AXIOMES POUR LES ESPACES VECTORIELS Ralf KRÖMER Archives H. Poincaré, Université Nancy 2

AXIOMES POUR LES ESPACES VECTORIELS 1918-1923 Ralf KRÖMER Archives H. Poincaré, Université Nancy 2 Dominique Flament (dir) Série Documents de travail (Équipe F 2 DS) Histoires de géométries : textes du séminaire de l année 2003, Paris, Fondation Maison des Sciences de l Homme, 2004

!" #$&% ')(+*,.-!/ 0+12 / 34&5!6+7 8 / 9 :<; =+2 > 5!? 4.@+; A<9 (+/ B CD EF'HGIJIJGKL ' 6CL)(+A<9 M NPORQ&S)T<US Q&VWXZYS [+X\] ^<_ `Ja b ` cd_e f g_ h_ i gj k d_ l d mb dn j o p _.dg` q b gp _ i _.r b g i b gci s pk _&t smu `)vju s p p b gcb v vj_ dd_ pa _ ii k w q hb i a _!` u ho p _ i x y _ k c _ s p i z l<h)b gi_ `{n q ` q p b d.i b `Jiv p _ `Ja p _!d_k u hvju p c _ h_ ` c a _k _ i_ v p _ i i gu `Jii u sji d mb a a gc gu `u }d bhs dc gv dg k b c gu `i k b db gp _k u hh_c p b gck b p b k c q p g i c g t s _a+ms ` _` u c gu `n q ` q p b d_ ~ b oji c p b gc _ m_ i c gsji _ v vj_ ^<_ b ` ut s g l i mb v v s b ` ci s pd_ ic p b y b s a _ ƒ_ p hb ` `.p b i i hb ` `l g` c p u a s gcdb&` u c gu ` hu a _ p ` _a+m_ i vjb k _!y _ k c u p g_ dx p q _ d gd&b v vj_ dd_s `Fc _ d _ i vjb k _! i g i c _ hbdg` q b p _ z_ ` e ˆ ˆ ˆa b `Ji i u ` Š Œ Ž Œ & Œ J. š Ž š & J œ< Š Š J ž!b g ik _ c c _ a q Ÿ ` gc gu `)`m_ ` c p _.vjb i r b k gd_ h_ ` ca b `Ji<d_db ` n b n _k u hhs `a _ i<hb c w q hb c g k g_ `Jik b p+ sji t sm e f e ˆ l gd b.c p j i<vj_ sa _.c p b y b s t s g<i m_ `!i _ p y _ ` cu }!t s g+p q rj p _ ` c ^<_ b ` u)a b `Jik _&p b v vju p c m_ i c.i _ s d_ h_ ` c a b `Jid_ i.b ` ` q _ i e f e ˆ e f t sms ` _&c _ dd_a q Ÿ ` gc gu ` b gu h)b c gt s _ a _k _t smu `!b _ ` c p _ c _ hvji b v v p gi a+mb v vj_ d_ p i c p sjk c s p _ a+m_ i vjb k _y _ k c u p g_ d<i _r b gc& )v dsji g_ s p i.p _ v p g i _ i Jgd< b v vjb p b gc.s `!` u h&o p _&p _ db c gy _ h_ ` cq d_ y qa _&c p b y b s!a u ` `Jb ` cs ` _c _ dd_a q Ÿ ` gc gu `l+i u s y _ ` c i s gy b ` c.d_ i b v v dgk b c gu `Ji_ ` y gi b n q _ i k b k w q _a b `Jis ` _a q Ÿ ` gc gu `a _k _t smu `!` u hh_ p b gc.b s u s p a+mw s g<a _ i.k b i vjb p c gk s dg_ p i u sy u gi g`ji&a s{k u `Jk _ v ca+m_ i vjb k _)y _ k c u p g_ d. <b dn j o p _ l+hu a s d_ l_ i vjb k _` u p hq l_ i vjb k _)a _ b `Jb k w)_ c k J +_ iu oji _ p y b c gu `Jii s gy b ` c _ ip _ `Ja _ ` cg` c q p _ i i b ` ck _ v w q ` u hj ` _ x e zd mb oji _ `Jk _!v p _ i t s _!c u c b d_a _c _ dd_ i)v s o dg k b c gu `Ji)a b `Ji)d_ i)b ` ` q _ i)v p q k q a _ ` c _ i)k u ` c p b i c _!db hs dc gc sja _!a _ ic p b y b s {i gh&s dc b ` q ia _!dbvjq p gu a _ _ `Rt s _ i c gu `ªmu }{d bt s _ i c gu `«^<u s p t s u g k _ c c _.hs dc gc sja _ t s _ i c gu `)t s gjhq p gc _ s ` _.p q vju `Ji _ b s a _ d &a _ idg_ s )k u hhs `Jia sn _ ` p _ d_ c _ hvjiq c b gch p l d_ ic p b y b s )a _&^<q b ` u_ c. p b i i h)b ` `)q c b g_ ` cv p q hb c s p q i x z) +_ i&c p b y b s _ `{t s _ i c gu `q c b g_ ` cq k p gc i&g`ja q vj_ `Ja b hh_ ` c <d_ i _ s dk b i&u }d_ ib s c _ s p i&d mu ` c p _ h)b p t s qx k m_ i c a gp _.u } gd+ )b y b gcs `!a q ojb c.a _ v p gu p gc q z_ i c.k _ ds g+u })gdiu ` cc p b y b gddq ii s pd_ i h h_ i v p u o dj h_ ix _ c&`mu ` c&vjb i i _ s d_ h_ ` c&g` c p u a s gc&db)h h_` u c gu `Jz +d_)a q ojb c&a _v p gu p gc q _ ` c p _& b `Jb k w)_ c {g_ ` _ p&x y u gp.k g a _ i i u sji z x z) {d mq vju t s _ l u `` _.i _.i _ p y b gcvjb i<_ `Jk u p _.k u s p b hh_ ` ca _.db ` u c gu `n q ` q p b d_.t s gjb s p b gcvj_ p hg i a+m_ ` n du oj_ p<d_ i<a g±jq p _ ` c ik b i ²``mb.vJb is ` _i gc sjb c gu `a _d br u p h_ ³ d b.s ` _.t sjb ` c gc q.a+mu oj _ c i h)b c w q h)b c gt s _ ivjb p c gk s dg_ p i l hb g igd p _ i c _ c p u s y _ p<s ` _` u c gu `n q ` q p b d_vj_ p h_ c c b ` ca _dg_ pk _ i u oj _ c i x k r w g i c u gp _&a sk u `Jk _ v c.a _ n p u s vj_ z l hb g iv ds c c.u ` bs ` _i gc sjb c gu `!a _&dbru p h_ ³ d+ b&s ` _ t sjb ` c gc q a _ ` u c gu `Jin q ` q p b d_ i<g` c p u a s gc iv dsjiu })hu g`ji_ `)h h_ c _ hvji l h)b givj_ p i u ` ` _ ` _&i _ ho d_ p _ h)b p t s _ pt smgd<i mb n gc.k wjb t s _ ru g ia+ms `!k b ivjb p c g k s dg_ p.a _ d b&h h_ ` u c gu ` µ`{v dsji l<u `{a _ y p b gck u hvjb p _ pd mb v v p u k w _ b gu hb c g t s _ ) d mb v v p u k w _ t s gq c b gc_ `y gn s _ s p)b ` c q p g_ s p _ h_ ` ca b `Jid_ ia u h)b g` _ ik u `Jk _ p ` q i l _ cd_ p d_&a _ iv p u o dj h_ iu s y _ p c ia _&k _ i.a u hb g` _ ia b `Jidb c p b `Ji gc gu ` a+ms ` _&b v v p u k w _. &d mb s c p _. k _ t s g+` _ i _ p b&vjb ir b gca _.hb ` gj p _ i i c q h)b c gt s _ a b `Jid b v p q i _ ` c _q c sja _ µ`p _ y b `Jk w _ l _y b g ih_ c c p `t s _ i c gu `db i gn ` gÿjk b c gu `t s _v p _ `Ja&d_hu c b gu hb c g t s _ a b `Jid msji b n `y s _ ^<u s pb ` c g k gvj_ pd_ i<p q i s dc b c i `)a _ ik p gc j p _ ia _.d mb v v p u k w _ b gu hb c g t s _ a b `Ji d_.i _ `Jia _.ƒgdoj_ p c_ i cd mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _.du n g t s _a _ ib gu h_ i+ c b `Ja git s _ k _.k p gc j p _ u s _.s `k _ p c b g`p d_ x _ `!p q n p _ i i gu ` vj_ p hb ` _ ` c _ z a b `Jid_ i.c p b y b s!i u sji._ b h_ `l+k m_ i c sji c _ h_ ` c.s `b s c p _k p gc j p _t smu ` vju s p p b gcb v vj_ d_ p Š) i q vjb p b c gu `a _ ii c p sjk c s p _ i t s gy b!vj_ p h_ c c p _ c p u s y _ pdb oju ` ` _ ` u c gu `)n q ` q p b d_&a+m_ i vjb k _ y _ k c u p g_ d e e f

