ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΜΗΧΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ ΘΕΜ Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά απ αυτόν, μέσα σε παρένθεση, το γράμμα που αντιστοιχεί στη μοναδική σωστή απάντηση. 1. Ο δίσκος του σχήματος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού ισούται με υcm. Σημείο (Σ) του δίσκου ανήκει στην κατακόρυφη διάμετρο και απέχει απόσταση.σ. από το κέντρο, όπου R η ακτίνα του τροχού. Η ταχύτητα του σημείου (Σ) έχει μέτρο: α. υ β. υ γ. υ δ. υ A2. Στη στροφική κίνηση το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων, που ασκούνται στο σώμα είναι: α. ανάλογο της συνολικής ροπής που ασκείται στο σώμα. β. ίσο με το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σώματος. γ. μηδέν. δ. ίσο με την κινητική ενέργεια περιστροφής του σώματος. 3. Τρεις σημειακές ίσες μάζες βρίσκονται στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α. Η ροπή αδράνειας του συστήματος των τριών μαζών ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο μιας πλευράς του τριγώνου και είναι κάθετος στο επίπεδο του τριγώνου είναι ίση με: α. β. γ. δ. 4. Ένας τροχός μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονά του. Το μέτρο Στ της συνισταμένης ροπής που δρα στον τροχό μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος. Το εμβαδό Ε μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα του χρόνου παριστάνει: α. τη γωνία στροφής του στερεού. β. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού. γ. το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του τροχού. δ. τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του τροχού. Στ E 0 t
5. Να γράψετε δίπλα από κάθε πρόταση το γράμμα Σ, για τη σωστή, και το Λ, για τη λανθασμένη. α. Καθώς οι αστέρες νετρονίων συρρικνώνονται με την επίδραση εσωτερικών δυνάμεων η στροφορμή τους μειώνεται. β. Το κέντρο μάζας όλων των στερεών με συμμετρικό γεωμετρικό σχήμα συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας τους. γ. Όταν ένα σώμα εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση, το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία του μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του. δ. Η ισχύς μίας δύναμης όταν εκφράζεται με όρους ροπής υπολογίζεται από την σχέση:. ε. Για ένα στερεό σώμα που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα η κινητική του ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου του μέτρου της στροφορμής του. 5 μονάδες ΘΕΜ 1. Οι δύο ομογενείς κύλινδροι του σχήματος είναι 1 κατασκευασμένοι από το ίδιο υλικό και μπορούν να περιστρέφονται γύρω από τον κοινό άξονα που διέρχεται από τα κέντρα τους. Ο κύλινδρος έχει διπλάσια ακτίνα από τον, ενώ ο έχει τετραπλάσιο πάχος από τον. σκώντας κατάλληλη ροπή περιστρέφουμε τον, έτσι ώστε αυτός να περιστρέφεται ομαλά με κινητική ενέργεια Κ. Κάποια στιγμή τον αφήνουμε να πέσει πάνω στον και μετά από λίγο οι κύλινδροι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα. Η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς κυλίνδρου ως προς τον άξονά του είναι. Το ποσοστό της απώλειας της αρχικής κινητικής ενέργειας του, λόγω της τριβής που αναπτύχθηκε ανάμεσα στους δύο κυλίνδρους είναι: α. β. γ. 2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 2 μονάδες 6 μονάδες B2. Μία λεπτή μη ομογενής ράβδος μάζας και μήκους, έχει ροπές αδράνειας και ως προς τους αντίστοιχους άξονες που διέρχονται από τα άκρα της και είναι κάθετοι σε αυτήν. Η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το μέσον της Μ είναι: α. β. γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 2 Μονάδες 7
