Number concept and conceptual change: towards a systemic model of the processes of change Kaarina Merenluoto Enro Lehtinen Μπασιαδάκης Γεώργιος 201513 Ορταντζόγλου Μαριάνθη 201531
Εισαγωγή Η μελέτη της εννοιολογικής αλλαγής είχε αρχικά συσχετιστεί με γνωστικούς παράγοντες Τα τελευταία όμως χρόνια μελετούνται οι διαδικασίες που την επιφέρουν. Το άρθρο συνεισφέρει ως προς την συζήτηση για τις παραπάνω διαδικασίες και επιπλέον παρουσιάζει ένα θεωρητικό μοντέλο της δυναμικής σχέσης που υπάρχει ανάμεσα σε γνωστικούς παράγοντες και παράγοντες που παρέχουν κίνητρα με στόχο την εννοιολογική αλλαγή
Σύμφωνα με το μοντέλο: Υπάρχουν δύο θεμελιώδεις πτυχές στην διαδικασία της εννοιολογικής αλλαγής Η ευαισθησία του διδασκόμενου στα νέα χαρακτηριστικά μιας κατάστασης Η ικανότητα ρύθμισης της ανοχής του διδασκόμενου στην αμφιβολία
Η εννοιολογική αλλαγή χαρακτηρίζει καταστάσεις όπου η προηγούμενη γνώση των μαθητών είναι ασύμβατη με την νέα έννοια οι μαθητές τείνουν να κάνουν συστηματικά λάθη ή να δημιουργούν παρανοήσεις Οι διαδικασίες μάθησης που στοχεύουν στην εννοιολογική αλλαγή διακρίνονται σε αυτές που υποστηρίζουν συνεχή ανάπτυξη και αυτές που υποστηρίζουν ασυνεχή αλλαγή. Η συνεχής ανάπτυξη χαρακτηρίζεται από τον εμπλουτισμό δηλαδή την βελτίωση της υπάρχουσας δομής της γνώσης Η ασυνεχής αλλαγή χαρακτηρίζεται από την παραδοχή ότι η προγενέστερη γνώση είναι ασύμβατη με τη νέα γνώση και την επακόλουθη αναγκαιότητα μιας σημαντικής ανακατασκευής (και όχι εμπλουτισμού της υπάρχουσας δομής της γνώσης).
Συνήθη προβλήματα στις παραπάνω διαδικασίες Η προγενέστερη γνώση «αντιστέκεται» στις προσπάθειες των δασκάλων Οι μαθητές δεν έχουν επίγνωση της ποιότητας της προγενέστερης αποκτηθείσας γνώσης τους και των αντιφάσεών της με την επιστημονική γνώση Δεν βλέπουν και δεν καταλαβαίνουν λόγους για αλλαγές και έτσι τείνουν να αγνοούν τις νέες γνώσεις ή να εμπλουτίζουν απλά τις παλιές χωρίς να τις αναθεωρούν.
Τι λαμβάνουμε υπόψη στον σχεδιασμό της διαδικασίας που στοχεύει σε εννοιολογική αλλαγή; Οι διαδικασίες που οδηγούν στην εννοιολογική αλλαγή δεν μπορούν να εξηγηθούν μόνο με απλούς γνωστικούς όρους αλλά πρέπει επίσης να ληφθούν υπόψη παράγοντες κινήτρων και μεταγνωστικοί παράγοντες μεταξύ των οποίων και ο παράγοντας της μεταεννοιολογικής ευαισθητοποίησης η γνωστική σύγκρουση σαν εκπαιδευτική στρατηγική διδασκαλίας δύσκολων επιστημονικών ιδεών δεν επαρκεί για την εννοιολογική αλλαγή
Μεταγνώση-Μεταεννοιολογική ευαισθητοποίηση H μεταγνώση αφορά στοχασμό επί της προϋπάρχουσας γνώσης και γνωστικής εμπειρίας Η μεταεννοιολογική ευαισθητοποίηση είναι η επίγνωση : σχετικά με την γνώση ή την άγνοια ενός ατόμου του τρόπου λειτουργίας της σκέψης μας και των τρόπων με τους οποίους επεξεργαζόμαστε/κατακτούμε την γνώση της εικόνας/άποψης που έχει το άτομο για τον εαυτό του ως μαθητής, λύτης προβλημάτων και γενικότερα των αδυναμιών του και των ισχυρών σημείων του
Η εννοιολογική αλλαγή στην επέκταση της έννοιας του αριθμού Η ουσία των φυσικών αριθμών βρίσκεται στην διακριτή φύση τους που σημαίνει ότι για κάθε φυσικό ο επόμενός του είναι καθορισμένος. Για τους ρητούς αριθμούς όμως που ορίζονται ως πηλίκο δύο ακεραίων ο επόμενος δεν ορίζεται. Επομένως οι ρητοί έχουν μια πυκνή φύση.
