5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4.1. Αποτελέσματα από το πρόγραμμα εξ αποστάσεως επιμόρφωσης δασκάλων και πειραματικής εφαρμογής των νοερών υπολογισμών Τα αποτελέσματα της έρευνας, τα οποία θα παρουσιάσουμε εδώ, προέρχονται από το πρόγραμμα εξ αποστάσεως επιμόρφωσης δασκάλων και πειραματικής εφαρμογής των νοερών υπολογισμών, που παρουσιάσαμε στην ενότητα 2.4.1. Θα παρουσιάσουμε αποτελέσματα από την έρευνα αυτή σχετικά με νοερούς υπολογισμούς κλασμάτων, δεκαδικών αριθμών και ποσοστών. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, στην έρευνα αυτή πραγματοποιήθηκε μια πρώτη μέτρηση των επιδόσεων των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς και στη συνέχεια μια δεύτερη μέτρηση στις ίδιες ερωτήσεις, μετά από διδακτική παρέμβαση που πραγματοποίησαν οι δάσκαλοι της τάξης. Θα παρουσιάσουμε δεδομένα από τις εξής τάξεις: την Δ (Ν=138) και τις Ε & Στ (Ν=308). Πράξη Αριθ. Σωστών απαντήσεων Ν=308 1/2 + 169 189 1/4 54,9% 61,4% 1 1/4 178 200 57,8% 65% 1/2 : 173 207 1/4 56,2% 67,2% 0,5 + 179 229 0,75 58,1% 74,4% 1,5 191 233 0,25 62% 75,6% 25% 178 222 του 80 57,8% 72,1% 90% 168 208 του 40 54,5% 67,5% Αριθ. Μαθητών που καταγράφουν τη στρατηγική 134 43,5% 142 46,1% 147 47,7% 155 50,3% 161 52,3% 155 50,3% 147 47,7% 172 55,8% 180 58,4% 184 60% 200 64,9% 199 64,6% 193 62,7% 177 57,5% Εργαλειακή στρατηγική 63 20,5% 66 21,4% 80 26% 94 30,5% 95 30,8% 80 26% 93 30,2% 101 32,8% 100 32,5% 117 38% 109 35,4% 121 39,3% Παρουσίαση δεδομένων από το αρχικό και το τελικό ερωτηματολόγιο στις Ε και Στ τάξεις Επιτυχία στις πράξεις και ικανότητα καταγραφής στρατηγικών Εννοιολογική στρατηγική 69 22,4% 76 24,7% 71 23% 57 18,5% 58 18,8% 70 22,7% 80 26% 61 19,8% 87 28,2% 75 24,3% Αδιάφορη στρατηγική 16 5,2% 14 4,5% 11 3,6% 19 6,2% 23 7,5% 11 3,6% 14 4,5% 19 6,2% 20 6,5% 22 7,1% Στον παρακάτω πίνακα 5.5 παρουσιάζουμε τα ποσοστά επιτυχίας των μαθητών της Ε και Στ τάξης στις πράξεις, με κλασματικούς, δεκαδικούς αριθμούς και ποσοστά. Παρουσιάζονται επίσης τα ποσοστά των μαθητών που μπορούν να καταγράφουν τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν και τα ποσοστά των στρατηγικών που χρησιμοποιούν πριν και μετά τη διδακτική παρέμβαση. 123 40% 118 38,3% 65 21,1% 46 15% 72 23,4% 54 17,5% 22 7,1% 21 6,8% 15 4,9% 20 6,5% Πίνακας 5.5: Ποσοστά επιτυχίας και των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές πριν και μετά την πειραματική διδασκαλία στις Ε και Στ τάξεις

