Φ Υ Σ Ι Κ Η Ι Σ Ε Μ Φ Ε. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ. Α. Κινηµατική

Φ Υ Σ Ι Κ Η Ι Σ Ε Μ Φ Ε Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Α Κινηµατική Α Η θέση ενός σηµείου πάνω στον άξονα των δίνεται, ως συνάρτηση του χρόνου t, από τη σχέση: ( = 4 + t sin5t (σε m όταν ο χρόνος είναι σε s) Να βρεθεί η ταχύτητα του σηµείου, και η επιτάχυνσή του Α Οι συντεταγµένες ενός σηµείου πάνω στο επίπεδο y δίνονται, συναρτήσει του χρόνου t, από τις σχέσεις: ( = 4sin 5t y( = 4cos 5t (σε m όταν ο χρόνος είναι σε s) Να βρεθούν: (α) Οι συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σηµείου (β) Τα µέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σηµείου (γ) Η εξίσωση της τροχιάς του σηµείου Α Η θέση ενός σηµείου πάνω στον άξονα των δίνεται, ως συνάρτηση του χρόνου t, από τη 5t σχέση: ( = + t + 4e (σε m όταν ο χρόνος είναι σε s) Να βρεθεί η ταχύτητα του σηµείου και η επιτάχυνσή του είξτε ότι η ταχύτητα του σηµείου τείνει σε µια σταθερή τιµή Α4 Οι συντεταγµένες ενός σηµείου που κινείται πάνω στο επίπεδο y δίνονται, συναρτήσει του χρόνου t, από τις σχέσεις: ( = sin5t, y( = 4cos 5t (σε m όταν ο χρόνος είναι σε s) Να βρεθούν: (α) Οι συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σηµείου (β) Τα µέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σηµείου (γ) Η εξίσωση της τροχιάς του σηµείου t Α5 Αν ( = ( + ˆ + cos t yˆ + e zˆ, να βρεθούν τα d = & d και dt dt οι αρχικές τιµές (για t = ) (), & () και & & () των τριών διανυσµάτων d& = dt = &, καθώς και Α6 Να βρεθούν οι παράγωγοι του διανύσµατος ˆ yˆ) ˆ ( = ( + y + υt zˆ gt όλα τα άλλα µεγέθη είναι σταθερά Επίσης να βρεθούν οι τιµές τους για t = ως προς t, αν Α7 ύο σωµατίδια µε µάζες m και m, κινούνται έτσι ώστε να έχουν διανύσµατα θέσης = (t + t )ˆ + (4 + 4t )ˆ y + (5 + zˆ και = ( t t )ˆ + ( + 9t t )ˆ y + ( + 4 zˆ αντίστοιχα, όπου t = χρόνος (οι αποστάσεις σε m και ο χρόνος σε s) (α) Αποδείξετε ότι τα σωµατίδια θα συγκρουσθούν και βρείτε πότε θα συµβεί αυτό τ = s (β) Ποια δύναµη ασκείται πάνω στο κάθε σωµατίδιο; Ποια είναι η ολική εξωτερική δύναµη που ασκείται στο σύστηµα; F ολ = (γ) ιατηρείται η ορµή του συστήµατος; Αν ναι, πόση είναι; P ολ = m( ˆ + 8ˆ y + ˆ z) (δ) Αν µετά την κρούση τα σωµατίδια ενώνονται σε ένα, να βρεθεί η θέση τους ως συνάρτηση του χρόνου = 4ˆ + 4ˆ y + 7ˆ) z + t (ˆ + 8ˆ y + ˆ z ) ( Α8 Σώµα µάζας m κινείται σε τροχιά που δίνεται σε παραµετρική µορφή από τις συντεταγµένες του σώµατος: = a sin ωt, y = 4asin ωt, z = 5a cosωt, όπου t = χρόνος, και ω και a είναι θετικές σταθερές Αποδείξετε ότι η τροχιά είναι επίπεδη, δείχνοντας ότι σε τρεις διαφορετικές χρονικές στιγµές t, t, t, τα αντίστοιχα διανύσµατα θέσης,, είναι συνεπίπεδα Συνθήκη: =

