Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Σ Χ Ο Λ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Σ Μ Ε Ν Ω Ν Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Κ Α Ι Φ Υ Σ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Τ Ο Μ Ε Α Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ Κανονική εξέταση στο µάθηµα ΕΙ ΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 9 Ιουνίου ιάρκεια εξέτασης: ώρες Τα θέµατα είναι ισοδύναµα Θέµα Ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S' κινείται µε ταχύτητα V ˆ ως προς ένα άλλο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S Οι άξονες των δύο συστηµάτων συµπίπτουν όταν t t (α Στο σύστηµα S, δύο συµάντα απέχουν µεταξύ τους απόσταση 6 m και χρονικά κατά διάστηµα t, µ s Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα ενός άλλου συστήµατος, S, ως προς το S, για να είναι σε αυτό ταυτόχρονα τα δύο συµάντα; Ποια είναι η απόσταση των δύο συµάντων στο S'; ( είξετε πως, αν στο σύστηµα S είναι ct (φωτεινό κύµα, τότε και στο σύστηµα S θα είναι ct (γ είξετε, ότι το µέγεθος s c t είναι αναλλοίωτο κατά τον µετασχηµατισµό του Λόρεντς Θέµα (α Με ποια σταθερή ταχύτητα πρέπει να κινείται ένα διαστηµόπλοιο, ως προς τη Γη, για να διασχίσει τον γαλαξία µας σε 4 χρόνια, όπως αυτός ο χρόνος θα µετρηθεί µέσα στο διαστηµόπλοιο; 5 Στο σύστηµα αναφοράς της Γης, η διάµετρος του Γαλαξία είναι έτη φωτός Πόση θα είναι η διάµετρος του Γαλαξία για έναν παρατηρητή µέσα στο διαστηµόπλοιο; ( Μια πηγή φωτός κινείται σε κυκλική τροχιά µε ταχύτητα,5c Ποια είναι η µετατόπιση στο µήκος κύµατος, λόγω του φαινοµένου Ντόπλερ, στην κίτρινη φασµατική γραµµή του νατρίου, όπως αυτή παρατηρείται από έναν παρατηρητή στο κέντρο του κύκλου; Η γραµµή αυτή έχει µήκος κύµατος 589 nm στο εργαστήριο Θέµα 3 Ποια είναι η ενέργεια κατωφλίου για την παραγωγή ποζιτρονίου ( + κατά τη σύγκρουση ενός φωτονίου (γ µε ακίνητο ηλεκτρόνιο ( +, στην αντίδραση γ + + + ; ( ίνεται, για τα και + : mc,5 MV Θέµα 4 Πυκνωτής µε παράλληλους επίπεδους οπλισµούς ρίσκεται ακίνητος στο σύστηµα αναφοράς S Οι οπλισµοί του πυκνωτή είναι ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε πλευρές a και b και είναι προσανατολισµένοι έτσι ώστε να είναι παράλληλοι προς το επίπεδο και µε απόσταση d µεταξύ τους (λ σχήµα Στους οπλισµούς του πυκνωτή υπάρχουν φορτία ± Q, τα οποία δηµιουργούν ηλεκτρικό πεδίο έντασης ˆ στον χώρο ανάµεσα στους οπλισµούς Η χωρητικότητα του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση C ε ab / d και η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στους οπλισµούς είναι U Q / C Είναι, επίσης, U / d Ένα άλλο σύστηµα αναφοράς, το S, κινείται µε ταχύτητα V ˆ ως προς το S Οι άξονες των δύο συστηµάτων είναι παράλληλοι και συνέπιπταν τη στιγµή t t (α Χωρίς να χρησιµοποιήσετε τον µετασχηµατισµό των πεδίων, να ρείτε, συναρτήσει των C, U και της ταχύτητας V (δηλαδή του γ, τη χωρητικότητα του πυκνωτή C, την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στον χώρο ανάµεσα στους οπλισµούς του πυκνωτή και τη διαφορά δυναµικού ανάµεσα στους οπλισµούς U, όπως τα µετράει ένας παρατηρητής στο σύστηµα S
