Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 9: Αριθμητική ολοκλήρωση και διαφορισμός Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής την αριθμητική ολοκλήρωση και το διαφορισμό. 4

Περιεχόμενα ενότητας Αριθμητική ολοκλήρωση. Διαφορισμός. Ολοκλήρωση κατά Newton-Cotes. Τραπέζιο. Υπολογισμός θερμότητας. Ειδικές θερμότητες ιδανικού αερίου. 5

Αριθμητική ολοκλήρωση και διαφορισμός Συστήματα και διεργασίες μεταβάλλονται με τον χρόνο Μαθηματική ανάλυση της αλλαγής. Διαφορισμός και ολοκλήρωση:. 6

Παράγωγος συνάρτησης Σχήμα 1: Παράγωγος συνάρτησης, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 7

Ολοκλήρωμα Σχήμα 2: Ολοκλήρωμα, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 8

Ολοκλήρωση - διαφορισμός χωρίς υπολογιστή Η συνάρτησή μας είναι συνήθως ανήκει σε μια από τις επόμενες μορφές:. Απλή και συνεχής π.χ. πολυώνυμο, εκθετική ή τριγωνομετρική. Πολύπλοκη και συνεχής που είναι πολύ δύσκολο ή αδύνατο να ολοκληρώσουμε ή διαφορίσουμε απ ευθείας. Συνάρτηση με διακεκριμένα σημεία τιμών x και f(x), π.χ. πειραματικά δεδομένα. 9

Διαφόριση ίσων εμβαδών Σχήμα 3: Διαφόριση ίσων εμβαδών, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 10

Γραφικός υπολογισμός ολοκληρώματος Σχήμα 4: Γραφικός υπολογισμός ολοκληρώματος, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 11

Αριθμητική Ολοκλήρωση Σχήμα 5: Αριθμητική ολοκλήρωση, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 12

Ολοκλήρωση κατά Newton-Cotes (1) Οι τύποι Newton-Cotes εφαρμόζονται πολύ συχνά. Αντικατάσταση μιας πολύπλοκης συνάρτησης ή πίνακα δεδομένων με μια προσεγγιστική συνάρτηση που είναι εύκολη στην ολοκλήρωση. 13

Ολοκλήρωση κατά Newton-Cotes (2) Σχήμα 6: Ολοκλήρωση κατά Newton Cotes (1), πηγή: Chapra & Canale, 2010. 14

Ολοκλήρωση κατά Newton-Cotes (3) Σχήμα 7: Ολοκλήρωση κατά Newton Cotes (2), πηγή: Chapra & Canale, 2010. 15

Ο τύπος του τραπεζίου (1) Κλειστής μορφής, με πολυώνυμα 1 ου βαθμού:. Το εμβαδόν της επιφάνειας μεταξύ του πολυωνύμου και του άξονα x μεταξύ των ορίων α και b είναι μια προσέγγιση του ολοκληρώματος:. 16

Ο τύπος του τραπεζίου (2) Σχήμα 8: Ο τύπος του τραπεζίου, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 17

Σφάλμα υπολογισμού με τον τύπο του τραπεζίου (1) Το σφάλμα μπορεί να είναι σημαντικό:. όπου α<x< b. 18

Σφάλμα υπολογισμού με τον τύπο του τραπεζίου (2) Σχήμα 9: Σφάλμα υπολογισμού με τον τύπο του τραπεζίου, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 19

Πολλαπλή εφαρμογή του τύπου τραπεζίου (1) Χωρίζουμε το διάστημα [a,b] σε μικρότερα τμήματα και εφαρμόζουμε τον κανόνα τραπεζίου για κάθε τμήμα. Προσθέτουμε μετά τα εμβαδά όλων των μικρών τραπεζίων για την τελική (προσεγγιστική) τιμή του ολοκληρώματος. 20

Πολλαπλή εφαρμογή του τύπου τραπεζίου (2) Σχήμα 10: Πολλαπλή εφαρμογή του τύπο του τραπεζίου, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 21

Κώδικες συναρτήσεων με διακριτά σημεία (πίνακες δεδομένων) Εικόνα 1: Κώδικες για συναρτήσεις με διακριτά σημεία (πίνακες δεδομένων), πηγή: Chapra & Canale, 2010. 22

