Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα - Γραμμική και Δυαδική Αναζήτηση, Ανάλυση Αναδρομικών Αλγορίθμων - H Μέθοδος της Αντικατάστασης, Master Theorem ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Άσκηση 3 (iii) f () Να αποδείξετε ότι αν θετική συνάρτηση του τότε f ( ) (( f ( )) ) Έστω f ( ) /, 0 η θετική συνάρτηση του ( f ( )) / Αφού η πρόταση ισχύει / (/ ) Εξετάζοντας το ρυθμό αύξησης, δηλαδή το όριο lim, δηλαδή / (/ ) lim ( f ( ) f ( )), έχουμε ΑΝΤΙΦΑΣΗ: Η πιο πάνω πρόταση έρχεται σε αντίφαση με την αρχική υπόθεση, άρα η αρχική υπόθεση καταρρίπτεται και δεν ισχύει!

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 3 Παράδειγμα : Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση k+=i; for(i=0; i<; i++) it i,k=0; for (i=0; i<; i++) k+=i; H βασική πράξη η οποία χρειάζεται Ο() χρόνο Ο αλγόριθμος εκτελεί την βασική πράξη φορές i0 ή i o O αλγόριθμος έχει πολυπλοκότητα της τάξης O() o Στην βέλτιστη περίπτωση χρειάζεται Ω() O() & Ω() Θ()

Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλ. με φωλιασμ. βρόγχους Σε ένα βρόχο (for loop) o συνολικός χρόνος που απαιτείται είναι: Βασική Πράξη x Αριθμό Επαναλήψεων Φωλιασμένοι Βρόχοι: η ανάλυση γίνεται από τα μέσα προς τα έξω: Παράδειγμα: for (i=0; i<; i++) for (j=0; j<; j++) //statemet e.g., k+=i; Συνεχόμενες Εντολές: Ο χρόνος εκτέλεσης T της εντολής S και μετά S παίρνει χρόνο ίσο του αθροίσματος των χρόνων εκτέλεσης των T(S) + T(S ). Συνθήκες if: Ο χρόνος εκτέλεσης T της εντολής if b the S else S παίρνει χρόνο ίσο με max(t(b)+t(s), T(b)+T(S )) ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 5 Παράδειγμα : Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση Εσωτερικός Βρόγχος: Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: it i, j, sum=0; for (i=0; i<; i++) for (j=0; j<; j++) sum++; i j IL i i IL j0 j ( Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος IL ), ( ) ( )

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 6 Παράδειγμα 3: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση it i, j, sum=0; for (i=0; i<; i++) Εσωτερικός Βρόγχος: for (j=0; j< i*i; j++) sum++; IL j0 Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης του εσωτερικού βρόχου εξαρτάται από την τιμή i, οποία καθορίζεται από τον εξωτερικό βρόχο. i i

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 7 Παράδειγμα 3: Υπολογισμ. Χρόνου Εκτέλεσης (συν.) Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει το πόσες φορές εκτελείται ο εσωτερικός βρόγχος σαν συνάρτηση του i: i 0 3 - IL = i 0 4 9 (-) Εξωτερικός Βρόγχος: 0 + + 4 + 9 + + (-) Σύνολο: Ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος είναι ίσος με το άθροισμα του χρόνου εκτέλεσης κάθε επανάληψης του εσωτερικού βρόχου: i i ( )( ) 3 3 ( ) ( ) 6 6

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 8 Παράδειγμα 4: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση Εσωτερικός Βρόγχος A: Εσωτερικός Βρόγχος B: Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: it i, j, k, sum=0; for (i=0; i<; i++) for (j=0; j<; j++) ( 3 ) for (k=0; k<; k++) sum++; IL IL OL B A j i k IL IL B A Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος B Εσωτερικός Βρόγχος A j j 3

