ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΕΠΟΧΙΑΚΩΝ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ SARIMA

Σχετικά έγγραφα
Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Μη μετρούμενες λεκάνες απορροής: Διερεύνηση στη λεκάνη του Πηνειού Θεσσαλίας, στη θέση Σαρακίνα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ

Οικονομικές εφαρμογές υπολογιστικών πακέτων. Στοχαστικά υποδείγματα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

Χρονοσειρές - Μάθημα 5

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς.

Data Analytics Και Ευφυή Συστήματα Πρόβλεψης Δεδομένων Σε Χρονοσειρά. Εφαρμογή Στον Εναρμονισμένο Δείκτη Τιμών Καταναλωτή.

ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΥΔΑΤΙΚΟΙ ΠΟΡΟΙ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

μαθήματος: 120 Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος μαθήματος: Υποχρεωτικό Επιλογής Κατηγορία Ώρες 8 ο διδασκαλίας

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ-ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (AUTOCORRELATION)

Analyze/Forecasting/Create Models

ΘΕΜΑ: Ανδρέας Λαγγούσης. Αθήνα, Ιούλιος 2003 Επιβλέπων:. Κουτσογιάννης, Αναπληρωτής Καθηγητής

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΟΙ Υ ΡΟΓΕΩΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΗΝ ΛΕΚΑΝΗ ΠΟΤΑΜΙΑΣ ΚΑΙ Η ΑΛΛΗΛΟΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΟΥ Υ ΑΤΙΚΟΥ ΚΑΘΕΣΤΩΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΛΙΓΝΙΤΙΚΗ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΛΑΣΣΟΝΑ

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Αποσύνθεση Χρονοσειράς Διάλεξη 3

ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΠΟΧΙΚΗ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ

Κλιματική αλλαγή, δυναμική Hurst- Kolmogorov και αβεβαιότητα

Οικονοµική ανταποδοτικότητα διαχειριστικών σχεδίων σε λεκάνες απορροής ποταµού. Least cost planning of water resources at the river basin

Τοποθέτηση προβλήματος

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου

Εισόδημα Κατανάλωση

«ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗΣ ΥΔΡΟΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ ΥΠΟΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΥΔΡΟΓΕΙΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗ ΛΕΚΑΝΗ ΤΟΥ ΒΟΙΩΤΙΚΟΥ ΚΗΦΙΣΟΥ»

15η Πανελλήνια Συνάντηση Χρηστών Γεωγραφικών Συστηµάτων Πληροφοριών ArcGIS Ο ΥΣΣΕΥΣ

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής

Υδρολογική διερεύνηση της διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα

Υδρολογική διερεύνηση της διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΣΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΩΡΟ. Χρήστος Τζιμόπουλος Καθηγητής Α.Π.Θ

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2)

Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA);

Ανάλυση Χρονοσειρών. Κεφάλαιο Ανάλυση Χρονοσειρών

Γιατί μας ενδιαφέρει; Αντιπλημμυρική προστασία. Παροχή νερού ύδρευση άρδευση

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

Υδρολογική αβεβαιότητα στα συστήματα υδατικών πόρων Προσομοίωση. Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΒΙΩΣΙΜΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕ Ο ΛΕΚΑΝΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ GIS

Τεχνικές Προβλέψεων. Προβλέψεις

Υδρολογική αβεβαιότητα στα συστήματα υδατικών πόρων Προσομοίωση

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

Τεχνικές Προβλέψεων. 2η Ενότητα Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς

ιάρθρωση παρουσίασης 1. Ιστορικό διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα 2. Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 3. Μεθοδολογική προσέγγιση

Υδρολογική διερεύνηση λειτουργίας ταµιευτήρα Πλαστήρα

7. ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΟΥΣ

Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

«ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ

Υ ΡΟΛΟΓΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Γκανούλης Φίλιππος Α.Π.Θ.

Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης. Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΜΟΝΟΞΕΙΔΙΟΥ ΤΟΥ ΑΝΘΡΑΚΑ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ ΜΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Τίτλος Εργασίας: Η χρήση της μεθοδολογίας Box Jenkins στην ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια

1 (forward modeling) 2 (data-driven modeling) e- Quest EnergyPlus DeST 1.1. {X t } ARMA. S.Sp. Pappas [4]

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Τεχνικές Προβλέψεων. Παράδειγμα Αποσύνθεσης

Χρονοσειρές Μάθημα 2. Μη-στασιμότητα. Τάση? Εποχικότητα / περιοδικότητα? Ασταθή διασπορά? Αυτοσυσχέτιση?

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

Χρονοσειρές Μάθημα 3

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Απλά πολυμεταβλητά στάσιμα και κυκλοστάσιμα μοντέλα

Σύστηµα προσοµοίωσης υδρολογικού κύκλου λεκάνης Βοιωτικού Κηφισού - Υλίκης

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων

Χρονοσειρές Μάθημα 3. Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες. Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) Z Z ~ WN(0, ) είναι στάσιμη. Θεωρούμε μ=0 E[ X ] 0

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π

Χρονοσειρές - Μάθημα 5

Χρονοσειρές - Μάθημα 8. Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών

Χρονικές σειρές 9 Ο μάθημα: Μεικτά μοντέλα ARMA

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΙΣΟΖΥΓΙΟΥ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΖΗΤΗΣΗΣ ΝΕΡΟΥ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΚΑΡ ΙΤΣΑΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ MIKE BASIN

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή. Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή

Υ ΡΟΓΑΙΑ. Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων. Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων

