ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε ένα σωλήνα σχήματος U τοποθετείται ένα άγνωστο υγρό που είναι αδιάλυτο στο νερό και το οποίο έχει πυκνότητα ρ f. Στο αριστερό σκέλος του σωλήνα προστίθεται νερό μέχρις ένα ύψος H=3. cm. Αν η ελεύθερη άνω στάθμη του νερού βρίσκεται σε ύψος L=, cm πάνω από τη δεξιά ελεύθερη στάθμη του άγνωστου υγρού. Να υπολογίσετε την πυκνότητα ρ f του άγνωστου υγρού. Η πυκνότητα του νερού είναι ρ w =1, g/cm 3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=9,8 m/s. H L ΛΥΣΗ Θεωρούμε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο (ΑΒ) που διέρχεται από τη διαχωριστική επιφάνεια των δυο υγρών. Σύμφωνα με την αρχή του Pascal, στα σημεία 1 και του επιπέδου αναφοράς οι πιέσεις p 1 και p είναι ίσες μεταξύ τους: p 1 = p (1) H πίεση στο σημείο (1) είναι ίση με την υδροστατική πίεση της στήλης νερού η οποία βρίσκεται πάνω από το σημείο αυτό και η οποία έχει ύψος H = 3, cm συν την ατμοσφαιρική πίεση p που δρα στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού: p 1 = ρ w gh + p () H πίεση στο σημείο () είναι ίση με την υδροστατική πίεση της στήλης του άγνωστου υγρού η οποία βρίσκεται πάνω από το σημείο αυτό και η οποία έχει ύψος h = H L = 1, cm συν την ατμοσφαιρική πίεση p που δρα στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού: p = ρ f gh + p = ρ f g(h L) + p (3) Από τις Εξισώσεις 1, και 3 παίρνουμε: ρ w gh + p = ρ f g(h L) + p ρ f = Η Η L ρ 3, cm w = 1, cm 1, g/cm3 ρ f = 3, g/cm 3 Α p H p 1 L Β ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται ένα σύστημα τριών συγκοινωνούντων δοχείων τα οποία περιέχουν νερό και τα οποία καταλήγουν σε κατακόρυφους κυλινδρικούς σωλήνες που έχουν ακτίνες r 1 =11, cm, r =8, cm και r 3 =9,8 cm. Τα αντίστοιχα έμβολα που φράσουν τους σωλήνες αυτούς έχουν μάζες m 1 =11 kg, m =61, kg και m 3 =15 kg. Κάτω από τις συνθήκες και στην κατάσταση ισορροπίας, να υπολογίσετε την υψομετρική διαφορά μεταξύ των τριών εμβόλων. Πυκνότητα νερού ρ w = 1 g/cm 3 και g = 9,8 m/s. m 1 m m 3

ΛΥΣΗ Θεωρούμε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο (ΑΒ) που διέρχεται από το έμβολο με μάζα m 3. Το έμβολο με μάζα m 3 βρίσκεται στη θέση με h 3 =. Οι υψομετρικές διαφορές μετρούνται ως προς το επίπεδο (ΑΒ). Σύμφωνα με την αρχή του Pascal, στα σημεία 1, και 3 του επιπέδου αναφοράς οι πιέσεις p 1, p και p 3 είναι ίσες μεταξύ τους: p 1 = p = p 3 (1) H πίεση στο σημείο (1) είναι ίση με την υδροστατική πίεση της στήλης νερού η οποία βρίσκεται πάνω από το σημείο αυτό και η οποία έχει ύψος h 1 συν την πίεση που προκαλεί το βάρος w 1 = m 1 g το βάρος του εμβόλου με μάζα m 1 συν την ατμοσφαιρική πίεση p που δρα πάνω συγκεκριμένο έμβολο: p 1 = ρ w gh 1 + m 1g A 1 + p = ρ w gh 1 + m 1g πr 1 + p () όπου Α 1 = πr 1 είναι το εμβαδό της επιφάνειας του εμβόλου με μάζα m 1. H πίεση στο σημείο () είναι ίση με την υδροστατική πίεση της στήλης νερού η οποία βρίσκεται πάνω από το σημείο αυτό και η οποία έχει ύψος h, συν την πίεση που προκαλεί το βάρος w = m g το βάρος του εμβόλου με μάζα m συν την ατμοσφαιρική πίεση p που δρα πάνω στο συγκεκριμένο έμβολο: p = ρ w gh + m g A + p = ρ w gh + m g πr + p (3) όπου Α = πr είναι το εμβαδό της επιφάνειας του εμβόλου με μάζα m. H πίεση στο σημείο (3) είναι ίση με την πίεση που προκαλεί το βάρος w 3 = m 3 g το βάρος του εμβόλου με μάζα m 3 συν την ατμοσφαιρική πίεση p που δρα πάνω στο συγκεκριμένο έμβολο: p 3 = m 3g A 3 + p = m 3g πr 3 + p (4) Από τις Εξισώσεις 1, και 4 παίρνουμε: p 1 = p 3 ρ w gh 1 + m 1g πr + p = m 3g 1 πr + p ρ w gh 1 + m 1g 3 πr = m 3g 1 πr 3 ρ w h 1 + m 1 πr 1 = m 3 πr 3 h 1 = h 1 =,587 m m 3 πr 3 m 1 πr 1 ρ w = 15 kg 3,14 (,98 m) 11 kg 3,14 (,11 m) 1 kg/m 3 Από τις Εξισώσεις 1, 3 και 4 παίρνουμε: p = p 3 ρ w gh + m g πr + p = m 3g πr + p ρ w gh + m g 3 πr = m 3g πr 3 ρ w h + m πr = m 3 πr 3 h = h 1 =,446 m m 3 πr 3 m πr ρ w = h 1 A h p m m 3 15 kg 3,14 (,98 m) 61, kg 3,14 (,8 m) 1 kg/m 3 m 1 p 1 3 p B

ΑΣΚΗΣΗ 3 Μέσα σε μια δεξαμενή υπάρχουν δυο υγρά τα οποία είναι αδιάλυτα μεταξύ τους και τα οποία έχουν πυκνότητες ρ 1 =,85 g/cm 3 και ρ =1, g/cm 3. Ένας κύβος που είναι κατασκευασμένος από υλικό που έχει πυκνότητα ρ c =,9 g/cm 3 και η ακμή του έχει μήκος α=1, cm τοποθετείται μέσα στη δεξαμενή. Να προσδιορίσετε αριθμητικά τη θέση που θα ισορροπήσει ο κύβος σε σχέση με τη διαχωριστική επιφάνεια των δυο υγρών. ΛΥΣΗ Θεωρούμε ως επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο (ΑΒ) το οποίο ταυτίζεται με τη διαχωριστική επιφάνεια των δυο υγρών. Η πίεση p 1 στην πάνω επιφάνεια του κύβου οφείλεται στην ατμοσφαιρική πίεση p και στην υδροστατική πίεση του υγρό με πυκνότητα ρ 1 σε βάθος h. Η πίεση αυτή είναι ίση με: p 1 = p + ρ 1 gh (1) Η πίεση p AB στη διαχωριστική επιφάνεια (ΑΒ) των δυο υγρών οφείλεται στην ατμοσφαιρική πίεση p και στην υδροστατική πίεση του υγρού με πυκνότητα ρ 1 σε βάθος h+x. H πίεση αυτή είναι ίση με: p ΑΒ = p + ρ 1 g(h + x) (3) Η πίεση p στην κάτω επιφάνεια του κύβου είναι ίση με την πίεση p AB συν την υδροστατική πίεση του υγρού με πυκνότητα ρ σε βάθος a x. Η πίεση αυτή είναι ίση με: p = p ΑΒ + ρ g(α x) = p + ρ 1 g(h + x) + ρ g(a x) (4) Η διαφορά πίεσης Δp μεταξύ κάτω και πάνω επιφάνειας του κύβου είναι ίση με: Δp = p p 1 = p + ρ 1 g(h + x) + ρ g(a x) (p + ρ 1 gh) Δp = p + ρ 1 gh + ρ 1 gx + ρ ga ρ gx p ρ 1 gh Δp = (ρ 1 ρ )gx + ρ ga (5) Η συνισταμένη υδροστατική δύναμη που ασκείται πάνω στον κύβο αντιπροσωπεύει την άνωση F B που υφίσταται ο κύβος. Η άνωση αυτή είναι ίση με: F B = (Δp)A = [(ρ 1 ρ )gx + ρ ga]a (6) όπου Α = α είναι το εμβαδό της πλευρά του κύβου. Επειδή ο κύβος είναι σε στατική ισορροπία, η άνωση F B πρέπει να είναι ίση με το βάρος F G του κύβου: F B = F G = [(ρ 1 ρ )gx + ρ ga]a = m c g = ρ c V c g = ρ c a 3 g [(ρ 1 ρ )x + ρ a]ga = ρ c a 3 g (ρ 1 ρ )x + ρ a = ρ c α (ρ 1 ρ )x = ρ c α ρ a = (ρ c ρ )α x = ρ c ρ ρ 1 ρ a x = (,9 g/cm3 ) (1, g/cm 3 ) (,85 g/cm 3 ) (1, g/cm 3 (1, cm) x = 6,67 cm ) h x A a x p B

ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένα κουτί αναψυκτικού των 455 ml έχει διάμετρο d=6, cm και μάζα m κ =, g. Το κουτί αυτό μισογεμάτο με νερό επιπλέει όρθιο στην ελεύθερη επιφάνεια νερού. Να υπολογίσετε το μήκος του κουτιού που βρίσκεται πάνω από την επιφάνεια του νερού; Η πυκνότητα του νερού είναι ρ ν = 1,g/cm 3. ΛΥΣΗ Από τον όγκο V κ = 455 ml = 455 cm 3 και τη διάμετρο sd κ = 6, cm του κουτιού βρίσκουμε το ύψος l κ του κουτιού: V κ = πd 4 l l κ = 4V πd = 4 455cm 3,14 6, cm l κ = 15,1 cm Επειδή το κουτί περιέχει μέχρι τη μέση νερό, η μάζα m ν του νερού θα είναι ίση με: l κ h V κ 455 cm3 m ν = ρ ν = 1, g/cm3 m ν = 8 g To βάρος F G του κουτιού μαζί με το νερό (σε Newton) είναι: F G = (m κ + m ν )g = (,kg +,8kg) 9,8 m/s F G =,43 N Επειδή το κουτί ισορροπεί, το βάρος F G πρέπει να είναι ίσο με την άνωση F B που υφίσταται. Αν h είναι το μήκος του τμήματος του κουτιού που βρίσκεται πάνω από την επιφάνεια του νερού, τότε η άνωση που θα ασκείται πάνω στο κουτί θα προκύπτει από τον όγκο V του κουτιού που είναι βυθισμένο στο νερό: F B = ρ ν gv = ρ ν g πd 4 (l κ h) Συνθήκη Ισπρροπίας: F B = F G ρ ν g πd 4 (l κ h) = F G l κ h = 4F G πρ ν gd h = l κ 4F G πρ ν d =,151 m 4 (,43 N) 3,14 (1 kg m 3) (9,8 m s) (,6 m) h =,688 m ή h = 6,88 cm ΑΣΚΗΣΗ 5 Στο διπλανό υδραυλικό σύστημα ο κατακόρυφος λεπτός σωλήνας έχει διάμετρο d 1 =4, cm και ύψος μεγαλύτερο από ένα μέτρο. Το κυλινδρικό δοχείο έχει ύψος h =6, cm και διάμετρο βάσης d =, cm. Το υδραυλικό σύστημα γεμίζει με νερό μέχρι ότου το ύψος του νερού μέσα στον κατακόρυφο λεπτό σωλήνα να γίνει ίσο με h 1 =1, cm και στη συνέχεια φράσσεται με κινούμενο έμβολο το οποίο έχει μάζα m=1, kg. Να υπολογίσετε: (α) Τη δύναμη που ασκεί το ρευστό στη βάση Α του κυλινδρικού δοχείου. (β) Τη δύναμη που ασκεί το ρευστό στη βάση Β του κυλινδρικού δοχείου. Α B

ΛΥΣΗ Σύμφωνα με την αρχή του Pascal, και στις δυο βάσεις (βάσεις Α και Β) επιδρούν η ατμοσφαιρική πίεση που υπάρχει στο άνοιγμα του κατακόρυφου σωλήνα καθώς και η πίεση που οφείλεται στο βάρος του εμβόλου: Ατμοσφαιρική πίεση: P = 114 Pa. Πίεση P G λόγω του βάρους F G = mg του εμβόλου: P G = F G A 1 = mg πd 1 4 P G = 78 Pa = 4mg πd 1 = 4(1,kg)(9,8 m/s ) 3,14 (,4 m) όπου Α είναι το εμβαδό της διατομής του κατακόρυφου λεπτού σωλήνα. Η δύναμη F A που ασκείται στην βάση Α: Εκτός από την ατμοσφαιρική πίεση και την πίεση λόγω του βάρους του εμβόλου, στη βάση Α ασκείται και η υδροστατική πίεση Ρ 1 λόγω της στήλης του νερού που βρίσκεται πάνω από το οριζόντιο επίπεδο που ορίζεται από τη βάση Α: P 1 = ρ ν g (h 1 h ) = (1 kg/m 3)(9,8 m/s ) (1, m,6 m ) P 1 = 686 Pa Η συνολική πίεση P A στη βάση Α είναι ίση με: P A = P + P G + P 1 = 114 Pa + 78 Pa + 686 Pa P A = 186 Pa Η δύναμη που ασκείται πάνω στην κυκλική βάση Α, η οποία έχει εμβαδό Α, είναι ίση με: πd 3,14 (, m) F A = P A A = P A = (186 Pa) 4 4 Η δύναμη F B που ασκείται στην βάση B: F A = 584 N Εκτός από την ατμοσφαιρική πίεση και την πίεση λόγω του βάρους του εμβόλου, στη βάση B ασκείται και η υδροστατική πίεση Ρ λόγω της στήλης του νερού που βρίσκεται πάνω από το οριζόντιο επίπεδο που ορίζεται από τη βάση B: P = ρ ν g (h 1 + h ) = (1 kg/m 3)(9,8 m/s ) (1, m +,6 m ) P = 17 Pa Η συνολική πίεση P A στη βάση Α είναι ίση με: P A = P + P G + P = 114 Pa + 78 Pa + 17 Pa P A = 19 Pa Η δύναμη που ασκείται πάνω στην κυκλική βάση Α, η οποία έχει εμβαδό Α, είναι ίση με: F A = P A A = P A πd 4 3,14 (, m) = (19 Pa) 4 h 1 +h / F A = 6 N d 1 h 1 h 1 h / Α B d h

ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένα κυλινδρικό δοχείο επιπλέει στο νερό το οποίο βρίσκεται μέσα σε ένα άλλο μεγαλύτερο κυλινδρικό δοχείο του οποίου το εμβαδό της βάσης του είναι Α=314 cm. Στο κυλινδρικό δοχείο που επιπλέει τοποθετείται μια μάζα m =,5 kg και η στάθμη του νερού ανέρχεται κατά διάστημα ΔΗ. Να υπολογίσετε το διάστημα ΔΗ. Η πυκνότητα του υγρού είναι ρ υ =1,4 g/cm 3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 9,8 m/s. ΛΥΣΗ ΔH h 1 A 1 m h Σχήμα της Άσκησης φαίνονται οι θέσεις του εσωτερικού κυλινδρικού σε σχέση με την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Συμβολίζουμε με m δ τη μάζα του εσωτερικού κυλίνδρου. Αρχική Κατάσταση: Το εσωτερικό δοχείο χωρίς το σώμα μάζας m. Συνθήκη Ισορροπίας: Άνωση F B1 = Βάρος Κυλίνδρου F Gδ F B1 = F Gδ ρ υ gh 1 A 1 = m δ g (1) Όγκος υγρού: V 1 = A A 1 h 1 () Τελική Κατάσταση: Το εσωτερικό δοχείο μαζί με το σώμα μάζας m. Συνθήκη Ισορροπίας: Άνωση F B = Βάρος Κυλίνδρου F Gδ και Βάρος Μάζας F B = F Gδ + mg ρ υ gh A 1 = m δ g + mg (3) Όγκος υγρού: V = A A 1 h (4) Και στις δυο καταστάσεις, η ποσότητα του υγρού (δηλαδή ο όγκος του υγρού), παραμένει η ίδια. Κατά συνέπεια, V 1 = V. Οπότε, από τις Εξισώσεις και 4 παίρνουμε: A A 1 h 1 = A A 1 h A 1 h A 1 h 1 = A A = A( ) A 1 (h h 1 ) = A(ΔΗ) (5) A Αφαιρούμε κατά μέλη την Εξίσωση 1 από την Εξίσωση : ρ υ gh A 1 ρ υ gh 1 A 1 = m δ g + mg m δ g ρ υ ga 1 (h h 1 ) = mg (6) Αντικαθιστώντας την Εξίσωση 5 στην Εξίσωση 6 παίρνουμε: ρ υ gα(δη) = mg ΔH = m ρ υ A = (,5kg) (14kg/m 3 )(314 1 4 m ) ΔH =,18 m

ΑΣΚΗΣΗ 7 Ένα πλοίο με κατακόρυφα πλαϊνά τοιχώματα και συνολικής μάζας M=1,1x1 8 kg (μάζα πλοίου + μάζα φορτίου), έχει ένα βύθισμα μέσα στη θάλασσα που είναι ίσο με h =11, m και ένα εκτόπισμα όγκου θαλασσινού νερού που είναι ίσο με V. Το πλοίο πρόκειται να εισέλθει από τη θάλασσα σε ένα ποτάμι. Για να μη κολλήσει το πλοίο στην κοίτη του ποταμού, αποβάλλει έρμα στη θάλασσα έτσι ώστε η συνολική μάζα του πλοίου να μειώνεται κατά Δm=1,7x1 7 kg, οπότε το βύθισμα του πλοίου μέσα στη θάλασσα γίνεται ίσο με h 1 =1,5 m και το αντίστοιχο εκτόπισμα όγκου θαλασσινού νερού γίνεται ίσο με V 1. Όταν το πλοίο ταξιδεύει στο ποτάμι, το βύθισμά του είναι h και το αντίστοιχο εκτόπισμα όγκου είναι V. Οι πυκνότητες του θαλασσινού νερού και του νερού του ποταμού είναι αντίστοιχα ρ θ =1,5 g/cm 3 και ρ π =1, g/cm 3. Να υπολογίσετε: (α) Το εκτόπισμα όγκου V. (β) Το εμβαδό Α μιας οριζόντιας τομής του πλοίου. (γ) Τη διαφορά V V 1 όπου V και V 1 είναι το εκτόπισμα όγκου του πλοίου μέσα στο νερό του ποταμού και μέσα στο θαλασσινό νερό, αντίστοιχα. (δ) Το βύθισμα h του πλοίου μέσα στο νερό του ποταμού. ΛΥΣΗ h h 1 V V 1 h h V V V V 1 V 1 h 1 h V h V h 1 Το πλοίο στη θάλασσα Το πλοίο στη θάλασσα Το πλοίο στο ποτάμι με έρμα χωρίς έρμα χωρίς έρμα (α) Το πλοίο με έρμα στη θάλασσα: Συνθήκη ισορροπίας: Άνωση F B = Βάρος πλοίου+φορτίου F G ρ θ gv = Mg V = M ρ θ (1) V = 1,1 18 kg 15 kg/m 3 V = 1,9 1 5 m 3 (β) Το πλοίο χωρίς έρμα στη θάλασσα: Συνθήκη ισορροπίας: Άνωση F B1 = Βάρος πλοίου-φορτίου F G μείον βάρος έρματος ρ θ gv 1 = Mg (Δm)g V 1 = M Δm ρ θ ()

Αφαιρώντας το έρμα, το πλοίο αναδύεται από τη θάλασσα κατά διάστημα h h 1. Αν Α είναι το εμβαδό της οριζόντιας διατομής του πλοίου, τότε ο όγκος του πλοίου που αναδύεται είναι ίσος με: ΔV 1 = V V 1 = A(h h 1 ) A = V M M Δm V 1 ρ = θ ρ θ h h 1 h h 1 A = Δm ρ θ (h h 1 ) A = (γ) Το πλοίο χωρίς έρμα στο ποτάμι: 1,7 1 7 kg (15kg/m 3 )(11,m 1,5m) A = 9 m Συνθήκη ισορροπίας: Άνωση F B1 = Βάρος πλοίου-φορτίου F G μείον βάρος έρματος ρ π gv = Mg (Δm)g V = V V 1 = M Δm ρ π M Δm ρ π (3) M Δm ρ θ V V 1 = V V 1 = (1,1 18 kg 1,7 1 7 kg) 15kg/m 3 ( 15kg/m3 1kg/m 3 1) V V 1 = 47 m 3 (δ) Το πλοίο χωρίς έρμα στο ποτάμι: M Δm ( ρ θ 1) (4) ρ θ ρ π Το πλοίο βυθίζεται περισσότερο μέσα στο ποτάμι έτσι ώστε το νέο βύθισμά του να είναι ίσο με το ζητούμενο βύθισμα h. Σε σχέση με τη θάλασσα, το πλοίο μέσα στο ποτάμι βυθίζεται κατά διάστημα h h 1. Ο επί πλέον όγκος ΔV 1 του πλοίου που βυθίζεται μέσα στο ποτάμι είναι ίσος με: ΔV 1 = V V 1 = A(h h 1 ) h h 1 = V V 1 A h = h 1 + V V 1 A h = 1,5 m + 47 m3 9 m h = 1,6 m ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένας καταδυτικός κυλινδρικός κώδωνας που έχει βάρος F G βυθίζεται μέσα στη θάλασσα μέχρι ένα βάθος Η. Να υπολογίσετε: α. Το ύψος h της στάθμης του νερού μέσα στον καταδυτικό κώδωνα. β. Τη δύναμη F με την οποία πρέπει να συγκρατείται o κώδωνας στο βάθος Η. γ. Το βάθος Η στο οποίο η δύναμη F του ερωτήματος β είναι μηδέν. Δίνονται: Η διάμετρος του κώδωνα d=3, m, το ύψος του κώδωνα l=3, m, η μάζα του κώδωνα m=8,165x1 3 kg, το βάθος H =, m, η ατμοσφαιρική πίεση Ρ = 1,13 Pa, η πυκνότητα του αέρα ρ α =1,5 kg/m 3 και η επιτάχυνση βαρύτητας g=9,8 m/s. Δίνεται επίσης και ο νόμος των Boyle και Marriot: pv=σταθερό, όπου p είναι η πίεση μέσα σε ένα όγκο V όταν η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή.

