Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Παράγωγος. x ορίζεται ως

Transcript

1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 5 Παράγωγος Παράγωγος Η παράγωγος της συνάρτησης f f () στο σηµείο f ( ) lim 0 ορίζεται ως f ( + ) f ( ) () Παράγωγοι ανώτερης τάξης ορίζονται µε τον ίδιο τρόπο Για παράδειγµα, f f f ( ) lim 0 f ( + ) f ( ) () Για τους τελεστές παραγώγισης χρησιµοποιούνται τα σύµβολα,, και D, D, και οι παράγωγοι συµβολίζονται ως y, y, y,, 3 y y,, y,, ή και ως Dy, D y, Στη Φυσική χρησιµοποιείται επίσης και ο συµβολισµός του 3 Νεύτωνα, στον οποίο µια τελεία πάνω από ένα σύµβολο υποδηλώνει παραγώγιση ως προς τον y y r χρόνο: y&, & y, r &r r Κανόνες παραγώγισης Αν οι f, g, u και υ είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις ισχύουν οι εξής κανόνες παραγώγισης: f g [ f ( ) + )] + f ( ) + g ( ) (3) f g [ f ( ) )] g + f f ( ) ) + f ( ) g ( ) (4) f g g f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 f g f g, ) 0 ) g [ )] (5) f f u u 4 Αν f f (u) και u u() f ( u) f ( u) u ( ) (6) u Αν f f (u), u u(υ ) και υ υ() 5 Αν y f (), και f ( y) είναι η αντίστροφη συνάρτηση y / y και 6 Αν είναι f ( και y f f u υ (7) u υ y y / (8) y y / g ( (9) / f (

2 6 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Παραδείγµατα -6 [ + sin ] + sin + cos ( e sin ) sin e + e sin e sin + e cos 3 sin sin sin cos sin f f u 4 Αν f sinu και u cos u () cos( ) u υ Αν f sinu, u e και υ f f u υ cos u e u υ υ () e cos( e 5 Αν y sin, και sin y είναι η αντίστροφη συνάρτηση y y / cos ± y y y / sint 6 Αν είναι sin t και y cost tant / cost ) 3 Η εύρεση των µέγιστων και ελάχιστων µιας συνάρτησης Αν στο σηµείο 0 είναι f ( 0 ) 0, και f ( 0 ) 0 η συνάρτηση f () : Έχει τοπικό ή σχετικό µέγιστο στο 0, αν f ( 0 ) < 0 Έχει τοπικό ή σχετικό ελάχιστο στο 0, αν f ( 0 ) > 0 Αν f ( 0 ) 0, αλλά και σε όλες τις περιπτώσεις, εφαρµόζουµε τον γενικό κανόνα: Αν στο σηµείο η συνάρτηση f () ικανοποιεί τις συνθήκες 0 (n ) ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0) f 0 για κάποιο θετικό ακέραιο n η συνάρτηση f () : (n) ενώ Έχει τοπικό ή σχετικό µέγιστο στο 0, αν f ( 0 ) < 0 (n) Έχει τοπικό ή σχετικό ελάχιστο στο 0, αν f ( 0 ) > 0 f (n) ( 0 ) 0 Παράδειγµα 7 Η κίνηση βλήµατος στο οµογενές βαρυτικό πεδίο της Γης δίνεται από τις σχέσεις: ( θ t gt 0 + ( υ 0 cosθ ) t y( y0 + ( υ 0 sin ) όπου t είναι ο χρόνος, και τα υπόλοιπα µεγέθη είναι σταθερά Να βρεθεί το µέγιστο ύψος στο οποίο θα φθάσει το σώµα Το ύψος δίνεται από το y( Η µέγιστή του τιµή δίνεται από τη συνθήκη y / 0 Έτσι, y υ 0 υ 0 ( υ 0 sinθ ) gt 0, tµέγ sinθ yµέγ y0 + sin θ g g Ας σηµειωθεί ότι το ίδιο αποτέλεσµα προκύπτει από τη σχέση y / ( y / ) /( / ) 0