Α9 Σηµειακή µάζα m κινείται πάνω σε τροχιά που δίνεται σε παραµετρική µορφή ως = acos( ω, y = asin( ω, z = t, όπου t είναι ο χρόνος, και a, και ω είναι θετικές σταθερές (α) Να βρεθεί το διάνυσµα θέσης, η ταχύτητα υ και η επιτάχυνση γ της µάζας συναρτήσει του χρόνου (β) Αν Κ είναι ένα σηµείο πάνω στον άξονα των z που έχει διάνυσµα θέσης c = z zˆ = t zˆ, και R = c είναι το διάνυσµα από το σηµείο Κ στη µάζα, να βρείτε το διάνυσµα R και να δείξετε ότι η απόσταση της µάζας από το σηµείο Κ ή τον άξονα των z είναι σταθερή (γ) Βρείτε τη δύναµη F που ασκείται πάνω στη µάζα είξετε ότι αποτελείται από δύο συνιστώσες: µία κεντροµόλο δύναµη µε σταθερό µέτρο προς το σηµείο Κ, και µία σταθερή στην κατεύθυνση z F = m ω RRˆ + m zˆ (δ) Υπολογίστε τον στιγµιαίο ρυθµό παραγωγής έργου από τη δύναµη, υ P = F, και δείξτε ότι εξαρτάται µόνο από την κίνηση στην κατεύθυνση z Α Η κίνηση βλήµατος στο οµογενές βαρυτικό πεδίο της Γης δίνεται από τις σχέσεις: ( = + ( υ cosθ ) t y( = y + ( υ sinθ t gt ) P = 4m όπου t είναι ο χρόνος, και τα υπόλοιπα µεγέθη είναι σταθερά Ο άξονας είναι οριζόντιος και ο άξονας των y είναι κατακόρυφος Να βρεθεί το µέγιστο ύψος στο οποίο θα φθάσει το σώµα y ma y = y + ( υ / g) sin Α ίνεται ότι: e, = + + + + για κάθε Να υπολογιστεί η τιµή του e µε ακρίβεια!!, τριών δεκαδικών ψηφίων Πόσο είναι το σφάλµα στο e αν υποθέσουµε ότι είναι e + ; e =,5,, 5 Α Να βρεθεί σε καρτεσιανές συντεταγµένες η ροπή της δύναµης F = F ˆ + Fyyˆ + Fzzˆ ως προς το σηµείο (,, ), N F N = yf zf )ˆ + ( zf F ) yˆ + ( F yf ) zˆ ma ( z y z y Α Να βρεθεί η µαγνητική δύναµη F µ που ασκείται πάνω σε ένα φορτίο Q που κινείται µε ταχύτητα v =υ ˆ µέσα στο µαγνητικό πεδίο B = B yyˆ + Bzzˆ Να βρεθεί επίσης το µοναδιαίο διάνυσµα Fˆ µ Fµ = Q υ ( Bzyˆ + Byzˆ ) Α4 Η ροπή µιας δύναµης ως προς το σηµείο Ο ορίζεται ως N F, όπου είναι το διάνυσµα από το Ο στο σηµείο στο οποίο ασκείται η δύναµη Να δειχθεί ότι η ροπή δύο ίσων και αντίθετων δυνάµεων F και F που ασκούνται στα σηµεία και αντίστοιχα (ζεύγος δυνάµεων), είναι ανεξάρτητη του σηµείου ως προς το οποίο υπολογίζεται Α5 Η στροφορµή ως προς το σηµείο (,, ) µιας µάζας m που βρίσκεται στο σηµείο και κινείται µε ταχύτητα v, ορίζεται ως L m v Έστω ότι η µάζα υφίσταται µια κεντρική δύναµη, δηλαδή µια δύναµη της µορφής F = f () ˆ, όπου f () είναι µια συνάρτηση µόνο της απόστασης από το κέντρο (,, ) και ˆ το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση του ( είξτε ότι η στροφορµή της µάζας διατηρείται σταθερή [Υπόδειξη: είξτε ότι ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής ως προς τον χρόνο είναι dl / dt = Για τον σκοπό αυτό χρησιµοποιήστε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα m d v / dt = F Η απόδειξη µπορεί να βρεθεί στο βιβλίο C Kittel κά, Μηχανική, σελ 97-8], t θ