Κώδικας για αναλυτική συνάρτηση Εικόνα 2: Κώδικας για αναλυτική συνάρτηση, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 23

Σφάλμα πολλαπλής εφαρμογής τύπου τραπεζίου Το σφάλμα της πολλαπλής εφαρμογής του τύπου του τραπεζίου είναι το άθροισμα των σφαλμάτων όλων των τμηματικών τραπεζίων: Αν διπλασιάσουμε τα τμήματα το σφάλμα υποτετραπλασιάζεται. 24

Υπολογισμός θερμότητας Για την ειδική ενθαλπία:. Όμως για Ρ=σταθ, αντιστρεπτές διεργασίες και κλειστά συστήματα αλλά και για την μεταφορά θερμότητας σε εναλλάκτες θερμότητας σε σταθερή κατάσταση (ΔΕ Ρ και ΔΕ Κ =0 αλλά και W s =0) ο 1 ος νόμος: 25

Ειδική θερμότητα Εμπειρικές εξισώσεις: (Παράρτημα Γ του βιβλίου), όπου α, β, γ και, b, c σταθερές για κάθε ουσία. Αν τις συνδυάσουμε: όπου ή C ή D=0 ανάλογα με την ουσία. 26

Ειδικές θερμότητες ιδανικού αερίου (1) Για αέρια χρησιμοποιούμε τις ιδανικές ειδικές θερμότητες γιατί για τον υπολογισμό θερμοδυναμικών ιδιοτήτων ακολουθούμε 2 βήματα: Υπολογισμός των τιμών για μια υποθετική ιδανική κατάσταση. Μια διόρθωση των ιδανικών τιμών σε πραγματικές τιμές. Ιδανική κατάσταση Ρ 0. Άρα σε μεγαλύτερες τιμές πίεσης βρίσκεται σε μια υποθετική ιδανική κατάσταση είναι συναρτήσεις ΜΟΝΟ της Τ και διαφορετικές για κάθε αέριο. Άρα 27

Ειδικές θερμότητες ιδανικού αερίου (2) Σχήμα 3: Ειδικές θερμότητες ιδανικού αερίου, πηγή: J.M.Smith et al., 2005. 28

Υπολογισμοί (1) 29

Υπολογισμοί (2) Εικόνα 3: Υπολογισμοί, πηγή: Microsoft Excel 2010. 30

Βιβλιογραφία Χρήση του λογισμικού Microsoft Excel 2010. Chapra, S. C. & Canale, R. P. (2010). Numerical methods for engineers. 6 th Ed. McGraw-Hill. Finlayson B. A. (2012). Introduction to Chemical Engineering Computing, 2 nd ed., Wiley: New York. J.M. Smith, H.C. Van Ness, M.M. Abbott (2005). Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics, 7th edn., McGraw- Hill: New York, International Edition 31

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (1) Numerical methods / Germund Dahlquist, Ake Bjorck New Jersey : Prentice-Hall, c1974. Computer methods for mathematical computations / George Forsythe, Michael A. Malcolm, Cleve B. Moler New Jersey : Prentice-Hall, c1977. - (Prentice-Hall series in automatic computation). An introduction to numerical methods with Pascal / L. V. Atkinson, P. J. Harley, Wokingham : Addison-Wesley, 1983. - (The International computer science series, 6). Introduction to numerical analysis / J. Stoer, R. Bulisch. - 1rst, 2nd ed. New York Heidelberg Berlin : Springer, 1980 1992. - (Texts in Applied Mathematics, 12). 32

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (2) Elementary numerical analysis: an algorithmic approach / S. D. Conte, Carl de Boor. - 3rd. ed. Auckland Bogota Guatemala : McGraw Hill, c 1981. - (International series in pure and applied mathematics). Numerical methods in finite element analysis / Klaus-Jurgen Bathe, Edward L. Wilson Englewood Cliffs, New Jersey : Prentice-Hall, c1976. - (Prentice-Hall civil engineering and engineering mechanics series). Numerical methods of mathematical optimization with algol and fortran programs / Hans P. Kunzi, H. G. Tzschach, C. A. Zehnder New York London San Francisco London : Academic Press, 1971. - (Computer science and applied mathematics). 33