Συνθετικές εδαφικές κινήσεις Κεφ.22. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών

Μάθημα 2: Mη-στάσιμη χρονοσειρά, έλεγχος μοναδιαίας ρίζας και έλεγχος ανεξαρτησίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARIMA ΚΑΙ SARIMA, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX-JENKINS

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Transcript:

ελτίο της Ελληνικής Γεωλογικής Εταιρίας τοµ. XXXVI, 2004 Πρακτικά 10 ου ιεθνούς Συνεδρίου, Θεσ/νίκη Απρίλιος 2004 Bulletin of the Geological Society of Greece vol. XXXVI, 2004 Proceedings of the 10 th International Congress, Thessaloniki, April 2004 ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΕΠΟΧΙΑΚΩΝ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ SARIMA ΣΤΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΩΝ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ. ΤΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΤΟΥ ΚΑΡΣΤΙΚΟΥ Υ ΡΟΦΟΡΕΑ ΤΗΣ ΚΡΑΝΙΑΣ ΕΛΑΣΣΟΝΑΣ, ΘΕΣΣΑΛΙΑ Μανάκος Α 1, ηµόπουλος Γ 2 1 Ι.Γ.Μ.Ε, Π.Μ.K.Μ, Φράγκων 1, 56 426 Θεσσαλονίκη, amanakos@thes.igme.gr 2 Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσ/νίκης, Τµήµα Γεωλογίας, Τοµέας Γεωλογίας, 54 621 Θεσσαλονίκη, gdimop@geo.auth.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή επιχειρείται η προσοµοίωση µε εποχιακά στοχαστικά οµοιώµατα SARIMA της χρονικής σειράς (1974-1993) των παροχών της καρστικής πηγής Κεφαλόβρυσου, η οποία εκφορτίζει τον καρστικό υδροφορέα της Κρανιάς Ελασσόνας και διερευνάται η αποτελεσµατικότητά τους στο να µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη πρόβλεψη µελλοντικών µηνιαίων παροχών, στοιχείο πολύ σηµαντικό για την ορθολογική διαχείρησή του υδροφορέα. Η εφαρµογή των εποχιακών στοχαστικών οµοιωµάτων προϋποθέτει ύπαρξη στασιµότητας της χρονοσειράς. Για τη δηµιουργία στασιµότητας χρησιµοποιείται ο λογαριθµικός µετασχηµατισµός Box-Cox. Για τη λογαριθµικά µετασχηµατισµένη χρονική σειρά των µηνιαίων παροχών της πηγής το κατάλληλο εποχιακό στοχαστικό οµοίωµα SARIMA, που µπορεί να προσοµοιώσει τη µετασχηµατισµένη σειρά, είναι της µορφής (4,1,1)(1,1,1) 12. Για τον έλεγχο της καταλληλότητας του οµοιώµατος (4,1,1)(1,1,1) 12 χρησιµοποιείται ο έλεγχος των υπολοίπων µε σκοπό να δειχθεί ότι αποτελούν λευκό θόρυβο. Αυτό γίνεται µε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης [ΑCF] τη συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης [PACF] και το αθροιστικό περιδόγραµµα [C(fk)] των υπολοίπων, τα οποία δείχνουν ότι τα υπόλοιπα είναι λευκού θορύβου, δηλαδή ασυσχέτιστα. Το παραπάνω οµοίωµα έχει τη µορφή : (1-φ 1Β- φ 2Β 2 - φ 3Β 3 - φ 4Β 4 )(1-Β)(1-Φ 1Β 12 )(1- Β 12 )Ζ t = (1-θ 1Β)(1-Θ 1 Β 12 )e t όπου Ζt είναι ο λογάριθµος της µηνιαίας παροχής της πηγής Κεφαλόβρυσου. Η εφαρµογή του οµοιώµατος, στην χρονοσειρά των παροχών της καρστικής πηγής Κεφαλόβρυσου, φαίνεται ότι πετυχαίνει πολύ καλή πρόβλεψη των µετρηµένων µηνιαίων παροχών για δύο τουλάχιστον έτη. 1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΜΕ ΕΠΟΧΙΑΚΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ SARIMA 1.1 Γενικά Ένα από τα σοβαρότερα προβλήµατα που παρουσιάζονται στην προσπάθεια ορθολογικού σχεδιασµού και λειτουργίας των έργων αξιοποίησης του υδατικού δυναµικού µιας περιοχής (για ύδρευση, άρδευση, υδροηλεκτρική εκµετάλλευση κ.λ.π) είναι από την µια η ποιοτική και ποσοτική ανεπάρκεια των υδρολογικών παρατηρήσεων και από την άλλη η αδυναµία των συµβατικών µεθόδων της υδρολογικής ανάλυσης να δώσει ικανοποιητική απάντηση στα διάφορα υδρολογικά προβλήµατα. Η ανεπάρκεια αυτή και η αδυναµία των συµβατικών µεθόδων οδήγησε στη χρησιµοποίηση και άλλων θεωριών στην υδρολογική ανάλυση, όπως της στατιστικής, της θεωρίας των πιθανοτήτων κ.λπ. Έτσι, προέκυψε η Στατιστική Υδρολογία, η οποία προσπαθεί να εξηγήσει τις φυσικές διαδικασίες µε τη βοήθεια των στατιστικών ιδιοτήτων των υδρολογικών παραµέτρων και χωρίζεται στην Πιθανολογική και Στοχαστική Υδρολογία. Η Πιθανολογική Υδρολογία αναλύει και συνθέτει τα υδρολογικά γεγονότα χωρίς να παίρνει υπόψη τη χρονική τους ακολουθία (π.χ. ανάλυση µεγίστων ή ελαχίστων ετησίων παροχών ποταµού) ενώ η Στοχαστική Υδρολογία λύνει τα υδρολογικά προβλή- 2012

