνουσα στο 0 lim f = lim e ln =+ διάστηµα (0, ] και ( ) ( ) Εποµένως το σύνολο τοµών της f είναι Α=[, + ). Γ. Η συνάρτηση Κ() ορισµού της h() είναι το R. Επειδή [, + ) θα πρέπει h f + f + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f + f + ( ] [ ) ορίζεται όταν (, ] [, ) +. Το πεδίο,, + (αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και +, [, + )) Εποµένως το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g είναι το Α=(-, -] [, + ). ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 5

6 ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 Γ. Επειδή η συνάρτηση η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (0, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ) θα είναι και «-» στα διαστήµατά αυτά. Εποµένως έχουµε διαδοχικά f f( ) = f f( ) = f( ) = f( ) = Όµως [, ) f( [, )) + = + και άρα υπάρχει [, + ) (µοναδικό) τέτοιο, ώστε f( ) = [, ) f( ( 0,] ) + = και άρα υπάρχει (0, ) (µοναδικό) τέτοιο, ώστε f( ) =. Εποµένως υπάρχουν, >0 που να είναι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης. Γ4. Η εξίσωση της εφαπτοµένης C f στο σηµείο (ξ, f(ξ)) είναι y-f(ξ)=f (ξ)(-ξ) και αφού αυτή διέρχεται από το σηµείο Μ 0, θα έχουµε: f( ξ) = f '( ξ)( 0 ξ) f( ξ) = ξf '( ξ) Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι η συνάρτηση Π( ) = f '( ) f( ) +, [, ] έχει µοναδική ρίζα ξ (, ). Θα εφαρµόσουµε το θεώρηµα του Bolzano για τη συνάρτηση Π() στο διάστηµα [, ]: Έχουµε: Η Π() είναι συνεχής στο διάστηµα [, ] (ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων). Π()= f '() + = 0 + = > 0 Π( ) = f '( ) f( ) + = f( ) + = f '( ) < 0 (αφού η f είναι 0< < f ' < f ' f ' < 0 γνησίως αύξουσα στο (0, )) ( ) () ( ) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, ) µε ( ) e + f ' = > 0, (0, ) Άρα η Π() έχει µία τουλάχιστον ρίζα ξ (,) και επειδή η Π() είναι παραγωσίσιµη στο (, ) (ως πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων) µε: ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 6

7 ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 Π' ( ) = f '( ) + f ''( ) f '( ) = f ''( ) > 0, [, ], η Π() είναι γνησίως αύξουσα άρα και «-». Εποµένως η ρίζα ξ (, ) είναι µοναδική. ΘΕΜΑ. Εχουµε διαδοχικά και ισοδύναµα f ' + f = f ' + f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f '( ) + f( ) =, >0 ( ) f( ) ' = ( ln )' ( ) f( ) = ln + c Οπότε c µια σταθερά. Είναι = c= 0και άρα έχουµε ln ( ) f( ) = ln f( ) =, για 0<. Για =, η αρχική σχέση δίνει =0. Εποµένως ln,0 < f( ) =,=. Θεωρούµε τη συνάρτηση: F( ) = d d= d+ d, >0 Η συνάρτηση F() είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) (ως άθροισµα παραγωγίσιµων συναρτήσεων), αφού οι συναρτήσεις, είναι συνεχής στο (0, + ). Είναι: f F' ( ) = f( ) + f ( ) f =, (0, + ) Για 0< έχουµε ln ln ln ln ln ln ln ln F' ( ) = = = + = = 0 Για = F ()=-=0 Άρα F () =0, (0, + ) και εποµένως F() =c, όπου c σταθερά. Είναι F()=c c=0 Εποµένως ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 7

8 ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 () f f F( ) = 0 d d= 0 d= d. α. Η g είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) διότι είναι συνεχής (ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων) και άρα έχουµε f () g( ) = d= d, (0, + ) f ln ln g' ( ) = f f ( ) = = = =, 0< Για = έχουµε ln g( ) g() d g' () = lim = lim = lim = lim = = f Άρα ln,0 < g' ( ) = f( ) =,= Η f είναι παραγωγίσιµη για 0< (ως πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων) µε ln ln g'' ( ) = f '( ) = ' =, 0< και ( ) ln f( ) () () ln + g'' = f ' = lim = lim = lim = lim = lim = ( ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 8 () () ( ) ( ) Θεωρούµε τη συνάρτηση A()=--ln, >0 η οποία είναι παραγωγίσιµη για κάθε >0 (ως πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων) µε Α ()=-ln-= -ln, >0. Έχουµε Α' > 0 ln > 0 ln < 0 0, ( ) ( ) Α' ( ) < 0 ln < 0 ln > 0 (, + ) 0< < A( ) < A() A( ) < 0

9 ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 > A( ) < A() A( ) < 0 Εποµένως g ()<0 για κάθε >0 και άρα η συνάρτηση g είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) στο (0, + ) (για =, A()=0) f β. Η C f τέµνει τον άξονα των όταν g( ) = d= 0 = = (είναι µοναδική αφού η g είναι «-» ως γνησίως αύξουσα διότι είναι ln,0 < g' ( ) = f( ) = µε >0 για κάθε >0,= [ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Είναι > (ln > 0 και > 0, άρα ln 0 > ) και 0<< (ln<0 και -<0, άρα ln >0)] Άρα το σηµείο τοµής της C g µε τον άξονα των είναι Α(, 0) και είναι µοναδικό. Η εφαπτοµένη της C g στο Α(, 0) είναι y 0= g' ()( ) y= ( ) y= Το εµβαδόν που περικλείεται από τη Cg, την παραπάνω ευθεία και τις ευθείας = και = είναι Ε= g( ) ( ) d ( ) g( ) = d g( ) d g( ) d = = (επειδή η συνάρτηση g είναι κοίλη στο (, ) θα έχουµε g() -, (, ). Για το ζητούµενο ισχύει ισοδύναµα () ( ) ( ) ( ) ( ) Ε< g d< g d< 0 g d= g d> 0 Η τελευταία σχέση είναι αληθής διότι: Η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] και άρα g() g( ) g() 0 g( ), [, ] (η ισότητα ισχύει µόνο για =) Η g δεν είναι παντού µηδέν και είναι συνεχής στο διάστηµα [, ], εποµένως ισχύει ( ) g d> 0, που ήταν το ζητούµενο. 4. Έχουµε διαδοχικά και ισοδύναµα d d ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 9

10 ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 () () f d f d () () f d f d 0 ( ) d 0 () Τώρα έχουµε ln,0 < = > 0για κάθε >0 και,= = η σχέση () ως ισότητα, αφού τότε ( )() Για > > είναι: η συνάρτηση M() = ( ), Εποµένως ( )() f d> 0 f d= 0, 0 0 και άρα (-) 0 και, είναι συνεχής και όχι παντού µηδέν. Για 0<< > είναι, 0 0 και άρα (-) 0 και η συνάρτηση M() = ( ),, είναι συνεχής και όχι παντού µηδέν. Εποµένως ( )() ( )() f d< 0 f d> 0 Εποµένως σε κάθε περίπτωση είναι ( )() f d 0, για κάθε >0. ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΕ Ο ΤΟΜΕΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΟΥΣΗΣ Π. - ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Γ. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Β. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΦΩΤΟΥ Φ. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 0