Τὸν ἀναμενόμενο μεταπτυχιακὸ μου τίτλο, ἀφιερώνω στὴν δασκάλα μου Ἑλένη Ἰωαννίδου χωρὶς τὶς παροτρύνσεις, τῆς ὁποίας, δὲν θὰ ἔμπαινα, ποτέ, στὴν διαδικασία τῶν μεταπτυχιακῶν σπουδῶν. Δὲν εἶναι μιὰ ἀφιέρωση ἀντάξιά της δὲν θὰ μπορούσε! Γίνεται μόνον καὶ μόνον, γιὰ λόγους ἀγάπης καὶ εὐγνωμοσύνης σ ἐκείνην. Ἄλλωστε, ἔχω πλήρην ἐπίγνωση πόσο ἀσήμαντοι εἶναι, τόσο οἱ τίτλοι οἱ κοσμικοί, ὅσο καὶ ἡ κάθε γηΐνη γνώση, σὲ νόες ποὺ βρίσκονται, πλέον, μέσ στὰ λουτρὰ τοῦ Φωτὸς τῆς Γνώσεως δαψιλευόμενοι τὰ ἐδέσματα τῆς Ἀκηράτου Ἐπιστήμης.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. Πρόλογος... Εἰσαγωγὴ... 5. Πεδία δυνάμεων στὸν εὐκλείδειο χῶρο R... 7. Ὁμοτοπία καὶ ἀπλὴ συνεκτικότητα... 4. Γεωμετρικὴ ἀνάλυση τῆς ὁλοκληρωσιμότητας... 9 4. Τὸ λῆμμα τοῦ Poincaré... 7 5. Τὸ θεώρημα τοῦ Frobenius... 5 6. Ἐμφάνιση ἰδιομορφιῶν καὶ προβληματισμὸς ἐπὶ τῆς ὁλοκληρωσιμότητας... 54 Παραδείγματα ἐμφάνισης ἰδιομορφιῶν καὶ προβληματισμοῦ ἐπὶ τῆς ὁλοκληρωσιμότητας... 57 Βιβλιογραφία... 67
ΠΡΟΛΟΓΟ Παράλληλα μὲ τὴν παρακολούθηση τῶν μεταπτυχιακῶν μαθημάτων, εἶχα ξεκινήσει τὴν ἐκπόνηση διατριβῆς μὲ θέμα τὴν ἐξίσωση Riccati καὶ τὴν χρήση της σὲ προβλήματα τῆς Κβαντικῆς φυσικῆς, ὑπὸ τὴν ἐπίβλεψη τῆς ἀειμνήστου δασκάλας μου - ἤδη, ἀπὸ τὰ χρόνια τῶν προπτυχιακῶν μου σπουδῶν - Ἑλένης Ἰωαννίδου. Μετὰ τὴν κοίμησή της, ὁ καθηγητής μου κος Σπῦρος Πνευματικός, προσεφέρθει νὰ ἀναλάβει τὴν ἐπίβλεψη ἐργασίας μὲ θἐμα σχετικὸ μὲ τὴν ὁλοκληρωσιμότητα κίνηση ἡ ὁποία, ὑπὸ τὶς συνθῆκες... ποὺ πραγματοποιήθηκε, μὲ συνεκίνησε βαθύτατα! Θὰ ἤθελα, γιὰ τὸν λόγο αὐτόν, ἀλλὰ καὶ γιὰ ὁλα ὅσα μοῦ προσέφερε κατὰ τὴν διάρκεια τῆς ἐκπόνησης τῆς ἐργασίας, νὰ ἐκφράσω καὶ, μέσῳ τοῦ παρόντος τὶς εὐχαριστίες μου, στὸν καθηγητή μου κον Πνευματικό. Θὰ ἦταν, ἐπίσης, μεγάλη ἀγνωμοσύνη ἄν, τῶν εὐχαριστιῶν μου, ἄφηνα ἀμέτοχο τὸν συμφοιτητὴ μου κον Σταῦρο Ἀναστασίου, ὁ ὁποῖος μοῦ πάρεξε ἀμέριστο βοήθεια στὴν τελευταία καὶ πιὸ δύσκολο φάση τῆς ἐργασίας αὐτῆς. Πάτρα Ἰούλιος 8
