ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. Α. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με βάση ΒΓ, η διχοτόμος ΒΔ είναι διάμεσος και ύψος. Β. Αν δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες τότε και τα αποστήματά τους είναι ίσα. Γ. Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Δ. Τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχουν από τα άκρα της και αντιστρόφως. Ε. Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη είναι μεταξύ τους παράλληλες. Α2. Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τα κενά της κάθε πρότασης. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μία τρίτη, τότε : α) οι εντός γωνίες είναι Μονάδες 10 β) οι εντός και τα μέρη είναι γ) οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα ισχύει ότι : I. < α < II. < β < III. < γ < Έστω δ η απόσταση του κέντρου κύκλου (Κ,R) από μια ευθεία (ε).τότε : 1. Η ευθεία (ε) είναι εξωτερική του κύκλου, αν και μόνο αν 2. Η ευθεία (ε) εφάπτεται στον κύκλο, αν και μόνο αν 3. Η ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο, αν και μόνο αν Μονάδες 9 Α3. Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της.(να κάνετε το σχήμα) Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Β Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ και μια ευθεία ε παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : Β1. το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. Β2. τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα. Μονάδες 13 Μονάδες 12 ΘΕΜΑ Γ Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι : Γ1. τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΒΜ είναι ίσα. Γ2. οι γωνίες και είναι ίσες. Μονάδες 12 Μονάδες 13 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 2 ΑΠΟ 3
ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Β και Γ. Να αποδείξετε ότι : Δ1. Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές. Δ2. Οι γωνίες και είναι ίσες. Δ3. Η ευθεία ΑΙ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ. Μονάδες 8 Μονάδες 10 Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Α - Λ Α2. α) εναλλάξ, ίσες, 1. δ > R Β Σ β) εκτός, επί, αυτά, ίσες, 2. δ = R Γ - Σ γ) παραπληρωματικές 3. δ < R Δ - Λ I. Ε - Σ II. III. Α3. Απόδειξη θεωρήματος ΙV σελίδα 51 ΘΕΜΑ Β ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 4
Β1. Αρκεί ν.δ.ο = = και = ως εντός εκτός κ επί τα αυτά μέρη ίσα Όμως = διότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Άρα = Β2. Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα από το 1 ο κριτήριο ισότητας τριγώνων Π-Γ-Π διότι : ΑΕ=ΑΖ απ το Β1 = διότι ΑΔ διχοτόμος ΘΕΜΑ Γ Γ1. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΜΒ τα οποία έχουν : ΡΜ ΡΜ (κοινή πλευρά) ΡΑ ΡΒ (ως εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού) ΜΡΑ = ΜΡΒ (η διάκεντρος ΟΡ διχοτομεί την γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων ) Τα τρίγωνα έχουν δυο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ίσες μια προς μια, άρα θα είναι ίσα, οπότε θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή θα έχω ΜΑ ΜΒ, ΜΑΡ = ΜΒΡ (1) και ΑΜΡ ΒΜΡ Γ2. A τρόπος: Φέρνω τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ οι οποίες είναι κάθετες στα εφαπτόμενα τμήματα στα σημεία επαφής. Οπότε : = =90 Από (1) σχέση = + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 2 ΑΠΟ 4
Β τρόπος: Συγκρίνω τα τρίγωνα ΜΑΟ και ΜΒΟ τα οποία έχουν : ΜΟ ΜΟ (κοινή πλευρά) ΜΑ ΜΒ (από α) ερώτημα) ΟΑ ΟΒ (ως ακτίνες κύκλου) Τα τρίγωνα έχουν τρεις πλευρές μια προς μια ίσες, άρα θα είναι ί σα, οπότε θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή θα έχω ΘΕΜΑ Δ Δ1. Η ΒΙ διχοτόμος της γωνίας. Άρα ισχύει: (1) Η ΓΙ διχοτόμος της γωνίας. (2) Αλλά, το τρίγωνο ΑΒΓ ισοσκελές, άρα. Οπότε από (1) και (2) είναι: = ή αλλιώς, ως μισά ίσων γωνιών). Άρα το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές Δ2. Συγκρίνω τα τρίγωνα : ΑΙΒ με ΑΙΓ 1. ΑΒ = ΑΓ (υπόθεση) 2. (ως μισά ίσων γωνιών) 3. ΒΙ = ΓΙ (το τρίγωνο ΒΙΓ ισοσκελές) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 4
Άρα από 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π Γ Π) είναι ΑΙΒ Α ΙΓ άρα και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, άρα και = Δ3. Ισχύει ότι ΑΒ = ΑΓ (υπόθεση), άρα το Α ισαπέχει από τα Β, Γ, οπότε ανήκει στην μεσοκάθετο του ΒΓ. Ισχύει ότι ΒΙ = ΓΙ (από Δ1 ερώτημα), άρα το Ι ισαπέχει από τα Β, Γ, οπότε ανήκει στην μεσοκάθετο του ΒΓ. Άρα, ΑΙ μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 4