µατα χρησιµοποιώντας τα στατιστικά χαρακτηριστικά των µεταβλητών, βασισµένη στις στοχαστικές ιδιότητες της χρονικής σειράς της µεταβλητής. 1.2 οµή των χρονικών σειρών Στην υδρολογία οι χρονοσειρές που παρατηρούνται είναι κατά κανόνα τυχαίες ή στοχαστικές. Μια στοχαστική µεταβλητή, Χt, όπως είναι µια υδρολογική χρονοσειρά, αποτελείται από τα εξής µέρη : (α) Το Προσδιοριστικό Nt, και (β) το Στοχαστικό Zt, δηλαδή : Χt = Nt + Zt. Το προσδιοριστικό µέρος αποτελείται από τρεις συνιστώσες : (α) την Τάση, (β) την Περιοδικότητα και (γ) την Εµµονή. Το στοχαστικό µέρος από την άλλη πλευρά αποτελείται από τη χρονικά εξαρτηµένη συνιστώσα, που συνήθως καλείται λευκός θόρυβος. Για την προσοµοίωση µιας χρονοσειράς απαραίτητη προϋπόθεση είναι η προσοµοίωση τόσο του προσδιοριστικού µέρους όσο και του στοχαστικού µέρους αυτής. Η ύπαρξη προσδιοριστικού µέρους σηµαίνει πως οι χρονοσειρές είναι µη στάσιµες. Απαραίτητη προϋπόθεση επίσης για την προσοµοίωση της χρονοσειράς µε ένα στοχαστικό οµοίωµα είναι αυτή να έχει γίνει στάσιµη. Επο- µένως, η αφαίρεση των προσδιοριστικών συνιστωσών δηµιουργεί στασιµότητα στη χρονοσειρά, που στη συνέχεια είναι κατάλληλη για την προσοµοίωσή της µε κάποιο στοχαστικό οµοίωµα. Για τη δηµιουργία στασιµότητας στις χρονοσειρές, είτε πρέπει να βρεθούν οι συνιστώσες του προσδιοριστικού µέρους και να αφαιρεθούν, είτε να γίνει χρήση κάποιων µεθόδων, η εφαρµογή των οποίων δεν απαιτεί την εύρεση των προσδιοριστικών συνιστωσών, αλλά δηµιουργεί απευθείας στασιµότητα της χρονοσειράς. 2 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 2.1 Γενικά Στοχαστικές διαδικασίες για την προσοµοίωση χρονοσειρών δόθηκαν συστηµατικά από τους Box and Jenkins (1970, 1976), οι οποίοι περιγράφουν µια οικογένεια γραµµικών στοχαστικών ο- µοιωµάτων που είναι γνωστά ως Box - Jenkins ή SARIMA (Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average) οµοιώµατα. Τέτοια στοχαστικά οµοιώµατα εφαρµόστηκαν στην πρόβλεψη γενικά υδρολογικών χρονικών σειρών (Box and Jenkins 1976, Salas et al. 1985, Παπαµιχαήλ 1991), και ειδικότερα χρονικών σειρών παροχών ή εισροών επιφανειακών υδατορεµάτων (McKerchar and Delleur 1974, Salas et al. 1982, Stedinger et al. 1985, Παπαµιχαήλ 1989 και 1993, Γεωργίου 1996), και πηγαίων καρστικών παροχών (Μανάκος 1999). Τα οµοιώµατα Box - Jenkins έγιναν πολύ δηµοφιλή εξαιτίας της απλής µαθηµατικής δοµής, της συνεπούς αναπαράστασης των δεδοµένων µε τη βοήθεια ενός σχετικά µικρού αριθµού παραµέτρων και της εφαρµογής τόσο σε στάσιµες όσο και σε µη στάσιµες διαδικασίες. Τα οµοιώµατα αυτά είναι επίσης κατάλληλα για την ανάλυση και την πρόβλεψη χρονικών σειρών που από τη φύση τους παρουσιάζουν εµµονή, γεγονός που είναι πραγµατικότητα στην περίπτωση των χρονικών σειρών των παροχών ή εισροών. 2.2 Mορφή των εποχιακών στοχαστικών οµοιωµάτων SARIMA Έστω µια διακεκριµένη χρονική σειρά Ζ 1, Ζ 2, Ζ 3,... Ζ Ν-1, Ζ Ν που οι τιµές της αναφέρονται σε ίσα χρονικά διαστήµατα. Η σειρά αυτή, κατά τους Box and Jenkins, µπορεί να προσοµοιωθεί από ένα στοχαστικό εποχιακό οµοίωµα SARIMA, της µορφής: φ(β)φ(β s )(1-B) d (1- Β s ) D (Ζ t -µ) = θ(β)θ(β s )e t όπου t = είναι ο διακεκριµένος χρόνος, s = είναι το εποχιακό µήκος, B = είναι ένας τελεστής ο- πίσω διαφορών που ορίζεται από τη σχέση ΒΖ t = Z t-1 και Β s Z t = Z t-s, µ = είναι ο µέσος όρος των θεωρητικά απείρων όρων της σειράς που συνήθως παίρνεται ως η µέση τιµή των όρων της πεπερασµένης χρονοσειράς Ζ t, e t = [NID (0,σ 2 e )] είναι ο κανονικά ανεξάρτητα κατανεµηµένος «λευκός 2 θόρυβος» των υπολοίπων µε µέσο όρο 0 και µεταβλητότητα σ e, φ(β) = 1-φ 1Β - φ 2Β 2 - - φ pβ p είναι ο µη εποχιακός τελεστής αυτοσυσχέτισης (AR) τάξης p, (1-Β) d = d ( d = Z t - Z t-d ) είναι ο µη εποχιακός τελεστής διαφορών τάξης d που δηµιουργεί µη εποχιακή στασιµότητα των d-οστών διαφορών, όπου συνήθως d = 0,1 ή 2, Φ(Β s ) = 1 - Φ 1Β S - Φ 2Β2 S -. - Φ PΒ PS είναι ο εποχιακός τελεστής αυτοσυσχέτισης (AR) τάξης P, (1- Β S ) D = D S ( D S Z t= Z t -Z t - SD ) είναι ο εποχιακός τελεστής διαφορών τάξης D που δηµιουργεί εποχιακή στασιµότητα των D-οστών διαφορών, όπου συνήθως D = 0,1 ή 2, θ (Β) = 1- θ 1Β - θ 2Β 2 - - θ qβ q είναι ο µη εποχιακός τελεστής κινούµενων µέσων ό- 2013