4
5 ΕΙΑΓΩΓΗ Στὴν μελέτη τῶν διαφορικῶν ἐξισώσεων, τὸ βασικὸ πρόβλημα τὸ ὁποῖο ἐμφανίζεται εἶναι αὐτὸ τῆς ὁλοκληρωσιμότητας τὸ πρόβλημα, δηλαδή, τῆς εὕρεσης τῶν ὁλοκληρωτικῶν καμπυλῶν ἑνός δοθέντος πεδίου διανυσμάτων. Τὸ κλασσικό, αὐτό, πρόβλημα δέχεται μιὰ πολὺ ἀπλὴ λύση στὴν περίπτωση ὅπου τὸ πεδίο εἶναι ἀστρόβιλο τότε, τὸ πεδίο προέρχεται ἀπὸ συνάρτηση δυναμικοῦ, οἱ ἰσοσταθμικὲς ἐπιφάνειες τῆς ὁποίας ἀποτελοῦνται ἀπό τὶς ὁλοκληρωτικὲς καμπύλες τοῦ διανυσματικοῦ πεδίου. Ξεκινώντας ἀπό τὴν παρατήρηση αὐτή, μεταφέρουμε τὸ πρόβλημα σὲ ἕνα εὐρύτερο πλαίσιο. Μιὰ μονομορφὴ, ὁρισμένη σὲ μιὰ πολλαπλότητα, ὁρίζει μιὰ κατανομὴ ὑπερεπιπέδων τοῦ ἐφαπτομένου χώρου, καθὼς ὁ πυρήνας αὐτῆς, σὲ κάθε σημεῖο μὴ μηδενισμοῦ της, ἀποτελεί ἕνα ὑπερεπίπεδο (συνδιάστασης ) τοῦ ἐφαπτομένου χώρου. Τὸ πρόβλημα, λοιπόν, μετατίθεται σὲ αὐτὸ τῆς ὁλοκλήρωσης τῆς, ἐν λόγῳ, κατανομῆς στὴν εὕρεση, δηλαδή, ὁλοκληρωτικῶν ἐπιφανειῶν γιὰ τὴν κατανομή. Ξεκινώντας ἀπὸ τὶς κλασσικὲς συνθῆκες ὁλοκληρωσιμότητας - ὅπως αὐτὲς δίδονται ἀπὸ τὰ λήμματα τῶν Poincaré καὶ Frobenius, τὰ ὁποῖα περιγράφονται στὴν πρώτη παράγραφο τῆς διπλωματικῆς - ἕπεται ἡ μελέτη τῶν διαφορικῶν μορφῶν σὲ περιοχὲς σημείων ὅπου αὐτές μηδενίζονται. Τὰ σημεῖα, αὐτά, ἀποτελοῦν τὸν ἰδιόμορφο τόπο τοῦ προβλήματός μας, καθώς, ἐκεῖ ἡ κατανομὴ τῶν πυρήνων παύει πλέον νὰ ἔχει συνδιάσταση. Συγκεκριμένα, στὰ σημεῖα αὐτά, ὁ πυρῆνας ταυτίζεται μὲ τὸν ἐφαπτόμενο χῶρο καὶ ἡ περιγραφεῖσα στὸ πρῶτο κεφάλαιο κλασσική θεωρία ἀδυνατεῖ νὰ δώσει συνθῆκες ὑπὸ τὶς ὁποῖες τὸ πρόβλημα ὁλοκλήρωσης δέχεται λύσεις. Ἀναπτύσονται λοιπόν, ἐν συνεχείᾳ, προβλήματα μὲ φύτρα μονομορφῶν σὲ σημεῖα ὅπου αὐτὲς μηδενίζονται καὶ ἐπιχειρεῖται ἡ εὑρεση ὁλοκληρωτικοῦ παράγοντα αὐτῶν. Τέλος ἐνδεικτικῶς, ἔπειτα ἀπὸ ὁρισμένους βασικοὺς ὁρισμοὺς καὶ προτάσεις, παρατίθενται, μὲ συνοπτικὸ τρόπο, οἱ ἐργασίες τῶν Kupka καὶ Mousu, γιὰ τὶς ὁμώνυμες περιπτώσεις μηδενιζομένων (στὴν ἀρχὴ) μονομορφῶν.