Β υναµική Β Ευθύγραµµη ράβδος έχει µήκος L και γραµµική πυκνότητα µάζας (µάζα ανά µονάδα µήκους) που µεταβάλλεται συναρτήσει της απόστασης από το ένα άκρο της ράβδου σύµφωνα µε τη σχέση λ = λ ( + / L) όπου λ µια θετική σταθερά είξετε ότι η ολική µάζα της ράβδου είναι = λ L m Β Ένα σώµα µάζας m = kg κινείται πάνω στον άξονα των υπό την επίδραση της δύναµης F ( = 6t (σε µονάδες SI) στην κατεύθυνση του άξονα, όπου t ο χρόνος Τη χρονική στιγµή t = το σώµα βρίσκεται στο σηµείο ( ) = και κινείται µε ταχύτητα υ ( ) = m/s Να βρεθούν η ταχύτητα υ ( και η θέση ( του σώµατος συναρτήσει του χρόνου υ ( = t, ( = t Β Ένα σώµα έχει µάζα m, βρίσκεται αρχικά ακίνητο στη θέση y = και αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα (κατά µήκος του άξονα y, η θετική κατεύθυνση του οποίου είναι προς τα πάνω) Η δύναµη της τριβής του αέρα είναι ίση µε υ, όπου υ η ταχύτητα του σώµατος και µια θετική σταθερά mg t (α) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος, υ, ως συνάρτηση του χρόνου υ = e m mg (β) είξτε ότι η ταχύτητα τείνει σε µια ορική τιµή και βρείτε την τιµή αυτή υ ορ = m g t (γ) Να βρεθεί η θέση του σώµατος, y, ως συνάρτηση του χρόνου y = t e m m (δ) Αναπτύξτε τις απαντήσεις για τα y ( και υ ( σε σειρές δυνάµεων του χρόνου, για να βρείτε σχέσεις που ισχύουν για µικρές τιµές του t ίνεται το ανάπτυγµα: e = + + + +!! t y gt + g t, υ gt + g t 6 m m Β4 Σωµατίδιο µάζας m κινείται στο επίπεδο y Το επίπεδο y είναι οριζόντια λεία επιφάνεια Τη χρονική στιγµή t = το σωµατίδιο βρίσκεται στο σηµείο (, ) και έχει ταχύτητα υ η οποία σχηµατίζει γωνία 45 o µε τον άξονα Η µόνη δύναµη που ασκείται στο σωµατίδιο είναι µία δύναµη τριβής, mkυ y ŷ, ανάλογη της συνιστώσας υ y της ταχύτητάς του, όπου k είναι ένας σταθερός θετικός συντελεστής (α) Ποια είναι η εξίσωση κίνησης του σωµατιδίου; (β) Βρείτε την ταχύτητά του ως συνάρτηση του χρόνου (γ) Ποια είναι η εξίσωση της τροχιάς που διαγράφει το σωµατίδιο στο επίπεδο y ; υ = υ = / ) /, υ y ( υ kt e υ = k y ep k υ (δ) Ποια είναι η µέγιστη τιµή y του y στην τροχιά; m υ y m = k Β5 Σε εορταστική εκδήλωση µιας αερολέσχης, ένας αλεξιπτωτιστής πέφτει µε µηδενική αρχική ταχύτητα από ύψος m Με το αλεξίπτωτο κλειστό, κάποια στιγµή αποκτά ταχύτητα υ = 4 m/s