( Χρησιµοποιήστε τώρα τον µετασχηµατισµό των πεδίων, για να ρείτε πάλι, στο σύστηµα S, το ηλεκτρικό πεδίο και το µαγνητικό πεδίο στον χώρο ανάµεσα στους οπλισµούς του πυκνωτή (γ Θεωρήστε τώρα ότι ο πυκνωτής περιστρέφεται περί άξονα παράλληλο προς τον άξονα των, ώστε οι οπλισµοί του να είναι παράλληλοι µε το επίπεδο και το ηλεκτρικό πεδίο ανάµεσά τους να είναι ˆ Υπολογίστε, στο σύστηµα S, τα ίδια µεγέθη που ζητήθηκαν στο ερώτηµα (α Σχετικιστική Κινηµατική: Τυπολόγιο Μετασχηµατισµός της θέσης: Αν ένα σύστηµα αναφοράς S' κινείται µε ταχύτητα σύστηµα αναφοράς S, και οι άξονες των δύο συστηµάτων συµπίπτουν όταν t t, τότε: V γ ( Vt t γ t c V όπου γ c Συστολή του µήκους: l l / γ ( l µήκος ηρεµίας, δηλ για ράδο ακίνητη ιαστολή του χρόνου: t γ t ( t ιδιοχρόνος, δηλ για ρολόι ακίνητο υ V υ Μετασχηµατισµός της ταχύτητας: υ, υ υ V υ υ γ V, υ υ c V γ c c + cosθ Φαινόµενο Dopplr: λ λ Σχετικιστική υναµική: m m( m m( υ γ m όπου γ ( υ / c 4 p mυ γ m υ E mc γ mc E mc + p c Για φωτόνια: hc E hf λ E pc p γ p VE / c p p Μετασχηµατισµός ορµής-ενέργειας: ( Ισοδυναµία µάζας-ενέργειας: Ηλεκτροµαγνητισµός: E m c Μετασχηµατισµός του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου: γ ( VB B, υ ταχύτητα του σωµατιδίου p p γ ( + VB B B γ ( B + V / c B γ ( B V / c V ˆ ως προς ένα γ ( E E Vp (Χρησιµοποιήσαµε το σύµολο για το ηλεκτρικό πεδίο για να µην το µπερδέψουµε µε το Ε της ολικής ενέργειας Προσεγγίσεις: Για µικρά, + + +
Θέµα Ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S' κινείται µε ταχύτητα V ˆ ως προς ένα άλλο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S Οι άξονες των δύο συστηµάτων συµπίπτουν όταν t t (α Στο σύστηµα S, δύο συµάντα απέχουν µεταξύ τους απόσταση 6 m και χρονικά κατά διάστηµα t, µ s Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα ενός άλλου συστήµατος, S, ως προς το S, για να είναι σε αυτό ταυτόχρονα τα δύο συµάντα; Ποια είναι η απόσταση των δύο συµάντων στο S'; ( είξετε πως, αν στο σύστηµα S είναι ct (φωτεινό κύµα, τότε και στο σύστηµα S θα είναι ct (γ είξετε, ότι το µέγεθος s c t είναι αναλλοίωτο κατά τον µετασχηµατισµό του Λόρεντς (α Τα δύο συµάντα, και, παρατηρούνται στο σύστηµα S να συµαίνουν στις χρονικές στιγµές t ( / c t Αφαιρώντας, t ( / c και t t t t ( t t ( / c ( Αντικαθιστώντας t t, t 6 t, s 8 6 και ( c / 6 m / 3 m/s s, έχουµε 6 ( t t c, 3 5,6 6 Η απόσταση των δύο συµάντων στο S' είναι ( c( t t 5 3 6 (3 (, 7 m 4 5 8 6 ( Από τον µετασχηµατισµό του Λόρεντς, V t ct V t ct ct + και t V c t V c ct t t t ( / ( / + Εποµένως, ct (γ Με αντικατάσταση, ρίσκουµε ( s c t c γ t γ ct c γ ( c t ct + + ct c t ( ( ( γ c t c t s