3 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 7 4 Το διαφορικό µιας συνάρτησης Για µια µικρή µεταβολή στο, η µεταβολή στην f () είναι περίπου ίση µε f f ( ) (0) Η προσέγγιση αυτή είναι τόσο πιο ακριβής όσο πιο µικρό είναι το Αξίζει εδώ να σηµειωθεί ότι η ακριβής σχέση για τη µεταβολή f στην f (), που οφείλεται σε µια µεταβολή στο, βρίσκεται µε τη βοήθεια των σειρών Τέηλορ και είναι ίση µε: 3 f f ( ) + f ( ) ( ) + f ( ) ( ) + ()! 3! Για µικρό, είναι f f ( ) Το f, οριζόµενο από την Εξ (0), ονοµάζεται διαφορικό της f () Αν οι f, g, u και υ είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις ισχύουν οι εξής σχέσεις ανάµεσα στα διαφορικά τους: [ f ( ) + )] f + g f ( ) + g ( ) [ f ( ) + g ( ) ] () [ f ( ) )] f g + g f [ f ( ) g ( ) + ) f ( )] (3) f ( ) g f f g f ( ) ) f ( ) g ( ) 3, ) g [ )] ) 0 (4) 4 Αν f f (u) και u u() f f u f u f ( u) u f ( u) u ( ) (5) u u Αν f f (u), u u(υ ) και υ υ() f u υ f u υ (6) 5 Αν είναι f ( και y y / g ( y / f ( (7) Παράδειγµα 8 Να βρεθεί η µεταβολή στο εµβαδόν ενός κύκλου αν η ακτίνα του µεταβληθεί από r σε r + r Το εµβαδόν είναι S π r Εποµένως S π rr Παράδειγµα 9 Αν η ακτίνα µιας σφαίρας µετρηθεί ως r µε σφάλµα δ r, ποιο είναι το σφάλµα στο εµβαδόν της επιφάνειας και στον όγκο της σφαίρας όπως αυτά υπολογίζονται από την τιµή του r που µετρήθηκε; Επειδή το εµβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας δίνεται από τη σχέση του S είναι S 8π rr Εποµένως, το σφάλµα στο εµβαδόν είναι Ο όγκος της σφαίρας δίνεται από τη σχέση δ S 8π rδ r 4 3 π r 3 S 4π r V Το διαφορικό του V είναι, το διαφορικό V 4π r r Εποµένως, το σφάλµα στον όγκο είναι δv 4π r δ r

4 8 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 5 Οι παράγωγοι των κοινών συναρτήσεων y () C σταθ 0 n e ln n y y () sin n sin e cos y cos sin tan + sin cos cot + cos sin sinh cosh tan cot cos cos cosh sinh tanh sech sin sin cos coth csc h Επέκταση του Πίνακα: Ο Πίνακας µπορεί να επεκταθεί, µε την αντικατάσταση a + b στην y() Η ίδια αντικατάσταση πρέπει να γίνει και στην έκφραση που δίνεται στον Πίνακα y για την, η οποία πρέπει επίσης να πολλαπλασιαστεί επί a Για παράδειγµα, n n ( a + b) an( a + b) sin ( a + b) acos( a + b) ln( a + b) a a + b 6 Η διαφορική µορφή των νόµων της Φυσικής Ο σπουδαστής της Φυσικής θα διαπιστώσει, καθώς εµβαθύνει στην αυστηρή µαθηµατική διατύπωση των νόµων της, ότι οι νόµοι αυτοί αποκτούν αυξηµένη γενικότητα όταν διατυπώνονται στη λεγόµενη διαφορική µορφή τους Αυτή η µορφή συνδέει τα φυσικά µεγέθη και τις διάφορες παραγώγους των (χωρικές, χρονικές, ή άλλες) µέσω εξισώσεων οι οποίες ισχύουν για κάθε τιµή του χρόνου και σε κάθε σηµείο µιας περιοχής Για παράδειγµα, ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα, στη µορφή F ma, προσφέρει περιορισµένες δυνατότητες εφαρµογής Αν όµως γίνει κατανοητό ότι ο νόµος ισχύει σε κάθε χρονική στιγµή, µε τις αντίστοιχες στιγµιαίες τιµές των φυσικών µεγεθών, και ότι η επιτάχυνση είναι ο στιγµιαίος ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας ως προς το χρόνο, η εξίσωση παίρνει µια γενικότερη µορφή Έτσι, για κίνηση πάνω στον άξονα των,