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (3) Compact numerical methods for computers: linear algebra and function minimisation / J. C. Nash. - 2nd ed. Bristol; New York : Adam Hilger, 1990. Applied Numerical methods / Brice Carnahan, H. A. Huther, James O. Wilnes New York; Chichester; Brisbane : Wiley, c1969. Numerical heat transfer and fluid flow / Suhas V. Patankar [s.l.] : Taylor & Francis, c.1980. - (Series in computational and physical processes in mechanics and thermal sciences). Elementary numerical analysis / Kendall Atkinson. - 2nd ed. New York ; Chichester ; Brisbane : Wiley, 1993. Introduction to numerical analysis / F. B. Hildebrand. - 2nd ed. New York : Dover, 1987. 34

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (4) Numerical methods for scientists and engineers / R. W. Hamming. - 2nd ed. New York : Dover, 1973. Numerical analysis / Richard L. Burden, J. Douglas Faires. - 5th ed. Boston : PWS, 1993. Introduction to numerical analysis / John Gregory, Don Redmond Boston ; London : Jones and Bartlett, c 1994. Elementary theory and application of numerical analysis / David G. Moursund, Charles S. Duris New York : Dover, 1988. Numerical computation 2: methods, software and analysis / Christoph W. Ueberhuber Berlin Heidelberg New York : Springer, 1997. 35

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (5) Numerical methods for engineers / Bilal M. Ayyub, Richard H. McCuen New Jersey : Prentice Hall, c 1996. Numerical methods with MATLAB: a resource for scientists and engineers / G. J. Borse, Boston ; Albany ; Bonn : PWS, 1997. Numerical methods and analysis / James L. Buchanan, Peter R. Turner New York : McGraw - Hill, c1992. - (International series in pure and applied mathematics). Numerical methods for engineering application / Joel H. Ferziger. - 2nd ed. New York : Wiley, c1998. Mathematical methods for scientists and engineers [Monograph] : linear and nonlinear systems / Peter B. Kahn New York : John Wiley & Sons, 1990. 36

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (6) Numerical methods for engineers [Monograph] : with programming and software applications / Steven C. Chapra, Raymond P. Canale. - 4th ed., International ed. Boston : McGraw-Hill, 2003. Numerical methods with MATLAB: implementations and applications / Gerald W. Recktenwald New Jersey : Prentice Hall, 2000. Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations / J. E. Dennis, Robert B. Schnabel New Jersey : Prentice- Hall, c1983. - (Prentice-Hall series in computational mathematics). Fortran 77 and numerical methods for engineers and scientists / Larry Nyhoff, Sanford Leestma New Jersey : Prentice Hall, 1995. 37

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (7) Numerical methods with MATLAB: a resource for scientists and engineers / G. J. Borse Boston ; Albany ; Bonn : PWS, 1997. Numerical methods in finance / edited by L. C. G. Rogers and D. Talay Cambridge ; New York : Cambridge University Press, 1997. Numerical methods using MATLAB / John Penny, George Lindfield New York : Ellis Horwood, c1995. Numerical methods and analysis / James L. Buchanan, Peter R. Turner New York : McGraw - Hill, c1992. - (International series in pure and applied mathematics). The student edition of Simulink: dynamic system simulation for MATLAB / James B. Dabney, Thomas L. Harman Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 1998. - (The MATLAB curriculum series.). 38

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (8) International journal for numerical methods in fluids [Περιοδικό] Chichester : John Wiley & Sons, Ltd., 2003. Numerical recipes in fortran: the art of scientific computing / William H. Press... [et al.]. - 2nd ed. New York : Cambridge University Press, 1992. Handbook of numerical heat transfer / W. J. Minkowycz... [et al.] New York : Wiley, c1988. Μαθήματα υπολογιστικών μηχανών και αριθμητικής αναλύσεως / Κωνσταντίνου Λ. Γούδα Αθήναι : Τ.Ε.Ε., 1972 Συμπλήρωμα αριθμητικής ανάλυσης και εφαρμογές / Λαζ. Ν. Βρυζίδη Αθήνα : Ιων, c1992. 39