Η αλλαγή από τους διακριτούς φυσικούς στην χρήση των ρητών απαιτεί μια ριζική εννοιολογική αλλαγή για τον μαθητή. Αυτό οφείλεται: Στην πρώιμη διαισθητική αντίληψη της διακριτότητας (έμφυτος γνωστικός μηχανισμός) Στις άφθονες καθημερινές μετρήσεις αντικειμένων Η τυπική μαθηματική διδασκαλία σε μικρές τάξεις ενισχύει τις αντιλήψεις περί διακριτότητας των αριθμών Αυτή η αλλαγή είναι ιδιαίτερα απαιτητική γιατί τα αντικείμενα που είναι χαμηλά στην ιεραρχία δεν εγκαταλείπονται στην κατασκευαστική διαδικασία αλλά ενσωματώνονται σε μεγαλύτερες συλλήψεις για να δημιουργήσουν ένα συνεκτικό σύνολο. Η διαδικασία επέκτασης της έννοιας του αριθμού στους ρητούς απαιτεί: μεταγνωστική επίγνωση των διαφορών στα δύο είδη αριθμών ενσυνείδητη σκέψη στην κατασκευή ενός παράλληλου νοητικού μοντέλου(δεν εγκαταλείπεται η έννοια του επόμενου για φυσικούς και ακεραίους) μεταγνωστικό έλεγχο στην επιλογή των κατάλληλων διαδικασιών ανάλογα με την λειτουργία που πρέπει να εκτελεστεί
Ένα θεωρητικό μοντέλο εννοιολογικής αλλαγής Η αντίληψη της εργασίας-δραστηριότητας(που αφορά νέα εννοιολογική κατανόηση) επηρεάζεται από την γνωστική, και μεταγνωστική ευαισθησία καθώς και την ευαισθησία που στηρίζεται σε κίνητρα. Η ευαισθησία αναφέρεται στον βαθμό στον οποίο ο μαθητής έχει επίγνωση και ενδιαφέρεται για νέες γνωστικές περιοχές του αντικειμένου Η ευαισθησία που στηρίζεται σε κίνητρα, περιγράφει τη τάση των μαθητών να διερευνούν για νέα και εντυπωσιακά χαρακτηριστικά στην διάρκεια μαθησιακών διαδικασιών Η γνωστική και μεταγνωστική ευαισθησία αναφέρεται στη σχέση μεταξύ της προγενέστερης γνώσης των μαθητών και τις γνωστικές απαιτήσεις της εργασίας καθώς και στην μεταεννοιολογική ευαισθητοποίηση όσον αφορά τις σκέψεις τους πάνω στο αντικείμενο
Υπάρχουν τρία πιθανά μονοπάτια στην διαδικασία της εννοιολογικής αλλαγής για τον μαθητή The no relevant perception path Η προϋπάρχουσα γνώση του μαθητή είναι εντελώς ανεπαρκής για μια σχετική κατανόηση του νέου φαινομένου. Αν η κατάσταση είναι κοινωνικά ή προσωπικά σημαντική για τον μαθητή τότε αυτή η σύγχυση που προκύπτει, μπορεί να προκαλέσει μια αίσθηση χαμηλής βεβαιότητας Έτσι οδηγείται σε μια δραστηριότητα ρουτίνας χωρίς καμία επαρκή συσχέτιση με τις γνωστικές απαιτήσεις της κατάστασης ή ενεργοποιεί συμπεριφορά αποφυγής. Οποιαδήποτε προσπάθεια να δημιουργηθεί μια γνωστική σύγκρουση αποτυγχάνει να δημιουργήσει την επιθυμητή εννοιολογική αλλαγή Experience of conflict Η ευαισθησία του μαθητή στα νέα χαρακτηριστικά του φαινομένου είναι ψηλή που σημαίνει ότι: Έχει επαρκή προϋπάρχουσα γνώση για να καταλάβει ότι οι νέες εννοιολογικές απαιτήσεις του φαινομένου ξεπερνούν την τρέχουσα εννοιολογική του κατανόηση Διατίθεται να δώσει την προσοχή του σε άγνωστα(καινούρια) χαρακτηριστικά του φαινομένου Η ευαισθησία και η τάση να δίνει την προσοχή του είναι αναγκαίες συνθήκες για μια παραγωγική εμπειρία γνωστικής σύγκρουσης. Όταν αυτή πραγματοποιηθεί τότε οδηγεί τον μαθητή σε μια κατάσταση μειωμένης σιγουριάς. Αν ο βαθμός της ανοχής στην αμφιβολία είναι υψηλός, ο