6
7. Πεδία δυνάμεων στὸν εὐκλείδειο χῶρο R. Στὴν κλασσικὴ μηχανική, ἕνα πεδίο δυνάμεων ὁρίζεται ὡς μιὰ ἀπεικόνιση F: R R ἡ ὁποία σὲ κάθε σημεῖο τοῦ χώρου προσαρτᾷ ἕνα διάνυσμα, τὸ ὁποῖο παριστάνει τὴν δύναμη ποὺ ἀσκεῖται σὲ ἕνα ὑπόθεμα τοποθετημένο στό, ἐν λόγῳ, σημεῖο. Τὸ ἐρώτημα ποὺ ἀνακύπτει, ἀφορᾷ στὴν ὕπαρξη συνάρτησης δυναμικοῦ: V: R R τέτοιας ὥστε: F( ) = - Ρ V. Στὴν καταφατικὴ περίπτωση, ἡ συνάρτηση δυναμικοῦ ἀποδίδει, σὲ κάθε σημεῖο τοῦ χῶρου, τὴν ἀντίστοιχο τιμὴ τῆς δυναμικῆς ἐνέργειας, διαμερίζοντας, τοιουτοτρόπως, τὸν χῶρο σὲ ἰσοδυναμικὲς ἐπιφάνειες: c { R R }. ( ) ( ) Σ V = Ξ : V = c, c Ξ Σὲ ὅ,τι ἀκολουθεῖ, τὰ πεδία δυνάμεων καί, γενικῶς, τὰ θεωρούμενα διανυσματικὰ πεδία ὑποτίθενται, πάντα, παραγωγίσιμα μὲ συνεχεῖς μερικὲς παραγώγους. Ὅταν ἕνα διανυσματικὸ πεδίο εἶναι ὡρισμένο σὲ ὁλόκληρο τὸν χῶρο R, τότε τὸ ἐρώτημα, τῆς ὕπαρξης συνάρτησης δυναμικοῦ, ἀπαντᾶται ἀπὸ τὸ ἑπόμενο κλασικό θεώρημα: Θεώρημα : Ἕνα διανυσματικὸ πεδίο F ὡρισμένο σὲ ὁλόκληρο τὸν χῶρο R προέρχεται ἀπὸ συνάρτηση δυναμικοῦ, ἂν καὶ μόνον, ἂν ἔχει μηδενικὸ στροβιλισμό ἤτοι: $ V: R R μὲ F( ) = - Ρ V( ), Ρ F() = Ϋ Ρ F() =, " ΞR.. Ἀπόδειξη: Ἂν τὸ πεδίο προέρχεται ἀπὸ συνάρτηση δυναμικοῦ μὲ τὴν προϋπόθεση ὅτι ὑπάρχουν οἱ, κατωτέρω, μερικὲς παράγωγοι καὶ Γίνεται χρήση τοῦ συμβολισμοῦ F( ), Ρ, κλπ, ἀντὶ τοῦ ὁρθοῦ F( ), Ρ, κλπ, χάριν εὐκολίας γραφῆς. Ὁ συμβολισμὸς F( ), Ρ, κλπ, θὰ χρησιμοποιεῖται, στὸ ἑξῆς, μόνον ὅπου ἡ ἐπισήμανση τῆς διανυσματικῆς φύσης τους κρίνεται ἀπαραίτητο νὰ τονισθεῖ.