bdgc q p b c s p _i _ k u `Ja b gp _&b s!i s _ c a _&d mb gu hb c g i b c gu ` a _db` u c gu `!a+m_ i vjb k _&y _ k c u p g_ dk u hv p _ `Ja _ i i _ ` c g_ dd_ h_ ` c ž u u p _e f f _ c ª.u p g_ pe f f _ i.a _ s c p b y b s i u ` c.a+ms ` _&n p b `Ja _ y b d_ s p.vju s p.d_ k u c q.o go dgu n p b v w g t s _ a _&k _ c c _ w gi c u gp _ l hb g iu `)`m c p u s y _ t s _&t s _ d t s _ ip b p _ iq dq h_ ` c ia _ p q vju `Ji _ i b s t s _ i c gu `Jii u s d_ y q _ ik g a _ i i sji µ`d b ` n b n _&hu a _ p ` _ l+s `_ i vjb k _y _ k c u p g_ d<_ i c&s `n p u s vj_)b ojq dg_ `{x b a a gc gy z i s p d_ t s _ d<u vjj p _s ` k u p vji)x h&s dc gv dgk b c gu `{b y _ k)a _ ii k b db gp _ i z&a _)h)b ` gj p _ a gi c p go s c gy _)vjb pp b v vju p cb s b a a gc gu `Jia s n p u s vj_ _ c.a s!k u p vji u ` c.a u `Jk.y q p gÿ q id_ ib gu h_ ii s gy b ` c i & A + i i u k gb c gy gc q&a _&d mb a a gc gu `)y _ k c u p g_ dd_ C + u hh&s c b c gy gc q&a _&d mb a a gc gu ` y _ k c u p g_ dd_ N + _ gi c _ `Jk _&a+ms ` q dq h_ ` c` _ s c p _ vju s pd mb a a gc gu ` y _ k c u p g_ dd_ S + _ gi c _ `Jk _&a+mq dq h_ ` c ii hq c p g t s _ ivju s pd mb a a gc gu ` y _ k c u p g_ dd_ ` gc b p gc q&a _ d b&hs dc gv dg k b c gu `!i k b db gp _ U D g ª.gi c p go s c gy gc qa _d bh&s dc gv dgk b c gu `i k b db gp _vjb pp b v vju p c< d mb a a gc gu ` a s!k u p vji x n)k u hh_ n b sjk w _ z D d ª.gi c p go s c gy gc qa _d bh&s dc gv dgk b c gu `i k b db gp _vjb pp b v vju p c< d mb a a gc gu ` a _&d m_ i vjb k _x a k u hh_a p u gc _ z A i i u k gb c gy gc q&a _&dbh&s dc gv dgk b c gu `!i k b db gp _ XY \<T&S b)v ds vjb p c&a _ i c p b y b s!v p q i _ ` c q i&a u ` ` _ ` ca _ i&a q Ÿ ` gc gu `Ji ` u `vjb i vju s p&s `k u p vji a _)i k b d b gp _ i t s _ dk u `Jt s _ ljh)b gi vju s p d_ i ` u h&o p _ i.p q _ di _`mb oju p a _vjb i.g k gd_)i s _ c g` c q p _ i i b ` c a _db)c p b `Ji gc gu ` w g i c u p gt s _ b s i k b db gp _ i<t s _ dk u `Jt s _ i _ c c _ a q k gi gu `_ i cv p g`jk gvjb d_ h_ ` cdgq _ d mg` c q p ca _.hb g` c _ ` gp p b gi u ` `Jb o d_d b.a gh_ `Ji gu `a s&v p q i _ ` cc p b y b gd _ `&y s _a _ ihb gh_ ia+mg` c _ p v p q c b c gu `&q y u t s q ik g a _ i i sji l d mq c sja _.a _d mg` s _ `Jk _.a s)k u p vjivjb p c gk s dg_ pi s pd_.k w u g a+mb gu h_ i<_ i c<` q b ` hu g`ji<a+ms `k _ p c b g`g` c q p c ^b p._ _ hv d_ l _ ` _ i i b b ` ca+mq c b o dgp.s ` _a q Ÿ ` gc gu ` vju s p.s `k u p vjit s _ d k u `Jt s _ l u `!ba s!q y g a _ hh_ ` c i mg` c q p _ i i _ p. q dghg` _ p.s ` _c _ dd_g` s _ `Jk _q y _ ` c s _ dd_a _ i` u ho p _ ip q _ d i ^<u s p.v dsji.a _v p q k g i gu `!i s p k _ c c _t s _ i c gu `l y u gp.p h_ p e f f ˆ l vf i tj!#"$ %'&)((+*,"-. ƒ_ p hb ` ` _ d lja b `Jii u ` dgy p _ / Š +021< 023Š i s p.dbc w q u p g_&a _&p _ db c gy gc q l a u ` ` _&d_ i a q Ÿ ` gc gu `Jii s gy b ` c _ i Rgp.i c _ dd_ ` ru dn _ `Ja _ i_ g` r b k w _ gu h_ `Ji i c _ ha _ p.b 4` _ `!._ u h_ c p g_&b s r 5 67 8 9: ; < 8 =6 >? @ AJ B + a b C + Ž! J DAJ B Š š EGFJ H I H J 1<Š N 3! š J B + ) #AJ B a + b λ Š O œp RQ< a C Š + )Ž GS J Ž Ž! + #AJ B λaj Š E λk L Š Œ š M a L Ž +.? Jœ O. Jœ α T œ N B Š M.? O œ a + b = b + a U œ N Š? Š M ).? O œ (a + b) + c = a + (b + c) V W X)Y Z [\] ^ [_[\ X `a Z b \_Z\ ] [^ X)_X \Z c c ` d Y [Z ^ [e b \ f e g

œfj J + Ž +? @ AJ B a c J )Ž C & J J! J ) + xj L S R@ Œ š Œ š Ž Ž œ.š < P.? M J œ N 3 Ž Œ š B. F+ a + x = c c a c a C Š B O œ O 3! J B Š Jœ β T œ N & (λ + µ)a = (λa) + (µa) C M.? O œ U œ N Š? Š M.? O œ λ(µa) = (λµ)a œ 1a = a œ N? @ λ(a + b) = (λa) + (λb) C M.? O œ + ª.b i P& Š la b iw g_ pi _ g` _ c _ dd_ gh i c _ hhÿ `Ja _ c l_ p a _ `gp_ p i c γ) w _ p `Jb k w)ru p h&s dg_ p _ ` 5 5 6)=9: 8= 7 8 9: ; < 8 =6 T œ >? @ B + A B C J AJ B I< 1< Œ š a AB= a œ Ž + B A J œ Ž +! DAJ B a J Ž C. ) + + ) J + B BJL S @ Œ š AB= a U œ bj AB= a, BC= AC= a + b œ + +s `Ji _ p _ gu h_r i g`ja +` g k w cb dd_ du n g i k ws `Jb o w ` n gny u ` _ g`jb `Ja _ p l i u `Ja _ p ` a g_ a a gc gu `Ji b gu h_r p<_ c u p _ ` x l s `Ja zr u dn _ `b sjia _ ` _ `l x z l _ dk w _a g_. _ g_ w s ` n Iα II gi k w _ `&^s ` c _ `s `Ja_ c u p _ `p _ n _ d` µid b n.s `Jib oj_ pa b p b `l a b a g_ gu h_ x z oj_ p _ c u p _ ` r p i g k wb dd_ g`!i k w u `b sji p _ g k w _ `l s h b dd_"!<b c i b k w _ `l _ d k w _&` s p a g I c u p _ ` x s `Ja!` g k w ca g_) _ g_ w s ` n _ ` gi k w _ `^s ` c _ `s `Ja_ c u p _ `Jz.oJ_ c p _ ±J_ `lb sji.gw ` _ ` s r u dn _ p ` sji a _ ` a a gc gu `Ji b gu h_ `x z.d c i gk w!i k w dg `l+a b_ g`!oj_ i c ghhc _ p_ c u pg_ g i c g_ p c l a _ pr Iα p _ a _ ` <_ c u p a g_..d_ g k w s ` n _ p r ddc b sji<a _ ` a a+0 = a gu h_ ` _ p n go c II i gk w _ gc _ p l a b AB a b ` `)s `Ja` s p.a b ` ` a g_ i _ p<_ c u pg&gi c l _ ` ` a g_.