ΛΥΣΗ (α) Όταν ο κώδωνας είναι έξω από τη θάλασσα, ο όγκος του αέρα που υπάρχει μέσα σε αυτόν είναι ίσος με τον όγκο V του κώδωνα και η πίεσή του είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση p. Όταν ο κώδωνας βυθίζεται κατακόρυφα μέσα στη θάλασσα το νερό που εισέρχεται μέσα σε αυτόν συμπιέζει τον αέρα που εγκλωβίζεται έτσι ώστε στο επιλεγμένο βάθος H ο όγκο του αέρα και η πίεσή του να είναι V και p, αντίστοιχα. Με την προϋπόθεση ότι η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το νόμο των Boyle Marriot: pv = p V (1) Ατμοσφαιρική πίεση: p = 114 Pa () p V d F l Αρχικός όγκος κώδωνα: V = πd l (3) 4 H στάθμη του νερού σταματά να ανέρχεται όταν η πίεση p του εγκλωβισμένου αέρα γίνει ίση με την υδροστατική πίεση p υ στην επιφάνεια του νερού μέσα στον κώδωνα η οποία βρίσκεται σε βάθος (H h): H p V h p = p υ = p + ρ θ g(h h) (4) Όγκος εγκλωβισμένου αέρα: V = πd (l h) (5) 4 Από τις Εξισώσεις 1, 3, 4 και 5 παίρνουμε: [p + ρ θ g(h h)] πd 4 (l h) = p πd 4 l [p + ρ θ g(h h)](l h) = p l h ( p + H + l) h + Hl = (6) ρ θ g h = ( p ρ θ g + H + l) ( p ρ θ g + H + l) 4Hl (7) Η δεύτερη ρίζα τη δευτεροβάθμιας Εξίσωσης 6 απορρίπτεται, αφού το προκύπτον h είναι μεγαλύτερο από το ύψος l του κώδωνα. p 113 Pa + H + l = ρ θ g (1 kg/m 3 )(9,8 m/s +, m + 3, m = 35,1 m ) 4Hl = 4(, m)(3, m) = 64 m Οπότε, από την Εξίσωση 7 παίρνουμε: h = 35,1 m (35,1 m) 64 m h = 1,99 m (β) Υπολογισμός της δύναμης F που συγκρατεί των κώδωνα στο βάθος των, m.

Πάνω στον κώδωνα ασκούνται οι εξής δυνάμεις: Το βάρος F G του κώδωνα με φορά προς τα κάτω: F G = mg = (8165kg) ( 9,8m s ) 8N (8) Το βάρος F α της ποσότητας του αέρα που είναι εγκλωβισμένος μέσα στον κώδωνα. Η ποσότητα αυτή είναι ίση με την ποσότητα του αέρα που βρίσκονταν μέσα στον κώδωνα πριν αυτός βυθιστεί στο νερό. Πριν ο κώδωνας βυθιστεί μέσα στο νερό, η πίεση του αέρα μέσα στον κώδωνα είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση P και ο όγκος του αέρα είναι ίσος με τον αρχικό όγκο V που δίνεται στην Εξίσωση 3. Στις συνθήκες αυτές η πυκνότητα του αέρα είναι ίση με ρ α = 1,5 kg/m 3. Οπότε το βάρος του αέρα είναι ίσο με: F a = ρ α gv = ρ α g πd 4 l (9) F a = (1,5 kg m 3 )(9,8m s 3,14 (3, m) ) (3,m) F 4 a = 6 kg Η άνωση F B. Δεδομένου ότι το πάχος των τοιχωμάτων του κώδωνα είναι πολλές φορές μικρότερο από τις διαστάσεις του κώδωνα, ο όγκος του θαλασσινού νερού που εκτοπίζεται από τον κώδωνα είναι πρακτικά ίσος με τον όγκο του εγκλωβισμένου αέρα, (βλέπε Εξίσωση 5), όπου h = 1,99 m. Οπότε, η άνωση θα είναι ίση με: F B = ρ θ gv = ρ θ g πd 4 (l h) (1) F B = (1kg/m 3 )(9,8m/s 3,14 (3, m) ) (3,m 1,99 m) 4 F B = 7133 N Στο βάθος Η =, m η συνισταμένη των δυνάμεων είναι ίση με: F net = F B F G F a = 7133 N 88 Ν 6 Ν F net = 893 Ν Για να ισορροπήσει ο κώδωνας σε βάθος H =, m πρέπει πάνω σε αυτόν να ασκήσουμε μια ίση και αντίθετη δύναμη F: F = +893 N (γ) Το βάθος Η στο οποίο η δύναμη F του ερωτήματος β είναι μηδέν. Από την Εξίσωση 7 προκύπτει ότι σε βάθος Η = 3, m (ο κώδωνα είναι οριακά καλυμμένος από το νερό) το ύψος του νερού μέσα στον κώδωνα θα είναι h =,578 m. Στην περίπτωση αυτή, από την Εξίσωση 1 βρίσκουμε ότι η αντίστοιχη άνωση που θα ασκείται πάνω στον κώδωνα θα με F B = 171 N > F G = 8 N. Αυτό σημαίνει ότι, αρχικά για να βυθιστεί ο κώδωνας σε μεγαλύτερα βάθη πρέπει να ασκούμε πάνω σε αυτό κατάλληλη δύναμη με φορά προς τα κάτω. Όσο όμως ο κώδωνας μετατοπίζεται σε μεγαλύτερα βάθη, το ύψος της στάθμης του νερού μέσα σε αυτόν θα αυξάνεται με αποτέλεσμα να μειώνεται όγκος του εγκλωβισμένου αέρα και κατά συνέπεια να μειώνεται και η αντίστοιχη άνωση. Με άλλα λόγια, όσο ποιο βαθιά βρίσκεται ο κώδωνας τόσο ποιο μικρή θα είναι και η δύναμη που θα τον συγκρατεί στο αντίστοιχο βάθος. Αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχει ένα οριακό βάθος Η στο οποίο η στάθμη του νερού μέσα στον κώδωνα θα είναι h και η συνισταμένη δύναμη F net που θα ασκείται πάνω στον κώδωνα θα είναι ίση με το μηδέν:

F net = F B F G F a = ρ θ g πd 4 (l h ) mg ρ α g πd 4 l = l h = 4m πρ θ + ρ α ρ θ l h = (1 ρ α ρ θ ) l h = 1,86 m 4m πd = (1 1,5kg/m3 ρ θ 1kg/m 3) (3,m) 8165kg 3,14(1kg/m 3 ) Για να υπολογίσουμε το βάθος H στο οποίο η συνισταμένη δύναμη που ασκείται πάνω στον κώδωνα είναι ίση με μηδέν χρησιμοποιούμε το νόμο των Boyle-Marriot (Εξίσωση 1 μαζί με τις Εξισώσεις, 3 και 4) με τη διαφορά ότι στις Εξισώσεις 3 και 4 αντικαθιστούμε το ύψος h με το ύψος h : pv = p V (p + ρ θ g(η h )) πd 4 (l h πd ) = p 4 l l l p + ρ θ g(η h ) = p p l h + ρ θ gη ρ θ gh = p l h l ρ θ gη = p p l h + ρ θ gh Η = p ρ θ g ( l 1) + h l h p h Η = ρ θ g(l h ) + h p Η = ( ρ θ g(l h ) + 1) h (11) 113 Pa Η = ( (1 kg m )(9,8 m s )(3,m 1,86m) + 1) (1,86m/s ) Η = 18,4 m ΑΣΚΗΣΗ 9 Ο πυθμένας ενός σκάφους (μιας ρυμουλκούμενης φορτηγίδας) που είναι κατασκευασμένο από ατσάλινη λαμαρίνα έχει μήκος l = 5, m, πλάτος d =, m και πάχος w 1 =, m. Τα πλευρικά τοιχώματα του πλοίου είναι κατασκευασμένα και αυτά από ατσάλινη λαμαρίνα έχουν ύψος h =1,5 m και πάχος w =,5 cm. Να υπολογίσετε (α) Το βύθισμα του σκάφους στη θάλασσα όταν αυτό είναι άδειο (β) Το μέγιστο φορτίο που μπορεί να μεταφέρει το συγκεκριμένο σκάφος χωρίς αυτό να βυθιστεί. Πυκνότητα ατσάλινης λαμαρίνας ρ λ = 8, g/cm 3. Πυκνότητα θαλασσινού νερού ρ θ = 1, g/cm 3. Επιτάχυνση βαρύτητας g = 9,8 m/s. ΛΥΣΗ (α) Συμβολίζουμε με h x το βύθισμα του σκάφους όταν αυτό είναι άδειο. Στην περίπτωση αυτή ο όγκος V x του σκάφος που είναι βυθισμένο στη θάλασσα θα είναι ίσο με: V x = ldh x (1)