8 εἶναι συνεχεῖς ὁπότε ἰσχύει τὸ θεώρημα ἐναλλαγῆς τῶν μερικῶν παραγώγων ἔχουμε: e e e Ρ F( ) = - Ρ Ρ V( ) = V( ) =, " Ξ R ή F: ἀστρόβιλο. Ἔστω, τώρα, ἀντiστρόφως, ὅτι τὸ θεωρούμενο διανυσματικό πεδίο εἶναι ἀστρόβιλο ἐφ ὅσον ὁρίζεται σὲ ὅλο τὸν χῶρο R καὶ εἶναι διαφορίσιμο, μὲ συνεχεῖς μερικὲς παραγώγους θέτοντας ui = ti, t Ξ [,] καὶ χρησιμοποιώντας τὴν ταυτότητα: d Fi( ) = ς ( tfi( u,u,u ) dt = dt F u,u,u dt F u,u,u u dt ς ε ς ( ) + ( ( ) i k i k = uk προκύπτει, ὡς συνάρτηση δυναμικοῦ, ἡ: V: R R μὲ V( ) =-ε ς F ( t,t,t ) dt. i= i i Στὴν περίπτωση πού τὸ διανυσματικό πεδίο δὲν ὁρίζεται σὲ ὁλόκληρο τὸν χῶρο R, ἀλλὰ σὲ ἕνα ἀνοικτὸ ὑποσύνολό του, τότε ἰσχύει ἡ εὐθεῖα κατάφαση τοῦ ἀνωτέρω θεωρήματος δὲν ἰσχύει ὅμως, ἐν γένει, τὸ ἀντίστροφο ἤτοι: F: A R Ι R, F: ἀστρόβιλο $ V : F = - Ρ V Παράδειγμα : Τὸ διανυσματικό πεδίο, τὸ παρεχόμενο ἀπὸ τὸν τύπο: ὁρίζεται στὸν εὐκλείδειο χῶρο ζ φ F( ) =,-, η θ + + χψ δηλαδὴ, στὸ μὴ ἀπλῶς συνεκτικὸ σύνολο: R ἂν ἐξαιρεθεῖ ὁ ἄξονας ὁρίζεται, {( ) Ξ + Ή }. A =,, : Εὔκολα, διαπιστώνουμε ὅτι, ἐκεῖ ποὺ ὁρίζεται τὸ διανυσματικό, αὐτό, πεδίο εἶναι ἀστρόβιλο δηλαδή: Ρ F=.
9 Σὲ κάθε ἀπλῶς συνεκτικὸ ὑποσύνολο τοῦ Α, διασφαλίζεται ἡ συνέχεια τῶν μερικῶν παραγώγων καὶ συνεπῶς ἡ ὕπαρξη συνάρτησης δυναμικοῦ, ἡ ὁποία πληροῖ τὶς συνθῆκες: U ( ) =- + U, ( ) = + U, ( ) = ἀπὸ τὶς ὁποῖες (μὲ διαφορὰ προσθετικῆς σταθερᾶς) προκύπτει, ὡς μιὰ τοπικὴ συνάρτηση δυναμικοῦ, ἡ: U( ) = Toξεφ( / ). Θὰ πρέπει νὰ ἐπιμείνουμε στὸ γεγονός, ὅτι ἡ ἀνωτὲρω συνάρτηση, εἶναι τοπικὴ συνάρτηση δυναμικοῦ ἀπὸ αὐτὴν, δὲν μπορεῖ νὰ ἐπαχθεῖ συνάρτηση δυναμικοῦ γιὰ ὁλόκληρο τὸν χῶρο Α ἐπὶ τοῦ ὁποίου ὁρίζεται τὸ διανυσματικὸ πεδίο F. Εἶναι γνωστὸν ὅτι: «Ὅταν ἕνα διανυσματικὸ πεδίο προέρχεται ἀπὸ συνάρτηση δυναμικοῦ, τότε τὸ ἔργο, τὸ παραγόμενο κατὰ μῆκος ἑνὸς δρόμου, ἐξαρτᾶται μόνον ἀπὸ τὰ ἄκρα τοῦ δρόμου» (εἰδικότερα τὸ παραγόμενο ἔργο κατὰ μῆκος ἑνὸς κλειστοῦ δρόμου εἶναι μηδέν). Τὸ ἐρώτημα ποὺ προβάλλεται εἶναι ἡ ἰσχύς τῆς ἀνωτέρω πρότασης, στὴν παρούσα περίπτωση, ὅπου δὲν ὑπάρχει «καθολικὴ» συνάρτηση δυναμικοῦ. Γιὰ νὰ ἀπαντήσουμε στὸ ἐρώτημα, θεωροῦμε ἕνα κλειστὸ δρόμο ἐγκλείοντα ἕνα ὄχι ἀπλῶς συνεκτικὸ χωρίο τοῦ Α (στὸ ὁποῖο, ἑπομένως, δὲν ὑφίσταται ἐννιαία συνάρτηση δυναμικοῦ) ἔστω τὸν κυκλικὸ μοναδιαῖο δρόμο: γ( t) = ( συνt,ημt, ), t π τὸ ἔργο τὸ παραγόμενο κατὰ μῆκος αὐτοῦ εἶναι: π - ημ t π - συν t π Wγ ( F) = dt + dt = dt = - πή συν t + ημ t συν t + ημ t ς ς ς. Παράδειγμα : Τὸ διανυσματικὸ πεδίο, τὸ παρεχόμενο ἀπὸ τὸν τύπο: F( ),,.
