Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους; Τα μαθηματικά έχουν σχέση με την πραγματικότητα ή είναι μόνο ένα σύνολο κανόνων και τύπων; Όπως διαβάζουμε στο αρχαίο κείμενο ο μεγάλος φιλόσοφος Αριστοτέλης έλεγε: αυτοί που ισχυρίζονται ότι οι μαθηματικές επιστήμες δεν αναφέρουν τίποτα για το καλό ή το ωραίο κάνουν λάθος...του καλού τα είδη ( οι κατηγορίες) είναι η τάξη και η συμμετρία και το ορισμένον ( συγκεκριμένο) Αυτά κυρίως οι μαθηματικές επιστήμες φανερώνουν και αυτά φαίνεται να είναι τα κύρια αίτια για πολλά. Σαν απάντηση στα ερωτήματα που θέσαμε αρχικά θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια κάποιες εργασίες μαθητών της Β και Γ τάξης του 2ου Γυμνασίου Ν. Φιλαδέλφειας. Οι εργασίες έγιναν στην διάρκεια της σχολικής χρονιάς 2005-06 και στο τέλος διοργανώσαμε και μια έκθεση. Η πρώτη εργασία είχε καθοριστεί για τις διακοπές των Χριστουγέννων. Οι εργασίες της Γ Γυμνασίου περιελάμβαναν τις κατασκευές των γεωμετρικών αναπαραστάσεων των ταυτοτήτων και παραγοντοποιημένων μορφών τριωνύμων αλλά και την περιγραφή της διαδικασίας κατασκευής με μαθηματικούς όρους. Οι εργασίες της Β Γυμνασίου την γεωμετρική ερμηνεία του Πυθαγορείου θεωρήματος με διαφορετικές αποδεικτικές διαδικασίες που διδάχθηκαν ή θα εύρισκαν στο διαδίκτυο. Η τελευταία εργασία των μαθητών της Β Γυμνασίου κοντά στο Πάσχα, ήταν σχετική με τον διαχωρισμό του κυκλικού δίσκου σε ίσους κυκλικούς τομείς και την επαναδιάταξη τους με στόχο να υπολογιστεί το εμβαδόν του, ως εμβαδόν ορθογωνίου. Το αποτέλεσμα δικαίωσε τους κόπους των παιδιών. Τι πιο σημαντικό από το να καταλάβουμε το νόημα των μαθηματικών! Ας κάνουμε όμως κάποιες περιγραφές εργασιών. Διαβάστε προσεκτικά παρακάτω και κάντε και σεις τις ίδιες ή και παρόμοιες κατασκευές την εικόνα δεξιά βλέπουμε την Σ κατασκευή του Πυθαγορείου θεωρήματος. Στην αριστερή εικόνα, η κατασκευή έγινε μέσω της ζωγραφικής στον υπολογιστή1. Η κατασκευή δεξιά έγινε στο 1 Η απόδειξη είναι διατυπωμένη στο σχολικό βιβλίο -1-
χέρι με ψαλίδι και χαρτόνι από τον μαθητή Β. Αμουργιανό. Για τον δεύτερο τρόπο, πάρτε ένα μεγάλο χαρτί μεγέθους Α3 ή χαρτόνι στο ίδιο μέγεθος. Σχεδιάστε πάνω του τα σχήματα που θέλετε. Στην συνέχεια αποτυπώστε το σε ένα διάφανο χαρτί και επαναδιατάξτε τα κόβοντας με το ψαλίδι. Παίξτε με τα χρώματα χρησιμοποιώντας χρωματιστό χαρτόνι ή κόλλες. Προσέξτε ώστε τα ισοδύναμα εμβαδά να έχουν το ίδιο χρώμα. Στη συνέχεια περιγράψτε την διαδικασία κατασκευής και αιτιολογήστε τον ανασχηματισμό που κάνετε. Οι εργασίες στην εικόνα κάτω είναι μαθητών Γ Γυμνασίου που εργάστηκαν ομαδικά.