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (9) Αριθμητική ανάλυση : αλγοριθμική προσέγγιση / Δημ. Κυτάγια, Λαζ. Βρυζίδη Αθήνα : Ιων, c1991. Αριθμητικές μέθοδοι και προγράμματα για μαθηματικούς υπολογισμούς / George E. Forsythe, Michael A. Malcom, Cleve B. Moler Ηράκλειο : Π.Ε.Κ., 1993. Αριθμητική ανάλυση / Francis Scheid Αθήνα New York : ΕΣΠΙ : McGraw-Hill, c1976. - (Scaum's outline series). Εφηρμοσμένα μαθηματικά : μετασχηματισμός laplace, ανάλυση fourier, διανυσματική ανάλυση, γραμμική άλγεβρα, αριθμητική ανάλυση με αλγορίθμους και λύσεις με το πρόγραμμα mathematica / Α. Μπράτσος Αθήνα Πειραιάς : Σταμούλης, 1996. Αριθμητικές μέθοδοι / Β. Β. Μάρκελλου Αθήνα : Συμμετρία, 199_. 40

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (10) Εισαγωγή στην αριθμητική ανάλυση : με βιβλιοθήκη προγραμμάτων και δισκέτα / Α. Μπακόπουλος, Ι. Χρυσοβέργης Αθήνα : Συμεών, 199_. Αριθμητικές μέθοδοι / Β. Β. Μάρκελλου Αθήνα : Συμμετρία, 1995. Βασικά θέματα αριθμητικής ανάλυσης / Αντ. Αλεξανδρόπουλος, Αθ. Παλιατσός, Γ. Σοφιανός Αθήνα : Σύγχρονη Εκδοτική, c1995. Εισαγωγή στην αριθμητική ανάλυση / Γεώργιος Δ. Ακρίβης, Βασίλειος Α. Δουγαλής. - 1η, 2η έκδ. Ηράκλειο : Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1997, 1998. Αριθμητική ανάλυση : θεωρία, παραδείγματα, προγράμματα Η/Υ. Τόμος πρώτος / A. Gourdin, M. Boumahrat Αθήνα : Fountas, [19--]. 41

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (11) Αριθμητική ανάλυση : θεωρία, παραδείγματα, προγράμματα Η/Υ. Τόμος δεύτερος / A. Gourdin, M. Boumahrat Αθήνα : Fountas, [19-- ]. Εφαρμοσμένη αριθμητική ανάλυση / Αντώνης Δημητριάδης, Χρήστος Κοίλιας Αθήνα : Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, c1998. Matlab για μηχανικούς / Adrian Biran, Moshe Breiner. - 2η έκδ. Θεσσαλονίκη : Τζιόλα, 1999. Αριθμητική ανάλυση [Μονογραφία] / Π. Κικίλιας, Μ. Λαμπίρης, Α. Πετράκης Αθήνα : Δηρός, c2001. Matlab 6 για μηχανικούς / Adrian Biran & Moshe Breiner. - 3η εκδ. Θεσσαλονίκη : Τζιόλα, 2003. 42

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (12) Πληροφορική για μηχανικούς : στοιχεία αλγοριθμικής, Fortran και Matlab / Κώστας Δ. Καρατζάς [Θεσσαλονίκη] : Εκδόσεις Σοφία, c2008. Matlab επιστήμονες και μηχανικούς / Ευάγγελος Β. Χατζίκος Θεσσαλονίκη : Εκδόσεις Τζιόλα, c2010. Προγραμματισμός Η/Υ με MATLAB / Χ. Ν. Στεφανάκος [Αθήνα] : Γκιούρδας Εκδοτική, 2009. Προγραμματίζοντας σε MATLAB : με 40 πίνακες, 81 σχήματα, 211 παραδείγματα εντολών και 30 επαναληπτικές ασκήσεις / Χ. Ν. Στεφανάκος Αθήνα : [χ.ό.], 2011. Αριθμητική ανάλυση / Μαρία Χ. Γουσίδου- Κουτίτα Θεσσαλονίκη : Εκδόσεις Χρστοδουλίδη, 2004. 43

Βιβλιοθήκη ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας (13) Βασική χρήση & προγραμματισμός του MATLAB 7 / Βασίλειος Χ. Μούσας. Περιστέρι : Ίων, c2009. Αριθμητική ανάλυση : αλγοριθμική προσέγγιση / Δημ. Κυτάγια, Λαζ. Βρυζίδη Αθήνα : Ίων, c1991. 44

Τέλος Ενότητας