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 9 Παράδειγμα 5: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση it i, j, sum=0; Εσωτερικός Βρόγχος: for (i=; i<=; i=*i) for (j=0; j< ; j++) sum++; IL Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος Εξωτερικός Βρόγχος: Κάθε φορά, το i πολλαπλασιάζεται επί. j Παράδειγμα: για =0 το i θα είναι,, 4, 8, 6> break Πόσες φορές εκτελείται;;;

Παράδειγμα 5: Υπολογισμ. Χρόνου Εκτέλεσης (συν.) Ας υποθέσουμε ότι το είναι μία δύναμη του = κ Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει το πόσες φορές εκτελείται ο εσωτερικός βρόγχος σαν συνάρτηση του k: k 0 3 4 k = k 4 8 6 k τιμές i -,,,4,,4,8 επαναλ. 0 3 4 k Συμπέρασμα: i=k, άρα για = i θα χρειαστούν i επαναλ. Ερώτηση: πως μπορούμε να βρούμε το την τιμή i έχοντας σαν δεδομένο το i ; Απάντηση: με χρήση λογάριθμου (log): log i = i ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 0

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παράδειγμα 5: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση Εσωτερικός Βρόγχος: Εξωτερικός Βρόγχος: (log i = log ) Σύνολο: it i, j, sum=0; for (i=; i<=; i=*i) for (j=0; j< ; j++) sum++; IL j log IL log log Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παράδειγμα 6: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση =περιττός Εσωτερικός Βρόγχος (else): =άρτιος Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: it i, j, sum=0; for (i=0; i<; i++) if( (%)==0 ) for (j=0; j<; j++) sum++; else sum--; Εσωτερικός Βρόγχος (if): ( ) OL i max( IL if, IL Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος (if) Εσωτερικός Βρόγχος (else) else ) IL else i IL if IL j if i

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 3 Παράδειγμα 7: Χρόνος Εκτέλεσης BubbleSort Η BubbleSort ταξινομεί κάποιο πίνακα με συνεχή εναλλαγή των στοιχείων του αν δεν είναι στη σωστή σειρά. Παράδειγμα: it x = {3,, 4,, 5; swap o swap Πέρασμα 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 Πέρασμα 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 Πέρασμα 3 3 4 5 3 4 5 Πέρασμα 4 3 4 5

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4 Παράδειγμα 7: Χρόνος Εκτέλεσης BubbleSort (συν.) void bubblesort( it X[], it ){ it i, j, temp; bool swapped; for (i=0;i<-;i++) { swapped = false; for (j=0;j<-i-;j++) { if (X[j] > X[j+]) { temp = X[j]; X[j] = X[j+]; X[j+] = temp; swapped = true; Εσωτερικός Βρόγχος if (swapped==false) retur; Εξωτερικός Βρόγχος

Παράδειγμα 7: Χρόνος Εκτέλεσης BubbleSort (συν.) void bubblesort( it X[], it ){ for (i=0;i<-;i++) { for (j=0;j<-i-;j++) { Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος Ανάλυση Εσωτερικός Βρόγχος: Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: 0 i IL i j 0 0 0 0 i i IL OL i i i i ( ) 5 ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Γραμμική vs. Δυαδική Διερεύνηση Δεδομένα Εισόδου: Πίνακας Χ με στοιχεία, ταξινομημένος από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, και ακέραιος k. Στόχος: Να εξακριβώσουμε αν το k είναι στοιχείο του Χ. Γραμμική Διερεύνηση: εξερευνούμε τον πίνακα από τα αριστερά στα δεξιά. it liear( it X[], it, it k){ it i=0; while ( i < ) { if (X[i] == k) retur i; if (X[i] > k) retur -; i++; retur -; 3 4 5 Xείριστη περίπτωση: Ο() (ο βρόχος εκτελείται φορές) ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 6