^s ` c _ s `Ja A B sji b hh_ ` r b dd_ ` + µg` _ _ `Ja dg k w _ ` b w d+y u `#<_ c u p _ ` e 1, e 2,, e h w _ g c + Š JŠ C š $ Ž Ž l _ ` ` ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + + ξ 1 e h x e z ` s p.a b ` ` g i c l r b ddii h&c dgk w _ u _ g_ ` c _ ` y _ p i k w g`ja _ ` + = 0 4" ξ ª b ig`!a _ p.u o gn _ `!b oj_ dd_a _ p gu h_&` u k w!b sji n _ db i i _ ` _ P& Š b ` ` _ c c i uru Ž p h&s dg_ p c%_ p a _ ` γ) C J Š +Š C š $ Ž Ž RAJ B J Š C & J M + +Š J + Š Š n+1 C š $ Ž Ž + ^<u s pd mg`ji c b ` c l<u `{vj_ s c` u c _ pd mu oji _ p y b c gu `{t s _ _ d.h_ ` c gu ` ` _ d_ v p u o dj h_!a _ d mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _ du n gt s _ v dsjiv p q k g i _ h_ ` c l gd+i _v p q u k k s vj_.a _.o g_ `)i q vjb p _ p<d_ iv p u v p gq c q it s g+k b p b k c q p g i _ ` c<d_ i<vju g` c i a _k _ s Rt s g k b p b k c q p gi _ ` cd_ iy _ k c _ s p i lo g_ `Ft sms ` _vjb p c g_a _ i)a _ p ` g_ p ivju s p p b gc)i _a q a s gp _a _ i v p _ hg_ p i _ c c _&u oji _ p y b c gu ` i _ p bk u hv dj c q vjb p.a+mb s c p _ ia b `Jid bi s gc _a _ d mb `Jb d i _ _ d` _a u ` ` _&vjb i.a _&p q r q p _ `Jk _ gdh_ ` c gu ` ` _.p b i i hb ` `!k u hh_&v gu ` ` g_ p a _&d bn q u hq c p g_ _ ` a gh_ `Ji gu `Ji&x v ˆ z n e e

+ " &)( &)(& $ "$ * "("$ c _ r b ` b `Jb k wl a b `Ji b `Jb k w e f +x y _ p i gu `v s o dgq _.a _.i b a g i i _ p c b c gu `)a _&e f g z l a u ` ` _.s ` _dg i c _ a _vju i c s d b c i i _ du `!d b t s _ dd_d mb a a gc gu `_ c&db)h&s dc gv dgk b c gu `i k b db gp _a _ y p b g_ ` c. c p _o g_ `a q Ÿ ` g_ i._ c p _ hv dgp<d ` ik c p b u ` `Ja _ gc gu `Ji<i s &t gy sjb b ` c ` _ c. d i A mb a + l a C gc gu + l `& N + x d mq dq h_ ` c<` _ s c p _q c b ` ci hoju dg i qvjb p z<_ c< θ X +Y = X + Z Y = Z D g l D d l l U A l _ c _ ` c p b ` _ ` c _ c& _ c q t s gy b s c. u s l ax = θ _ ` c p b ` _ X = t θ sjb `a c!d = 0 b hs a dc gv 0 dg k b c gu ax `)i = k b d bay gp _ ª b `Jik _.c _ X c _ = l b Y `Jb k wu h_ X c ia θ u `Jkd_ ax iq dq = h_ bx ` c ii hq c p gt a s _ = ia b _.d b&i c p sjk c s p _ a _&n p u s vj_&b a a gc gr hb g iu `)vj_ s c.a q a s gp _ d_ s p_ g i c _ `Jk _a _ ivju i c s db c iv p q i _ ` c i ª.b `Jik _h h i v p gc l a b `Ji<i u `dgy p _.a _&e f.t s g p q v p _ `Ja d_ i<p q i s dc b c i<a _.i b.c w j i _ l b `Jb k wa u ` ` _ i _ s d_ h_ ` c A + l C + _ cd mq n b dgc q k u hh_ v p u v p gq c q ia _ d mb a a gc gu ` +_ ia q Ÿ ` gc gu `Jia _ ^<_ b ` ujl<ƒ.b w x, `«x y( z y u gpk : g (x a _ + i i z u sji = z _ y + c _ z)) gd _ x = gd&e y f y u ` c&h h_ v dsjidu g`{a b `Ji k _ c c _a gp _ k c gu ` Jd l+i u ` c i _ s d_ h_ ` c.v p q i _ ` c id_ i.b gu h_ i A + _ c C + vju s p k b p b k c q p gi _ pd mb a a gc gu `a _ d m_ i vjb k _ d_ i.b s c p _ ii u ` c_ v dgk gc _ h_ ` cu s!ghv dg k gc _ h_ ` c a q a s gc i.a _ i.b gu h_ ii s p.dbhs dc gv dg k b c gu ` i k b d b gp _&x _ ` i mb v v s b ` c<o g_ `)_ ` c _ `Ja s)i s pd b&k u `Ja gc gu ` t s g l a b `Jid mb oji _ `Jk _ a _ ib s c p _ i x, y : 0x = 0y b gu h_ ia _)d mb a a gc gu `l<`m_ i cv dsjis `p q i s dc b chb g ia _ y g_ ` cs ` _ k u ` y _ ` c gu `Jz <u gp.p h_ p)e f f ˆ l v g µ` k _ t s gk u `Jk _ p ` _.d_ ip q rq p _ `Jk _ ih&s c s _ dd_ i l b `Jb k wh_ ` c gu ` ` _.^g`jk w _ p dqx i b `Jia u ` ` _ pa _ p q r q p _ `Jk _ v p q k g i _ z ª.b `Jidbh h_b ` ` q _ lu p oj_ p c {g_ ` _ p k u hh_ `Jk _a _&v s o dg_ p.s ` _i q p g_&a+mb p c g k d_ i Rg_ ` _ pe f g Rg_ ` _ p!e f o {g_ ` _ p e f b t s gv p q i _ ` c _ ` cd_!k u `Jk _ v ca _ M Œ ) <a b `Ji Rg_ ` _ p!e f b l v i tj l gd<a u ` ` _ dba q Ÿ ` gc gu `!i s gy b ` c _ M Œ K + g ia _ Ÿ ` _ a b ig`)h v p _ y gu sjivjb vj_ p k a+ {g_ ` _ p&e f o b ib i i c _ h u r_ d_ h_ ` c i x p _ v p _ i _ ` c _ ao k b v gc b d i z l b i i u k gb c _ a gc w _ ` c gc g_ ik b dd_ a)y _ k c u p i x p _ v p _ i _ K` c _ a!o p!d_ c c _ p i z lp _ b d<` s hoj_ p ix p _ v p _ i _ ` c _ a!o du _ p&k b i _d_ c c _ p i z l<b `Ja c w _ u vj_ p b c gu `Ji l b `Ja o c w _&ru ddu g` ndb.i, x e z ³ r b `Ja b p _ y _ k c u p i l gi.b&y _ k c u p ξ η ξ η x z ³ r giby _ k c u p.b `Ja l g iby _ k c u p ξ n 0 n ξ x z ³ r giby _ k c u p l gib` u ` ` _ n b c gy _.p _ b d+` s hoj_ p ξ ξ x z n (ξ η) = (n ξ) (n η) x z m (n ξ) = mn ξ x z (m ξ) (n ξ) = (m + n) ξ x z m ξ = m ξ x ˆ z ξ η ξ + η x f z ³ r b `Ja oj_ du ` nc u lc w _ p _!gi)b i i u k g b c _ agc w{c w _ h b A B K s ` g t s _ y _ k c u p AB x e g z AB = BA x e e z gy u _ r `)b `)_ i sjk d_ w c h_ wjb ` c c u r b `Ja)b y _ k c u p l c w _ p _.g ib `)_ d_ h_ ` c A K ξ B K AB = ξ x e z AC = AB BC x e z w _ `!b `Ja)u ` d w _ ` AB = 0 A = B x e z ³ r AB = CD, DC = BA i i c _ h x p z l u pb Œ RM Œ g ib&y _ k c u pi i c _ hu rb cd_ b i cc u&_ d_ h_ ` c i g` w gk w!c w _)i s h u rc u y _ k c u p i.g i.g`ja _ vj_ `Ja _ ` c u rc w _ gp u p a _ p l+b `Ja!g` w g k wl+gr A, B, Z b Z b X a e b b X Z \a X)b e! Z ]" e b X ^)Z [b \ [ Z ` Z ^ d ` [\ d f e