μαθητής έχει επαρκή μεταγνωστική κατανόηση των αντικρουόμενων εννοιών και έχει το κίνητρο να αντιμετωπίσει την ασάφεια και να πιστέψει ότι η σύγκρουση που βιώνει είναι επιλύσιμη τότε μπορεί να κάνει την κατασκευή που χρειάζεται για την εννοιολογική αλλαγή Διαφορετικά οδηγείται σε κατάσταση μειωμένης σιγουριάς και συμπεριφορά αποφυγής Illusion of understanding Η υψηλή ευαισθησία και η υψηλή ανοχή στην αμφιβολία μπορούν όμως να οδηγήσουν τον μαθητή και στο μονοπάτι της ψευδαίσθησης της κατανόησης. Αυτό συμβαίνει όταν η προϋπάρχουσα γνώση είναι ανεπτυγμένη αρκετά ώστε να αναγνωρίσει γνώριμα στοιχεία στο νέο φαινόμενο αλλά όχι τόσο ανεπτυγμένη ώστε να δώσει την απαραίτητη προσοχή στις νέες πτυχές πηγαίνοντας πέρα από τις αντιλήψεις του. Έτσι: Δημιουργείται μια ψευδαίσθηση κατανόησης που έχει ως αποτέλεσμα μια αβάσιμη υψηλή σιγουριά Αυτή με τη σειρά της μειώνει την ευαισθησία του μαθητή σε πιθανά αντικρουόμενα χαρακτηριστικά της κατάστασης Ο μαθητής οδηγείται στην κατασκευή της γνώσης που είναι βασισμένη σε έννοιες που είναι επιφανειακές σε σχέση με τις γνωστικές απαιτήσεις Έτσι κατασκευάζει συνθετικά ή εμπλουτίζει επιφανειακά μοντέλα γνώσης τα οποία μακροπρόθεσμα και με παροχή κινήτρων μπορεί να οδηγήσουν στην γνωστική σύγκρουση
Ερευνητικές υποθέσεις Μικρή ανοχή στην αμφιβολία οδηγεί σε μειωμένη ευαισθησία ή έλλειψη εμπιστοσύνης, γεγονός που καταλήγει σε αβεβαιότητα και αποφυγή ενασχόλησης Μεγάλη ανοχή στην αμφιβολία ενισχύει την ευαισθησία στις νέες γνωστικές απαιτήσεις και μπορεί να οδηγήσει στο μονοπάτι «experience of conflict» που είναι απαραίτητο προκειμένου να πραγματοποιηθεί εννοιολογική αλλαγή Τα κίνητρα, το ενδιαφέρον και η αυτεπάρκεια είναι θεμελιώδη χαρακτηριστικά της ευαισθητοποίησης και της μεγάλης ανοχής στην αμφιβολία
Το πείραμα Συλλογή δεδομένων Συμμέχοντες:538 μαθητές που επιλέχθηκαν τυχαία από 24 λύκεια της Φινλανδίας Το τεστ αποτελείτο από προβλήματα αναγνώρισης, ταξινόμησης και κατασκευής στο σύνολο των ρητών και των πραγματικών αριθμών Οι πραγματικοί αριθμοί εξετάστηκαν ως προς τη διάταξη και τις ιδιότητές τους, την πυκνότητα της αριθμογραμμής, το όριο και τη συνέχεια συνάρτησης Ζητήθηκε από τους μαθητές να εκτιμήσουν τη βεβαιότητα που είχαν για τις απαντήσεις τους Ανάλυση των δεδομένων Μετά την ποσοτική ανάλυση και βάσει του παραπάνω θεωρητικού μοντέλου, αναγνωρίστηκαν 4 διαφορετικά προφίλ των μαθητών Στο μονοπάτι illusion of understanding διαπιστώθηκαν δύο εκδοχές: της υπερβολικής αυτοπεποίθησης και της εξάρτησης από προηγούμενη οικεία γνώση
Πίνακας αποτελεσμάτων Πρ1 Πρ2 Πρ3 Πρ4 Η τάση για αποφυγή είναι το ποσοστό των αναπάντητων ερωτήσεων Η τάση για υπερβολική αυτοπεποίθηση είναι η διαφορά της ποσοστιαίας επίδοσης στο τεστ από τον αντίστοιχο ποσοστιαίο βαθμό βεβαιότητας Η θέση κάποιου μαθητή στην ομάδα του είναι η διαφορά του μέσου όρου της βαθμολογίας της ομάδας του από την αντίστοιχη βαθμολογία του μαθητή (θέση κοντά στο μηδέν αντιστοιχεί σε επίδοση κοντά στο μέσο όρο της ομάδας)