5 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 9 η ταχύτητα είναι δ υ lim (8) δt 0 δ t δυ υ και η επιτάχυνση a lim (9) δt 0 δ t Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: υ m F ή m F (0) όπου F είναι η συνιστώσα της δύναµης που ασκείται πάνω στη µάζα m Το πλεονέκτηµα αυτής της µαθηµατικής διατύπωσης είναι ότι διαθέτουµε τις µαθηµατικές µεθόδους για να λύσουµε την εξίσωση για την ταχύτητα υ ( ή τη θέση ( της µάζας ακόµη και όταν η δύναµη δεν είναι σταθερή, αλλά είναι συνάρτηση της θέσης, του χρόνου, της ταχύτητας κλπ Εάν, όπως συµβαίνει για παράδειγµα στη θεωρία της σχετικότητας, η µάζα p ( mυ ) µεταβάλλεται, η εξίσωση κίνησης πρέπει να γραφτεί ως: F Παράδειγµα 0 Η θέση ενός σηµείου πάνω στον άξονα των δίνεται, ως συνάρτηση του χρόνου t, από τη σχέση: ( 4 + 3t sin5t (σε m όταν ο χρόνος µετριέται σε s) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σηµείου Η ταχύτητα του σηµείου είναι: Η επιτάχυνσή του είναι: a υ t 5cos5t 6t 0cos5t m/s υ ( 0 5sin sin 5t Παράδειγµα Οι συντεταγµένες ενός σηµείου πάνω στο επίπεδο y δίνονται, συναρτήσει του χρόνου t, από τις σχέσεις: ( 4sin5t y( 4cos 5t (σε m όταν ο χρόνος µετριέται σε s) Να βρεθούν: (α) Οι συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σηµείου (β) Τα µέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σηµείου (γ) Η εξίσωση της τροχιάς του σηµείου (α) Οι συνιστώσες της ταχύτητας του σηµείου είναι: υ ( 0cos t υ ( 0sin t m/s 5 Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης του σηµείου είναι: y 5 a ( 00sin 5t a y ( 00cos5t m/s (β) Το µέτρο της ταχύτητας του σηµείου είναι: υ υ + υ y (0cos5 + ( 0sin 5 0 m/s Το µέτρο της επιτάχυνσης του σηµείου είναι: m/s a a + a y ( 00sin 5 + ( 00cos5 00 m/s

6 0 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής (γ) Από τις δύο σχέσεις για τις συντεταγµένες του σηµείου, απαλείφουµε το t υψώνοντας στο τετράγωνο και αθροίζοντας: + y ( 4sin5 + (4cos 5 4 Το σωµατίδιο κινείται πάνω στον κύκλο (0, 4 m), µε ταχύτητα και επιτάχυνση των οποίων τα µέτρα είναι σταθερά Η ελεύθερη χρήση των διαφορικών στη Φυσική Στη Φυσική συνήθως γίνεται απευθείας χρήση των διαφορικών στην εξαγωγή της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει ένα φαινόµενο Θα επιδείξουµε τη µέθοδο µε ένα παράδειγµα, για να µας δοθεί η ευκαιρία να σχολιάσουµε τη διαδικασία που ακολουθείται Παράδειγµα Ο νόµος της ραδιενεργού διάσπασης: Αν η πιθανότητα ανά µονάδα χρόνου για διάσπαση ενός πυρήνα κάποιου ισοτόπου είναι σταθερή και ίση µε λ, να βρεθεί η εξίσωση που δίνει τον αριθµό των επιζώντων πυρήνων σε ένα δείγµα συναρτήσει του χρόνου Αν η πιθανότητα ανά µονάδα χρόνου για διάσπαση ενός πυρήνα του ισοτόπου είναι η ίδια για όλους τους πυρήνες, είναι σταθερή και ίση µε λ, από τους N( τέτοιους πυρήνες που υπάρχουν σε ένα δείγµα τη χρονική στιγµή t, σε ένα µικρό χρονικό διάστηµα δ t θα διασπαστούν περίπου λ N δ t πυρήνες Η µεταβολή στο N( θα είναι δn λ N δ t δn (αρνητική γιατί το N( µειώνεται) Εποµένως λ N Επειδή ο αριθµός N είναι δ t συνήθως µεγάλος, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η N( είναι µια συνεχής συνάρτηση και να πάρουµε το όριο καθώς δ t 0, οπότε βρίσκουµε ότι N m λ N () Η συνήθης διαδικασία είναι, για εξοικονόµηση χρόνου, να χρησιµοποιούµε διαφορικά απευθείας, υπονοώντας τη διαδικασία λήψης ορίων που παρουσιάσαµε πιο πάνω Συγκεκριµένα επιχειρηµατολογούµε ως εξής: Από τους N( πυρήνες του ισοτόπου που υπάρχουν σε ένα δείγµα τη χρονική στιγµή t, σε ένα µικρό χρονικό διάστηµα θα διασπαστούν περίπου λ N πυρήνες Η µεταβολή στο N( θα είναι N λ N (αρνητική γιατί το N( µειώνεται) Εποµένως, N λ N Η λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης δίνει το N( Αν N0 είναι ο αριθµός των πυρήνων που υπήρχαν αρχικά ( t 0), η λύση αυτής της εξίσωσης είναι N( N 0 e λ t, () όπως µπορεί να επαληθευτεί µε παραγώγιση, για να βρεθεί ξανά η Εξ (): N λn λt 0 e λ N Κάποιες άλλες εξισώσεις της Φυσικής που µπορούµε να διατυπώσουµε σε διαφορική µορφή ακόµη και µε στοιχειώδεις γνώσεις του διαφορικού λογισµού είναι: Η εξίσωση φόρτισης και εκφόρτισης πυκνωτή: Αν το ρεύµα προς έναν οπλισµό του πυκνωτή είναι I (, το φορτίο Q( αυτού του οπλισµού µεταβάλλεται σύµφωνα µε την εξίσωση:

7 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Q I (3) Αν το ρεύµα στο κύκλωµα είναι, για παράδειγµα, I ( I 0 cos( ω, θα πρέπει να είναι I0 Q( sin( ω (4) ω Μπορεί να επαληθευτεί ότι τα Q ( και I( ικανοποιούν την Εξ (3) Ο νόµος του Φάραντέι για την επαγωγή: Αν η ροή Φ του µαγνητικού πεδίου µέσα από έναν αγώγιµο βρόχο είναι συνάρτηση του χρόνου, η επαγόµενη στον βρόχο ηλεκτρεγερτική δύναµη δίνεται, σύµφωνα µε τον νόµο του Φάραντέι, από τη σχέση: Φ ΗΕ E (5) Η εξίσωση του απλού αρµονικού ταλαντωτή: Η δύναµη επαναφοράς είναι ανάλογη της µ ετατόπισης, k, και εποµένως ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα δίνει F υ m k ή m + k 0 (6) Η γενική λύση της διαφορικής αυτής εξίσωσης είναι ( Asin( ω 0t + φ) (7) όπου ω 0 k / m, και τα A και φ είναι σταθερές που καθορίζονται από τις συνθήκες του συγκεκριµένου προβλήµατος Αυτό µπορεί να επαληθευτεί µε διπλή παραγώγιση του ( και αντικατάσταση στην Εξ (6) Προβλήµατα Η θέση ενός σηµείου πάνω στον άξονα των δίνεται, ως συνάρτηση του χρόνου t, από τη σχέση: 5t ( + 3t + 4e (σε m όταν ο χρόνος είναι σε s) Να βρεθεί η ταχύτητα του σηµείου, και η επιτάχυνσή του είξτε ότι η ταχύτητα του σηµείου τείνει σε µια σταθερή τιµή Οι συντεταγµένες ενός σηµείου που κινείται πάνω στο επίπεδο y δίνονται, συναρτήσει του χρόνου t, από τις σχέσεις: ( 3sin5t y( 4cos 5t (σε m όταν ο χρόνος είναι σε s) Να βρεθούν: (α) Οι συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σηµείου (β) Τα µέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σηµείου (γ) Η εξίσωση της τροχιάς του σηµείου 3 Η µαγνητική ροή που διαρρέει ένα βρόχο είναι: Φ ( 3 sin3t + 5t (σε µονάδες SI) όπου t είναι ο χρόνος Να βρεθεί η επαγόµενη στον βρόχο ηλεκτρεγερτική δύναµη Ε( Βιβλιογραφία M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά ΕΣΠΙ, Αθήνα 98 Κεφ 4