b `Ja b p _b ` )c w p a g i c g`jk c._ d_ h_ ` c i.i sjk w!c wjb c ljc w _ `!c w _ p _&g i.bÿ ` gc _ i _ c C AB = AC B 1, B 2,..., B n u r_ d_ h_ ` c i.i sjk w)c wjb c x e z B 1 = B, B n = C x z u p.b dd l k AB k = AB x z u p.b dd l k B k B k+1 < AB _<`m_ ` c p _<vjb ia b `JiJs ` _a g i k sji i gu `&a s o s c<a _ u p oj_ p c+ {g_ ` _ p l g`ja gt s qa b `JiJd_c gc p _a _ {g_ ` _ pe f o +ghgcg`!+_ p h)i<u r u ` c g` s u sji!+p b `Ji r u p h)b c gu ` ³ d+i s 4cgk g+a _.p _ hb p t s _ pt s _ Rg_ ` _ pa u ` ` _.s ` L Š k b p b k c q p g i b ` cs ` _&k db i i _&a+m_ i vjb k _ ic u vju du n gt s _ i l _ cgdi mg` c q p _ i i _&b sji i gb s)v p u o dj h_&a _ d mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _.du n gt s _ a _ k _ ivju i c s d b c i {g_ ` _ p e f b l v ªmb s c p _.vjb p c l i _ ivju i c s d b c ii u ` cdgq i i ba q Ÿ ` gc gu `!a _ M Œ. x u } gd+` _a gi k s c _&vjb i_ v dgk gc _ h_ ` cd mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _ du n gt s _ z +gq k _ iq y j ` _ h_ ` c i l gd+ b y b gcs ` a q ojb ca _.v p gu p gc q. b `Jb k w {g_ ` _ p y u gp Rg_ ` _ p e f k ²` _ `!b&p _ c _ ` s)vj_ `Ja b ` cs `!k _ p c b g`)c _ hvjid b` u h_ `Jk d b c s p _&a+m _ i vjb k _&a _ b `Jb k w {g_ ` _ p µ`y s _)a _hu `v p g`jk gvj_)a+mg` c _ p v p q c b c gu `l _)p b v vj_ d_d_)k u hh_ ` c b gp _)t s ga u ` ` _ ž u u p _ e f f l v f <i s p db)a q Ÿ ` gc gu `a _ {g_ ` _ p {g_ ` _ p mi.b gu h i i c _ h wjb a!k _ p c b g`!r b gdg` n i.³ c a g a ` u c i c b c _.c wjb c y _ k c u pb a a gc gu ` b ik u hh&s c b c gy _ l b i i u k gb c gy _ l u pwjb a)b `)ga _ ` c gc l b iu ` _.hgn w c_ vj_ k c {g_ ` _ pa g a` u ck u `Ji g a _ pc w _.g` y _ p i _u r+w giy _ k c u pb a a gc gu ` ³ d+i _.c p u s y _.t sms `)k _ p c b g`` u h&o p _ a _ ib gu h_ ih)b `Jt sjb ` c ivj_ s c.i _&a q a s gp _&a _ ib gu h_ iv p q i _ ` c i dbdg i c _&_ i cd bi s gy b ` c _ ) h_ ` c gu ` ` q vjb p.ž u u p _ a q a s g i go d_ u s g ξ η = η ξ ξ, η V u s g u s g (ξ η) τ = ξ (η τ) ξ, η, τ V u s g u s g ( θ V ) ( ξ V ) : ξ θ = ξ u s g u s g ( ξ V )( ξ V ) : ξ ξ = θ ` u ` 1 ξ = ξ ξ V ` u ` u s g θ = 0, ξ > 0 ξ V \ {θ} n ξ V ξ V, n R u s g ` u ` ³ d<h_)i _ h&o d_a u `Jkt smgd<!b gc s `!v p u o dj h_hq c w u a u du n gt s _a b `Ji.d_c p b y b gda _ž u u p _dgq i u ` s n _ h_ ` c i s p.db)a q Ÿ ` gc gu `a _& Rg_ ` _ p ^<u s p sji c gÿ _ p&i u `b 4p hb c gu `!t s _d_i i c j h_a _& Rg_ ` _ p b gc a _ i L Š Ž l+u `a _ y p b gc c u s c&a+mb oju p a y q p gÿ _ p&i g< Rg_ ` _ p&a b `Ji db i s gc _b y b gc _ soj_ i u g`a _ i&b gu h_ i u hgi l h)b gi` _&y u b gcvjb it smu ` vj_ s c.d_ i.a q a s gp _ b p. {g_ ` _ p.vju s p p b gcc p j io g_ `!d_ i.b y u gpy sl hb g i d_ i)b y u gpdb g i i q!a _!k u c q l<vjb p i _i _ ` c b ` cu o dgn q!a _k w _ p k w _ pd mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _!du n gt s _!a _i _ i b gu h_ i + bd_ k c s p _&v dsji._ wjb sji c gy _a _ i.c _ c _ i.a _ {g_ ` _ p.` q k _ i i b gp _ vju s p&a q k ga _ p k _ c c _t s _ i c gu ` `m_ i cvjb ib oju p a q _.g k g R D $ & %'%D- " "$!#&)(!#& ( +_ i b ` ` q _ i)i s gy b ` c _ iu ` c)y sfd mb v vjb p gc gu `Fa+ms ` _hs dc gc sja _a _c p b y b s {a b `Ji)d_h h i v p gc _!h_ ` c gu ` ` _ c gc p _!g`ja gk b c gr k u p b{e f e &x t s g&a u ` ` _!d ba q Ÿ ` gc gu `Rp _ v p g i _!vjb p ªg k i u `& y u gp e ] `] b X a [\ ] \ \ [e b d b d ` Z _Xa ] ` e c _!X)a X)_Z\ [!] _^ Z b d [^ d)a Z b \_X \\ [X b X \ Y e [` ^ e `! " # # f $ % \ & & 'f ( e ] `_X \a d!e b \ ^ ` Z ^ [e b \*)Z \ \ X +*,Z [_X \ - Y e [`.)` /!X `*! " " 0 f! #! 'f 1 2 _[& ] Z b ^ ] b X^ X `![b e _e [X e b b ] X e b e ] ` ` Z [^ a [` X3& ] X_Z` X ` e Xa X34e e ` X e b a ] X ` b Xa 5Z c e ` a _ 5[b ^ X b \ [e b e b X ^ ^ Z b a [\6& ] 5[_ ` X \ ^ X e ] Y X ` ^7& ] X X!X \ ] ` X)_ 5X 8 ^ X b \ [e ba ] e b X ^\ e [^ e b X ` b d3) Z `_X e b X ^a X9[X b X ` e ] ` ` Z [^)^ ` \)c [X b Z Y e [`)_Z!3:!X)X 8 ^ X b \ [e b& ] X _X e b X ^] \ ] X _ a 5X \ Z X b e `!d X b,e b Z ^ [e ba X _Z a d a ] [\ [c [_[^ d a X \ 8 [e!x \a e b ^; X)b 5Z [ Z \)Z <`!d& ] 5[_\\ e b ^X b,z [^a d a ] [\ [c _X \ - f e

d b a g i k sji i gu `a _ k _ c c _)a _ p ` gj p _k g a _ i i u sji z l u _ c w _ p)e f e x t s ga u ` ` _ Ž! d b a q Ÿ ` gc gu ` _ ` c p _ c _ hvjia _ y _ ` s sji s _ dd_.a+ms ` hu a s d_ i s ps `!b ` ` _ b s t s _ d k u `Jt s _ z_ c ƒ.b w `e f <x t s g+v p q i _ ` c _ s ` _a q Ÿ ` gc gu ` g a _ ` c g t s _& k _ dd_a _ ^<_ b ` u z mg`ja g t s _q n b d_ h_ ` ct s _ dt s _ i<u oji _ p y b c gu `Ji<i s pd b v p b c g t s _.a _p q r q p _ `Jk _& ƒ.b w `` _ a u ` ` _.b sjk s ` _ p q r q p _ `Jk _ lj` g )^<_ b ` u)u si _ i&i sjk k _ i i _ s p igc b dg_ `Ji l+` g b `Jb k w t s gq y ga _ hh_ ` c&i mg` c q p _ i i _b s b v v dgk b c gu `Ji a sk u `Jk _ v c a+m_ i vjb k _y _ k c u p g_ dd_a b `Ji.d_h h_)a u hb g` _t s _ƒ.b w `{x i b y u gp.d mb `Jb d i _ r u `Jk c gu ` ` _ dd_ z _ c c _ i gh&s dc b ` q gc qg`jb vj_ p s _ i _)hb ` gr_ i c _ a b `Ji d_` u hhb k c s _ da sp q i s dc b c&k dq a _ i a _ s k w _ p k w _ s p i. c w q u p j h_&a _ƒ.b w ` b `Jb k w * R ( ª.b `Ji d mu v c gt s _)a _)d mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _du n g t s _ l+s `c p b y b gd<vjb p c gk s dgj p _ h_ ` c g` c q p _ i i b ` c _ i ck _ ds ga _ ª.gk i u `J².