Ο βυθισμένος αυτός όγκος υφίσταται άνωση: F Bx = ρ θ gv x F Bx = ρ θ gldh x () Επειδή το άδειο σκάφος ισορροπεί, το βάρος του θα πρέπει να είναι ίσο με την άνωση που υφίσταται. Το βάρος F G του σκάφους είναι ίσο με το βάρος F 1 του d πυθμένα συν το βάρος F των πλευρικών τοιχωμάτων. Ο πυθμένας έχει μήκος l, πλάτος d και πάχος w 1 και όγκο (V πυθμένα )= ldw 1. Οπότε το βάρος του πυθμένα θα είναι ίσο με: F 1 = ρ λ (V πυθμένα )g = ρ λ ldw 1 g (3) Τα πλευρικά τοιχώματα του σκάφους έχουν συνολικό μήκος (d + l), ύψος h και πάχος w και όγκο (V πλευρών )= (l+d)hw. Οπότε, το βάρος των πλευρικών τοιχωμάτων θα είναι ίσο με: F = ρ λ (V πλευρών )g = ρ λ (l + d)hw g (4) Το συνολικό βάρος του σκάφους θα είναι ίσο με: F G = F 1 + F = ρ λ ldw 1 g + ρ λ (l + d)hw g (5) Συνθήκη ισορροπίας: F Bx = F G ρ θ gldh x = ρ λ ldw 1 g + ρ λ (l + d)hw g h x = ρ λldw 1 + ρ λ (l + d)hw ρ θ ld h x = 8 kg m3 1 kg m 3 (, m + h x =,39 m = ρ λ ρ θ (w 1 + h x (l + d)h w ld ) (5,m +,m)(1,5m) (,5 m)) (5,m)(,m) l h (β) Συμβολίζουμε με m x τη μάζα του μέγιστου φορτίου που μπορεί να δεχθεί το σκάφος χωρίς αυτό να βυθιστεί. Με το φορτίο αυτό, το βύθισμα του σκάφους θα είναι οριακά ίσο με το ύψος h των πλευρικών τοιχωμάτων του. Στην περίπτωση αυτή, το συνολικό βάρος F net του σκάφους θα είναι ίσο με: F net = (βάρος σκάφους) + (βάρος μέγιστου φορτίου) F net = ρ λ ldw 1 g + ρ λ (l + d)hw g + m x g (6) και η άνωση θα είναι ίση με: F Bh = ρ θ gv h F Bx = ρ θ gldh (7) Συνθήκη ισορροπίας: F Bh = F net ρ θ gldh = ρ λ ldw 1 g + ρ λ (l + d)hw g + m x g m x = ρ θ ldh ρ λ ldw 1 ρ λ (l + d)hw = (ρ θ h ρ λ w 1 )ld ρ λ (l + d)hw m x = [(1kg/m )(1,5m) (8 kg/m )(,m)](5,m)(,m) (8 kg/m 3 )(5,m +,m)(1,5m)(,5m) m x = 186 kg

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας κύλινδρος, που είναι κατασκευασμένος από υλικό που έχει πυκνότητα ρ, έχει ύψος l και διάμετρο βάσης d. Ο κύλινδρος αυτός επιπλέει εντός υγρού που έχει πυκνότητα ρ f με τον άξονά του να είναι κατακόρυφος. Όταν ο κύλινδρος είναι σε ισορροπία, το τμήμα αυτού που είναι βυθισμένο έχει μήκος h. (α) Να αποδείξετε ότι h=(ρ /ρ f )l. (β) Υποθέστε ότι ο κύλινδρος έχει μετατοπιστεί κατά διάστημα y πάνω από τη θέση ισορροπίας. Να προσδιορίσετε τη σχέση που δίνει την συνισταμένη δύναμη που ασκείται πάνω στον κύλινδρο συναρτήσει των δεδομένων του προβλήματος. ΛΥΣΗ Επειδή ο κύλινδρος ισορροπεί μέσα στο υγρό, το βάρος του F G πρέπει να είναι ίσο με την άνωση F B : F B = F G (1) F B = mg = ρ V c g = ρ Alg () όπου V c = Al είναι ο όγκος του κυλίνδρου και A είναι το εμβαδό της βάσης του κυλίνδρου. F G = ρ f gv B = ρ f gah (3) όπου V B = Ah είναι ο όγκος του βυθισμένου κυλίνδρου. Από τις Εξισώσεις 1, και 3 παίρνουμε: ρ Alg = ρ f gah ρ l = ρ f h h = ( ρ ρ f ) l h F B F G l ΑΣΚΗΣΗ 11 Να προσδιορίσετε τη σχέση που συνδέει την ατμοσφαιρική πίεση p() με την απόσταση από την επιφάνεια της θάλασσας. Επίσης να υπολογίσετε το ύψος (από την επιφάνεια της θάλασσας) στο οποίο η ατμοσφαιρική πίεση p( )=p /e. Δίνονται: Η υδροστατική πίεση και η πυκνότητα του αέρα στην επιφάνεια της θάλασσας είναι p =11,3 kpa και ρ =1,17 kg/m 3, αντίστοιχα. Η θερμοκρασία T και η επιτάχυνση της βαρύτητας g σε όλο το ύψος της τροπόσφαιρας είναι περίπου σταθερά. Η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων pv = nrt, δεδομένου ότι ο ατμοσφαιρικός αέρας μπορεί να θεωρηθεί ως ιδανικό αέριο σταθερής θερμοκρασίας T. ΛΥΣΗ Στην καταστατική εξίσωση των αερίων, η παράμετρος n είναι ο αριθμός των γραμμομορίων αέρα που βρίσκεται σε όγκο V υπό πίεση p και θερμοκρασία T. Η παράμετρος R είναι η παγκόσμια σταθερά των αερίων. Εξ ορισμού, ο αριθμός n των γραμμομορίων ισούτε με τη μάζα m του αέρα που βρίσκεται στον όγκο V δια του μέσου μοριακού βάρους Μ του αέρα:

n = m M Οπότε, από την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων παίρνουμε: pv = nrt = m Μ RT p = m RT V M όπου ρ=m/v είναι η πυκνότητα του αέρα. Στην επιφάνεια της θάλασσας: p = ρ RT M p = ρ RT M (1) Σε ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας: p = ρ RT M Διαιρώντας κατά μέλη τις Εξισώσεις 1 και παίρνουμε: p = ρ (3) p ρ Σε ύψος θεωρούμε μια στοιχειώδη κυλινδρική στήλη αέρα ύψους d και εμβαδού βάσης Α. Στην υψομετρική διαφορά d> η μεταβολή της πίεσης είναι dp είναι αρνητική (η πίεση μικραίνει όσο το μεγαλώνει) και ίση με: dp = ρd (4) όπου ρ είναι η πυκνότητα του αέρα στο ύψος. Από τις Εξισώσεις 3 και 4 έχουμε: dp = ρ p pgd dp p = ρ g p d (5) Ολοκληρώνοντας την Εξίσωση 5 από το ύψος = έως το ύψος βρίσκουμε την πίεση συναρτήσει του ύψους : p dp p p = ρ g p d ln ( p p ) = ρ g p lnp p p p p = e = ρ g p ρ g p () p() = p e ρ g p lnp lnp = ρ g p Στην Εξίσωση 6 θέτουμε όπου p()=p( )=p /e για να υπολογίσουμε το αντίστοιχο ύψος : p e = p e ρ g p 1 ρ e = g e p + ρ g e = e p + ρ g ln (e) = ln (e p ) 1 = ρ g p = p ρ g = 113 Pa (1,17 kg/m )(9,8 m/s ) = 883 m +d = d (6) ΑΣΚΗΣΗ 1 Η οροφή μια κυλινδρικής δεξαμενής νερού είναι που έχει ακτίνα βάσης R=1, m είναι ημισφαιρική με ακτίνα R, είναι κατασκευασμένη από μέταλλο, έχει μάζα m=135 kg και φέρει μικρή οπή στην κορυφή της. Η οροφή αυτή είναι βιδωμένη υδατοστεγώς στο άνω χείλος της κυλινδρική δεξαμενής με 16