αποτελέσματα Προφίλ 1 Προφίλ 2 Το προφίλ 1 αναφέρεται στο no- relevant perception μονοπάτι. Οι μαθητές αναγνώρισαν τα είδη των αριθμών από τα επιφανειακά χαρακτηριστικά τους και χρησιμοποίησαν κανόνες των φυσικών αριθμών Οι προηγούμενες γνώσεις τους ήταν ελλιπείς. Η επίδοσή τους ήταν κάτω από τον μέσο όρο, γεγονός που υποδηλώνει προηγούμενες αποτυχίες στα μαθηματικά Η βεβαιότητά τους ήταν επίσης χαμηλή, καθώς ήταν μπερδεμένοι Η τάση για αποφυγή των δραστηριοτήτων ήταν έκδηλη Το προφίλ 2 αντιστοιχεί στο μονοπάτι illusion-ofunderstanding Οι μαθητές αυτοί έδειξαν βεβαιότητα που σχετίστηκε με γνώριμο περιεχόμενο, καθώς επίσης και κάποια άνεση σε δραστηριότητες που τους ήταν οικείες, χρησιμοποίησαν δε εκτενώς ιδιότητες των ακεραίων στις απαντήσεις τους Ωστόσο εκδήλωσαν μικρή βεβαιότητα σε πιο δύσκολες δραστηριότητες Η γνωστική τους ευαισθησία σε κρίσιμα σημεία σχετικά με την πυκνότητα των αριθμών, ήταν χαμηλή
Προφίλ 3 Προφίλ 4 Το προφίλ 3 αποτελεί τη δεύτερη εκδοχή για το μονοπάτι illusion-ofunderstanding Χαρακτηρίστηκε από συστηματική υπερεκτίμηση της βεβαιότητας των μαθητών για τις απαντήσεις τους Οι απαντήσεις τους ήταν σημαντικά καλύτερες από εκείνες του προφίλ 2, αφού αιτιολόγησαν καλύτερα τις απαντήσεις τους (π.χ. τη συνέχεια της συνάρτησης λόγω συνεχόμενης γραφικής παράστασης) Δεν υπήρχαν στις απαντήσεις τους αναφορές στις δομικές διαφορές των αριθμών Το προφίλ 4 αντιπροσωπεύει το experience-of-conflict μονοπάτι Η επίδοση των μαθητών ήταν υψηλή, πάνω από το μέσο όρο της αντίστοιχης ομάδας Οι εξηγήσεις τους υποδηλώνουν μεταγνωστική αντίληψη των αντικρουόμενων εννοιών Στις κρίσιμες δραστηριότητες, οι αιτιολογήσεις τους εξέφραζαν ριζική αλλαγή για τις νέες έννοιες ( δεν είναι δυνατόν να βρούμε τον επόμενο, διότι είναι όριο ) Εμφάνισαν μειωμένο επίπεδο βεβαιότητας σε μη οικείες δραστηριότητες Αυτή η μειωμένη βεβαιότητα αποτέλεσε καινοτομία στον τρόπο σκέψης τους
ένα ακόμη πείραμα Μελετήθηκε η επίδραση της διδασκαλίας της πυκνότητας των αριθμών στη αριθμογραμμή Πειραματική ομάδα: 15 μαθητές, ηλικίας 16,9 ετών κατά μ.ο. Ομάδα ελέγχου: 24 μαθητές, ηλικίας 17,2 ετών κατά μ.ο. Χρησιμοποιήθηκαν ίδιες ερωτήσεις στα pre και post test με την προηγούμενη έρευνα και ζητήθηκε από τους μαθητές να περιγράψουν τις αιτιολογήσεις τους. Στην πειραματική ομάδα δόθηκε αρχικά μία άσκηση για τη διερεύνηση της έννοιας της πυκνότητας των αριθμών στην αριθμογραμμή, προκειμένου: Να ενεργοποιηθεί η προηγούμενη σχετική γνώση των μαθητών Να βοηθήσει τους μαθητές να συνειδητοποιήσουν τη δική τους αντίληψη για την έννοια του αριθμού Να μπορέσουν να αναγνωρίσουν τις μεταγνωστικές στρατηγικές που θα χρησιμοποιήσουν αργότερα