`)dgc. dbvjb n _&fa _R ª.gk i u `e f < 6 8 = : ;G= ; = G8 )< ; G8 < = )8 6 +!w _ _ d_ h_ ` c iu r<b `!b dn _ o p bgdd oj_a _ ` u c _ ao i hb ddu h)b ` d_ c c _ p i l w gd_&c w _ ` s hoj_ p iu r<bÿ _ d a gddoj_&a _ ` u c _ a)o i hb dd.p d_ c c _ p i F ` Š Ž C b Š `Ja!c u y _ p bÿ _ d a g i.b)i i c _ h k u `Ji gi c g` nu rb)i _ c u rc uu p.hu p _&_ d_ h_ ` c i A w p &u vj_ p b c F gu `Ji b `Ja S lju rc w _c vj_ i i vj_ k gÿ _ a oj_ du &lw g k wi b c gi r vju a, b, i c c s db.. c._ i³!w _.u vj_ p b c gu `, l k b dd_ a Š ljb `Jac w _.u vj_ p b c gu ` l k b dd_ a J Œ Š l hb &oj_vj_ p r u p h_ a&s vju `)b ` &c ux _ t sjb d u pa gi c g`jk c z<_ d_ h_ ` c i g`c wjb c u p a _ p ljc u v p u a sjk _s ` gt s d_ h_ ` c i b `Ja u r lw b `Ja u r l c b _ ` ag k wb p b_k b Sdd_ a c w _ b `Ja J Œ u r b `Ja l p _ i vj_ k c gy _ d!w a _.u vj_ b p b c gu a ` l bk b dd_ Sa Œ Š Š J Œ Š l a b h)b oj_&vj_ p ru p h_ as vju ` b ` ` s h&oj_ p u r b `Ja b ` _ d_ h_ ` c u r l u ps vju ` b `Ja l α F a S a α c uv p u a sjk _&b&s ` g t s _ _ d_ h_ ` c u p u r l k b dd_ a b Œ Š Š J JŒ α a a α S u pi ghv dg k gc _&i wjb ddp gc _ b `Ja _&i wjb ddi vj_ b u r<c w _ _ d_ h_ r u p l ru p l ru p b `Ja ru p a + ` c l biu r a b i_ b d_ ab h_ ` c a iu r b αa α a aα a α S A _&b i i s h_ c wjb c.b a a gc gu ` gik u hhs c b c gy _&b `Ja b i i u k g b c gy _ x ³ z a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c), w _ `Jk _ c w _i s h a 1 +... + a t u r a 1,..., a t gi.a _ Ÿ ` _ a gc w u s c.b h&o gn s gc u pi k b d b phs dc gv dg k b c gu `l _&b i i s h_ c wjb c x ³ ³ z αa = aα, α(βa) = (αβ)a, (αa)(βb) = (αβ)(ab), x ³ ³ ³ z (α + β)a = αa + βa, α(a + b) = αa + αb. ž s dc gv dgk b c gu ` gi.b i i s h_ ac uoj_&a g i c p go s c gy _gc w p _ i vj_ k cc ub a a gc gu ` x ³ z (a + b)c = ab + ac, c(a + b) = ca + cb. s chs dc gv dg k b c gu ` ` a)` u coj_&_ gc w _ p k u hh&s c b c gy _.u p.b i i u k gb c gy _!w _ Ÿ `Jb d<b i i s hv c gu ` i _ p y _ ic u_ k dsja _&b dn _ o p b iu rg` Ÿ ` gc _&u p a _ p!w _b dn _ o p b wjb ibÿ ` gc _ ojb i gi x &z A!w g ii wjb dd h_ b `c wjb c k u ` c b g`ji<b Ÿ ` gc _` s hoj_ pu r+_ d_ h_ ` c i A v 1,..., v m i sjk wc wjb c_ y _ p _ d_ h_ ` c)u r k b `RoJ v p _ i i _ a{b i)bi s h A α 1 v 1 +... + α m v m u r&i k b d b pv p u a sjk c i)u r v 1,..., v m o )` s hoj_ p i α 1,..., α m u r F 2 Z ` ^ X)^ ` Z Y Z [_ a X* e ` + Z [ \ e b! " $ f! '!X b ^ [e b b X X b e ` X ] b_[y ` X! " #$ %& " ' "(&*)+, & - &a ]"!3: Z ] ^ X ] `!X Z Z ` ] 734X \ \ [b ZX b! " $!. [_ a e [^/Z Y e [`] b Xa d 0 b [^ [e b" e! Z ` Z c _X3) 7_Z Z X3! 0 1 - f W X b 5Z [ Z \X b Z e ` XX ] X \*7 X _[Y ` X f e

ª b `Jid ba q Ÿ ` gc gu `a _ª.gk i u `l gdi.hb `Jt s _ ` c.a _ s!b gu h_ ivju s p.s `!_ i vjb k _&y _ k c u p g_ d<a _a gh_ `Ji gu ` Ÿ ` g_ N + _ c Jgd<d_ i a q a s gc&a _ i b gu h_ i a u ` ` q ix k u hv p gi b gu h_" z + db)vjb n _ Jl gdb 4p h_ t s _&i ba q Ÿ ` gc gu U `!i _&v p c _& &d b&c w q u p g_&a _ i.b dn j o p _ ia _&a gh_ `Ji gu ` g` Ÿ ` g_ l _ ` u h_ c c b ` c%!w _i b h_a _ Ÿ ` gc gu `gc w u s cvju i c s d b c _g ik u ` y _ ` g_ ` c+g`&c w _i c sja u r b dn _ o p b iju r g` Ÿ ` gc _ u p a _ px ` u c<c p _ b c _ a g`c w g ioju u z l b `_ b hv d_oj_ g` n c w _Ÿ _ d a&u rjb dd p _ b d ` s hoj_ p ip _ n b p a _ a b ib `!b dn _ o p b&u y _ pc w _ Ÿ _ da)u r<p b c gu `Jb dj` s hoj_ p i _ k g _ i cr b s &k b pu `&vj_ s cc p u s y _ ps `&hu a j d_a _ i<b gu h_ i+³ ³ {t s g `m_ i cvjb i+s ` _b dn j o p _a _a gh_ `Ji gu ` g` Ÿ ` g_a b `Jid_&i _ `JisJi s _ d ^p _ ` u `Jid m_ `Ji _ ho d_ k _ c_ `Ji _ ho d_ r u p h_ s `!i _ hgn p u s vj_&b y _ k d b&k u hvju i gc gu `)t s g+b v v dg t s _.k wjb t s _.k u s v d_ a _ H = {0, i s 1} p.e u gc_ `v dsjia u ` ` q.s `)k u p vji vju i u `Ji < +_ ib gu h_ i&³ ³ i u `H ci b Hc g i r b gc i)x _ `v p _ `Jb ` cd mb a a gc gu `_ `h K h_)c _ hvji az k u hh_&hs = 1 a dc gv K, dg k zb c gu `a H _d mb dn j o p _ z ljhb g i% `m_ i c vjb i i b c g i r b gcx u `` _vj_ s c vjb i._ v p gh_ pg z lj_ c.` g N + l ` g d_i u ` c G s v vju i q&d b)k u `Ji gi c b `Jk _a si i c j h_ l u `!` _vj_ s c&a u `Jk vjb i a q hu ` c p _ p U N + _ c U vjb p c gp.a _ ³ ³ i _ s d_ h_ ` c _ d&vjb p!k u ` c p _i q vjb p _o g_ `Fd bv p u v p gq c qa+mb y u gp!a _a gh_ `Ji gu `FŸ ` g_a _ i!b s c p _ i)v p u v p gq c q i a h_ c c u `Ji d_ g%l<` g.d_ a _ _ d.i u ` cvju s p y s _ ia _!i _ `Jii b `Jid_ ib gu h_ ii s pdbi c p sjk c s p _ a _)n p u s vj c&d b!i c p sjk c s p _)dg` γq b gp _ ž!b g i ³ ³ ` _ i u ` c&vjb i&_ `h_ i s p _)a _ k b p b k c q p gi _ p&dbi c p sjk c s p _ a+mb dn j o p _)a _ a gh_ `Ji gu `t s _ d k u `Jt s _ ª b `Ji s ` _)c _ p hg` u du n g_) g` c p u a s gp _ a b `Ji d mg` c _ p v p q c b c gu `ldb i c p sjk c s p _.a _ a gh_ `Ji gu ` `m_ i cvjb i* a sp _ i c _vjb pl k u hh dd_d m_ i cvjb p +_.r b gct smu `vj_ s c _ `!h h_c _ hvji.a q a s gp _ a _³ i gn `Jb d_t s _ i c v dsji _" ²`!vJ_ s c&a q aγs gp _" a _ i b gu h_ i a _& _ di b `Ji i g_ c.i _ s d_ U h_ ` c.i g+u ` _ `)vj_ s c.a q a s gp _ γ x y u gp U p h_ p&e f f ˆ l v i tj z bp b gi u `.vju Us pd m_ p p _ s pa _ªg k U i u ` vju s p p b gc+c p j i+o g_ ` c p _i bc _ `Ja b `Jk _a _<v p u k s p _ p+d mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _ du n gt s _&a _&i u `!i i c j h_&a+mb gu h_ i ª.b `Jii u `)c p b y b gd+b ` c q p g_ s p e f g l ªg k i u ` a g i k s c _ _ `!a q c b gda _ i t s _ i c gu `Jia+mg`Ja q vj_ `Ja b `Jk _&du n g t s _ g_ ` t s _&ª.gk i u `)h_ ` c gu ` ` _ i _ ic p b y b s )b ` c q p g_ s p i e f g l e f e J_ ck _ s a _ k u p b l k _ ic p b y b s ` _&i u ` cvjb iq c sja gq ia b `Jid_.c p b y b gd+a _&ž u u p _ ª.gk i u `)h_ ` c gu ` ` _.q n b d_ h_ ` cdb&y _ p i gu `)rp b ` b g i _ a _ d m_ `Jk k du vjq a g_ a _ ih)b c w q h)b c gt s _ ia _&e f g ˆ l!u h_e l <u d e l f ˆ l t s g+a u ` ` _._ `n p u idb&a q Ÿ ` gc gu ` a _ k u p b l hb g ii s p <u gp.b sji i gjµ. b p c b `l+²_ s y p _ ivjb p c g_ ³ ³y u d+³ve i t tj R. "D!