Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1
4.1 Εισαγωγή 2
ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες ευθείες. Για να δηλώσουμε ότι οι ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες, γράφουμε ε 1 //ε 2. 3
4.2 Τέμνουσα δυο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4
Ονοματολογία Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε 1 και ε 2 του επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε 3. Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται οκτώ γωνίες. 5
Εντός εκτός Οι γωνίες γ, δ, ε, ζ που βρίσκονται μεταξύ των ε 1, ε 2 λέγονται "εντός", ενώ οι γωνίες α, β, η, θ λέγονται "εκτός". 6
Δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε 3 λέγονται "επί τα αυτά μέρη Τέτοιες είναι οι: β, ζ α,ε β, η α, θ γ, ζ δ,ε γ,η δ, θ 7
ενώ δύο γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της ε 3 λέγονται "εναλλάξ". Τέτοιες είναι: β, ε, α, ζ β, θ α,η γ, ε δ, ζ γ, θ δ,η 8
Έτσι, με συνδυασμό και των δύο χαρακτηρισμών, δύο γωνίες μπορεί να είναι : 1.Εντός εναλλάξ 2.Εντός και επί τα αυτά 3.Εντός εκτός και επί τα αυτά 4. Εντός εκτός εναλλάξ (αυτό δεν το χρησιμοποιούμε στην πράξη) 9
Εντός εναλλάξ είναι οι γωνίες: γ, ε δ, ζ Εντός και επι τα αυτά οι γωνίες: γ, ζ δ, ε Εντός εκτός και επί τα αυτά οι γωνίες: ε, α δ, θ ζ, β γ, η 10
Θεώρημα Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. Αν ω=φ, τότε ε 1 // ε 2 11
Πόρισμα Ι Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. Αν ω=φ, τότε ε 1 // ε 2 12
Πόρισμα Ι_ii Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες. Αν ω+φ=180, τότε ε 1 // ε 2 13
Πόρισμα II Δυο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες. 1 2 // 1 2 14
Αίτημα παραλληλίας (Ευκλείδειο αίτημα) Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς αυτή. ΣΧΟΛΙΟ Το αίτημα παραλληλίας ή κάποιο ισοδύναμο του καθορίζει τη φύση ολόκληρης της Γεωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως για παράδειγμα ότι το άθροισμα των γωνιών ένός τριγώνου είναι 180. 15
Ιδιότητες παράλληλων ευθειών 16
Πρόταση Ι Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Αν ε 1 // ε 2 τότε ω=φ. 17
Πόρισμα i Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες. Αν ε 1 // ε 2 τότε ω=φ. 18
Πόρισμα ii Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές. Αν ε 1 // ε 2 τότε ω+φ=180. 19
Πρόταση ΙΙ Αν δυο διαφορετικές ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξυ τους παράλληλες, δηλαδή αν ε 1 //ε και ε 2 //ε, τότε ε 1 //ε 2. 1 2 // // // 1 2 20
Πρόταση ΙΙΙ Αν δυο ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και την άλλη. 21
ΠΟΡΙΣΜΑ Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δυο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη. 22
Πρόταση IV Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 2 ορθές (180 ), τότε οι ευθείες i) τέμνονται ii) προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες. 180 23
4.4 Γωνίες με πλευρές παράλληλες 24
Δυο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες. 25
Δυο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες. 26
Δυο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, αλλά η μιά είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπληρωματικές. 180 27
4.5 Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου 28
Θεώρημα Οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου. Το σημείο στο οποίο συντρέχουν και οι τρεις μεσοκάθετοι του τριγώνου λέγεται περίκεντρο και ο κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου 29
Θεώρημα Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του τριγώνου λέγεται έγκεντρο και ο κύκλος αυτός λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. 30
4.6 Αθροισμα γωνιών τριγώνου 31
Θεώρημα Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. ˆ ˆ ˆ 180 32
Αλλες ισοδύναμες σχέσεις: πό την βασική σχέση ˆ ˆ ˆ 180 προκύπτουν άλλες ισοδύναμες που μπορούμε να χρησιμοποιούμε όπως οι παρακάτω: ˆ 180 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 90 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 90 2 2 2 33
Σε ισοσκελές τρίγωνο ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: ˆ ˆ ˆ 180 ˆ ˆ ˆ 180 ˆ 2 ˆ 180 ˆ 180 2 ˆ ˆ ˆ 180 ˆ ˆ ˆ 2 34
ΠΟΡΙΣΜΑ i i) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Γ εξ Σημείωση:Ενδεικτικά πήρα για το σχήμα την Γ εξ.θα μπορούσα να πάρω την την Β εξ ή την Α εξ. 35
ΠΟΡΙΣΜΑ ii ii) Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 36
ΠΟΡΙΣΜΑ iii iii) Οι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές (δηλαδή έχουν άθροισμα 90 ) ˆ ˆ 90 ή ισοδύναμα ˆ 90 ˆ ή ισοδύναμα ˆ 90 ˆ 37
ΠΟΡΙΣΜΑ iv Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60. 38
4.7 Γωνίες με πλευρές κάθετες. 39
Θεώρημα Δυο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. ω=φ 40
Πόρισμα i) Δυο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. 41
Πόρισμα ii) ii) Δυο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπληρωματικές. 180 42
4.8 Αθροισμα γωνιών κυρτού ν- γώνου Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr www.peira.gr 43
Αθροισμα γωνιών κυρτού τετραπλεύρου Εστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.Φέρνουμε μια διαγώνιό του, εδώ την ΑΓ οπότε σχηματίζονται 2 τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ.Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου ισούται με το άθροισμα των γωνιών των δύο τριγώνων.ετσι έχουμε: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 180 180 360 2 2 1 1 180 180 44
Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου δίνεται από τον τύπο: ν 2 180 ή σε ορθές ν 2 2 Παράδειγμα: Για παράδειγμα το άθροισμα των γωνιών κυρτού πενταγώνου (εδώ ν=5) είναι: 5 2 180 = 3 180 = 540 Για παράδειγμα το άθροισμα των γωνιών κυρτού εξαγώνου (εδώ ν=6) είναι: 6 2 180 = 4 180 = 720 45
Τhe end Thanks for watching!!!! 46