Στον πίνακα 5.5 παρατηρούμε ότι γενικά είναι χαμηλά τα ποσοστά επιτυχίας στους ρητούς αριθμούς, τα ποσοστά αυτά κυμαίνονται από 55% έως 62%, δηλαδή σχεδόν οι μισοί μαθητές μπορούν να λύσουν σωστά τις ασκήσεις αυτές. Η διδακτική παρέμβαση βελτιώνει στατιστικά σημαντικά τα ποσοστά επιτυχίας σε όλες τις ασκήσεις και αυτά κυμαίνονται από 61,5% έως 75,5%. Πριν από τη διδακτική παρέμβαση οι μαθητές που μπορούν και καταγράφουν τη στρατηγική που χρησιμοποιούν είναι κάθε φορά στατιστικά λιγότεροι από τους μαθητές που απαντούν σωστά. Φαίνεται, δηλαδή, ότι οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι με το να γράφουν τον τρόπο που σκέφτηκαν, όταν κάνουν νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς. Η διδακτική παρέμβαση αυξάνει στατιστικά σημαντικά τα ποσοστά των μαθητών που μπορούν να καταγράφουν τη στρατηγική που χρησιμοποιούν όταν απαντούν σωστά. Η χρήση των στρατηγικών Εννοιολογικές στρατηγικές θεωρήθηκαν όσες προκύπτουν από απαντήσεις, όπως οι παρακάτω: Μετατροπή των κλασμάτων σε δεκαδικούς αριθμούς, π.χ. στο 1/2+1/4 0,5+0,25=0,75 ή 3/4. Στο 1/2:1/4 0,5:0,25=2. Χρήση μιας αναπαράστασης του κλάσματος για να αποδοθεί σημασία σε αυτό, π.χ. Στο 1/2+1/4 «3/4, σκέφτομαι τον κύκλο του ρολογιού, το μισό είναι 2 τέταρτα και άλλο ένα τέταρτο κάνει 3 τέταρτα». Στο 1-1/4 «3/4, από έναν κύκλο με τέσσερα κομμάτια βγάζουμε το ένα». Στο 1/2 : 1/4 «2, γιατί το 1/2 είναι το διπλάσιο του 1/4. Αν έχω μια πίτσα και τη χωρίσω παίρνω το μισό, μετά τη χωρίζω στη μέση και παίρνω το ¼». Στο 0,5+0,75 «1,25. Από το 0,5 έβγαλα 0,25 για να συμπληρώσω στο 0,75 για να βγάλω 1, και ότι περίσσεψε το πρόσθεσα». Στο 1,5-0,25 «1,25. Επειδή το 0,5 είναι 0,25 και 0,25, αν βγάλω 0,25 από 1,5 μένουν 1,25». Στο 25% του 80. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί η στρατηγική της αλλαγής μορφής, δηλαδή να θεωρηθεί το 25% ως κλάσμα του 1/4. Το 25% κάνει 1/4 γι αυτό κάνει 20. Ή η στρατηγική γνωστού παράγοντα ή υποδιπλασιασμού. Γνωρίζουμε το 50%, το μισό του είναι 25%. Παρόμοια για το 90% του 40. Χρησιμοποιείται η στρατηγική του γνωστού παράγοντα, γνωρίζουμε το 10% του 40 κάνει 4, 40-4=36. Διαδικαστικές ή εργαλειακές στρατηγικές αναδεικνύονται σε απαντήσεις όπως οι παρακάτω: Στο ½+1/4 «3/4, το 1/2 το έκανα 2/4 και πρόσθεσα με το 1/4». Στο 1-1/4 «3/4, το 1 το κάνω 4/4, μείον το 1/4 μας μένει 3/4». Στο ½ : ¼ «2, αντί να κάνω 1/2 : 1/4 έκανα 1/2 επί του 4/1. Στο 0,5+0,75 «1,25. Προσθέτω κάθετα έχουμε 5, 2 και 1, βάζω την υποδιαστολή μετά το 1». Στο 25% του 80, εφαρμόζεται ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό, 25/100 x 80