Θέµα (α Με ποια σταθερή ταχύτητα πρέπει να κινείται ένα διαστηµόπλοιο, ως προς τη Γη, για να διασχίσει τον γαλαξία µας σε 4 χρόνια, όπως αυτός ο χρόνος θα µετρηθεί µέσα στο διαστηµόπλοιο; 5 Στο σύστηµα αναφοράς της Γης, η διάµετρος του Γαλαξία είναι έτη φωτός Πόση θα είναι η διάµετρος του Γαλαξία για έναν παρατηρητή µέσα στο διαστηµόπλοιο; ( Μια πηγή φωτός κινείται σε κυκλική τροχιά µε ταχύτητα,5c Ποια είναι η µετατόπιση στο µήκος κύµατος, λόγω του φαινοµένου Ντόπλερ, στην κίτρινη φασµατική γραµµή του νατρίου, όπως αυτή παρατηρείται από έναν παρατηρητή στο κέντρο του κύκλου; Η γραµµή αυτή έχει µήκος κύµατος 589 nm στο εργαστήριο (α Αν D είναι η διάµετρος του Γαλαξία, τότε, σύµφωνα µε έναν παρατηρητή στη Γη, ο χρόνος που θα απαιτηθεί για να διασχίσει τον Γαλαξία το διαστηµόπλοιο θα είναι: t D / V Ο χρόνος αυτός για το διαστηµόπλοιο θα είναι t t / γ, όπου γ είναι ο παράγοντας του Λόρεντς που αντιστοιχεί στην ταχύτητα του διαστηµοπλοίου Εποµένως, D / c D D / c D / c t γ γ V t t t D / c + t D / c Όµως, 5 και εποµένως είναι t 4 5 8 + 5 5 Η διάµετρος του Γαλαξία για έναν παρατηρητή µέσα στο διαστηµόπλοιο θα είναι: D V D V t ( c t ( c t ( c t 4 έτη φωτός γ c 8 ( Είναι,5 και εποµένως γ / 3,547 Η µεταολή στο µήκος κύµατος οφείλεται αποκλειστικά στο εγκάρσιο φαινόµενο Ντόπλερ και εποµένως, από τη σχέση λ λγ ( + cosθ µε o θ 9, είναι λ λγ, όπου λ 589 nm είναι το µήκος κύµατος στο σύστηµα αναφοράς της πηγής και λ το µήκος κύµατος στο σύστηµα αναφοράς του παρατηρητή Η µετατόπιση της φασµατικής γραµµής θα είναι: ( λ λ λ λ ( γ 589,547 9 nm
Θέµα 3 Ποια είναι η ενέργεια κατωφλίου για την παραγωγή ποζιτρονίου ( + κατά τη σύγκρουση ενός φωτονίου (γ µε ακίνητο ηλεκτρόνιο ( +, στην αντίδραση γ + + + ; ( ίνεται, για τα και + : mc,5 MV Για διαθέσιµη ενέργεια ίση µε την ενέργεια κατωφλίου, τα σωµατίδια που παράγονται θα είναι ακίνητα στο σύστηµα αναφοράς µηδενικής ορµής Στο σύστηµα αναφοράς του εργαστηρίου, εποµένως, όλα τα παραγόµενα σωµατίδια θα κινούνται µε την ίδια ταχύτητα, έστω c, όπως φαίνεται στο σχήµα Από τις αρχές διατήρησης, έχουµε, ενέργεια: ορµή: 3 E + m c m c γ ( γ E γ c m cγ ( 3 Αντικαθιστώντας για την E γ από την Εξ ( στην (, έχουµε από την οποία προκύπτει ότι 3γ + 3γ, 3( γ, γ + 3m c m c 3m c γ, 9( + + 3 Εποµένως, 4 5 και 5 γ 3 Η Εξ ( δίνει Αντικαθιστώντας 4 5 Eγ 3mc γ 3mc ή 5 3 mc,5 MV στην φωτονίου την τιµή E γ, 44 MV E E γ 4m c γ 4m c ρίσκουµε για την ενέργεια κατωφλίου του