(α) Στο διάστηµα αυτό, η αντίσταση που ασκεί ο αέρας πάνω στον αλεξιπτωτιστή είναι ανάλογη της ταχύτητάς του µε σταθερά αναλογίας =,5 kg/s, η δε µάζα του αλεξιπτωτιστή µε τη στολή του είναι 66 kg Γράψτε την εξίσωση κίνησης του αλεξιπτωτιστή Πάρτε τον κατακόρυφο άξονα ως άξονα y, µε θετικές τιµές προς τα κάτω, και την αρχική θέση του αλεξιπτωτιστή ως y = Λύστε την εξίσωση για να βρείτε την ταχύτητα υ ( του αλεξιπτωτιστή συναρτήσει του χρόνου (β) Πόση είναι η ορική ταχύτητα υ ορ του αλεξιπτωτιστή; (γ) Πόση απόσταση κάλυψε για να φθάσει την ταχύτητα υ = 4 m/s ; (δ) Είναι συµβιβαστά τα δεδοµένα; Εξηγήστε γιατί (Θεωρήστε g = m/s ) Β6 Ένα σώµα έχει µάζα m, βρίσκεται αρχικά ακίνητο στο σηµείο y =, και τη χρονική στιγµή t = αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα (κατά µήκος του άξονα y, η θετική κατεύθυνση του οποίου είναι προς τα κάτω) Κατά την κίνηση του σώµατος στο πεδίο βαρύτητας, το οποίο θεωρούµε οµογενές, η αντίσταση του αέρα είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας του σώµατος, και ίση µε aυ, όπου υ η ταχύτητα του σώµατος και a µια θετική σταθερά (α) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος, υ (, ως συνάρτηση του χρόνου (β) είξετε ότι το σώµα τείνει να αποκτήσει µια ορική ταχύτητα και βρείτε την τιµή της (γ) Να βρεθεί η θέση του σώµατος, y(, ως συνάρτηση του χρόνου Β7 Σώµα µάζας m εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα V ŷ ( V > ) κατά µήκος του άξονα των y, η θετική κατεύθυνση του οποίου είναι προς τα πάνω Η αρχική θέση του σώµατος είναι y = Πάνω στο σώµα δρα, εκτός του βάρους του, δύναµη τριβής από τον αέρα ίση µε mkυ, όπου υ η ταχύτητα του σώµατος και k µια θετική σταθερά (α) Να διατυπωθεί η εξίσωση κίνησης του σώµατος dυ dυ dy dυ (β) Χρησιµοποιώντας τη σχέση = = υ δείξτε ότι τα υ και y ικανοποιούν τη σχέση dt dy dt dy V υ g y = k k + kv / g ln + k / g υ V g kv (γ) Βρείτε το µέγιστο ύψος H στο οποίο θα φθάσει το σώµα H = ln + k k g (δ) Αν υ = U είναι η ταχύτητα µε την οποία το σώµα επιστρέφει στο y =, δείξτε ότι: ku ku / g kv kv g e = + e / g Β8 Σωµατίδιο µάζας m µπορεί να κινηθεί πάνω στον άξονα των, υπό την επίδραση της δύναµης k F =, όπου είναι η απόσταση του σωµατιδίου από την αρχή Ο και k µια θετική σταθερά Το σωµατίδιο κρατιέται σε κάποια θέση ( ) = > και τη χρονική στιγµή t = αφήνεται ελεύθερο, οπότε κάτω από την επίδραση της ελκτικής δύναµης κινείται προς το κέντρο Ο (α) Βρείτε πώς εξαρτάται η ταχύτητα του σωµατιδίου υ από το, δηλαδή τη συνάρτηση υ = υ() (β) είξτε ότι ο χρόνος που απαιτείται για να φθάσει το σωµατίδιο από το σηµείο εκκίνησης στο σηµείο Ο είναι ίσος µε π m / 8k g ίνεται: d = ( ) + sin