ὁρίζεται στὸν εὐκλείδειο χῶρο δηλαδὴ στὸ μὴ συνεκτικὸ σύνολο: D = {(,, ) : } {(,, ) : } F {(,, )} R ἂν ἐξαιρεθεῖ τὸ ἐπίπεδο Π= {(,, )}. R Εὔκολα, διαπιστώνουμε ὅτι, ἐκεῖ ποὺ ὁρίζεται τὸ διανυσματικό, αὐτό, πεδίο εἶναι ἀστρόβιλο δηλαδή: Ρ F=. Τὸ χωρίο ὁρισμοῦ, τώρα, ἀφαιρεθέντος τοῦ ἐπιπέδου Π, διαμερίζεται σὲ δύο συνεκτικές συνιστῶσες, ἔστωσαν C καὶ C, σὲ κάθε μιὰ ἀπὸ τὶς ὁποῖες μποροῦμε νὰ βροῦμε πραγματικὲς συναρτήσεις U καὶ U, μὲ F U καὶ F U, ἀντιστοίχως. Οἱ συναρτήσεις αὐτὲς ἔχουν διαφορετικό, βεβαίως, χωρίο ὁρισμοῦ, ἀλλὰ τὸν ἴδιο τύπο: U ( ) k () Π c c Σχῆμα.. Ἀπόδειξη: Ἀναζητοῦμε μιὰ συνάρτηση ποὺ πληροῖ τὶς συνθῆκες: ἤτοι: U ( ) F i ( ) i, i,,
U ( ) U, ( ), U 4. ὁλοκληρώνοντας τὴν (4) λαμβάνουμε: U d U A, 5 Παραγωγίζοντας τὴν (5) ὡς πρὸς (ἡ μερικὴ παράγωγος ὑπάρχει,, ) ἔχουμε: R, U A A A Παραγωγίζοντας, τώρα, τὴν (5) ὡς πρὸς (ἡ μερικὴ παράγωγος ὑπάρχει R,,, ) καὶ λαμβάνοντας ὑπ ὄψιν τὴν (), ἔχουμε: ( ). Ἀπὸ τὴν A d d B A B (6). Παραγωγίζοντας τὴν (6) ὡς πρὸς καὶ ἀντικαθιστώντας στὴν ( ) λαμβάνουμε: B ( ) B ( ) B B A =: k (σταθερά) ὁπότε ἡ (6) γράφεται: k
καὶ ἀντικαθιστώντας στὴν (5), ἔχουμε τὴν τελικὴ μορφὴ γιὰ τὶς συναρτὴσεις δυναμικοῦ: U ( ) k. Ἐπειδὴ οἱ ἀνωτέρω συναρτήσεις δυναμικοῦ - ἂν καὶ ἔχουν διαφορετικὰ χωρία ὁρισμοῦ ( C καὶ C _ ) - ἔχουν τὴν ἴδια μαθηματικὴ ἔκφραση (), περιορίζουμε τὴν μελέτη σὲ μιά, ἐκ τῶν δύο, συνεκτικῶν συνιστωσῶν τοῦ {(,, )} ἔστω στὴν C. R Θεωροῦμε τὶς ἰσοδυναμικὲς ἐπιφάνειες: {,, : σταθ.} καὶ ἔστω P c ἡ ἰσοδυναμικὴ ἐπιφάνεια μὲ γιὰ κάποιο ἐδραῖο c Ξ R τότε θὰ εἶναι: c, c c 7. Δηλαδή, ἡ ἐπιφάνεια μὲ U της μὲ τὸ ἐπίπεδο εἶναι ἡ εὐθεῖα: c c c 8. c c, εἶναι μιὰ ἐπίπεδος ἐπιφάνεια ἡ τομή Μιὰ ἄλλη ἰσοδυναμικὴ ἐπιφάνεια ἐξίσωση: c c 9. P c', μὲ U c, c c R, θὰ ἔχει καὶ ἡ τομή της μὲ τὸ ἐπίπεδο εἶναι ἡ εὐθεῖα: c. c Ἐπειδὴ ἡ συνάρτηση τῆς κλίσης