το ερώτημα ήταν πως μπορούμε να αναπαραστήσουμε γεωμετρικά τις ταυτότητες και τα τριώνυμα και να δώσουμε σχηματικά την παραγοντοποιημένη μορφή τους. Φτάνει να καταλάβουμε το εξής: Ότι οι μεταβλητές που είναι υψωμένες σε τετράγωνο παριστάνουν εμβαδά τετραγώνων και τα μονώνυμα της μορφής α x παριστάνουν εμβαδά ορθογωνίων πλευρών α και x. Για τις αφαιρέσεις και τις προσθέσεις σκεφτόμαστε ως εξής: Στη πρόσθεση βάζουμε τα χαρτόνια Όταν έχουμε δίπλα-δίπλα. αφαίρεση βάζουμε το μικρότερο εμβαδόν μεγαλύτερο και βλέπουμε τι μέρος επιφανείας περισσεύει μπορούμε να το πάνω και στο πως παραστήσουμε συμβολικά Στη συνέχεια θα δώσουμε δυο τέτοια παραδείγματα μέσα από εργασίες μαθητών. Το πρώτο είναι πως μπορούμε να αναπαραστήσουμε γεωμετρικά το τριώνυμο x2+3 x+2 και πως την παραγοντοποιημένη μορφή του. Για τον λόγο αυτό παίρνουμε ένα χρωματιστό τετράγωνο πλευράς x και εμβαδού x2. Τρία ορθογώνια πλευρών 1, x διαφορετικού χρώματος και εμβαδού 1 x και ένα τετράγωνο πλευράς 1 και εμβαδού 1. Τα συνθέτουμε όλα μαζί όπως δείχνουμε στο σχήμα. Τότε προκύπτει ένα ορθογώνιο πλευρών x+1,x+2 και εμβαδού (x+1)(x+2). Δηλαδή η γνωστή μας -2-
παραγοντοποίηση τριωνύμου. Στην επόμενη εργασία (δεξιά κάτω) έχουμε την αναπαράσταση της ταυτότητας α x2+10 x +25==x2 +2 5 x +52, ενώ στο γκρι χαρτόνι η ομάδα των μαθητών έκανε την γεωμετρική αναπαράσταση της ταυτότητας α2 β2=(α-β) (α+β). Πως ; Ας πάρουμε ένα τετράγωνο πλευράς α και εμβαδού α2 και ένα τετράγωνο πλευρά β και εμβαδού β2. Για να παραστήσουμε την αφαίρεση πρέπει να αφαιρέσουμε από το μεγάλο τετράγωνο επομένως το μικρό. Τώρα τι μένει ; Το μέρος που δείχνουμε είναι ένα σχήμα που αποτελείται από ένα ορθογώνιο πλευράς (α-β) α και ένα (α-β) β. Δηλαδή (α-β) ( α+β) Έ να από τα άλυτα προβλήματα (με κανόνα και διαβήτη) της αρχαιότητας ήταν ο τετραγωνισμός του κύκλου με στόχο να υπολογιστεί το εμβαδόν του. Ο Αρχιμήδης κατασκεύασε ένα 96-γωνο περιγεγραμμένο και ένα εγγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο και προσδιόρισε με μεγάλη ακρίβεια τον αριθμό π. Πως μπορούμε όμως να επανασχηματίσουμε τον κυκλικό δίσκο ώστε να το προσδιορίσουμε με την μέγιστη δυνατή προσέγγιση σαν εμβαδόν ορθογωνίου; Δίνουμε ένα παράδειγμα δυο εργασιών. Η πρώτη είναι φτιαγμένη στο χέρι και η δεύτερη είναι στον υπολογιστή σε λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας. Ο μαθητής Κοσμάς Ιωαννίδης έκανε με λεπτομέρεια εκπληκτική αριστερά δυο φορές την κατασκευή. Διαίρεσε τον κύκλο με δυο κάθετες διαμέτρους σε 4 ίσα μέρη και στην συνέχεια τα κομμάτια τα τοποθέτησε δίπλα δίπλα. Στη συνέχεια σε 8 ίσους κυκλικούς τομείς. Όπως γράφει: Καταλαβαίνουμε ότι αν συνεχίσουμε αυξάνοντας συνεχώς το πλήθος των ίσων μερών στα οποία μπορεί να διαιρεθεί ο κύκλος, το εμβαδόν του θα προσεγγίζει ολοένα και περισσότερο με ένα ορθογώνιο με βάση το μισό του μήκους του κύκλου και ύψος την ακτίνα αυτού Επομένως Ε= βάση* ύψος =1/2 2πρ ρ=πρ2. Συμπεραίνουμε ότι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι πρ2-3-