Γ ιατήρηση της ενέργειας Γ Η δύναµη που ασκείται πάνω σε ένα σώµα είναι F ( = F ( + t / τ ), όπου τα F και τ είναι σταθερά και t ο χρόνος Υπολογίστε την ώθηση που ασκεί η δύναµη στο σώµα στο χρονικό διάστηµα µεταξύ t = και t = τ Ω = τ Γ Πόσο έργο παράγει η δύναµη ( ) = F ( + / a / ) όταν το σηµείο εφαρµογής της µετατοπίζεται από το σηµείο = στο σηµείο F a 4 F 7 = a ; = F a W 6 Γ Ένα αυτοκίνητο έχει µάζα m και κινείται µε ταχύτητα της οποίας το µέτρο δίνεται, συναρτήσει του χρόνου, από τη σχέση υ = α + β t Να βρεθεί η κινητική του ενέργεια συναρτήσει του χρόνου Αν το αυτοκίνητο κινείται χωρίς απώλειες λόγω τριβών, µε ποιο ρυθµό παρέχει ενέργεια η µηχανή του (ισχύς); Ισχύς P = mβ ( α + β Γ4 Η δύναµη που ασκεί ένα ελατήριο συναρτήσει της επιµήκυνσής του,, δίνεται από τη σχέση F( ) = k + p q Ποια είναι η δυναµική ενέργεια που αποθηκεύεται στο ελατήριο όταν το µήκος του µεταβληθεί, από τη φυσική του τιµή, κατά a ; U ( a) = ka pa + qa 4 4 Γ5 Η δυναµική ενέργεια ενός σώµατος είναι: (α) U = α y, (β) όπου = + y + z, και α και κ είναι θετικές σταθερές Σε κάθε περίπτωση βρείτε τη δύναµη F( ) που ασκείται πάνω στο σώµα z κ U =, Γ6 Υπολογίστε το έργο που παράγει η δύναµη F = ( y)ˆ + ( y + z)ˆ y zˆ (σε Ν όταν τα µήκη είναι σε m) όταν το σηµείο εφαρµογής της µετατοπίζεται από το σηµείο (,, ) στο σηµείο (,, ) κατά µήκος της καµπύλης C, όταν C είναι: (α) η καµπύλη = t, y = t, z = t, και (β) η καµπύλη, y = z z = (γ) Είναι διατηρητική η δύναµη; (α) J, (β) J, (γ) όχι Γ7 Η δύναµη που ασκείται πάνω σε ένα σώµα είναι (σε Ν όταν τα µήκη είναι σε m) F(, y, z) = ( y + z)ˆ + (y + z )ˆ y + (yz + ) zˆ Θεωρώντας ότι είναι U (,, ) =, δείξετε ότι η δυναµική ενέργεια του σώµατος είναι U (, y, z) = ( y + yz + z ) U U U Υπόδειξη: Ολοκληρώστε ξεχωριστά τις σχέσεις: = F, = Fy, = Fz y z Γ8 Η δύναµη που ασκείται πάνω σε ένα σώµα είναι F( ) όπως δίνεται παρακάτω, όπου κ και a είναι θετικές σταθερές, είναι η απόσταση από την αρχή των αξόνων Ο και ˆ είναι το µοναδιαίο διάνυσµα από το σηµείο Ο προς το σηµείο Σε καθεµιά από τις περιπτώσεις, βρείτε τη δυναµική ενέργεια του σώµατος, U ( ) Θεωρήστε ότι U = όταν = κ κ (α) F( ) = ˆ U ( ) = (β) F( ) / a = κ e ˆ / a U ( ) = κ e a Γ9 Σώµα µάζας m έχει δυναµική ενέργεια U ( ) = A +, όπου A και είναι θετικές σταθερές και η απόσταση του σώµατος από ακίνητο σηµείο Ο (Σηµείωση: το είναι πάντοτε θετικό) (α) Να βρεθεί η δύναµη που ασκείται στο σώµα F = 6A 4 5 5