βίδες. Να υπολογίσετε το μέτρο και τη φορά της δύναμης που ασκείται πάνω σε κάθε βίδα. ΛΥΣΗ Διαιρούμε τον ημισφαιρικό θόλο σε στενές κυκλικές λωρίδες πλάτους ds η κάθε μια από αυτές. Επιλέγουμε μια τυχαία λωρίδα η οποία έχει ακτίνα r και απέχει από τη βάση του θόλου απόσταση. Η ελεύθερη στάθμη του υγρού που είναι μέσα στο θόλο βρίσκεται στην κορυφή του θόλου εκεί όπου είναι η οπή. Η ατμοσφαιρική πίεση δεν επηρεάζει τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο θόλο επειδή η πίεση αυτή υπάρχει και εντός του θόλου λόγω της οπής. Όλα τα σημεία που είναι πάνω στην επιλεγμένη λωρίδα βρίσκονται στο ίδιο βάθος h και ως εκ τούτου δέχονται την ίδια υδροστατική πίεση: p = ρ ν gh = ρ ν g(r ) (1) όπου ρ ν =1 kg/m 3 είναι η πυκνότητα του νερού. Λόγω αυτής της υδροστατικής πίεσης, σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της επιλεγμένης λωρίδας ασκούνται ίσες κάθετες δυνάμεις df οι οποίες αναλύονται σε δυο συνιστώσες. Στην οριζόντια df x και στην κατακόρυφη df y. Σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της επιλεγμένης λωρίδας η οριζόντια συνιστώσα df x είναι ίση και αντίθετη με την αντίστοιχη οριζόντια συνιστώσα df x της δύναμης που ασκείται πάνω σε αντιδιαμετρικό στοιχειώδες τμήμα της λωρίδα. Οι οριζόντιες αυτές συνιστώσες αλληλοεξουδετερώνονται με αποτέλεσμα οι συνιστώσες αυτές να μην επηρεάζουν τη συνολική δύναμη που ασκείται πάνω στις βίδες που κρατούν τον ημισφαιρικό θόλο στην δεξαμενή νερού. Οι δυνάμεις που καταπονούν τις βίδες αυτές είναι οι κατακόρυφες συνιστώσες df y οι οποίες είναι ίσες με: df y = df sin θ () Η υδροστατική δύναμη df ασκείται σε ένα πολύ μικρό τμήμα της επιλεγμένης λωρίδας. Η συνολική δύναμη df που ασκείται πάνω σε ολόκληρη τη λωρίδας θα είναι ίση με: df = (υδραστατική πίεση) (εμβαδό επιφάνειας λωρίδας) (3) (εμβαδό επιφάνειας λωρίδας) = πr(ds) (4) θ df x όπου (πr) είναι το μήκος της περιφέρειας της λωρίδας και ds είναι το πλάτος της λωρίδας. Οπότε από τις Εξισώσεις 1, 3 και 4 βρίσκουμε τη συνολική δύναμη που ασκείται πάνω στην επιλεγμένη λωρίδα: df = ρ ν g(r )πr(ds) = πρ ν g(r )r(ds) (5) Από τις Εξισώσεις και 5 βρίσκουμε τη συνολική κατακόρυφη δύναμη df y που ασκείται πάνω στη λωρίδα: df y = dfsin θ df y = πρ ν g(r )r(ds) sin θ (6) Για να βρούμε τη συνολική δύναμη F y, η οποία σπρώχνει προς τα πάνω τον ημισφαιρικό θόλο, πρέπει να ολοκληρώσουμε την Εξίσωση 6. Για να γίνει η ολοκλήρωση πρέπει η Εξίσωση αυτή να εκφραστεί ως προς μια μόνο μεταβλητή. Για ευκολία μας επιλέγουμε τη γωνία θ ως τη μόνη μεταβλητή στην Εξίσωση 6. Η γωνία θ= αντιστοιχεί στην πρώτη λωρίδα που βρίσκεται στη βάση του θόλου. Η γωνία θ=(π/) αντιστοιχεί στην τελευταία λωρίδα που df df y h θ r R df y ds r dθ θ df df x

βρίσκεται στην κορυφή του θόλου. Κατόπιν τούτων, με τη βοήθεια του σχήματος, εκφράζουμε τις παραμέτρους, r και ds συναρτήσει της γωνίας θ: = Rsinθ, r = Rcosθ και ds = R dθ (7) Οπότε, η Εξίσωση 6 γράφεται: df y = πρ ν g(r Rsinθ)Rcosθ R dθ sin θ df y = πρ ν gr 3 cosθ sin θ dθ πρ ν gr 3 sin θ cos θ dθ p/ F y = df y = (πρ ν gr 3 cosθ sin θ dθ πρ ν gr 3 sin θ cos θ dθ) π/ π/ F y = πρ ν gr 3 sin θ cos θ dθ πρ ν gr 3 sin θ cos θ dθ π/ π/ F y = πρ ν gr 3 sin θ d(sin θ) πρ ν gr 3 sin θ d(sin θ) F y = πρ ν gr 3 [ 1 π/ sin θ] F y = 1 3 πρ νgr 3 (8) πρ ν gr 3 [ 1 π/ 3 sin3 θ] = πρ ν gr 3 3 πρ νgr 3 F y F y = 1 3 3,14 (1 kg/m3 ) (9,8 m/s ) (1, m) 3 F y = 13 N Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται πάνω στον ημισφαιρικό θόλο είναι: F net = F y (βάρος θόλου) = 1 3 πρ νgr 3 mg = (13 N) (135 kg)(9,8 m/s ) F net = 898 N Η δύναμη F που ασκείται πάνω σε κάθε μια από τις 16 βίδες που συγκρατούν τον ημισφαιρικό θόλο στο επάνω μέρος της δεξαμενής θα είναι ίση με: F = F net 16 = 898 N 16 F = 56 N ΑΣΚΗΣΗ 13 Ένα κωνικό πώμα το οποίο έχει μάζα m =,9 g κλείνει την οπή εκροής μιας δεξαμενής νερού η οποία έχει ακτίνα R 1 =R=,5 cm. Ο κώνος έχει ύψος H=1, cm και η βάση του που έχει ακτίνα R = R =1, cm, είναι σε οριζόντια θέση και βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τη στάθμη του νερού. Να υπολογίσετε τη δύναμη που πρέπει να ασκήσετε πάνω στο πώμα για να ανοίξει η οπή εκροής της δεξαμενής. ΛΥΣΗ Διαιρούμε την κωνική επιφάνεια σε στενές κυκλικές λωρίδες πλάτους ds η κάθε μια από αυτές. Επιλέγουμε μια τυχαία λωρίδα η οποία έχει ακτίνα r και απέχει από τον πυθμένας της