3. Λεπτός ομογενής δακτύλιος μάζας Μ και ακτίνας R έχει περασμένη σε σημείο της περιφέρειάς του μικρή χάντρα, μάζας. Η τρύπα της χάντρας είναι πολύ μικρή έτσι ώστε να μη γλυστράει στο δακτύλιο. Κρεμάμε τον δακτύλιο Ο από σημείο Ο της περιφέρειάς του που βρίσκεται αντικρυστά της χάντρας. ιατηρούμε το στερεό ακίνητο έτσι ώστε αρχικά η διάμετρος Ο να είναι οριζόντια. Κάποια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο τον δακτύλιο με τη χάντρα να περιστραφεί γύρω από άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και διέρχεται από το Ο. Τη στιγμή που η χάντρα περνά από το χαμηλότερο σημείο της τροχιά της, ασκεί στον δακτύλιο δύναμη: α. ίση με το βάρος της. β. μιάμιση φορά μεγαλύτερη από το βάρος της. γ. διπλάσια από το βάρος της. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 2 μονάδες 6 μονάδες ΘΕΜ Γ ιαθέτουμε δύο ομογενείς λεπτές κυλινδρικές άκαμπτες ράβδους ίδιου πάχους, μία από σίδηρο και μία από αλουμίνιο. Η σιδερένια ράβδος έχει μήκος και μάζα, ενώ η αλουμινένια Γ έχει μήκος και μάζα. Συγκολλούμε τις ράβδους στα άκρα τους και Γ και φτιάχνουμε μια νέα ράβδο συνολικού μήκους, όπως φαίνεται στο σχήμα (1). ιαθέτουμε ράβδο στήριξης με μηχανισμό περιστροφής χωρίς τριβές (με ρουλεμάν) στον οποίο μπορούμε να στερεώσουμε τη ράβδο σε όποιο σημείο της θέλουμε. Στερεώνουμε τη μεγάλη ράβδο σε σημείο της Κ το οποίο απέχει K από το άκρο της απόσταση και διαπιστώνουμε ότι η ράβδος ισορροπεί οριζόντια. Γ1. Να υπολογίσετε το λόγο της πυκνότητας του σιδήρου προς την πυκνότητα του αλουμινίου.
Κατόπιν στερεώνουμε τη ράβδο στον μηχανισμό περιστροφής στο σημείο συγκόλλησης () των δύο ράβδων. Για να ισορροπεί τώρα η ράβδος οριζόντια, τοποθετούμε στο ελεύθερο άκρο της σιδερένιας ράβδου, μαγνήτη νεοδυμίου αμελητέου πάχους μάζας. m 3 Γ2. Να υπολογίσετε τη συνολική μάζα της ράβδου. Μονάδες 6 πομακρύνουμε το μαγνήτη και αφήνουμε τη ράβδο να περιστραφεί ελεύθερα γύρω από τον προηγούμενο άξονα, στο σημείο συγκόλλησης (B) των δύο ράβδων. Γ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του άκρου της ράβδου, όταν η ράβδος είναι κατακόρυφη. Μονάδες 6 ποσυνδέουμε τη ράβδο από το μηχανισμό περιστροφής και την τοποθετούμε σε οριζόντιο λείο επίπεδο (αεροτράπεζα) πάνω στο οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Εκτοξέυουμε προς τη ράβδο τον μαγνήτη του ερωτήματος 2, ο οποίος χτυπά τη ράβδο στο ελεύθερο άκρο της αλουμινένιας ράβδου με ταχύτητα μέτρου Μ υ1 m3 και διεύθυνση κάθετη στη ράβδο. Μετά την κρούση, η οποία θεωρείται ακαριαία, o μαγνήτης αποκτά ταχύτητα μέτρου και κατεύθυνση ίδια με την αρχική. Γ4. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του άκρου της ράβδου, όταν αυτή έχει στραφεί κατά σε σχέση με την αρχική της διεύθυνση πριν την κρούση. Μονάδες 8 ίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας, η ροπή αδράνειας ομογενούς λεπτής ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο της και είναι κάθετος σε αυτήν και ο όγκος κυλίνδρου διατομής και μήκους,. Οι μαγνητικές δυνάμεις ανάμεσα στη σιδερένια ράβδο και τον μαγνήτη, πριν και μετά την κρούση είναι αμελητέες.