#"$ %'&)((+*,"-. y b ` c<a _vjb i i _ p<.s ` _.a gi k sji i gu `v dsji<v p u r u `Ja _a _ i<u oji _ p y b c gu `Jiq y u t s q i<k u `Jk _ p `Jb ` cd mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _&du n gt s _ l gd<h_i _ ho d_s c gd_a _i u s dgn ` _ p._ `Jk u p _&s ` _r u gi t s _db)h&s dc gc sja _a _ i k u ` c _ c _ i a b `Ji d_ i t s _ d iu ` p _ `Jk u ` c p b gcdbi c p sjk c s p _&a+m_ i vjb k _&y _ k c u p g_ da b `Jid_ i.b ` ` q _ i_ `!t s _ i c gu ` `mb&vjb i.a gp _ k c _ h_ ` c&k u `Ja s gc s ` _&p _ k u ` `Jb gi i b `Jk _ n q ` q p b d_a _d ms c gdgc q)a _k _k u `Jk _ v c _ di _v db g` c a b `Ji _ d e f ˆ &d b&vjb n _& µi<g i c_ g`"_ ` gn d b ` n _ gdgnjl a b hb `)a g_dg` _ b p _ dn _ o p b l a _ p _ ` p s `Ja oj_ n p g±j_ oj_ p b dd g` a _ pž!b c w _ hb c g s `Ja)^w i g )b s rc b sjk w _ `)s `Ja a _ p _ `._ ` ` c ` gia b p s h_ gn _ ` c dg k w a g_ i _ doj p o p _ gc s ` n.wjb oj_ `i u ddc _g_a g_µd_ h_ ` c _a _ pªg±j_ p _ ` c g b d Js `Ja&³ ` c _ n p b dp _ k w ` s ` njl w _ s c _ ghh_ p` u k w)y u ` ` _ s _ hb sji _ g`jb `Ja _ p i _ c _ `)h&sj ^<u s p.s ` _a gi k sji i gu ` v dsji.k u hv dj c _a _k _ c c _&v p u o dq h)b c gt s _&a _&d mb k k _ v c b `Jk _&_ c a _&dbvju v s d b p g i b c gu ` a s!k u `Jk _ v c l _&p _ ` y u g_&.p h_ p e f f ˆ W X \ [ b Z _X X b Z \ \ Z b ^& ] X 5d ^ Z [^ ` d [\ X!X b ^_Z a [\ ] \ \ [e ba X)Z!X _a X X ^X 8 X! _X& ] [ [\ ^ e ` [ & ] X!X b ^Z e b a ] [^*7_ 5] \ Z XZ ^ ] X _ a X _ 5X 8 ` X \ \ [e b Z \ X a X)Z!X _. Y e [` Z!X _! " 1 'f GX X b a Z b ^ Z!X _ b 5Z Y Z [^ a X)a d Z \)a e b b d 0 b [^ [e b Z c \ ^ ` Z [^ X a 5X \ Z X Y X ^ e ` [X _ a Z b \ X)^ ` Z Y Z [_f e

&\<XT T \) \V Q!X WX Q &V US XZX\Y &T \<V Q XZY+\T<S)W\<S)T<XY _ d b gi i _ gk g+`jb gy _ db` u c gu `!a _. i c p sjk c s p _ &x k _&t s gk u p p _ i vju `Jadb p n _ h_ ` c dby s _&t smb y b g_ ` cd_ i v p u c b n u ` gi c _ i+d a _ i i sji l k r u p p e f f z mga q _a _i q vjb p b c gu `&i m_ v dg t s _d_hg_ s &b y _ k<s `&_ _ hv d_ µ`!a u ` `Jb ` cdba q Ÿ ` gc gu ` a _&db` u c gu `!a+m_ i vjb k _ y _ k c u p g_ d l u ` bb s)hu g`ji.a _ s )y u g_ iu s y _ p c _ i e u `vj_ s c&k u `Ji g a q p _ p&k u hh_k u ` ` sd_ i ` u c gu `Ji i c p sjk c s p b d_ i g` y _ i c g i a _n p u s vj c&a+mu vjq p b c gu ` a+ms `!k u p vjii s ps ` _ `Ji _ ho d_ l _ c_ ` o c gpd_ ` u s y _ b s!k u `Jk _ v c.a _ d b&h)b ` gj p _ sji s _ dd_ u `vj_ s c&q c b o dgp&s ` _dg i c _)a+mb gu h_ i i b c g i r b gi b ` c.vju s pk b p b k c q p g i _ p.d_ i.g`ji c b `Jk _ i _ `y s _ l+i b `Ji vjb p d_ pa _ n p u s vj_ _ c k ª b `Jid_ a _ s gj h_&k b i l gdi _ vj_ s c.t smu ` b p p gy _. &s ` _ dgi c _ a+mb gu h_ i` _&k u hv p _ `Jb ` cvjb i_ `Jk u p _ c u sji d_ ib gu h_ i<a+ms `n p u s vj_ l hb g ik b p b k c q p g i b ` c<t sjb `Ja h h_d_ i<g`ji c b `Jk _ i<_ `)t s _ i c gu ` x k b p<d_ ib gu h_ i u hgi)i _a q a s g i _ ` c)a _ i)b gu h_ i)a _!dbdg i c _ l_ `Fi mb v v s b ` c)i s p)d_ i)b gu h_ ii s p)dbhs dc gv dg k b c gu ` b y _ ka _ ii k b db gp _ i _ c&_ `vju i b ` c_ `v dsji o g_ `_ ` c _ `Ja sjz ª.b `Jik _ k b i lj _!a git s _!a b `Ji&db a q Ÿ ` gc gu `k w u gi g_ ljdb)i c p sjk c s p _a _n p u s vj_&`m_ 0a = i c vjb 0b i.i q vjb p qa _d b)i c p sjk c s p _a+mu vjq p b c gu `a+ms `k u p vji _ c c _)c _ p hg` u du n g_)`m_ i cvjb i_ ` c gj p _ h_ ` ci b c g i r b gi b ` c _)k b pd_ r b gca+m c p _ i q vjb p q)u s` u ``m_ i cvjb i s ` _ v p u v p gq c q&a _ ii c p sjk c s p _ i_ `!t s _ i c gu `l h)b gia s!i i c j h_ a+mb gu h_ ivjb p c g k s dg_ p _ `)h h_ c _ hvji l gd {ba _i c p sjk c s p _ i)t s g.a q vj_ `Ja _ ` cg` c p g`ji j t s _ h_ ` c)a+mb s c p _ i)i c p sjk c s p _ i lk u hh_!dbi c p sjk c s p _!a _ ` u p h_)vju s ps `_ i vjb k _y _ k c u p g_ dp q _ d x h)b gi&d b sji i g lgdi _)vj_ s ct sms ` _)v p q i _ ` c b c gu `` _)d_ ii q vjb p _ vjb ii s 4)i b hh_ ` c lk b ps ` _ vjb p c g_!a _ ib gu h_ i&vju s pd bi c p sjk c s p _!a+m_ i vjb k _)y _ k c u p g_ d_ i cu hgivjb p a q a s gi go d_&a _ ib gu h_ ia _ d b&` u p h_ y u gpd m_ _ hv d_&a _& {g_ ` _ p z ª_c u s c _ i+r b u `Ji l a b `Ji+oJ_ b sjk u s v&a _k b iju ` vju s p p b gci q vjb p _ pjd_ ii c p sjk c s p _ ij_ `b u s c b ` ca+mb gu h_ i+ k _ ib gu h_ i<i s v v dq h_ ` c b gp _ ii _ p b g_ ` c<p _ a u `Ja b ` c i<a svju g` ca _y s _.a _d b&a q a sjk c gu `!x _ co g_ `)i pb sji i g a _k _ ds g<a _db)k b p b k c q p g i b c gu ` a+mg`ji c b `Jk _ i z l h)b gid mb y b ` c b n _&a _&d b)i q vjb p b c gu ` a _i c p sjk c s p _ i_ i c.o g_ ` k u ` ` s& ` u sji+b s u s p a+mw s g _ dd_<vj_ p h_ c<a _n q ` q p b dgi _ p+_ c<k u hvjb p _ pj_ ` c p m_ s.d_ ia q Ÿ ` gc gu `Ji+a _k u `Jk _ v c i i c p sjk c s p b s