δεξαμενής απόσταση. Επειδή η βάση του κωνικού πώματος και η ελεύθερη στάθμη του νερού είναι εκτεθειμένες στην ατμόσφαιρα, η ατμοσφαιρική πίεση δεν επηρεάζει τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω στην κωνική επιφάνεια. df y df df df y θ θ df x df x h Α Γ R = R Β R = R r Δ R 1 = R r θ dr ds h H = θ Ο Όλα τα σημεία που είναι πάνω στην επιλεγμένη λωρίδα βρίσκονται στο ίδιο βάθος h και ως εκ τούτου δέχονται την ίδια υδροστατική πίεση: p = ρ ν gh = ρ ν g(h ) (1) όπου ρ ν =1 kg/m 3 είναι η πυκνότητα του νερού. Λόγω αυτής της υδροστατικής πίεσης, σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της επιλεγμένης λωρίδας ασκούνται ίσες κάθετες δυνάμεις df οι οποίες αναλύονται σε δυο συνιστώσες. Στην οριζόντια df x και στην κατακόρυφη df y. Σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της επιλεγμένης λωρίδας η οριζόντια συνιστώσα df x είναι ίση και αντίθετη με την αντίστοιχη οριζόντια συνιστώσα df x της δύναμης που ασκείται πάνω στο αντιδιαμετρικό στοιχειώδες τμήμα της λωρίδα. Οι οριζόντιες αυτές συνιστώσες αλληλοεξουδετερώνονται με αποτέλεσμα οι συνιστώσες αυτές να μην επηρεάζουν τη συνολική δύναμη που ασκείται πάνω στην κωνική επιφάνεια. Αντίθετα, οι κατακόρυφες συνιστώσες df y είναι αυτές που τείνουν να κινήσουν κατακόρυφα προς τα πάνω το κωνικό πώμα. Από το αριστερό σχήμα της άσκησης προκύπτει ότι: df y = df sin θ () Η υδροστατική δύναμη df ασκείται σε ένα πολύ μικρό τμήμα της επιλεγμένης λωρίδας. Η συνολική δύναμη df που ασκείται πάνω σε ολόκληρη τη λωρίδας θα είναι ίση με: df = (υδραστατική πίεση) (εμβαδό επιφάνειας λωρίδας) (3) (εμβαδό επιφάνειας λωρίδας) = πr(ds) (4) Όπου r είναι η ακτίνα της κυκλικής τομής του κώνου και (πr) είναι το μήκος της περιφέρειας της λωρίδας και ds είναι το πλάτος της λωρίδας. Οπότε από τις Εξισώσεις 1, 3 και 4 βρίσκουμε τη συνολική δύναμη που ασκείται πάνω στην επιλεγμένη λωρίδα: df = ρ ν g(h )πr(ds) = πρ ν g(h )r(ds) (5) Από τις Εξισώσεις και 5 βρίσκουμε τη συνολική κατακόρυφη δύναμη df y που ασκείται πάνω στην επιλεγμένη λωρίδα: df y = dfsin θ df y = πρ ν g(h )r(ds) sin θ (6)

Από το δεξιό σχήμα της άσκησης προκύπτει ότι: (ds) sin θ = dr, όπου dr είναι η μεταβολή της ακτίνα της οριζόντιας κυκλικής τομής του κώνου η οποία αντιστοιχεί σε μετατόπιση ds πάνω στην κωνική επιφάνεια. Οπότε, η Εξίσωση 6 γράφεται: df y = πρ ν g(h )r(dr) (7) Για να βρούμε τη συνολική δύναμη F y, η οποία σπρώχνει προς τα πάνω κωνικό πώμα, πρέπει να ολοκληρώσουμε την Εξίσωση 7. Για να γίνει η ολοκλήρωση πρέπει η Εξίσωση αυτή να εκφραστεί ως προς μια μόνο μεταβλητή. Όμως, η Εξίσωση αυτή έχει δυο μεταβλητές, την ακτίνα r της οριζόντιας κυκλικής τομής του κώνου και την απόσταση της τομής αυτής από τον πυθμένα της δεξαμενής. Επιλέγουμε ως κύρια μεταβλητή την ακτίνα r και εκφράζουμε την απόσταση συναρτήσει του r. Η ολοκλήρωση γίνεται κατά μήκος του κωνικού πώματος το οποίο καλύπτεται από το νερό, δηλαδή από τον πυθμένα της δεξαμενής όπου r = R, έως την ελεύθερη στάθμη του νερού όπου r = R. Συγκεκριμένα, από τα όμοια τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ παίρνουμε την αναλογία: (ΑΒ) (ΓΔ) = (ΟΒ) (ΟΔ) Οπότε, η Εξίσωση 7 γράφεται: R r = H H h + df y = πρ ν gh (1 1 r) r(dr) (8) R h = H r = H (1 R R r) df y = πρ ν ghrdr πρ ν g R r dr R F y = df y = (πρ ν ghr dr πρ ν g R r dr) R R F y = πρ ν gh ( rdr 1 R R R R r dr ) F y = πρ ν gh ([ 1 R r ] 1 R R R [1 3 r3 ) = πρ ν gh [ 1 ]R (4R R ) 1 6R (8R3 R 3 )] F y = πρ ν gh [R R 4R 3 + R 6 ] F y = 3 πρ νghr (9) F y = 3 3,14 (1 kg m3) (9,8 m s ) (,1 m) (,5 m) F y =,513 N Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται πάνω στο κωνικό πώμα είναι: F net = F y (βάρος κωνικού πώματος) = 3 πρ νgηr mg F net = (,513 N) (,9)(9,8 m/s ) F net =,154 N Για να αποσπάσουμε το κωνικό πώμα από την οπή θα πρέπει να ασκήσουμε μια θετική δύναμη (κατακόρυφη προς τα πάνω) με μέτρο F = +,154 N

ΑΣΚΗΣΗ 14 Για να δημιουργηθεί μια τεχνητή λίμνη, το φράγμα που κατασκευάστηκε έχει μήκος D=135 m και ύψος H=55, m. Όταν η τεχνητή λίμνη είναι γεμάτη με νερό, να υπολογίσετε: (α) Τη συνισταμένη δύναμη που ασκεί ο υδάτινος όγκος πάνω στο φράγμα. (β) Τη θέση του σημείου εφαρμογής της συνισταμένης δύναμης. D Η 1 ΛΥΣΗ Δεξιά και αριστερά από το φράγμα, η ατμοσφαιρική πίεση υφίσταται εντός και εκτός του νερού. Για το λόγο αυτό δεν την λαμβάνουμε υπόψη και οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο φράγμα είναι οι υδροστατικές δυνάμεις. Για να υπολογίσουμε τη συνολική δύναμη που ασκείται πάνω στο φράγμα διαιρούμε την επιφάνεια του φράγματος σε οριζόντιες λεπτές λωρίδες ύψους d και μήκους D η κάθε μια από αυτές. Το στοιχειώδες εμβαδό κάθε λωρίδας είναι ίσο με: da = D d (1) Κάθε στοιχειώδη λωρίδα που βρίσκεται στη θέση είναι σε βάθος h = H υφίσταται υδροστατική πίεση: p = ρgh = ρg(h ) με αντίστοιχη υδροστατική δύναμη η οποία ασκείται στο γεωμετρικό μέσο της στοιχειώδους λωρίδας και έχει φορά προς τα δεξιά: df = pda = ρgd(h )d () D O d F df H (α) Η συνολική δύναμη που ασκείται πάνω στο φράγμα είναι ίση με: Η F = df H F = ρgdh d H = ρgd(h )d H ρgd d H F = ρgd (Hd d) F = ρgdh[] H ρgd [ 1 H ] F = ρgd 1 ρgd(η ) F = 1 ρgdh (3)

F = 1 (1 kg m)(9,8 m s )(135 m)(55, m) F =, 1 9 N (β) Έστω ότι η συνισταμένη δύναμη F ασκείται σε σημείο που απέχει απόσταση F από τον πυθμένα της δεξαμενής. Η ροπή τ F της δύναμης F ως προς το σημείο Ο (βλέπε Σχήμα) που βρίσκεται στη θέση = είναι ίση με: τ F = F F (4) Όμως, η ροπή τ F είναι ίση με τη συνισταμένη ροπή που προκύπτει από όλες τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω στις στοιχειώδεις οριζόντιες λωρίδες. Η στοιχειώδης ροπή που προκαλείται από τη στοιχειώδη δύναμη που ασκείται σε λωρίδα που απέχει απόσταση από τον πυθμένα των δεξαμενών είναι: dτ = df Λαμβάνοντας υπόψη την Εξίσωση, η συνισταμένη ροπή τ F ως προς το σημείο Ο θα είναι ίση με: =Η τ F = df = Η = ρgd(h )d H τ F = ρgd [Η d d] τ F = ρgdη [ 1 Η ] ρgd [ 1 Η 3 3 ] Η τ F = ρgdη d Η τ F = ρgd (Η )d Η ρgd d τ F = 1 ρgdη(η ) 1 3 ρgd(η3 ) τ F = 1 ρgdη3 1 3 ρgdη3 τ F = 1 6 ρgdη3 (5) Από τις Εξισώσεις 3, 4 και 5 έχουμε: τ F = F F 1 6 ρgdη3 = 1 ρgdη F F = 1 3 F = 1 3 (55, m) F = 18,3 m Η (6) ΑΣΚΗΣΗ 15 Ένα ορθογώνιο φράγμα που έχει εύρος D=1, m χωρίζει μια δεξαμενή σε δυο περιοχές. Το ύψος του νερού στη μια περιοχή είναι Η 1 =5, m ενώ στη άλλη περιοχή είναι Η =, m. Να υπολογίσετε: (α) Τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται πάνω στο φράγμα. (β) Τη θέση του σημείου εφαρμογής της συνισταμένης δύναμης. Η 1 D Η ΛΥΣΗ