f c c c, c, εἶναι * c c -, γιὰ c c θὰ ἔχουμε: δηλαδὴ οἱ εὐθεῖες (8) καὶ () c c τέμνονται ἄρα καί τὰ ἐπίπεδα P c καὶ P c' τέμνονται (ἀφοῦ ἔχουν ἕνα κοινὸ σημεῖο, αὐτό, τῆς τομῆς τῶν ἀνωτέρω εὐθειῶν ). Τὸ εὔλογο ἐρώτημα τὸ ὁποῖο ἀνακύπτει εἶναι: Πῶς εἶναι δυνατόν, ἰσοδυναμικὲς ἐπιφάνειες διαφορετικοῦ δυναμικοῦ, c καὶ c, νὰ τέμνονται; Σὲ μιὰ τέτοια περίπτωση, κάθε κοινὸ σημεῖο θὰ εἶχε δύο διαφορετικὰ δυναμικά, c καὶ c, γιὰ τὸ ἴδιο πεδίο. Γιὰ νὰ διαλευκάνουμε τὸ «παράδοξο» αὐτό, θὰ πρέπει νὰ βροῦμε τὴν εὐθεῖα-τομὴ τῶν ἐπιπέδων P c καὶ P c'. Οἱ ἐξισώσεις τῆς εὐθεῖας-τομῆς, λόγῳ τῶν (7) καὶ (9), εἶναι: c c c c c c c c c c c c c c. Παρατηροῦμε ὅτι ἡ εὐθεῖα εἶναι ἀνεξάρτητος τῶν c καὶ c καί, ἄρα, ὅλα τὰ ἐπίπεδα P c τέμνονται ἐπ αὐτῆς. Ἐπίσης, παρατηροῦμε ὅτι, ἡ ἐν λόγῳ εὐθεῖα,, βρίσκεται στὸ διαχωριστικὸ ἐπίπεδο,,, ἐπὶ τοῦ ὁποίου δὲν ὁρίζονται τὸ πεδίο F καὶ οἱ συναρτήσεις δυναμικοῦu καὶu. Ἔτσι, ἀποκαθίσταται ἡ λογικὴ τάξη στὸ προαναφερθὲν «παράδοξο» ἡ εὐθεῖα,, ἀνήκει σὲ καμμία ἰσοδυναμικὴ ἐπιφάνεια, καίτοι ἀποτελεῖ τὴν κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων τους. Ἠ ἀντιξοότητα ποὺ ἐμφανίζεται στὰ προηγούμενα παραδείγματα καὶ προκαλεῖ τὴν μὴ ὕπαρξη καθολικῆς συνάρτησης δυναμικοῦ εἶναι τοπολογικῆς φύσης καὶ πρὶν προχωρήσουμε στὴν ἀνάπτυξη τῆς θεωρίας εἶναι ἀπαραίτητο νὰ προηγηθοῦν ὁρισμοὶ καὶ βασικὲς προτάσεις ποὺ σχετίζονται μὲ τὴν ὁμοτοπία, καὶ τὴν ἀπλὴ συνεκτικότητα. * c c c c c c c c c c
4. Ὁμοτοπία καὶ Ἀπλὴ υνεκτικότητα. α) Δρόμοι σὲ τοπολογικοὺς χῶρους. Θεωροῦμε ἕνα σύνολο Ε, ὑποσύνολο τοῦ Εὐκλειδείου χῶρου ἐφοδιασμένο μὲ τὴν ἐπαγομένη, τοπολογία. n, Ὁρισμὸς : Καλοῦμε δρόμο ἀρχῆς α Ε καὶ πέρατος b Ε κάθε συνεχὴ ἀπεικόνιση γ : *,+ E, τέτοια ὥστε γ()=α