Αναδρομική Γραμμική Διερεύνηση ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 7 it rliear( it X[], it, it k, it pos ){ if ( pos == ) retur -; //ot foud if ( X[pos] == k ) retur pos; //foud elseif ( X[pos] > k ) retur -; //foud larger skip rest retur rliear( X,, k, pos+ ); Xείριστη περίπτωση: Ο() rliear) (εκτελούνται αναδρομικές κλήσεις της

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 8 Δυαδική Διερεύνηση Δυαδική Διερεύνηση: βρίσκουμε το μέσο του πίνακα και αποφασίζουμε αν το k ανήκει στο δεξιό ή αριστερό μισό. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία στο μισό που μας ενδιαφέρει: it biary (it X[], it, it key) { it low=0; it high = - ; it mid; while( low <= high) { mid = (low + high) / ; if( key < X[mid]) high = mid-; else if (key > X[mid]) low = mid+; else { retur mid; break; retur -;

Αναδρομική Δυαδική Διερεύνηση ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 9 it rbiary_aux (it X[], it low, it high, it key) { it mid; if( low <= high) { mid = (low + high) / ; if( key == X[mid]) retur mid; else if( key < X[mid]) retur rbiary_aux( X, low, mid-, key); else retur rbiary_aux( X, mid+, high, key); retur -; it rbiary (it X[], it, it key) { it low = 0; it high = -; retur rbiary_aux( X, low, high, key);

Δυαδική Διερεύνηση Χρόνος Εκτέλεσης Η βασική πράξη (σύγκριση) εκτελείται Ο(log ) φορές δηλαδή: Εκτέλεση -> Μας απομένει* / του πίνακα, Εκτέλεση -> Μας απομένει /4 του πίνακα, Εκτέλεση 3 -> Μας απομένει /8 του πίνακα, Εκτέλεση Χ -> Μας απομένει στοιχείο του πίνακα, Στην εκτέλεση Χ είτε βρήκαμε το στοιχείο είτε όχι δηλ., έχουμε την ακολουθία, /, /4, /8,, 4,,, <==> 0,,, 3,, x Το x εκφράζει πόσες φορές εκτελούμε το while loop x x log log x log Biary Search Ο(log ) ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 0

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Πολυπλοκότητα Αναδρομικών Διαδικασιών Μέχρι τώρα συζητήσαμε τεχνικές για την ανάλυση επαναληπτικών αλγορίθμων (με while, for, κτλ.) Ωστόσο, πολλοί αλγόριθμοι ορίζονται αναδρομικά (π.χ. biary search, Fiboacci, κτλ.) Θέλουμε κάποια μεθοδολογία για να αναλύουμε την πολυπλοκότητα τέτοιων αναδρομικών εξισώσεων. π.χ. Τ() = T(/) +000 Τ()=*T(-), >0 κτλ. Σημειώστε ότι υπάρχουν διάφοροι τύποι αναδρομικών εξισώσεων. Πολλοί τύποι χρειάζονται ειδικά εργαλεία τα οποία δεν θα δούμε σε αυτό το μάθημα. Ένα τύπο που θα μελετήσουμε θα είναι οι Αναδρομικές Εξισώσεις τύπου «Διαίρει και Βασίλευε» Θα τις επιλύσουμε με την Μέθοδο της Αντικατάστασης και θα τις επαληθεύουμε με το Θεώρημα Master

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Ανάλυση Αναδρομικής Δυαδικής Διερεύνησης Ας ξαναδούμε την αναδρομική έκδοση της δυαδικής αναζήτησης Από ότι βλέπουμε σε κάθε εκτέλεση το biary_search μοιράζει μια ακολουθία στοιχείων σε / στοιχεία (εάν είναι ζυγός). Επομένως το πρόβλημα μεγέθους έγινε τώρα /. Σε κάθε βήμα χρειαζόμαστε και δυο συγκρίσεις (τα δυο if statemets) O χρόνος εκτέλεσης της biary_search εκφράζεται με την αναδρομική συνάρτηση: f() = f(/) + // αναδρομικό βήμα f() = // συνθήκη τερματισμού