(β) Σε ποια απόσταση µπορεί να ισορροπήσει το σώµα; = (γ) Αν το σώµα αφεθεί ελεύθερο µε αρχική ταχύτητα ίση µε µηδέν σε άπειρη απόσταση από το Ο, να βρεθεί η ταχύτητά του στη θέση = και η απόσταση στην οποία η ταχύτητά του θα ξαναγίνει µηδενική υ ( ) = ± A/ m =, Γ Ένα σώµα µε µάζα m =,5 kg κινείται κατά τον άξονα Η δυναµική του ενέργεια είναι U ( ) =, ( < < ) σε J όταν το είναι σε m (α) Σχεδιάστε τη συνάρτηση U() και βρείτε τα σηµεία ισορροπίας του σώµατος 4 =, = m (β) Υπολογίστε και σχεδιάστε τη δύναµη F() που ασκείται πάνω στο σώµα F = (γ) Το σώµα ξεκινά από τη θέση = m µε αρχική ταχύτητα v = ˆ m/s Περιγράψτε ποιοτικά την κίνησή του Βρείτε την ταχύτητά του στα σηµεία ισορροπίας ( υ ) = ± m/s, υ( 4 ) = ± m/s Γ Σώµα µάζας m κινείται στο επίπεδο y µε τέτοιο τρόπο ώστε το διάνυσµα θέσης του να είναι ( = ( α cosω ˆ + ( β sinω yˆ, όπου α, β και ω είναι θετικές σταθερές και t ο χρόνος (α) Βρείτε την εξίσωση της τροχιάς του σώµατος σε καρτεσιανές συντεταγµένες (β) Βρείτε τη δύναµη F που ασκείται στο σώµα είξετε ότι η δύναµη είναι διατηρητική (γ) Βρείτε τη δυναµική και την κινητική ενέργεια του σώµατος Θεωρήστε ότι U ( = ) = (δ) Ποια είναι η ολική ενέργεια του σώµατος; είξετε ότι αυτή διατηρείται σταθερή E = mω ( α β ) ολ + (ε) Βρείτε το έργο που παράγει η δύναµη F καθώς το σώµα κινείται από τη θέση Α(α, ), στη θέση Β(, β) W = mω ( α β ) (στ) Υπολογίστε το έργο που παράγει η δύναµη F και ως συνάρτηση του χρόνου Επαληθεύσετε το αποτέλεσµα (ε) W = mω ( α β ) sin ωt Γ Η δυναµική ενέργεια ενός συστήµατος δύο σωµατιδίων δίνεται από την έκφραση ( ) / e U = V όπου η απόσταση µεταξύ των σωµατιδίων και V και είναι θετικές σταθερές Αν το ένα σωµατίδιο παραµένει ακίνητο στη θέση =, / (α) Να υπολογίσετε τη δύναµη που ασκείται στο δεύτερο σωµατίδιο e F = V (β) Να εξετάσετε αν η δύναµη αυτή είναι κεντρική, διατηρητική, ελκτική ή απωστική (γ) Υπάρχει τιµή του για την οποία τα σωµατίδια βρίσκονται σε απόσταση ισορροπίας; = Γ Η δυναµική ενέργεια ενός διατοµικού µορίου είναι ίση µε U ( ) = D +, όπου είναι η απόσταση µεταξύ των δύο ατόµων και D και είναι θετικές σταθερές Το ένα άτοµο παραµένει ακίνητο στη θέση = (α) Σχεδιάστε τη συνάρτηση U() (β) Βρείτε τη δύναµη που ασκείται στο ελεύθερο άτοµο Εξηγήστε πού είναι η δύναµη ελκτική, µηδενική, απωστική (γ) Το ελεύθερο άτοµο κρατείται στη θέση = / και αφήνεται να κινηθεί, µε µηδενική αρχική ταχύτητα Βρείτε τη µέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει Περιγράψετε την κίνηση που θα επακολουθήσει (δ) Αν τα δύο άτοµα αποµακρυνθούν σε απόσταση το ένα από το άλλο και αφεθούν ελεύθερα µε µηδενικές ταχύτητες, για ποιες τιµές του θα διασπασθεί το µόριο; δυν δυν