καὶ γ()=b. γ() = γ()=. Ἕνας δρόμος καλεῖται βρόχος στὸ Ε, ἄν: Ἕνας δρόμος καλεῖται σημειακὸς στὸ c γ(t)=c, t,. Ε (συμβ.:γ= e c ), ἄν: Ἕνας δρόμος γ : [,] γ : [,] E, ἄν: γ t = γ t E καλεῖται ἀντίθετος τοῦ Ὁρισμὸς : Ἂν γ : [,] E εἶναι δρόμος ἀρχῆς a καὶ πέρατος b καὶ γ : [,] E εἶναι δρόμος ἀρχῆς b καὶ πέρατος c, τότε σχηματίζεται ὁ δρόμος γ : [,] E ἀρχῆς a καὶ πέρατος c στὸ Ε, ὁ ὁποῖος ὁρίζεται ὡς ἑξῆς : γ(t)= γ (t), t [,/] γ(t)= γ (t-), t [/,] Ὁ νέος αὐτὸς δρόμος συμβολίζεται γ * γ καὶ ὀνομάζεται σύνδεση τῶν διαδοχικῶν δρόμων γ καὶ γ στὸν χῶρο Ε. Ὁρισμὸς : Σὲ ἕναν τοπολογικὸ χῶρο Ε, δύο δρόμοι γ : [,] E καὶ γ : [,] Ε,κοινῆς ἀρχῆς α καὶ κοινοῦ πέρατος b, καλοῦνται ὁμότοποι ἂν καὶ μόνον ἄν, ὑπάρχει συνεχὴς ἀπεικόνιση: τέτοια ὥστε : Η:*,+[,] E,
5 Η(t,) =γ(t) Η(,s)=a t [,] καὶ s [,] H(t,)= γ Ά ('t) Η(,s)=b Ἡ ἀπεικόνιση Η ὀνομάζεται ἀπεικόνιση ὁμοτοπίας τοῦ δρόμου γ στὸν δρόμο γ. Στὴν περίπτωση ποὺ οἱ δύο δρόμοι γ καὶ γ εἶναι βρόχοι μὲ κοινὸ σημεῖο c, ἡ ἀπεικόνιση ὁμοτοπίας - ἐφ ὅσον ὑπάρχει θὰ δηλοῖ ὅτι: Η(t,) =γ(t) Η(,s)=c t [,] καὶ s [,] H(t,)= γά ( t) Η(,s)=c Ὁρισμὸς 4: Ἕνας τοπολογικὸς χῶρος Ε n, καλεῖται δρομοσυνεκτικός, ἂν γιὰ κάθε a,b E, ὑπάρχει δρόμος γ: [,] E τέτοιος ὥστε γ()=a καὶ γ()=b. Ὁρισμὸς 5: Ὁ τοπολογικὸς χῶρος Ε n καλεῖται ἀπλῶς συνεκτικός, ἄν: α) a,b E, ὑπάρχει δρόμος γ:*,+ E τέτοιος ὥστε γ()=a και γ()=b (δηλ. εἶναι δρομοσυνεκτικός) καὶ β) ὅλοι οἱ δρόμοι ἀρχῆς a καὶ πέρατος b εἶναι ὁμότοποι μὲ τὸν γ. Ὁ ἀνωτέρω ὁρισμός, μὲ τὴν χρήση βρόχων, διατυπώνεται ἰσοδυνάμως ὡς: Στὸν n ἡ δρομοσυνεκτικότητα ἑνὸς ἀνοικτοῦ ὑποσυνόλου του, εἶναι ἰσοδύναμη μὲ τὴν συνεκτικότητά του. Ἡ δρομοσυνεκτικότητα εἶναι τοπολογικὴ ἰδιότητα δηλαδή, ἂν ὁ Ε εἶναι δρομοσυνεκτικός, τότε,θὰ εἶναι δρομοσυνεκτικοὶ καὶ ὅλοι οἱ ὁμοιόμορφοί του.
