Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση F() = c f(). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι: F'() = c f'(). Μονάδες 10 Α. Πότε μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο A; 1 Μονάδες Α3. Πότε μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 πεδίου ορισμού της και τι ονομάζεται παράγωγος της f στο 0 ; Μονάδες 3 Α5. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. α. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε θα ισχύει f( -1) < f() για κάθε. β. Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση =f(t), θα είναι τη χρονική στιγμή t 0 u(t 0 )=f (t 0 ). γ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο σημείο ( 0,f( 0 )) είναι ο ρυθμός μεταβολής της f() ως προς όταν = 0. δ. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ότι f ()<0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. ε. Ισχύει 1 1 ' για κάθε {0}. Μονάδες 10 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3

2 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = e με. Β1. Να αποδείξετε ότι f() + f'() = 1 e. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(0,f(0)). Μονάδες 8 Β3. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Έστω ότι η ευθεία y 14 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 f () 9 10, στο 0 1. Γ1. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β. Γ. Για 1 και. i. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στην ευθεία y ii. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης f. Μονάδες 7 f( ) iii. Να βρείτε τα όρια: lim 1 και f( ). lim ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

3 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f ( ) (ln 1) 4 (ln 1) με. Δ1. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f, και στη συνέχεια το είδος και τις θέσεις των ακροτάτων. Μονάδες 8 Δ. Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(016) και f(017). Μονάδες 4 Δ3. Αν το τοπικό μέγιστο της συνάρτησης f είναι ίσο με f ''(1), να δείξετε ότι 11. Δ4. Να αποδείξετε ότι για κάθε (0,] ισχύει f( ). Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3

4 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία Α. Θεωρία Α3. Θεωρία Α4. α-σ, β-σ, γ-σ, δ-λ, ε-λ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β1. Άρα ( )' e ( ) e ' e e e e (1 ) (1 ) f '( ) e e e e 1 1 f ( ) f '( ) e e e Β. f(0), f '(0) 1 Αν y η εφαπτομένη στο σημείο (0, ) τότε: 10. Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι: y Β3. f '( ) Η f '( ) 0 στο (, 1) άρα η f( ) είναι γνησίως αύξουσα στο (, 1] H f '( ) 0 στο ( 1, ) άρα η f( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο [ 1, ) Άρα f( 1) e μέγιστο. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3

5 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΘΕΜΑ Γ Γ1. Έστω g( ) 14 και f '( ) 3 9 Ισχύει g( 1) f( 1) Και f '( 1) ( 3) και β=- Γ. i. ii. iii. 4 f '( 0 ) (30 4) 0, 0 0 ή Τα ζητούμενα σημεία είναι Α(0, 10) και, f ''( ) /3 f '' - + f ' 31 f ' f ( ) 9 10 ( 1)( 10) 10 lim lim lim lim ( 1) 1 ( 1) 1 f ( ) ( 1)( 10)( 1 1) ( 10)( 1 1) 10 lim lim lim ΘΕΜΑ Δ Δ1. f '( ) ln ( ) >0 f '( ) 0 ln ( ) 0, οπότε =1 ή = 0 1 f f f '( ) 0 στο (0,1) και (, ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

6 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ f '( ) 0 στο (1,) H f( ) είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (0,1] και [, ). Η f( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,] Άρα στο =1 τ. Μέγιστο το 7 f (1) και στο = τ. Ελάχιστο f () 6 4ln. Δ. Η f είναι γνησίως αύξουσα το [, ) άρα 016<017 τότε f(016)<f(017). Δ3. 4 Είναι f ''( ) ln οπότε f ''(1). Επειδή το τοπικό μέγιστο είναι ίσο με το f ''(1) θα ισχύει: 7 11 f ''(1) f(1) Δ4. Επειδή το f (1) είναι τοπικό μέγιστο τότε ισχύει f ( ) f (1) f ( ) για κάθε (0,]. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3