v dsjir b k gd_ h_ ` c ²`)k u `Jk ds cr b k gd_ h_ ` ca _.k _ c c _.a g i k sji i gu `)t sm_ `n q ` q p b d l u `` _.vj_ s cvjb ia _ h)b `Ja _ p s `)i i c j h_ a+mb gu h_ it s _i _ ib gu h_ ii u ` c+_ `&h h_c _ hvjidu n g t s _ h_ ` cg`ja q vj_ `Ja b ` c i_ ci q vjb p _ ` c+d_ ii c p sjk c s p _ i k u `Jk _ p ` q i ª.b `Jidbk u ` c g` sjb c gu ` a s!a q y _ du v vj_ h_ ` c.a _ ik u `Jk _ v c i l gd )b y b gc.a _ s )c _ `Ja b `Jk _ i e.sjb `Jad_ ib s c _ s p ii u ` cv ds c cg` c q p _ i i q i s ` _ v p q i _ ` c b c gu `Ri i c q h)b c gt s _ lgdi_ i i b _ ` ca _ i q vjb p _ p.d_ i i c p sjk c s p _ i ) _ a a _ p o s p `{e f _ k ds c._ v p _ i i gi.y _ p o gi a _ i k u `Ji g a q p b c gu `Ji.a+mg`Ja q vj_ `Ja b `Jk _ l š Š C Ž! Œ J M Š š & š Š Š +Š Œ Š + f f.sjb `Jad_ i.b s c _ s p i` _k w _ p k w _ ` cvjb i.a _&dg_ p.d_ s p.k u `Jk _ v c. a+mb s c p _ i.k u `Jk _ v c i&x i c p sjk c s p _ i z l gdi c _ `Ja _ ` c q dghg` _ p a _ i.b gu h_ ip _ a u `Ja b ` c i µ`e f l b `Jb k w!i s v v p gh_ N + x t s g_ i cv p q i _ ` c _ `e f z+ k wjb sja _ p.i s v v p gh_&k _ p c b g`jia _ ib gu h_ ia _ b `Jb k w)_ `!i mb v v s b ` ci s pdb` u p h_ _ i u oji _ p y b c gu `Ji&i _v p c _ ` c& )s ` _)c _ ` c b c gy _)a+mg` c q n p _ p d_ i&a q y _ du v vj_ h_ ` c i&b s c u s pa sk u `Jk _ v c a+m_ i vjb k _y _ k c u p g_ da b `Ji.s ` _vj_ p i vj_ k c gy _w gi c u p g t s _v dsji db p n _ J^<u s p&k _ d b lju `a u gc&i _p b v vj_ dd_ p t s _ d m_ gn _ `Jk _.a _d mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _.du n g t s _q c b gci u s dgn ` qvjb pd_hu s y _ h_ ` cb gu h)b c gt s _.a b `Ji<db&i s gc _.a _ i r u `Ja _ h_ ` c ia _.n q u hq c p g_.a _ ƒgdoj_ p c l _ ct s _.d b hu a _ l vju s pb g`ji g+a gp _ l a _ a q Ÿ ` gc gu `)b gu hb c g t s _.a _ i i c p sjk c s p _ it s gv p q y b db gc.a b `Jid_ i.b ` ` q _ i. g x _ c a _ v s gi zi mb v v s b gc.a gp _ k c _ h_ ` c i s p k _&hu s y _ h_ ` c u gp k w ghh)b k Re f g ˆ lvjb p_ _ hv d_ +_!k p gc j p _!a+mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _!du n g t s _)p _ hu ` c _ a+mb gdd_ s p i db v p _ hgj p _. š Ž š a _ p b i i h)b ` `& k r G!+u _ vj_ dd<e f f l vˆ i t _.` _ k u ` `Jb givjb ia _.c p b y b gd _ wjb sji c gr<i s pd mw gi c u gp _ a _k _k p gc j p _ ²`y u gca u `Jkt s _db.c w q hb c g i b c gu `a gc _.b gu h)b c gt s _a _ i<k u `Jk _ v c i<k _ ` c p b s a _k _t smu `b.ojb v c gi q v dsjic b p adbhb c w q hb c g t s _ a _ ii c p sjk c s p _ i.x c w q hb c g i b c gu ` t s gi _ r b g i b gci s p c u s ca b `Jid_ ib ` ` q _ i g z _ i cdu g`)a _ i ghv d_ h_ ` ck u ` c g` s _ pd mb v v p u k w _` u hhq b gu hb c g t s _.a _ ia _ s )a q k b a _ ib ` c q p g_ s p _ i s k u ` c p b gp _ lk _ c c _ b v v p u k w i cc p b `Ji r u p hq l+_ `g`ji gi c b ` c l!db!ÿ `a s{k u hv c _ loj_ b sjk u s vv dsjii s pd_ e

k u `Jk _ v ca _!i c p sjk c s p _ t s _!i s pd_ i&_ gn _ `Jk _ i&_ ` y _ p i&s `Ri i c j h_ a+mb gu h_ it s gq c b g_ ` c)k u ` s _ ia _ k b p b k c q p gi _ pd mb v v p u k w _&a b `Jii u ` v p _ hg_ pq c b vj_ ž!b k b ` _e f ˆ e Jd m_ v p gh_&b g`ji gx v i t z ³.a g i c g` n s gi w!c w _b gu hb c g k&b v v p u b k w rp u hc w _b v v p u b k w o!b oji c p b k c.b dn _ o p b ³ ` i vj_ b g` n u r.b gu hb c g kc _ k w ` gt s _ l<³ c w g` u rc w _)_ hv wjb i g ir u `c w _)g` y _ i c gn b c gu `Ji u r.g`ja _ vj_ `Ja _ `Jk _ Ru r b gu hhi i c _ h)i!w _ _ hv wjb i giu `{i sjk wc _ k w ` gt s _ i&g i y _ p a g±j_ p _ ` crp u h c w _ b v v p u b k w)k wjb p b k c _ p g i c g ku rb oji c p b k cb dn _ o p b l w _ p _.c w _ sji _.u rb ` b gu hi i c _ hgib` _ k _ i i gc )b cc w _&oj_ n g` ` g` n o s cp _ b dd & sji c.b `)g`jk g a _ ` c b d+` _ k _ i i gc l ` u cgc i _ drc w _i s oj _ k cu rg` y _ i c gn b c gu `Ji ².`)` _i mg` c q p _ i i _ a u `Jk.vJb ib s b gu h_ i x k u hh_ u oj _ c.a+mq c sja _ z l hb g ib s u oj _ c it s gi u ` c.k b p b k c q p gi q ivjb pd_ i.b gu h_ i+ _ `!h h_c _ hvji l u `!`m_ i c.vjb i.k u hv dj c _ h_ ` c.g`ja g±jq p _ ` c._ ` y _ p id_ i.a g±jq p _ ` c i i i c j h_ i.a+mb gu h_ i.t smu `b) )i b)a gi vju i gc gu `ljhb g id_ i.k p gc j p _ i.k wjb ` n _ ` c& Jµ`!` _v dsji i mg` c q p _ i i b ` c d mq c sja _a _ i.b gu h_ i l h)b gi dbk b p b k c q p gi b c gu `)a _ iu oj _ c i l u ` v p u k j a _& a+mb s c p _ ib k k _ ` c sjb c gu `Ji b v vj_ ddu `Ji<d msji b n _ a s)k u `Jk _ v ca _.p _ a u `Ja b `Jk _ a b `Jidb&c w q u p g_ a _ k u hhs ` gk b c gu ` d mg` r u p h)b c gu ` p _ a u `Ja b ` c _ `m_ i cvjb ii _ s d_ h_ ` c.a+m u p a s p _ l h)b gid b&p _ a u `Ja b `Jk _.vj_ s c.b g a _ p. &q c b o dgps ` _&k u hhs ` g k b c gu `k b p._ dd_p _ k u hvj_ `Ji _&a+mg` r u p h)b c gu `!vj_ p a s _&du p i.a s!c p b `Ji r_ p.a si gn `Jb d_ J bi gc sjb c gu `b y _ k d_ i a q Ÿ ` gc gu `Jia _.d m_ i vjb k _.y _ k c u p g_ d _ i ci _ h&o d b o d_ u `)b&k w u gi g s ` _ a q Ÿ ` gc gu ` t s gjn b p b ` c gcs `h)b ghs h a _ k u hv p _ w _ `Ji gu `ž!b gi&gdi _ ho d_ t smu `` _)k w _ p k wjb gck _ c&_ ±J_ ct smg`ja gp _ k c _ h_ ` c lvjb p k _)t s _)u `b k w u gi g s ` _&a q Ÿ ` gc gu ` t s g+i u s dgn ` _ t smu `)b&b ±+b gp _ s ` _ ` u c gu ` t s g+i _.v p j c _ d b&i i c q hb c g i b c gu `l t s g i _.d b gi i _ r b k gd_ h_ ` ch_ c c p _ _ `)p b v vju p cb y _ k.a+mb s c p _ i` u c gu `Ji.x k _&t s g+_ i ck b k w q.vjb pa _ ii i c j h_ it s g k w _ p k w _ ` cs `hb gh&s h a+mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _ l k m_ i c a gp _t s gjk w _ p k w _ ` c<.q dghg` _ pb s c b ` ca _p _ a u `Ja b `Jk _ t s _.vju i i go d_ z l _ cu `_ i cvj_ p i sjb a q.t s _ k m_ i c sji c _ h_ ` cd b v p q i _ ` c b c gu `)i i c q h)b c gt s _ t s g _ i c db ojb i _ a _&c u s c _&k u hv p q w _ `Ji gu ` _ k g `m_ i ca+mb gdd_ s p ivjb i<c _ dd_ h_ ` ca g±jq p _ ` ca so s ca _.