Στο σχήμα αριστερά η κατασκευή του μαθητή Νικόλα Δούβλη : ένα 60-γωνο και ένα τμήμα της περιγραφής της διαδικασίας κατασκευής. Ο κυκλικός δίσκος ανασχηματίζεται πολύ εύκολα και γρήγορα, σε ορθογώνιο στο Geometer s Sketchpad ακόμα και για 96-γωνο που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης αλλά και για μεγαλύτερο πολύγωνο. Ε ίπαμε στην αρχή ότι εργάστηκαν όλοι οι μαθητές.δυστυχώς δεν έχουμε χώρο να δείξουμε όλες τις εργασίες εδώ. Μπορούμε όμως να δείξουμε το τελικό αποτέλεσμα. Ένα παζλ εργασιών που φαίνεται στην εικόνα παρακάτω! Ένας τοίχος της αίθουσας εκδηλώσεων, 6 x 4=24τ.μ καλύφθηκε από εργασίες καλοδουλεμένες πάνω σε χαρτόνι χρωματιστό, αποδεικνύοντας για μια ακόμα φορά ότι τα μαθηματικά συνδέονται με την αισθητική, με τη συμμετρία, με την αρμονία, με το ωρισμένον. Όπως διαπιστώσατε, τα θέματα των εργασιών είχαν στόχο να συνδέσουν την θεωρία με την πράξη και τις εφαρμογές, να αναπτύξουν την φαντασία και την επινοητικότητα που όλοι διαθέτετε, μέσω της άσκησης της δημιουργικότητας. Οι μαθητές του 2ου Γυμνασίου Ν. Φιλαδέλφειας εργάστηκαν όλοι με διάθεση που αντανακλούσε στα αποτελέσματα της δουλειάς τους. Ίσως για κάποιους το μάθημα των Μαθηματικών να φαίνεται δύσκολο και ίσως όχι ιδιαίτερα ενδιαφέρον. Δοκιμάστε να κάνετε τις κατασκευές αυτές που σας προτείναμε ή και άλλες που σκεφτήκατε εσείς και θα αλλάξετε γνώμη για τα Μαθηματικά. Συνδυάστε χρώματα, βάλτε όλη την επιδεξιότητα σας στην κατασκευή ώστε να προκύψει ένα αισθητικά καλό αποτέλεσμα. Δεν υπάρχει μεγαλύτερη ανταμοιβή από το να αισθανθείτε ότι ολοκληρώσατε κάτι με επιτυχία! -4-
Στην περίπτωση μας να τα αποτελέσματα! Αποτελέσματα που έδειχναν ότι εσείς οι μαθητές μπορείτε να ανακαλύψετε δημιουργώντας και παίζοντας,την ομορφιά των Μαθηματικών. Μπορείτε να καταλάβετε μέσα από τις κατασκευαστικές διαδικασίες την χρησιμότητα των μαθηματικών. Η απόδειξη των τύπων μπορεί να γίνει χειροπιαστά και η μάθηση μπορεί να επιτευχθεί με ενεργητικούς τρόπους όπου τα Μαθηματικά να χρησιμοποιούνται ως εργαλεία σε δραστηριότητες που έχουν σχέση με την πραγματικότητα. Και μια δραστηριότητα : Παρατηρήστε το σχήμα που υπάρχει αριστερά και στείλτε μας τις απαντήσεις σας. Τι σχήμα είναι ; Ποια ταυτότητα αναπαριστά ; Μπορείτε να το κατασκευάσετε ; Αν θέλετε, μπορείτε να στείλετε και τις κατασκευές σας (με υλικά που εσείς επιθυμείτε) στην ηλεκτρονική μου διεύθυνση. Καλή επιτυχία στις προσπάθειες σας! -5-