Σχετικότητα Κινηµατική είξετε ότι, για ένα συµβάν, η ποσότητα s = + y + z c t είναι αναλλοίωτη ως προς τον µετασχηµατισµό Loentz (έχει την ίδια τιµή σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µε την προϋπόθεση ότι οι άξονές τους συµπίπτουν για t = t = ) Οι συντεταγµένες δύο γεγονότων στο σύστηµα αναφοράς S είναι οι εξής: = t = / c y =, z Γεγονός :, ( = ) Γεγονός : =, t = / c ( y =, z ) = (α) Υπάρχει ένα σύστηµα αναφοράς S, στο οποίο τα δύο αυτά γεγονότα συµβαίνουν την ίδια χρονική στιγµή Βρείτε την ταχύτητα του συστήµατος αυτού ως προς το S Υποθέτουµε ότι οι άξονες των συστηµάτων S και S συµπίπτουν τη χρονική στιγµή t = t = V = c / (β) Σε ποια χρονική στιγµή συµβαίνουν τα δύο αυτά γεγονότα στο σύστηµα S ; t = t = t Ο µέσος χρόνος ζωής των σωµατιδίων µ στο δικό τους σύστηµα αναφοράς είναι ίσος µε 6 τ = s Μια δέσµη σωµατιδίων µ παράγεται σε κάποιο ύψος στην ατµόσφαιρα Τα σωµατίδια κινούνται µε ταχύτητα υ =,99 c (α) Υπολογίστε το ύψος στο οποίο παράγονται τα σωµατίδια, αν ένα ποσοστό % αυτών επιζούν και φθάνουν στην επιφάνεια της Γης [Στο σύστηµα αναφοράς των σωµατιδίων, ο αριθµός των επιζώντων σωµατιδίων στη χρονική t /τ στιγµή t είναι N( N e, όπου N είναι ο αριθµός των σωµατιδίων όταν t = και τ είναι ο = µέσος χρόνος ζωής των σωµατιδίων στο σύστηµα αυτό] (β) Πόσο είναι το µήκος αυτής της διαδροµής, όπως το βλέπουν τα σωµατίδια; 9 km,7 km 4 Ένα διαστηµόπλοιο, Α, αναχωρεί από τη Γη και κατευθύνεται προς το άστρο α του Κενταύρου, µε σταθερή ταχύτητα Η απόσταση του άστρου από τη Γη είναι 4 έτη φωτός 5 ( έτος φωτός = η απόσταση που διανύει το φως σε ένα έτος = ly = 9,45 m ) (α) Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα του διαστηµοπλοίου ως προς τη Γη, ώστε για έναν παρατηρητή µέσα στο διαστηµόπλοιο το ταξίδι αυτό να διαρκέσει 4 έτη; β = /, γ = (β) Πόσο διαρκεί το ταξίδι για έναν παρατηρητή στη Γη; 5,7 έτη (γ) Υποθέτουµε ότι ένα δεύτερο διαστηµόπλοιο Β επιστρέφει από τον α του Κενταύρου µε ταχύτητα c / ως προς τη Γη Ποια είναι η ταχύτητα του διαστηµοπλοίου Β όπως την µετρά ο παρατηρητής που βρίσκεται µέσα στο διαστηµόπλοιο Α; ( / ) c (δ) Αν το µήκος ηρεµίας του διαστηµοπλοίου Β είναι l = 48 m, ποιο είναι το µήκος του όπως το µετρά ένας παρατηρητής που βρίσκεται µέσα στο διαστηµόπλοιο Α; 6 m 5 Τρεις γαλαξίες, Α, Β και Γ, βρίσκονται πάνω σε µια ευθεία Ως προς τον Α, που βρίσκεται ανάµεσα στους Β και Γ, αυτοί κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις µε ταχύτητες ίσες µε,7c Η ταχύτητα µε την οποία οι Β και Γ αποµακρύνονται ο ένας από τον άλλο, όπως την µετρά ο Α, είναι εποµένως,4c Πόση είναι η ταχύτητα αυτή όπως την µετρούν οι Β και Γ;,94 c 6 Το σύστηµα αναφοράς S κινείται µε ταχύτητα V ˆ ως προς το σύστηµα αναφοράς S Στο S, ένα φωτόνιο έχει συνιστώσες ταχύτητας υ = c cosθ και υ y = c sinθ Βρείτε τις τιµές των συνιστωσών στο σύστηµα S και δείξετε ότι η ταχύτητα του φωτονίου στο S είναι ίση µε c