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 3 Μέθοδος της Αντικατάστασης Μέθοδος της Αντικατάστασης: Χρησιμοποιούμε το βήμα της αναδρομής επαναληπτικά, μέχρι να εκφράσουμε το Τ() ως συνάρτηση της βασικής περίπτωσης, δυνάμεις του και σταθερές τιμές. Εφαρμογή Έχουμε την αναδρομική εξίσωση της δυαδικής διερεύνησης (τύπου Διαίρει και Βασίλευε) Τ() = T(/) +, για κάθε T() = Τότε, αντικαθιστώντας το Τ(/) με την τιμή του παίρνουμε Τ() = T(/) + = T(/4) + + = T(/8) + + + = (Μπορούμε τώρα να μαντέψουμε ότι ) =... log Επομένως η δυαδική αναζήτηση εκτελείται log βήματα

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4 Ανάλυση Αναδρομικής Δυαδικής Διερεύνησης Στην δυαδική διερεύνηση η ακολουθία μοιράζεται ως εξής:, /, /4,,,. Προσοχή: Δεν σημαίνει ότι έχουμε +/+ /4+ + + =- εκτελέσεις. Έχουμε μονάχα log εκτελέσεις Ανάλογα με το σε πόσα κομμάτια «διαιρείται» το πρόβλημα κάθε φορά, αλλάζει και η βάση του λογάριθμου. log log 3 0 = = 3 = 4 5 6 7 3 = 8 9 0 9 = 5 0 = 04 = 048 30 =,073,74,84 0.5849650.398095.5849650.8073549 3 3.699500 3.398095 9 0 30 Αριθμός πράξεων 0 0.63099754.6859507.4649735.63099754.7743749.897896.09590374 5.67836778 6.30997536 6.940789 8.97896,/,/4,,, ί:log,/3,/9,, 3, ί:log3 Όσο μεγαλύτερη η βάση του λογάριθμου τόσο πιο λίγες εκτελέσεις του αλγόριθμου έχουμε! Ωστόσο, αυξάνονται οι συγκρίσεις σε κάθε εκτέλεση! Π.χ., δυαδική διερεύνηση: lg εκτελέσεις, έλεγχο σε κάθε βήμα.

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 5 Master Theorem To Master Theorem μας επιτρέπει να βρίσκουμε ή να επαληθεύουμε την χρονική πολυπλοκότητα αναδρομικών εξισώσεων τύπου διαίρει και βασίλευε. Διαίρει και Βασίλευε: πχ. Τ() = T(/) + αλλά όχι Τ()=*T(-) Αυτό το θεώρημα δεν χρειάζεται να το απομνημονεύσετε αλλά μπορείτε να τον χρησιμοποιήσετε για την επαλήθευση ασκήσεων. Master Theorem: Έστω ότι η f είναι μία αύξουσα που ικανοποιεί τη λειτουργία της επανάληψης: f = af /b + c d όταν το = b k, όπου k είναι ένας θετικός ακέραιος, a, b >, και c, d είναι πραγματικοί αριθμοί, c 0, d 0. Τότε ισχύει: Ο d if a < b d f is Ο d log b Ο log b a if a = b d if a > b d

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 6 Master Theorem - Εφαρμογή O χρόνος εκτέλεσης της δυαδικής διερεύνησης εκφράζεται με την αναδρομική συνάρτηση: Τ() = Τ(/) + Τ() = T() = (a=) x T ( /(b=) ) + (c=)x d=0 a=, b=, c=, d=0 a= και b d = 0 = a=b d T() is O( d log) T() is O( 0 log) T() is O(log) // αναδρομικό βήμα // συνθήκη τερματισμού