ρων (ΜΑ) τάξης q και Θ(Β S ) = 1 - Θ 1Β S - Θ 2Β 2S -. - Θ QΒ QS είναι ο εποχιακός τελεστής κινούµενων µέσων όρων (ΜΑ) τάξης Q. Ο γενικός συµβολισµός (p,d,q)(p,d,q)s χρησιµοποιείται για να περιγράψει τα εποχιακά SARIMA (Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average) οµοιώµατα. 3 ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΟΥ ΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ Η χρονική σειρά που χρησιµοποιήθηκε αποτελείται από δεδοµένα που προέρχονται από µετρήσεις παροχής της µεγάλης καρστικής πηγής του Κεφαλόβρυσου Ελασσόνας, οι οποίες πραγµατοποιήθηκαν από την ΥΕΒ-Λάρισας και το ΙΓΜΕ (Μανάκος 1999). Πρόκειται για τιµές µηνιαίων παροχών της πηγής για το χρονικό διάστηµα 1974-1993. Η ιστορική σειρά των µηνιαίων παροχών της πηγής φαίνονται στο διάγραµµα του σχήµατος 1. Μηνιαία παροχή (Qt), l/s 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 Ιαν-74 Ιαν-75 Ιαν-76 Ιαν-77 Ιαν-78 Ιαν-79 Ιαν-80 Ιαν-81 Ιαν-82 Ιαν-83 Ιαν-84 Ιαν-85 Ιαν-86 Ιαν-87 Ιαν-88 Ιαν-89 Ιαν-90 Ιαν-91 Ιαν-92 Ιαν-93 Σχήµα 1. ιάγραµµα των µηνιαίων παροχών Qt της ιστορικής ακολουθίας της πηγής Κεφαλόβρυσου για το χρονικό διάστηµα 1974-1993. Η καρστική πηγή βόρεια της Κοινότητας του Κεφαλόβρυσου αποτελεί το µοναδικό σηµείο εκφόρτισης του καρστικού υδροφορέα (Μανάκος 1999, Μανάκος & ηµόπουλος 1999). Το προαναφερόµενο καρστικό σύστηµα αποτέλεσε αντικείµενο εφαρµοσµένης υδρογεωλογικής έρευνας από το ΙΓΜΕ κατά την χρονική περίοδο 1988-1993 µε πηγή χρηµατοδότησης το Α Κ.Π.Σ -Π.Ε.Π- Θεσσαλίας (Μανάκος&Τασιός 1999). 2014