Δεξιά και αριστερά από το φράγμα, η ατμοσφαιρική πίεση υφίσταται εντός και εκτός του νερού. Για το λόγο αυτό δεν την λαμβάνουμε υπόψη και οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο φράγμα είναι D οι υδροστατικές δυνάμεις. d d Η 1 df df 1 Η 1 d Η F df F Η d df F df 1 F Ο = Ο Για να υπολογίσουμε τη συνολική δύναμη που ασκείται πάνω στο φράγμα διαιρούμε την επιφάνεια του φράγματος σε οριζόντιες λεπτές λωρίδες ύψους d και μήκους D η κάθε μια από αυτές. Το στοιχειώδες εμβαδό κάθε λωρίδας είναι ίσο με: da = D d (1) Διακρίνουμε δυο υψομετρικές περιοχές πάνω στο φράγμα: Περιοχή < < Η : Πάνω στο φράγμα ασκούνται οι υδροστατικές πιέσεις τόσο από την αριστερή δεξαμενή όσο και από τη δεξιά δεξαμενή. Οι στοιχειώδεις λωρίδες που βρίσκονται στις θέσεις < < Η, για μεν την αριστερή δεξαμενή είναι σε βάθος h 1 = και υφίστανται υδροστατική πίεση: p 1 = ρgh 1 = ρg( ) με αντίστοιχη υδροστατική δύναμη (με φορά προς τα δεξιά): df 1 = p 1 da = ρg( )D d ενώ για τη δεξιά δεξαμενή είναι σε βάθος υδροστατική πίεση: p = ρgh = ρg( ) h =, οι λωρίδες αυτές υφίστανται με αντίστοιχη υδροστατική δύναμη η οποία ασκείται στο γεωμετρικό μέσο της στοιχειώδους λωρίδας και έχει φορά προς τα αριστερά: df = p da = ρg( )D d Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται πάνω σε κάθε στοιχειώδη λωρίδα που βρίσκεται στην περιοχή < < θα είναι ίση με: df = df 1 df = ρg( )D d ρg( )D d df = ρgd( )d < < () Περιοχή < < h :

Πάνω στο φράγμα ασκείται μόνο η υδροστατική πίεση από την αριστερή δεξαμενή. Οι στοιχειώδεις λωρίδες που βρίσκονται στις θέσεις Η < < Η 1, για την αριστερή δεξαμενή είναι σε βάθος h = και υφίστανται υδροστατική πίεση: p = ρgh = ρg( ) με αντίστοιχη υδροστατική δύναμη η οποία ασκείται στο γεωμετρικό μέσο της στοιχειώδους λωρίδας και έχει φορά προς τα δεξιά): df = pda = ρgd( )d < < (3) (α) Η συνολική δύναμη που ασκείται πάνω στο φράγμα είναι ίση με: F = df = df + df = ρgd( )d + ρgd( )d F = ρgd( ) d + ρgd ( d d) H F = ρgd( )[] + ρgd d ρgd d H F = ρgd( ) + ρgd [] 1 H ρgd [ 1 ] F = ρgd( ) + ρgd ( ) 1 ρgd( ) F = ρgd( )( + ) 1 ρgd( ) F = ρgd( ) 1 ρgd( ) F = 1 ρgd( ) (4) F = 1 (1 kg m)(9,8 m s )(1, m)[(5, m) (, m) ] F = 1,3 1 6 N (β) Έστω ότι η συνισταμένη δύναμη F ασκείται σε σημείο που απέχει απόσταση F από τον πυθμένα των δεξαμενών. Η ροπή τ F της δύναμης F ως προς το σημείο Ο (βλέπε Σχήμα) που βρίσκεται στη θέση = είναι ίση με: τ F = F F (5) Όμως, η ροπή τ F είναι ίση με τη συνισταμένη ροπή που προκύπτει από όλες τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω στις στοιχειώδεις οριζόντιες λωρίδες. Η στοιχειώδης ροπή που προκαλείται από τη στοιχειώδη δύναμη που ασκείται σε λωρίδα που απέχει απόσταση από τον πυθμένα των δεξαμενών είναι: dτ = df

Λαμβάνοντας υπόψη τις Εξισώσεις και 3, η συνισταμένη ροπή τ F ως προς το σημείο Ο θα είναι ίση με: = τ F = df = = df + df τ F = ρgd( )d τ F = ρgd( ) d + ρgd( )d + ρgd ( )d τ F = ρgd( ) d + ρgd [Η 1 d d] τ F = ρgd( ) d + ρgd d ρgd d τ F = ρgd( ) [ 1 ] + ρgd [ 1 ] ρgd [ 1 3 3 ] τ F = 1 ρgd( ) + 1 ρgd( ) 1 3 ρgd( 3 3 ) τ F = 1 ρgd( 3 + 3 ) 1 3 ρgd( 3 3 ) τ F = 1 ρgd( 3 3 ) 1 3 ρgd( 3 3 ) τ F = 1 6 ρgd( 3 3 ) (6) Από τις Εξισώσεις 4, 5 και 6 έχουμε: τ F = F F F = 1 3 F = 1 3 3 3 (7) 1 6 ρgd( 3 3 ) = 1 ρgd( ) F (5, m) 3 (, m) 3 (5, m) (, m) F = 1,9 m ΑΣΚΗΣΗ 16 Η πύλη εκροής ΑΒ μιας τεχνητής λίμνης έχει μήκος L=3, m, εύρος D=, m και σχηματίζει γωνία θ=3 με το οριζόντιο επίπεδο. Η πύλη αυτή φράσσεται με επίπεδη μεταλλική πλάκα η οποία έχει πάχος d=5, mm και η οποία φέρει υδατοστεγή άρθρωση στο σημείο Β και στηρίζεται στο κατακόρυφο τοίχωμα της τεχνητής λίμνης στο σημείο Α. Το νερό μέσα στην τεχνητή λίμνη έχει ύψος h=1, m. Να υπολογίσετε: (α) Τη συνισταμένη δύναμη που ασκεί η πίεση του νερού πάνω στην μεταλλική πλάκα καθώς και το σημείο εφαρμογής αυτής.

(β) Το μέτρο της οριζόντιας δύναμης που ασκεί το κατακόρυφο τοίχωμα πάνω στη μεταλλική πλάκα στο σημείο Α. (γ) Τη συνισταμένη δύναμη που καταπονεί την άρθρωση της μεταλλικής πλάκας στο σημείο Β. ΑΣΚΗΣΗ 17 Ένα φράγμα έχει μια παραβολική μορφή η οποία εκφράζεται με τη σχέση / o =(x/x ) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν x =1, m, =4, m και πυκνότητα νερού ρ=1, g/cm 3, τότε: (α) Να υπολογίσετε τις συνιστώσες F H =F net,x και F V =F net, της συνισταμένης υδροστατικής δύναμης που ασκείται πάνω στο φράγμα. (β) Να προσδιορίσετε τη θέση πάνω στο φράγμα στην οποία δρα η συνισταμένη υδροστατική δύναμη F net (π.χ. να υπολογίσετε το βάθος στο οποίο βρίσκεται το σημείο αυτό).