ƒgdoj_ p c<vju s pt s g d_.k p gc j p _.a+mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _ du n gt s _)q c b gcc p j i&v p u ojb o d_ h_ ` ci s p c u s ci s n n q p q _)vjb pd mw gi c u gp _ a _)db!n q u hq c p g_ b sfe f gj h_ i gj k d_ x n q u hq c p g_ i` u ` _ sjk dg a g_ ` ` _ i z+ _ `!i mg` c q p _ i i b ` c &d mg`ja q vj_ `Ja b `Jk _a _&i _ ib gu h_ i l gd+y u s db gci s p c u s c v p q k gi _ pdbvju p c q _ p _ i vj_ k c gy _&a _ i.a g±jq p _ ` c ik u `Jk _ v c ik b p b k c q p gi q ivjb p.k _ ib gu h_ i T<X )WXY b `Jb k wl c _ r b `!e f s p&d_ i u vjq p b c gu `Ji&a b `Ji d_ i _ `Ji _ ho d_ i&b oji c p b gc i _ c&d_ s pb v v dg k b c gu `b s q t sjb c gu `Jig` c q n p b d_ i J œ3š š œ ) e Je ˆ e <ž g e r e f š Š Š b p i k wjb s u p p l +_ uje f f 3!Š Ž C ŠŠ + & š.. L Š š Š Œ Š Œ J b `Ja)e y u ` & Œ Š F+ b i _ d gp wjb _ sji _ p& k g_ `Jk _ _ c u p i o d ˆ ˆ g e g ž.f g< g e g ªg k i u `l +_ u `Jb p aµs n _ ` _ e f g J ²` ƒ vj_ p k u hv d_ s h&oj_ p i c _ h)i Š œj 3 F ) ˆ <ž e f e f e J J Š. Ž C Š Jƒ.b r` _ p <ž e ˆ f e f. Ž C Š Š + š.. š Œ c _ k w _ p c <ž f ªu p g_ p l _ b `F +sjk e f f F _ ` _ p b d²s c dg` _u r&c w _ _ ` _ i g iu r_ k c u p vjb k _!w _ u p + 3 e ž.f h+g e g g l o d ˆ Jg e g g ƒ.b w `l ƒ.b `Ji e f J oj_ p u dn _ `)dg` _ b p _ p.².vj_ p b c gu ` _ ` 3 +Š š L L S 3Š š Š B + š B ˆ ˆ ) <ž GX [X \ ^a 5Z [ X ] ` \d Z _X!X b ^Y ` Z [)a X_ 5Z ] ^ ` XX 8 [ X b X ) _] \[! e ` ^ Z b ^ X - & ] [X \ ^_Z" e b \ [\ ^ Z b X Z `Z ` ` X \ ] _^ Z ^ \a \_X \ X / a X _GX b! "! [_ b X X ] ^ Z \*: ^ ` X3& ] X \ ^ [e b a 5] b X ` X ] Y Xa X e b \ [\ ^ Z b X e ] ` ] b \ / \ ^!Xa 5Z 8 \ ^ ` ] [e!x \ ^ ] ` Z ] 8Re R^ / [ & ] X!X b ^_Z^ d e ` [Xa X \X b \ X!c _X \[b ^ X ` Y [X b ^\ e ] \_Z,e `!Xa 5X b \ X!c _X \\ e ] \ ; Z X b ^ \ f64z [\e b e ] ` ` Z [^\ X e b ^ X b ^ X `)a 5] b X a X!e b \ ^ ` Z ^ [e ba X e b \ [\ ^ Z b X ` X _Z ^ [Y X f e

ƒ.b h_ d l _ u p nj e f g µg` _ b i gib dd_ p +b w d_ ` s `Ja&a g_s `Ji c _ c gn _ `& i s ` n _ `&a _ p s ` c gu `Jb dn d_ gk w s ` n 3Š š œ. +œ g) f <ž f(x + y) = f(x) + f(y).p h_ p l b dr e f f ˆ 1. Œ š Œ š Š Š Œ š DAJ B Š C Ž RN P J Š C O ` g y _ p i gc ca _ i b b p db `Ja _ i ž!b k b ` _ l b s `Ja _ p i Fe f ˆ e! ƒg i c u p u r b oji c p b k cb dn _ o p b ²p gn g`l*gi _!b `Jaª._ k dg` _ u r b!hu y _ h_ ` c ³ `. Œ Š 3Š š Š Œ Š Š Ž. Ž C ŠŠ J! J 3Š š Š Œ l<w njy u ` Jª.b dc u `!b p b c _ p)_ c b d l b `JaFe y u ` 3Š š Š Œ Š. L Š! Œ š J Œ Š J M l < +s o oju k J~!+_ b i <ž.ˆ h+g e g ž u u p _ l p _ n u p ƒ&<e f f!w _ gu h)b c g b c gu `u r +g` _ b p dn _ o p b Je ˆ Je f g 3 g ž.f nrg e g ˆ l Jo d ˆ g e g g u _ c w _ p l µhh e f e + ³ a _ b dc w _ u p g_.g` g` n oj_ p _ g k w _ ` 3Š š œ. +œ ˆ ) ) <ž e e ^<_ b ` ujl s gi _ v vj_ e ˆ ˆ ˆ Š Œ Ž Œ Œ J. š J Ž š œ< Š Š J!s p g` u k k b ^g`jk w _ p dq l b dy b c u p _ s `Ja{ n u hb d a g e f g e Š? C M!! Š J Œ Š? J Š Š JŠ? u du n `Jb Jb ` g k w _ ddg <ž k wjb sja _ p l s dgsji e f s p#!w _ u p g_!i c _ c gn _ p o o gd a s ` n _ `Rg` s ` c gu `Jb dp s h_ ` 3Š š œ1<œ ) <ž! J k w ghh)b k +l*sja u dr e f g ˆ oj_ pa g_ b gu h)b c gi k w _) _ n p `Ja s ` na _ p"<_ c u p b a a gc gu ` C š Š + Ž F B Š Œ š Œ š Š Œ š Œ š R B Š Š L Œ š f g Je g J k u p b l+ )e f e +_ dn _ o p _a g<u p a g` _t sjb ds `Jt s d_hb c p gk ga _ g_ h)b ` ` / + œ < Œ œ 3Š œ Š e g J) <ž J c u p +l ƒ_ g` p gk w<e f L S š Ž! š š Œ š J B ª b p h)i c b a c. Rgi i _ `Ji k wjb rc dgk w _ sjk w n _ i _ dd i k wjb rc!+u _ vj_ dd l ž g k wjb _ d e f f J s h µg` sƒ_ p h)b ` `) p b i i h)b ` `Jib s r<a g_&.p s `Ja db n _ `)a _ p._ u h_ c p g_ ³ ` Š { Š Š B J B Ž l+w njjy u `^<_ c _ p k w p _ goj_ p l e ˆ & p _ gr i b d a µp `Ji c ž u p gc p `Ja c ` gy _ p i gc c _ a a _ p o s p `l) u i _ v wƒ_ ` p ž!b k d b n b `e f J dn _ o p b iw g k w{a u` u cvju i i _ i i&b g` gc _! b i gi Š Š Œ 3 F ) f <ž g _ gd l `Ja p q e f s dk b d k u dur s ` gu `Jb d_dg` _ b p _ / J Œ Š Š &.Œ Œ Š Š) +Š? +Š JŒ J < Š < Œ? Œ š J Š Š Œ š & JŠ Š ) <ž _ d l ƒ_ p h)b ` `e f e ˆ )/ Š +0 1 0 3Š _ p dg` v p g` n _ p <ž e e f ˆ J š & J Š J Œ š Š J B +_ gv gn! ƒgp _ d ) <ž f J {g_ ` _ p l u p oj_ p c e f g ²` c w _%!w _ u p u r _ c i+u r ^<u g` c ijg`"!+_ p h)iju r Œ u ` c g` s u sji!p b `Ji ru p hb c gu `Ji œ 3 F+ Š C Ž l v vj e e.e f b +!w _.p u s v u rc w _ +g` _ b p u ` c g` s s h! Œ Ž L š J 3Š š Š Œ Š F Œ x z g) f <ž <e f o +ghgcg`!_ p hi<u r u ` c g` s u sji!+p b `Ji r u p h)b c gu ` œgf+ Œ œg3š š œ Š +Œ g e e f e J) <ž g e f k + u c _ u `!b&^b vj_ pu r<ž b `Jb k w J œ3š š œ! e Je e ˆ