Σχήµα 2: α) Συνάρτηση αυτοσυχέτισης (ACF) β) Συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης (PACF) γ) Αθροιστικό περιοδόγραµµα [C(fk)] της λογαριθµικά µετασχηµατισµένης χρονικής σειράς των παροχών Ζt, της πηγής Κεφαλόβρυσου για το χρονικό διάστηµα 1974-1993. Η εφαρµογή των εποχιακών στοχαστικών οµοιωµάτων προϋποθέτει αφαίρεση της τάσης και ύπαρξη στασιµότητας της χρονοσειράς. Για τη δηµιουργία στασιµότητας χρησιµοποιείται ο λογαριθµικός µετασχηµατισµός Box-Cox (1964). Για τη λογαριθµικά µετασχηµατισµένη χρονική σειρά των µηνιαίων παροχών της πηγής Κεφαλόβρυσου υπολογίζονται η συνάρτηση αυτοσυχέτισης, η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης και το αθροιστικό περιοδόγραµµα. Το συσχετόγραµµα, η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης και το αθροιστικό περιοδόγραµµα της µετασχηµατισµένης χρονικής σειράς της παροχής, που φαίνονται αντίστοιχα στα σχήµατα 2α, 2β και 2γ, δείχνουν ότι η σειρά δεν είναι λευκού θορύβου, το εποχιακό µήκος (s) είναι ίσο µε 12 µήνες και ότι ένα κατάλληλο εποχιακό στοχαστικό οµοίωµα SARIMA, που µπορεί να προσοµοιώσει τη µετασχηµατισµένη σειρά, είναι της µορφής (4,1,1)(1,1,1) 12 (Μανάκος 1999). Οι τιµές των παραµέτρων του παραπάνω οµοιώµατος υπολογίστηκαν εφαρµόζοντας τον αλγόριθµο του Marquardt (1963) και µαζί µε τα όρια εµπιστοσύνης (95%), το τυπικό σφάλµα εκτίµησης, η Τ-τιµή και η Ρ-τιµή δίνονται στον Πίνακα 1. Πίνακας 1 : Τιµή των παραµέτρων, όρια εµπιστοσύνης (95%), τυπικό σφάλµα, Τ-τιµή και Ρ-τιµή για το ο- µοίωµα (4,1,1)(1,1,1) 12 της λογαριθµικά µετασχηµατισµένης χρονικής σειράς των µηνιαίων παροχών των ετών 1974-1993 της καρστικής πηγής Κεφαλόβρυσου Ελασσόνας. Παράµετρος οµοιώµατος Τιµή 95% όρια εµπιστοσύνης Τυπικό σφάλµα Τ-τιµή Ρ-τιµή φ 1 0,42862 0,29648 0,56076 0,06704 6,39365 0,00000 φ 2-0,39013-0,53080-0,24946 0,07137-5,46654 0,00000 φ 3 0,23333 0,09215 0,37451 0,71630 3,25745 0,00130 φ 4-0,15361-2,28582-0,02140 0,67080-2,29012 0,02296 Φ 1-0,13274-1,97641 1,71093 0,09354-1,41910 0,15728 θ 1-0,17472-1,06035 0,71091 0,44933-0,38884 0,69781 Θ 1 0,66286 0,53221 0,79351 0,07198 9,20902 0,00000 Η τελική επιλογή της µορφής του οµοιώµατος γίνεται µε τη βοήθεια κάποιων κριτηρίων. Τα κριτήρια αυτά είναι : 1) Το Akaike (AIC) 2) Τo κριτήριο Posterior Probability (PP), 3) ο αριθµός η, 4) η µεταβλητότητα των υπολοίπων (σ e 2 ) και 5) Το τέστ Portmanteau (Qp) Στον πίνακα 2 δίνονται τα παραπάνω κριτήρια για την περίπτωση της λογαριθµικά µετασχηµατισµένης χρονικής σειράς των παροχών της πηγής για τα έτη 1974-1993. Στον ίδιο Πίνακα συγκρίνεται το µοντέλο SARIMA (4,1,1)(1,1,1) 12 -για να δοκιµαστεί- µε άλλα 11 υποψήφια µοντέλα παρό- µοιας δοµής. 2015

Η επιλογή του οµοιώµατος µε τη βοήθεια των παραπάνω κριτηρίων πρέπει να βασίζεται στην επιλογή αυτού για το οποίο οι τιµές των ΑIC, PP, και σ 2 e είναι ελάχιστες, ενώ η τιµή του Q p µικρότερη της κριτικής τιµής της x 2 κατανοµής. Πίνακας 2 :Kριτήριο Αkaike (AIC), κριτήριο Posterior Probability (PP), αριθµός παραµέτρων n, µεταβλητότητα των υπολοίπων (σ2e) και τιµή του τέστ Portmanteau (Qp) της λογαριθµικά µετασχηµατισµένης χρονικής σειράς των µέσων µηνιαίων απορροών της καρστικής πηγής Κεφαλόβρυσου Ελασσόνας για το χρονικό διάστηµα 1974-1993. α/α Μοντέλο ΑΙC PP n σ2e Qp 1 (0,1,1)(1,1,1)12 226,3571 270,1099 5 0,0530071 17,3915 2 (1,1,1)(1,1,1)12 224,2819 285,5358 7 0,051537 11,1646 3 (1,1,2)(1,1,1)12 227,3070 306,0620 9 0,0513049 10,8133 4 (1,0,1)(0,1,1)12 229,1551 272,9079 5 0,0536982 13,2792 5 (2,0,0)(0,1,1)12 235,7214 270,7234 4 0,0558706 17,9667 6 (3,0,0)(0,1,1)12 232,9205 276,6733 5 0,0546425 13,7169 7 (0,1,1)(0,1,1)12 226,6102 261,6124 4 0,0535629 20,1696 8 (4,1,0)(1,1,1)12 232,4000 328,656 11 0,0515653 10,0651 9 (3,1,0)(1,1,1)12 232,5456 311,3006 9 0,0525644 16,1979 10 (4,1,1)(1,1,1)12 227,4535 297,4580 13 0,0518173 9,95088 11 (4,1,0)(1,1,2)12 235,2279 340,2346 12 0,0517632 10,1882 12 (4,1,0)(1,1,3)12 238,1045 351,8617 13 0,0519737 10,3377 Στην περίπτωσή µας, όπως φαίνεται από τον πίνακα 2, ένα κατάλληλο µοντέλο που ικανοποιεί οριακά τα περισσότερα από τα παραπάνω κριτήρια είναι το (4,1,1)(1,1,1) 12, το οποίο και τελικά ε- λέγχεται (Μανάκος 1999). Για τον έλεγχο της καταλληλότητας του οµοιώµατος (4,1,1)(1,1,1) 12 χρησιµοποιείται ο έλεγχος των υπολοίπων. Σχήµα 3: α) Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ACF) β) Συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης (PACF) γ) Αθροιστικό περιοδόγραµµα [C(fk)] των υπολοίπων της πηγής Κεφαλόβρυσου για το χρονικό διάστηµα 1974-1993. 2016