Στο 90% του 40, εφαρμόζεται ο αλγόριθμος που διδάχτηκε στο σχολείο. Με βάση τα δεδομένα του πίνακα 5.5 παρατηρούμε ότι οι πράξεις όπου οι μαθητές χρησιμοποιούν σε μεγαλύτερα ποσοστά τις εργαλειακές στρατηγικές είναι οι πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς (0,5+0,75 και 1,5-0,25), καθώς και η πράξη των ποσοστών 90% του 40. Στην πράξη των ποσοστών 25% του 80, καθώς και στις πράξεις με τα κλάσματα, τα ποσοστά χρήσης των εργαλειακών και των εννοιολογικών στρατηγικών βρίσκονται σχεδόν στο ίδιο επίπεδο. Χρησιμοποιούνται οι εννοιολογικές στρατηγικές διότι οι αριθμοί 25%, 1/2 και 1/4 προσφέρονται ώστε να μετατραπούν εύκολα σε αντίστοιχους κλασματικούς ή δεκαδικούς αριθμούς (1/4, 0,5 και 0,25). Γενικά, από την εμπειρία μας και τα αποτελέσματα άλλων ερευνών βρίσκουμε ότι οι Έλληνες μαθητές χρησιμοποιούν τις διαδικαστικές ή εργαλειακές στρατηγικές για να πραγματοποιήσουν νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς, διότι δεν διδάσκονται οι νοεροί υπολογισμοί ρητών αριθμών στο σχολείο και διδάσκονται μόνο οι γραπτοί κανόνες για τους υπολογισμούς. Διδάσκεται, όμως, και η μέθοδος της μετατροπής του κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό. Επομένως, ίσως η στρατηγική της μετατροπής του κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό, για την περίπτωση των Ελλήνων μαθητών, μπορεί να θεωρηθεί ως εργαλειακή στρατηγική, ενώ στην παραπάνω κωδικοποίηση καταχωρήθηκε ως εννοιολογική. Ίσως να είναι αυτή η αιτία για την οποία εμφανίζεται, σε μερικές πράξεις, αρκετά υψηλό ποσοστό εννοιολογικών στρατηγικών. 5.4.2. Αποτελέσματα έρευνας σε επίλεκτους Έλληνες μαθητές Ε και Στ τάξης του Δημοτικού Σχολείου Σε μια έρευνά τους οι Λεμονίδης και Καϊάφα (2013) επιχείρησαν αφενός να καταγράψουν τις στρατηγικές υπολογισμού που χρησιμοποιούν επίλεκτοι μαθητές της Ε και ΣΤ τάξης των Δημοτικών Σχολείων που έλαβαν μέρος στον διαγωνισμό «Των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής», όταν εκτελούν νοερούς υπολογισμούς με κλάσματα και ποσοστά, και αφετέρου να διερευνήσουν τις ικανότητες των μαθητών αυτών στη γραπτή έκφραση του τρόπου σκέψης τους αναφορικά με αυτές τις πράξεις. Στην έρευνα αυτή, που πραγματοποιήθηκε το Μάιο του 2011, εξετάστηκαν 462 μαθητές της Ε και Στ τάξης, που έλαβαν μέρος στον 6ο Διαγωνισμό των «Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής» από Δημοτικά σχολεία 6 πόλεων της Δυτικής Μακεδονίας. Από αυτούς οι 290 φοιτούσαν στην Ε τάξη και οι 172 στη Στ. Οι μαθητές που πήραν μέρος στον διαγωνισμό είχαν επιλεγεί από τους δασκάλους τους με κριτήριο τις καλές τους επιδόσεις στο μάθημα των