ΘΕΜ ιαθέτουμε ένα μη ομογενές στερεό Σ, άγνωστης μάζας Μ και ροπής αδράνειας που αποτελείται από δύο κολλημένους κυλίνδρους έτσι ώστε να έχουν κοινούς άξονες. Το κέντρο μάζας του στερεού βρίσκεται πάνω στη διάμετρο που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του στερεού. Η εξωτερική ακτίνα του στερεού είναι. R Σ ICM Τυλίγουμε στους δύο κυλίνδρους πολλές φορές αβαρή νήματα, κατά την αντίθετη φορά και κρεμάμε τον κύλινδρο από τα νήματα με τη βοήθεια δύο δυναμόμετρων. Ο κύλινδρος ισορροπεί με τα νήματα κατακόρυφα και το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα σημεία στις περιφέρειες των κυλίνδρων στις οποίες εφάπτονται τα νήματα να είναι οριζόντιο. Τα δύο δυναμόμετρα του σχήματος έχουν ενδείξεις αντίστοιχα, το ενώ το. 1. Να υπολογίσετε τη μάζα M του στερεού Σ καθώς και την ακτίνα r του μικρού κυλίνδρου. 1 2 R r Μονάδες 4 Ξετυλίγουμε το νήμα από τη μεγάλη ακτίνα του στερεού και αφήνουμε τον κύλινδρο ελεύθερο να κινηθεί. Το στερεό πέφτει, χωρίς το νήμα να γλυστρά στη μικρή ακτίνα. Κατά την κίνηση του στερεού, το δυναμόμετρο έχει ένδειξη. 2. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής του. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα οριζόντιο επίπεδο μεγάλου μήκους. Σε ύψος από το οριζόντιο επίπεδο υπάρχει οριζόντια ράγα μήκους. Το πάχος της ράγας είναι αρκετό έτσι ώστε το στερεό να μπορεί να κυλά με την περιφέρεια της μικρής ακτίνας r. Όσο το στερεό κυλά στη ράγα, μόλις και δεν ακουμπά στο οριζόντιο επίπεδο, οπότε δε δέχεται δύναμη τριβής από αυτό, F μη ερχόμενο σε επαφή. Όταν το στερεό φτάσει στο τέλος της ράγας, ο κύλινδρος ακτίνας r χάνει την επαφή του με αυτή, ενώ ταυτόχρονα, το στερεό έρχεται σε επαφή μέσω της μεγάλης ακτίνας του R με το οριζόντιο επίπεδο, οπότε και συνεχίζει την κίνησή του σε αυτό. Θεωρούμε τη μετάβαση αυτή ομαλή, χωρίς κραδασμούς από την αλλαγή επιφάνειας και χωρίς το στερεό να αλλάζει ύψος. Ο συντελεστής τριβής της ράγας με τον μικρό κύλινδρο του στερεού είναι ενώ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του επιπέδου με τον μεγάλο κύλινδρο του στερεού είναι. R r 2
Tυλίγουμε ένα κομμάτι νήματος γύρω από τη μεγάλη περιφέρεια ακτίνας R και ακουμπάμε το στερεό στη ράγα. Τη χρονική στιγμή ασκούμε μέσω του νήματος σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου. Μετά από λίγη ώρα το κομμάτι του νήματος ξετυλίγεται, έτσι ώστε η δύναμη που ασκούμε, πρακτικά να μηδενίζεται ακαριαία τη χρονική στιγμή. F ράγα d 3. Να αποδείξετε ότι το στερεό κυλίεται πάνω στη ράγα χωρίς να ολισθαίνει και να υπολογίσετε το ρυθμό με με τον οποίο μεταβάλλεται η κινητική του ενέργεια τη χρονική στιγμή. Μονάδες 8 4. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα της στροφορμής του στερεού Σ ως προς τον άξονα περιστροφής του σε συνάρτηση με τον χρόνο για το χρονικό διάστημα από μέχρι. Μονάδες 8 ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας και για τους υπολογισμούς:. Καλή επιτυχία