Ο έλεγχος των υπολοίπων γίνεται µε σκοπό να δειχθεί ότι αποτελούν λευκό θόρυβο. Αυτό γίνεται µε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης [ΑCF] τη συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης [PACF] και το αθροιστικό περιδόγραµµα [C(f k)] των υπολοίπων που φαίνονται στα σχήµατα 3α,β,γ. Από τα σχήµατα αυτά φαίνεται ότι τα υπόλοιπα είναι λευκού θορύβου, δηλαδή ασυσχέτιστα (Μανάκος 1999). Το κατάλληλο εποχιακό στοχαστικό οµοίωµα SARIMA (4,1,1)(1,1,1) 12 είναι και αυτό που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την πρόβλεψη µελλοντικών µηνιαίων παροχών της πηγής Κεφαλόβρυσου. Το παραπάνω οµοίωµα έχει τη µορφή : (1-φ 1Β- φ 2Β 2 - φ 3Β 3 - φ 4Β 4 )(1-Β)(1-Φ 1Β 12 )(1- Β 12 )Ζ t = (1-θ 1Β)(1-Θ 1 Β 12 )e t 4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ SARIMA (4,1,1)(1,1,1)12 ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΗΣ ΚΑΡΣΤΙΚΗΣ ΠΗΓΗΣ ΚΕΦΑΛΟΒΡΥΣΟΥ ΕΛΑΣΣΟΝΑΣ Στην παράγραφο αυτή εφαρµόζεται µια διαδικασία µε την οποία είναι δυνατό να φανεί το χρονικό διάστηµα στο µέλλον για το οποίο οι προβλεπόµενες τιµές µπορούν να ληφθούν ως σωστές, δηλαδή το διάστηµα για το οποίο το µοντέλο SARIMA (4,1,1)(1,1,1) 12 εφαρµοζόµενο στη συγκεκρι- µένη χρονοσειρά µπορεί να δώσει αξιόλογες και ασφαλείς προβλέψεις. Σύµφωνα µε τη διαδικασία αυτή, η χρονοσειρά των 240 µηνών (1974-1993) διασπάται σε δύο τµήµατα, ένα των 216 µηνών (1974-1991) και ένα των 24 µηνών (1991-1993). Το µοντέλο SARIMA εφαρµόζεται στην χρονοσειρά των 216 µηνών επιχειρώντας να προβλέψει τις µελλοντικές τιµές της παροχής (24 µήνες) για τις οποίες υπάρχουν ήδη οι µετρηµένες τιµές (Μανάκος 1999). Ο περιορισµός της χρονικής σειράς κατά δύο έτη απαιτεί επανεκτίµηση των παραµέτρων για τη νέα χρονική σειρά της δεκαοκταετίας (1974-1991). Οι παράµετροι που επανεκτιµήθηκαν διαφέρουν ελάχιστα από αυτούς της εικοσαετίας 1974-1993. Στο σχήµα 4, όπου δίνονται οι προβλέψεις των λογαρίθµων Zt(L) των 24 τελευταίων µηνών της εικοσαετίας, που προήλθαν µε την εφαρµογή του µοντέλου (4,1,1)(1,1,1) 12, και οι λογάριθµοι Zt των µετρηµένων µηνιαίων παροχών των ίδιων µηνών, φαίνεται ότι το οµοίωµα πετυχαίνει πολύ καλή πρόβλεψη των µετρηµένων µηνιαίων παροχών των δύο αυτών ετών (1991-1993). Στα ίδια συµπεράσµατα καταλήγουµε, εάν αντί των λογαρίθµων των προβλεπόµενων παροχών κάνουµε σύγκριση των τιµών που προκύπτουν µε αντιλογαρίθµησή τους και αυτών που µετρήθηκαν (Σχ.5 και Σχ.6). 7,40 7,20 παροχή LN (l/s) 7,00 6,80 6,60 6,40 6,20 6,00 Μετρηµένη παροχή Υπολογισµένη παροχή 5,80 Σχήµα 4. Λογάριθµοι µηνιαίων παροχών µετρηµένων και προβλεπόµενων µε το στοχαστικό οµοίωµα SARIMA (4,1,1)(1,1,1) 12 για χρονικό διάστηµα δύο ετών (1992-1993) της καρστικής πηγής Κεφαλόβρυσου Ελασσόνας. 2017