Μαθηματικών, ήταν δηλαδή «επίλεκτοι» μαθητές. Τέλος, οι μαθητές αυτοί δεν διδάχτηκαν στο σχολείο στρατηγικές νοερών υπολογισμών σε ρητούς αριθμούς, οπότε οι όποιες στρατηγικές χρησιμοποίησαν είναι προσωπικές τους επινοήσεις. Η εξέταση πραγματοποιήθηκε γραπτά, ενώ οι ασκήσεις νοερών υπολογισμών με ρητούς αποτελούσαν για κάθε τάξη το ένα από τα τέσσερα θέματα του διαγωνισμού, τα άλλα τρία ήταν λεκτικά προβλήματα. Σε κάθε άσκηση νοερών υπολογισμών, οι μαθητές καλούνταν να δώσουν δύο τρόπους λύσης και επιπλέον να περιγράψουν γραπτά τον τρόπο που σκέφτηκαν. Οι ερωτήσεις

Οι ερωτήσεις που τέθηκαν στους μαθητές και αφορούσαν την εκτέλεση νοερών υπολογισμών είναι οι εξής: Ε ΤΑΞΗ Α) Υπολογίζω με το μυαλό πόσο κάνει το: 1-14. Χρησιμοποιώ δύο τρόπους για να απαντήσω. Κάθε φορά γράφω τον τρόπο που σκέφτηκα. Β) Υπολογίζω με το μυαλό πόσο κάνει τι 1/2 :1/4. Χρησιμοποιώ δύο τρόπους για να απαντήσω. Κάθε φορά γράφω τον τρόπο που σκέφτηκα. Στ ΤΑΞΗ Γ) Συγκρίνω τα κλάσματα 3/7 και 5/8. Ποιο είναι μεγαλύτερο; Χρησιμοποιώ δύο τρόπους για να απαντήσω. Κάθε φορά γράφω τον τρόπο που σκέφτηκα. Δ) Βρίσκω το 90% του 40. Χρησιμοποιώ δύο τρόπους για να απαντήσω. Κάθε φορά γράφω τον τρόπο που σκέφτηκα. Οι στρατηγικές υπολογισμού που χρησιμοποιούν οι μαθητές Ένα από τα αποτελέσματα της έρευνας είναι ότι οι μαθητές αυτοί στην πλειοψηφία τους χρησιμοποιούσαν εργαλειακές ή διαδικαστικές στρατηγικές, δηλαδή χρησιμοποιούσαν αλγορίθμους ή τους τυπικούς κανόνες υπολογισμού των πράξεων. Στον πίνακα 5.6 που ακολουθεί συνοψίζονται οι στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές για να απαντήσουν στις ερωτήσεις που τους τέθηκαν. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Εκτέλεση του γραπτού αλγόριθμου 1-1/4 Μετατροπή των κλασμάτων σε ομώνυμα και πραγματοποίηση αφαίρεσης (Εργαλειακή 1/2:1/4 Αντιστροφή του δεύτερου κλάσματος και Μετατροπή του κλάσματος ή του ποσοστού σε δεκαδικό (Εργαλειακή Χρήση νοητικών αναπαραστάσεων Αναφορά στο μισό Σκέψη του υπολοίπου πραγματοποίηση πολλαπλασιασμού Σύγκριση Μετατροπή των κλασμάτων σε ομώνυμα και 3/7 και 5/8 σύγκριση των αριθμητών 90% του 40 90/100Χ40=3600/100=36 1-1/4 Το 1/4=0,25, άρα το 1-1/4=1-0,25=0,75 1/2:1/4 Το 1/2 είναι 0,5, το 1/4 είναι 0,25. Το 0,25 χωράει δύο φορές στο 0,5 ή το 0,5 είναι διπλάσιο από το 0,25 Σύγκριση Το 3/7=0,4 ενώ το 5/8=0,6. Άρα 5/8>3/7. 3/7 και 5/8 90% του 40 90:100=0,9 και 0,9Χ40=36. 1-1/4 Βλέπω το 1 σαν μια ολόκληρη πίτσα ή ένα ρολόι με τέσσερα τέταρτα. Βγάζω το 1/4 και μένουν 3/4 Σύγκριση Χρήση της αριθμογραμμής ή της πίτσας ως 3/7 και 5/8 νοητική αναπαράσταση. 1/2:1/4 Το 1/2 είναι το μισό, το 1/4 χωράει 2 φορές στο μισό Σύγκριση Το 5/8 είναι μεγαλύτερο από το 1/2. Το 3/7 είναι 3/7 και 5/8 μικρότερο από το 1/2. Άρα το 5/8 είναι Σύγκριση 3/7 και 5/8 μεγαλύτερο. Το 3/7 χρειάζεται ακόμη 4/7 για να γίνει μονάδα (7/7), το 5/8 χρειάζεται 3/8 για να γίνει μονάδα