αποτελέσματα Από την ανάλυση προέκυψε ότι: Σχεδόν οι μισοί μαθητές από την πειραματική ομάδα παρέμειναν στο no-relevant perception μονοπάτι, περιέγραψαν δε την αριθμογραμμή ως στατική γραμμή με μικρές κάθετες γραμμές, δίπλα από τις οποίες υπάρχει ένας αριθμός Επίσης δεν ανέφεραν κάποια στρατηγική για να εξηγήσουν την απειρία των ρητών/πραγματικών αριθμών ή το πώς δούλευαν με τους άρρητους αριθμούς. Αντίθετα οι μαθητές που είτε σημείωσαν σημαντική διαφοροποίηση στις εξηγήσεις τους πριν και μετά την παρέμβαση είτε πέτυχαν υψηλή βαθμολογία και στα δύο test, περιέγραψαν την αριθμογραμμή ως ένα δυναμικό μοντέλο, στο οποίο μπορεί να αλλάξει η κλίμακα, προκειμένου να τοποθετηθεί κατάλληλα κάποιος αριθμός Επίσης διατύπωσαν υψηλού επιπέδου στρατηγικές για την προσέγγιση άρρητων αριθμών από ρητούς Οι μαθητές που ευαισθητοποιήθηκαν στην έννοια της πυκνότητας των ρητών αριθμών ανέπτυξαν σαφείς μεταγνωστικές στρατηγικές και διαχειρίστηκαν τη σύγκρουση μεταξύ φυσικών και ρητών αριθμών
Η περίπτωση της Ann I don t know if it is so simple, if I d start to look for it. I think that the next number after 3/5 is4/5, but I cannot tell why... May be, because it works like this. Χρησιμοποιεί προηγούμενες γνώσεις, τη διακριτή φύση των ακέραιων και την έννοια του επόμενου This is a whole number and if I divide it in to five parts, then this part is 3/5. Then the next would be one bigger and 5/5 would be a whole number. Οικεία στρατηγική: σχεδιάζει κύκλο και τον χωρίζει σε ίσα μέρη I do not know... I started to think that... if those parts are divided into smaller parts, then you could have even 15 parts and the next would be 4/15. But you could divide it still into a lot smaller parts... I don t know what the next number would be, because you can always divide it into smaller and smaller parts then the next would be... I do not know...mumbling... Isn t it then simply the 4/5? Οδηγείται σε σύγκρουση και αυξημένη ευαισθησία. Βρίσκει τη σωστή απάντηση αλλά αμφιβάλλει λόγω προηγούμενων γνώσεων Δείχνει μικρή ανοχή στην αμφιβολία. Επιλέγει τη σιγουριά της προϋπάρχουσας γνώσης
Συνοψίζοντας Σύμφωνα με το θεωρητικό μοντέλο που παρουσιάστηκε, μόνο ένα από τα τρία μονοπάτια μάθησης οδηγεί σε ριζική εννοιολογική αλλαγή: Το μονοπάτι experience of conflict Οι κρίσιμες διαδικασίες στο μονοπάτι αυτό είναι: Το βέλτιστο επίπεδο της προηγούμενης σχετικής γνώσης Η ευαισθησία στα χαρακτηριστικά της νέας κατάστασης Η ανοχή στην αμφιβολία που προκύπτει από τη γνωστική σύγκρουση κατά τη μάθηση νέων εννοιών
επίσης Βάσει ερευνητικών αποτελεσμάτων, η ευαισθησία και η ανοχή στην αμφιβολία συνδέονται ουσιαστικά με την επίδοση στα μαθηματικά Στα άλλα δύο μονοπάτια η σύγκρουση περνά απαρατήρητη είτε από υπερβολική αυτοπεποίθηση (που προκύπτει από μέτρια λειτουργική κατανόηση ) είτε λόγω σύνδεσης της νέας κατάστασης με προηγούμενες οικείες γνώσεις Στο no-relevant perception μονοπάτι, η σύγκρουση δεν αναγνωρίστηκε εξαιτίας της μεγάλης γνωστικής απόστασης της προηγούμενης γνώσης με τη νέα έννοια
Στη διδασκαλία οι παράγοντες που ενισχύουν την εννοιολογική αλλαγή είναι: Η αναγνώριση της γνωστικής απόστασης μεταξύ της προηγούμενης γνώσης των μαθητών και της νέας έννοιας H υποστήριξη της ανάπτυξης μεταγνωστικών στρατηγικών και μετα-εννοιολογικής επίγνωσης των μαθητών Ωστόσο, η εννοιολογική αλλαγή είναι μία αργή διαδικασία, δύσκολα παρατηρήσιμη και απαιτούνται περαιτέρω ερευνητικές προσπάθειες για την επιβεβαίωση του μοντέλου Ευχαριστούμε πολύ!