Ετος 1992 Παροχή (lit/sec) 1200 1000 800 600 400 200 0 Jan-92 Feb-92 Mar-92 Apr-92 May-92 Jun-92 Jul-92 Aug-92 Sep-92 Oct-92 Nov-92 Dec-92 Μέση τιµή (α) Μετρ.τιµές (lit/sec) 772 746 714 854 1136 1137 1016 752 669 644 615 602 805 (β) Υπολ.τιµές (lit/sec) 800 929 1022 1076 1115 1069 889 705 607 581 610 796 850 Επί της % διαφορά (α) - (β) 3.46% 19.64% 30.10% 20.65% -1.89% -6.43% -14.31% -6.79% -10.13%-10.74% -0.71% 24.43% 3.94% Σχήµα 5. Mηνιαίες παροχές της καρστικής πηγής Κεφαλόβρυσου Ελασσόνας µετρηµένες και προβλεπόµενες µε το στοχαστικό οµοίωµα SARIMA (4,1,1)(1,1,1)12 για το έτος 1992. Στα ιστογράµµατα αυτών των σχηµάτων, για τα έτη αναφοράς 1992 και 1993, παρατηρούµε ότι ενώ οι µηνιαίες ποσοστιαίες αποκλίσεις των τιµών των προβλεπόµενων µε το προαναφερόµενο οµοίωµα σε σχέση µε τις αντίστοιχες µετρηµένες τιµές µπορεί να φτάνουν έως και το 31,42% σε επίπεδο ετήσιων µέσων τιµών οι αποκλίσεις είναι πολύ µικρές (3,91% για το έτος 1992 και 1,01% για το έτος 1993). Έτσι το µοντέλο SARIMA (4,1,1)(1,1,1) 12, αφού εξακριβώθηκε πως είναι ικανό να προβλέψει τις παροχές 24 µελλοντικών µηνών, µπορεί να χρησιµοποιηθεί στην πρόβλεψη µελλοντικών τιµών των µηνιαίων παροχών της καρστικής πηγής Κεφαλόβρυσου. Ετος 1993 Παροχή (lit/sec) 1200 1000 800 600 400 200 0 Jan-93 Feb-93 Mar-93 Apr-93 May-93 Jun-93 Jul-93 Aug-93 Sep-93 Oct-93 Nov-93 Dec-93 Μέση τιµή (α) Μετρ.τιµές (lit/sec) 696 947 1158 1264 1158 1092 839 685 644 607 613 979 890 (β) Υπολ.τιµές (lit/sec) 921 991 1085 1169 1232 1156 952 753 643 595 607 745 904 Επί της % διαφορά (α) - (β) 24.47% 4.49% -6.77% -8.11% 5.95% 5.53% 11.88% 9.15% -0.14% -1.95% -1.02% -31.41% 1.01% Σχήµα 6. Mηνιαίες παροχές της καρστικής πηγής Κεφαλόβρυσου Ελασσόνας µετρηµένες και προβλεπόµενες µε το στοχαστικό οµοίωµα SARIMA (4,1,1)(1,1,1) 12 για το έτος 1993. Το παραπάνω οµοίωµα, όπως προαναφέρθηκε, έχει την µορφή: (1-φ 1Β- φ 2Β 2 - φ 3Β 3 - φ 4Β 4 )(1-Β)(1-Φ 1Β 12 )(1- Β 12 )Ζ t = (1-θ 1Β)(1-Θ 1 Β 12 )e t 2018

ή Ζ t = + φ 1[(Ζ t-1 - Ζ t-2-2ζ t-13 + Ζ t-14) - Φ 1 (Ζ t-13 + Ζ t-25 - Ζ t-26)] + φ 2[(Ζ t-2 - Ζ t-3-2ζ t-14 + Ζ t-15) - Φ 1 (Ζ t-14 + Ζ t-26 - Ζ t-27)] + φ 3[(Ζ t-3 - Ζ t-4-2ζ t-15 + Ζ t-16) - Φ 1 (Ζ t-15 + Ζ t-27 - Ζ t-28)] + φ 4[(Ζ t-4 - Ζ t-5-2ζ t-16 + Ζ t-17 ) - Φ 1 (Ζ t-16 + Ζ t-28 - Ζ t-29)] + Φ 1(Ζ t-12 - Ζ t-24 - Ζ t-25) + Ζ t-1 + Ζ t-12 - Ζ t-13 + Ζ t-15 + e t - Θ 1e t-12 - θ 1e t + θ 1Θ 1e t-12 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η εφαρµογή του εποχιακού στοχαστικού οµοιώµατος SARIMA στη χρονική σειρά των µηνιαίων παροχών της καρστικής πηγής του Κεφαλόβρυσου, οδηγεί στα ακόλουθα συµπεράσµατα. 1. Η χρονική σειρά των λογαρίθµων των µηνιαίων παροχών της πηγής Κεφαλόβρυσου µπορεί να προσοµοιωθεί µε ένα εποχιακό στοχαστικό οµοίωµα SARIMA της µορφής (4,1,1)(1,1,1,) 12. 2. Το εποχιακό στοχαστικό οµοίωµα SARIMA (4,1,1)(1,1,1) 12 είναι το κατάλληλο για την προσο- µοίωση του καρστικού υδροφόρου συστήµατος της Κρανιάς Ελασσόνας και µπορεί να χρησι- µοποιηθεί για τη πρόβλεψη µελλοντικών µηνιαίων παροχών (τουλάχιστον 2 χρόνων) της πηγής Κεφαλόβρυσου. 3. Η καλή προσαρµογή του παραπάνω οµοιώµατος στις φυσικές συνθήκες της εκφόρτισης της πηγής Κεφαλόβρυσου δίνει τα εχέγγεια για ορθολογικό σχεδιασµό των έργων αξιοποίησης και διαχείρισης του καρστικού υδροφορέα της Κρανιάς Ελασσόνας. 4. Τα εποχιακά στοχαστικά οµοιώµατα SARIMA φαίνεται ότι µπορούν να περιγράψουν το φαινό- µενο της απορροής και των υπόγειων καρστικών υδροφόρων στρωµάτων και να προσαρµόζονται πολύ καλά στις φυσικές τους συνθήκες. 5. Η προσαρµογή του κατάληλου εποχιακού στοχαστικού οµοιώµατος στην απορροή των υπόγειων καρστικών υδροφόρων στρωµάτων µπορεί να εξασφαλίσει ακριβείς µελλοντικές προβλέψεις µικρού χρονικού διαστήµατος (short term prediction) και να συµβάλει στον ορθολογικό σχεδιασµό αξιοποίησης και διαχείρισης των υδροαποθεµάτων τους. 6. Η επιτυχής εφαρµογή των εποχιακών στοχαστικών οµοιωµάτων SARIMA και σε άλλα καρστικά συστήµατα της χώρας θα επιβεβαιώσει τη χρησιµότητά τους. 7. Το στοχαστικό οµοίωµα µπορεί να δώσει συνθετικές σειρές απεριόριστης διάρκειας, γεγονός που εξασφαλίζει τις προϋποθέσεις σωστής µελέτης και σχεδίασης των έργων αξιοποίησης των υδάτινων πόρων. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Βοx, G.E.P. and Cox, D.R., 1964. Αn Analysis of Transformations. J. R. Stat. Soc., Ser. Β, 26: 211-252. Βοx, G.E.P. and Jenkins, G.M.,1976. Time Series Analysis: Forecasting and Control. Revised Edition. Holderι Day, Inc., San Francisco, Calif., 532 pp. 201 Βοx, G.E.P. and Pierce, D.A., 1970. Distribution of Autocorrelations in Autoregressive Integrated Moving Average Time Series Models. J. Amer. Stat. Assoc.,180 pp. Γεωργίου Π.Ε., 1996. ιαστασιολόγηση ταµιευτήρων µε τη µέθοδο Rippl σε συνθετικές σειρές εισροών και τη µέθοδο των πιθανοτήτων µετάβασης σε ιστορική σειρά, ιπλωµατική Μεταπτυχιακή ιατριβή, Τµήµα Γεωπονίας Α.Π.Θ., 269 σελ. Marquardt, D.W., 1963. Αn Algorithm for Least Squares Estimation of Nonlinear Parameters. J. of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 2, 431-441. Mανάκος, Α., 1999 : Υδρογεωλογική συµπεριφορά και στοχαστική προσοµοίωση του καρστικού υδροφόρου συστήµατος Κρανιάς Ελασσόνας. ιδακτορική διατριβή Α.Π.Θ, 214 σελ.. Mανάκος, Α., &Τασιός,Ν., 1999. Υδρογεωλογική έρευνα µεγάλων ανθρακικών µαζών Θεσσαλίας. Καρστικός υδροφορέας Κρανιάς. Θες/νίκη. Εσωτερική έκθεση Ι.Γ.Μ.Ε, 214 σελ. 2019