(8/8). Επειδή το 4/7>3/8 τότε 5/8 > 3/7. Αναγωγή στη μονάδα Βγάζω το 10% από το 100% Μετατροπή των κλασμάτων σε ομώνυμα (Εργαλειακή Δημιουργία σύνθετου κλάσματος (Εργαλειακή 90% του 40 Το 1% του 40 είναι 40:100=0,4 Επομένως: 90Χ0,4=36 90% του 40 Το 10% του 40 είναι το 4. Το 90% είναι 100%- 10%, άρα το 90% του 40 είναι 40-4=36. 1/2:1/4 Μετατροπή των κλασμάτων σε ομώνυμα και διαίρεση των αριθμητών 1/2: 1/4 = 2/4: 1/4 = 2 1/2:1/4 Δημιουργία σύνθετου κλάσματος και έπειτα πολλαπλασιασμός τους άκρων όρων μεταξύ τους, για να βρεθεί ο αριθμητής, και των μέσων μεταξύ τους, για να βρεθεί ο παρονομαστής. Πίνακας 5.6: Οι στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές (Από Λεμονίδης και Καϊάφα, 2013) Στον πίνακα 5.7, παρουσιάζονται τα ποσοστά των μαθητών που επέλεξαν κάθε στρατηγική. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ Ε τάξη 1-1/4 Ε τάξη 1/2: ¼ Στ Τάξη 3/7 και 5/8 Στ Τάξη Το 90% του 40 Εκτέλεση του γραπτού 180 (62%) 155 (53,5%) 122 (71%) 140 (81,5%) αλγόριθμου Μετατροπή του κλάσματος ή του 82 (28%) 38 (13%) 56 (32,5%) 42 (24,5%) ποσοστού σε δεκαδικό Χρήση νοερών αναπαραστάσεων 7 (2,5%) 18 (10,5%) Αναφορά στο μισό 7 (2,5%) 7 (4%) Σκέψη του υπολοίπου 7 (4%) Αναγωγή στη μονάδα 23 (13,5%) Βγάζω το 10% από το 100% 19 (11%) Μετατροπή των κλασμάτων σε 25 (8,5%) ομώνυμα και διαίρεση των αριθμητών Δημιουργία σύνθετου κλάσματος 5 (1,5%) Πίνακας 5.7: Ποσοστά μαθητών που επέλεξαν κάθε στρατηγική (Από Λεμονίδης και Καϊάφα, 2013) Σύμφωνα με τον πίνακα 5.7 παρατηρούμε ότι η πλειονότητα των μαθητών εκτελεί τον γραπτό αλγόριθμο για να βρει το αποτέλεσμα, παρά το γεγονός ότι ρητά ζητήθηκε από αυτούς να υπολογίσουν το αποτέλεσμα με το μυαλό. Συγκεκριμένα, το ποσοστό των μαθητών που επιλέγουν ως πρώτη ή δεύτερη επιλογή την εκτέλεση του γραπτού αλγόριθμου ανέρχεται στο 62% στην πράξη της αφαίρεσης, στο 53,5% στην πράξη της διαίρεσης, στο 71% στη σύγκριση κλασμάτων και στο 81,5% στην εύρεση ποσοστού. Το ποσοστό των μαθητών που επιλέγει τη μετατροπή του κλάσματος ή του ποσοστού σε δεκαδικό κυμαίνεται από το 13% έως το 32,5%. Εννοιολογικές στρατηγικές, όπως η χρήση νοερών αναπαραστάσεων ή η σκέψη του υπολοίπου και η αναφορά στο μισό συγκεντρώνουν πολύ μικρότερα ποσοστά.