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 7 Μέθοδος της αντικατάστασης: Παράδειγμα Έχουμε την αναδρομική εξίσωση Τ() = 4T(/) +, για κάθε T() = Τότε, αντικαθιστώντας το Τ(/) με την τιμή του παίρνουμε Τ() = 4T(/) + // Εκτέλεση = 4(4T(/4) + /) + // Εκτέλεση = 4²Τ(/4) + + // Πράξεις = 4³Τ(/8) + ² + + // Εκτέλεση 3 =... = 4 k Τ() + k- + +² + + // k = k=log 4 log log i log log * *( i0 ( ) O( ) ) a=4, b=, c=, d=, a=4>b d = = T() O( log(4) ) T() O( )

Μέθοδος της αντικατάστασης: Παράδειγμα Άσκηση Να λύσετε την πιο κάτω αναδρομική εξίσωση με την μέθοδο της αντικατάστασης (προσοχή δεν είναι τύπου διαίρει & βασίλευε) Τ(0)= Τ()=*T(-), >0 Λύση Τ() = **T(-) = * *(-)*T(-) = 3* *(-)*(-)*T(-3) = = **(-)*(-)*...***T(0) = *! ε Ο(!) ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 8

Εργασία Να λύσετε την πιο κάτω αναδρομική εξίσωση: T() = Τ() = T(/) +000 ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -9

Εργασία Να λύσετε την πιο κάτω αναδρομική εξίσωση: T() = T() = 7T(/) + 8² ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -30

Εργασία 3 Nα υπολογίσετε τον χρόνο εκτέλεσης της παρακάτω αναδρομικής διαδικασίας λύνοντας οποιαδήποτε αναδρομική εξίσωση συναντήσετε. ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -3 public static it recursive(it ){ it sum=0; for ( it i=; i = ; i++) sum++; if () retur recursive(/); else retur ;

Εργασία 4 Nα υπολογίσετε τον χρόνο εκτέλεσης της παρακάτω αναδρομικής διαδικασίας λύνοντας οποιαδήποτε αναδρομική εξίσωση συναντήσετε. ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -3 public static it recursive(it ){ it sum=0; for ( it i=; i = ; i++) sum++; if () retur (recursive(/) + recursive(/)); else retur ;

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -33 Περίληψη των όσων έχουμε πει Μας ενδιαφέρει να αναλύουμε την πολυπλοκότητα των αλγορίθμων που φτιάχνουμε. Έχουμε δύο επιλογές:. Αν υλοποιήσουμε τον αλγόριθμο και να τρέξουμε πολλά παραδείγματα έτσι ώστε να αξιολογήσουμε την απόδοση του αλγόριθμού μας.. Να εφαρμόσουμε τη θεωρητική προσέγγιση ανάλυσης αλγορίθμων. Τι κερδίζουμε επιλέγοντας το () πιο πάνω; A. Αποφεύγουμε την υλοποίηση B. Προφέρουμε απάντηση η οποία δεν βασίζεται στην υλοποίηση που έχουμε κάνει και κατά συνέπεια δεν βασίζεται στον υπολογιστή στον οποίο τρέξαμε τα πειράματα, στη γλώσσα που χρησιμοποιήσαμε για την υλοποίηση ή στις προγραμματιστικές ικανότητες του προγραμματιστή. C. Επιπλέον: Το αποτέλεσμα μας καλύπτει πληροφορίες για όλα τα πιθανά στιγμιότυπα εισόδου.

ΕΠΛ3 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -34 Περίληψη των όσων έχουμε πει Πως μπορούμε να υποσχόμαστε τόσα πολλά; Επειδή βασιζόμενοι στην Αρχή της Σταθερότητας αγνοούμε διάφορες σταθερές που συναντούμε: Υποθέτουμε ότι όλες οι πράξεις ενός αλγόριθμου χρειάζονται τον ίδιο χρόνο για να εκτελεστούν παρόλο που διαφέρουν στον χρόνο εκτέλεσης τους