παντήσεις ΘΕΜ 1. α 2. α 3. β 4. γ 5. α. Λ, β. Λ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Σ ΘΕΜ 1. β H αρχική κινητική ενέργεια του ήταν Η τελική κινητική ενέργεια των δύο κυλίνδρων έχοντας κοινή γωνιακή ταχύτητα είναι: Σ:. Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας είναι: 2. β Έστω Κ το κέντρο μάζας της ράβδου. Ομοίως: Κ Μ Έτσι: η ροπή αδράνειας ως προς το Κ θα είναι: ενώ η απόσταση ΚΜ θα είναι ίση με. Συνεπώς B3. γ Η συνολική ροπή αδράνειας του στερεού είναι: AME: O Μ m U=0 Η δύναμη που ασκεί η χάντρα στον δακτύλιο είναι ίση με τη δύναμη που δέχεται από αυτόν. F mg ω
ΘΕΜ Γ Γ1. Οι αποστάσεις των κέντρων από το Κ θα είναι αντίστοιχα: και C1 m1g και K C2 m2g. Οπότε: Γ2. Για την ισορροπία γύρω από το με τη βοήθεια του μαγνήτη θα έχουμε αντίστοιχα: C1 m3g m1g C2 m2g. Έτσι: Γ3. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το θα είναι: A C1 U=0 ΜΕ: C2 Γ4. Η ράβδος θα περιστραφεί ελεύθερα γύρω από το κέντρο μάζας της το οποίο είναι το σημείο Κ του Γ1 ερωτήματος. Θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση περιστρεφόμενη με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω και κινούμενη με σταθερή ταχύτητα Ο: Σ: Όταν η ράβδος περιστραφεί κατά 180 μοίρες, η ταχύτητα περιστροφής του είναι ομόρροπη της ταχύτητας της ράβδου:
ΘΕΜ 1. F2 F1 R Κ r Mg 2 2. F2' Κ Mg 3. Έστω ότι ο κύλινδρος κυλά χωρίς να ολισθαίνει: F Κ Τ Για να κυλά χωρίς ολίσθηση θα πρέπει. Πράγματι, οπότε ο κύλινδρος κυλά χωρίς να ολισθαίνει. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι:. Συνεπώς την 3. To στερεό κυλίεται με αυτήν την επιτάχυνση μέχρι τη χρονική στιγμή παύει να ασκείται η δύναμη. Τη στιγμή εκείνη έχει αποκτήσει ταχύτητα και γωνιακή ταχύτητα από τα της ράγας. ιανύει τα υπόλοιπα που και έχει διανύσει ομαλά σε χρόνο Τη χρονική στιγμή "περνά" στο οριζόντιο δάπεδο, περιστρεφόμενο πλεόν με ακτίνα R γύρω από το κέντρο του. Για την ακτίνα αυτή η γωνιακή του ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από αυτή που θα έπρεπε να έχει για να κυλά χωρίς ολίσθηση με ταχύτητα (περιστρέφεται ολισθαίνοντας - "σπινιάρει"). Συνεπώς θα αναπτυχθεί τριβή ολίσθησης ανάμεσα στο στερεό και το δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει.
συντελεστή η οποία θα το επιταχύνει μεταφορικά και θα το επιβραδύνει στροφικά F έως ότου οι τιμές των και ω ικανοποιήσουν τη συνθήκη:. Μεταφορικά ισχύει: Στροφικά ισχύει: και ράγα d Το στερεό θα αρχίσει να κυλά χωρίς να ολισθαίνει όταν:, δηλαδή τη χρονική στιγμή. Για τις ταχύτητες του από την και μετά θα ισχύει: και * Συμπερασματικά, η γωνιακή ταχύτητα του στερεού αυξάνεται ομαλά από την έως την που γίνεται και η στροφορμή του ως προς το Κ:. Η γωνιακή ταχύτητα και η στροφορμή παραμένει σταθερή μέχρι τη χρονική στιγμή που εισέρχεται στο οριζόντιο επίπεδο. Μειώνεται ομαλά μέχρι τη χρονική στιγμή που παίρνει τη σταθερή τιμή και η στροφορμή την τιμή. πό τη χρονική στιγμή και μετά παραμένει σταθερή. Έτσι η γραφική παράσταση είναι η παρακάτω: T L(kgm 2 /s) 2,4 1,32 2 2,5 2,8 3 t(s) * ν η γωνιακή ταχύτητα υπολογιστεί από τη συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση βγαίνει λίγο διαφορετική,. υτό οφείλεται στη στρογγυλοποίηση που δίνεται στην εκφώνηση.