Τα λάθη των μαθητών Τα περισσότερα λάθη οφείλονται είτε στην αδυναμία των μαθητών να εφαρμόσουν ορθά τον γραπτό αλγόριθμο που έχουν διδαχθεί είτε στο γεγονός ότι επιχειρούν να εφαρμόσουν τον γραπτό αλγόριθμο άλλης πράξης. Για παράδειγμα, πολλοί μαθητές στην αφαίρεση κλασμάτων αντέστρεφαν τους όρους του δεύτερου κλάσματος και κατόπιν πραγματοποιούσαν πολλαπλασιασμό (επιρροή από τον αλγόριθμο της διαίρεσης κλασμάτων), ενώ άλλοι στη διαίρεση έκαναν τα κλάσματα ομώνυμα, διαιρούσαν τις αριθμητές και κρατούσαν τον ίδιο παρονομαστή, σαφώς επηρεασμένοι από τον γραπτό αλγόριθμο της πρόσθεσης και της αφαίρεσης κλασμάτων. Τέλος, στη σύγκριση κλασμάτων κάποιοι μαθητές, για να συγκρίνουν τα δύο κλάσματα, εστιάζουν μόνο στους αριθμητές ή μόνο στους παρανομαστές. Π.χ. «μεταξύ των κλασμάτων 3/7 και 5/8, μεγαλύτερο είναι το 5/8 επειδή έχει μεγαλύτερο αριθμητή ή μεγαλύτερο είναι το 3/7 επειδή έχει μικρότερο παρονομαστή». Οι συγγραφείς της έρευνας αυτής συμπεραίνουν ότι τα λάθη των μαθητών οφείλονται στο γεγονός ότι αυτοί δεν έχουν αναπτύξει μια διαισθητική γνώση και κατανόηση του ρητού αριθμού και κάνουν λάθη στην προσπάθειά τους να εφαρμόσουν έναν γραπτό αλγόριθμο του οποίου δεν κατανοούν το νόημα και τη λειτουργία. Η ικανότητα γραπτής έκφρασης Τα συμπεράσματα της έρευνας αυτής, όσον αφορά στη γραπτή αποτύπωση του τρόπου με τον οποίο σκέφτηκαν οι μαθητές για να καταλήξουν στη λύση που έδωσαν, έδειξαν ότι η συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών (στις τρεις από τις τέσσερις δραστηριότητες) δεν είναι σε θέση να εξηγήσει τον τρόπο που σκέφτηκε. Το γεγονός αυτό ίσως δηλώνει πως μια τέτοια πρακτική δεν αποτελεί μέρος της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Οι μαθητές, δηλαδή, δεν ήταν εξοικειωμένοι με κάτι τέτοιο. Συσχέτιση της επιλογής στρατηγικής και της ικανότητας για γραπτή έκφραση του τρόπου σκέψης με την ικανότητα επίλυσης προβλήματος Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής έδειξαν πως οι μαθητές που επιδεικνύουν μια ευελιξία στην επιλογή στρατηγικής νοερών υπολογισμών και είναι σε θέση να χρησιμοποιούν εννοιολογικές στρατηγικές, που φανερώνουν μια πιο βαθιά κατανόηση της έννοιας του ρητού αριθμού, έχουν καλύτερες επιδόσεις στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων σε σύγκριση με τους μαθητές εκείνους που κάνουν χρήση μόνο διαδικαστικών στρατηγικών που έχουν διδαχθεί στο σχολείο. Επιπλέον, καλύτερες επιδόσεις στη λύση προβλήματος επέδειξαν και οι μαθητές εκείνοι που μπορούσαν με επιτυχία να περιγράψουν τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκαν, για να οδηγηθούν στη λύση των ασκήσεων νοερών υπολογισμών, σε σύγκριση με τους συμμαθητές τους που έλυναν σωστά την άσκηση αλλά αδυνατούσαν να περιγράψουν επιτυχώς την πορεία της σκέψης τους. Το γεγονός αυτό δείχνει ίσως ότι η μεταγνωστική σκέψη, που αποτελεί προϋπόθεση της ικανότητας του μαθητή να παρακολουθεί και να περιγράφει τη διαδικασία που ακολούθησε για να οδηγηθεί στη λύση, σχετίζεται και με την επίλυση

προβλήματος, που εκ των πραγμάτων είναι μια σύνθετη διαδικασία η οποία απαιτεί ανώτερες νοητικές ικανότητες από τον μαθητή. Οι διαπιστώσεις αυτές ενισχύουν την άποψη ότι αφενός οι νοεροί υπολογισμοί με ρητούς αριθμούς πρέπει να αποτελέσουν αντικείμενο διδασκαλίας και αφετέρου ότι η γραπτή έκφραση πρέπει να ενταχθεί στο μάθημα των Μαθηματικών.