Mανάκος, Α. & ηµόπουλος, Γ.,1999. Οριοθέτηση και γεωµετρικά χαρακτηριστικά του καρστικού υδροφόρου συστήµατος του τεκτονικού παράθυρου Κρανιάς Ελασσόνας, Θεσσαλία. 5ο Υ/Γ, Λευκωσία, Κύπρος, 323-336. McKerchar, Α.Ι. and Delleur, J.W., 1974. Application of Seasonal Parametric Linear Stochastic Models to Monthly Flow Data. Water Resour. Res.,10(2), 246-255. Παπαµιχαήλ,.Μ., 1989. ιερεύνηση Συναρτησιακών Οµοιωµάτων και Συνδυασµού των µε Στοχαστικές ιαδικασίες για την Επίλυση Υδρολογικών Προβληµάτων. ιδακτορική ιατριβή, Θεσσαλονίκη,178 σελ. 206 Παπαµιχαήλ,.Μ., 1991. Στοχαστική Υδρολογία. Πανεπιστηµιακές παραδόσεις στο Μεταπτυχιακό Τµήµα Εγγείων Βελτιώσεων Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη,175 σελ. Παπαµιχαήλ,.Μ., 1993. Προσοµοίωση των Μηνιαίων Παροχών του Ποταµού Αχελώου µε Εποχιακά Στοχαστικά Οµοιώµατα. Πρακτικά 2ου Υδρογεωλογικού Συνεδρίου, Πάτρα, σελ. 693-703. Salas, J.D., Boes, D.C. and Smith, R.A., 1982. Estimation of ARMA Models with Seasonal Parameters. Water Resour. Res.,18(4),1006-1010. Salas, J.D., Delleur, J.W., Yevjevich, V. and Lane, W.L., 1985. Applied Modelling of Hydrologic Time Series. Water Resources Publications, Colorado, USA, 484 ρρ. Stedinger, J.R., Lettenmaier, D.P. and Vogel, R.M.,1985. Multisite ARMA(1,1) and Disaggregation Models for Αηnυαl Streamflow Generation. Water Resour. Res., 21(4), 497-509. ABSTRACT CΟΝTRIBUTION OF SEASONAL STOCHASTIC MODELS SARIMA TO THE RATIONAL WATER RESOURCES MANAGEMENT. THE CASE OF THE KRANIA ELASSONA KARST SYSTEM, THESSALY, GREECE Manakos A. 1, Dimopoulos G. 2 1 Ι.G.Μ.Ε, Branch of Central Macedonia, 1Fragon, 54626 Thessaloniki, amanakos@thes.igme.gr 2 Aristotle University of Thessaloniki, Department of Geology, 54621 Thessaloniki, gdimop@geo.auth.gr Several stochastic models, known as Box and Jenkins or SARIMA (Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average) have been used in the past for forecasting hydrological time series in general and stream flow or spring discharge time series in particular. SARIMA models became very popular because of their simple mathematical structure, convenient representation of data in terms of a relatively small number of parameters and their applicability to stationary as well as nonstationary process. Application of the seasonal stochastic model SARIMA to the spring s monthly discharge time series for the period 1974-1993 in Krania Elassona karst system yielded the following results. Logarithms of the monthly spring discharge time series can be simulated on a SARIMA (4,1,1)(1,1,1) 12 type model. This type of model is suitable for the Krania Elassona karst system simulation and can be utilised as a tool to predict monthly discharge values at Kafalovriso spring for at least a 2 year period. Seasonal stochastic models SARIMA seem to be capable of simulating both runoff and groundwater flow conditions on a karst system and also easily adapt to their natural conditions. Adapting the proper stochastic model to the karst groundwater flow conditions offers the possibility to obtain accurate short term predictions, thus contributing to rational groundwater resources exploitation and management planning. 2020