υναµική 7 Σωµατίδιο π, που ηρεµεί στο σύστηµα του εργαστηρίου, διασπάται σε π µ + ν Να δειχθεί c ότι η ολική ενέργεια του µ είναι E ( m + m ) µ = π µ mν, όπου m π, mµ και mν είναι οι µάζες mπ ηρεµίας των τριών σωµατιδίων Ποια είναι η ολική ενέργεια του ν ; Ποια µορφή παίρνουν τα αποτελέσµατα αυτά αν το νετρίνο ν έχει m = ; 8 Ένα σωµατίδιο µε µάζα ηρεµίας ν m ( c = GeV) m ( c GeV) m κινείται µε ταχύτητα υ =,8 c και συγκρούεται µε ένα άλλο σωµατίδιο µε µάζα ηρεµίας m = που είναι ακίνητο Μετά την κρούση, τα δύο σωµατίδια σχηµατίζουν ένα σώµα µε µάζα ηρεµίας M Να βρεθούν: (α) Η ολική ενέργεια του συστήµατος, σε GeV (β) Η ολική ορµή του συστήµατος, σε GeV/c (γ) Η µάζα M, σε GeV/c (α),67 GeV, (β) 4/ GeV/ c, (γ),59 9 Εξηγήστε γιατί τα ακόλουθα είναι αδύνατο να συµβούν: (α) Ένα φωτόνιο συγκρούεται µε ακίνητο ηλεκτρόνιο, και του δίνει όλη του την ενέργεια (β) Ένα µεµονωµένο φωτόνιο µετατρέπεται σε ζεύγος ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου (γ) Ένα κινούµενο ποζιτρόνιο συγκρούεται µε ένα ακίνητο ηλεκτρόνιο, και τα δύο εξαϋλώνονται παράγοντας ένα µόνο φωτόνιο (Το ποζιτρόνιο είναι το αντισωµατίδιο του ηλεκτρονίου) Ένα σωµατίδιο + K έχει µάζα ηρεµίας ισοδύναµη µε c = 498 µεσόνια, π και π, που έχουν ίσες µάζες ηρεµίας, mπ Στο σύστηµα ηρεµίας του κινούνται µε ταχύτητα,8c το καθένα m K GeV/c MeV και διασπάται σε δύο K τα µεσόνια (α) Να βρεθεί ο λόγος των µαζών ηρεµίας m π / m K m π / m K =, 8 (β) Έστω ότι στο σύστηµα του εργαστηρίου το K κινείται µε ταχύτητα,8c και τα δύο µεσόνια κινούνται πάνω στην αρχική ευθεία κίνησης του K Να βρεθούν οι κινητικές ενέργειες των µεσονίων στο σύστηµα του εργαστηρίου και 66 MeV ( ιάµηκες και εγκάρσιο φαινόµενο Dopple) Πηγή φωτός Π κινείται µε σταθερή ταχύτητα V κατά µήκος του άξονα των στο σύστηµα αναφοράς S Η πηγή εκπέµπει, προς όλες τις κατευθύνσεις, φωτόνια τα οποία έχουν ενέργεια E στο σύστηµα αναφοράς S της πηγής (και εποµένως συχνότητα ν = E / h, και ορµή p = E / c, στο ίδιο σύστηµα) Στο επίπεδο y βρίσκεται παρατηρητής A, ακίνητος στο σύστηµα S Ο παρατηρητής βλέπει σε µια χρονική στιγµή φωτόνια από την πηγή να κινούνται προς αυτόν, πάνω σε µια ευθεία που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα των, και τα οποία έχουν ενέργεια E ( ν = E / h, p = E / c ) στο σύστηµα S (α) Να βρεθούν, στο S, οι συνιστώσες της ορµής των φωτονίων συναρτήσει των E και θ E E p = cos θ, p y = sinθ, pz = c c (β) Χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό ορµής και ενέργειας, δείξετε ότι ο λόγος των συχνοτήτων στα δύο συστήµατα είναι ίσος µε: ν β = ν + β cosθ β = V c (γ) Συζητήστε σε συντοµία τις ειδικές περιπτώσεις για θ =, 9 o, 8 o (δ) Για ποια τιµή του θ είναι ν = ν ; Πώς εξηγείται αυτό;