Θέµα 4 Πυκνωτής µε παράλληλους επίπεδους οπλισµούς ρίσκεται ακίνητος στο σύστηµα αναφοράς S Οι οπλισµοί του πυκνωτή είναι ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε πλευρές a και b και είναι προσανατολισµένοι έτσι ώστε να είναι παράλληλοι προς το επίπεδο και µε απόσταση d µεταξύ τους (λ σχήµα Στους οπλισµούς του πυκνωτή υπάρχουν φορτία ± Q, τα οποία δηµιουργούν ηλεκτρικό πεδίο έντασης ˆ στον χώρο ανάµεσα στους οπλισµούς Η χωρητικότητα του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση C ε ab / d και η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στους οπλισµούς είναι U Q / C Είναι, επίσης, U / d Ένα άλλο σύστηµα αναφοράς, το S, κινείται µε ταχύτητα V ˆ ως προς το S Οι άξονες των δύο συστηµάτων είναι παράλληλοι και συνέπιπταν τη στιγµή t t (α Χωρίς να χρησιµοποιήσετε τον µετασχηµατισµό των πεδίων, να ρείτε, συναρτήσει των C, U και της ταχύτητας V (δηλαδή του γ, τη χωρητικότητα του πυκνωτή C, την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στον χώρο ανάµεσα στους οπλισµούς του πυκνωτή και τη διαφορά δυναµικού ανάµεσα στους οπλισµούς U, όπως τα µετράει ένας παρατηρητής στο σύστηµα S ( Χρησιµοποιήστε τώρα τον µετασχηµατισµό των πεδίων, για να ρείτε πάλι, στο σύστηµα S, το ηλεκτρικό πεδίο και το µαγνητικό πεδίο στον χώρο ανάµεσα στους οπλισµούς του πυκνωτή (γ Θεωρήστε τώρα ότι ο πυκνωτής περιστρέφεται περί άξονα παράλληλο προς τον άξονα των, ώστε οι οπλισµοί του να είναι παράλληλοι µε το επίπεδο και το ηλεκτρικό πεδίο ανάµεσά τους να είναι ˆ Υπολογίστε, στο σύστηµα S, τα ίδια µεγέθη που ζητήθηκαν στο ερώτηµα (α (α Στο σύστηµα S, ο πυκνωτής κινείται µε ταχύτητα V προς τα αρνητικά Το φορτίο είναι αναλλοίωτο και παραµένει ± Q στους οπλισµούς του πυκνωτή Η απόσταση ανάµεσα στους οπλισµούς θα είναι τώρα d / γ και η χωρητικότητα του πυκνωτή a b ab ab C ε ε ε γ γ C d / γ d Q Q U Η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στους οπλισµούς είναι τώρα U C γ C γ Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ( Ο µετασχηµατισµός των πεδίων είναι, γ ( VB, γ ( + VB U U / γ U ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d / γ d, B B B γ ( B + V / c, B γ ( B V / c Στο σύστηµα S, τα πεδία έχουν συνιστώσες,,, B B, B Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις του µετασχηµατισµού, έχουµε: Εποµένως,, γ (, γ ( VB B B B γ ( B + V / c ˆ και B + VB, /, B γ ( B V c (γ Το φορτίο είναι αναλλοίωτο και παραµένει ± Q στους οπλισµούς του πυκνωτή Η διάσταση του πυκνωτή που αλλάζει τώρα είναι η b b / γ Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι
a b ab / γ ab C C ε ε ε d γ d γ Q Q Η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στους οπλισµούς είναι U γu C C / γ U γu Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ˆ ˆ ˆ γ ˆ γ d