6 Πρόταση 6: Ὁ Ε n θὰ εἶναι ἀπλῶς συνεκτικός, ἂν καὶ μόνον ἄν: i. ὁ Ε εἶναι δρομοσυνεκτικός, καὶ ii. κάθε κλειστὸς δρόμος τοῦ Ε, σὲ κάθε σημεῖο αὐτοῦ,εἶναι ὁμότοπος μὲ τὸν σημειακὸ δρόμο e. Προφανῶς, ἂν ὁ Ε εἶναι ἀπλῶς συνεκτικός, τότε, ὁ Ε εἶναι δρομοσυνεκτικός. Ἐπίσης, ἂν ὁ Ε εἶναι ἀπλῶς συνεκτικός, τὸτε κάθε βρόχος εἶναι ὁμότοπος μὲ σημειακὸ δρόμο. (Τὰ ἀντίστροφα δὲν ἰσχύουν) Στὸ σχηματικὸ παράδειγμα, ποὺ ἀκολουθεῖ, ὁ Ε εἶναι τὸ εὐκλείδειο ἐπίπεδο, ἀπὸ τὸ ὁποίο ἀπουσιάζει μιὰ ἔλλειψη μὲ τὰ ἐσωτερικὰ σημεῖα αὐτῆς. a,b E, δρόμος γ: *,+ E τέτοιος ὥστε γ()=α και γ()=b δηλαδή, ὁ Ε εἶναι δρομοσυνεκτικός. Οἱ γ,γ ὅμως δὲν εἶναι ὁμότοποι ἄρα ὁ Ε δὲν εἶναι ἀπλῶς συνεκτικός. Ε γ E: δρομοσυνεκτικός, Ε: ὄχι ἀπλῶς συνεκτικός οἱ βρόχοι γ καὶ γ δὲν εἶναι ὁμότοποι.. γ
7 β) Ὁμοτοπία. Ἔστω τὸ σύνολο Ε (ὑποσύνολο τοῦ Εὐκλειδείου χῶρου n, ἐφοδιασμένο μὲ τὴν ἐπαγόμενη, τοπολογία) καὶ E στὸ σύνολο τῶν βρόχων τοῦ ἰσχύουν οἱ ἰδιότητες: α ) Ἀνακλαστικότητα : Κάθε κλειστὸς δρόμος γ: *, + E μὲ γ() = γ() = εἶναι ὁμότοπος μὲ τὸν ἑαυτό του.. Ἀπόδειξη: Χρησιμοποιοῦμε τὴν ἀπεικόνιση: Η:*,+[,] E με h(t,s) = γ(t) ἔχουμε ὅτι : Η(,s) = γ()= Η(t,) = γ(t) καὶ Η(,s) = γ()= Η(t,) = γ() α) Ἀνακλ/τητα : Ἄρα, πράγματι, ὁ γ εἶναι ὁμότοπος μὲ τὸν ἑαυτό του. β) Συμμετρία : Ἄν ὁ γ: *, + E μὲ γ() = γ() = εἶναι ὁμότοπος μὲ τὸν γ : *, + E, μὲ γ () = γ () = διὰ μέσου τῆς Η:*,+*,+ E, τότε, ὁ γ εἶναι ὁμότοπος μὲ τὸν γ. Αὐτὸ διασφαλίζεται ἀπὸ τὴν Η :*,+*,+ E, μὲ Η (t,s)=h(t,-s). γ) Μεταβατικότητα : Ἄν ὁ γ: *, + E εἶναι ὁμότοπος μὲ τὸν γ : [, ] E μέσῳ τῆς Η(t,s) καὶ ὁ γ : [, ] E εἶναι ὁμότοπος μὲ τὸν γ : [, ] E μέσῳ τῆς ΗΆ(t,s), τότε διαπιστώνεται,εὐκόλως, ὅτι ὁ γ: *, + μὲ τὸν γ : [, ] E μέσῳ τῆς: H (t,s) = H(t,s), s [,/] H (t,s-), s [/,] E εἶναι ὁμότοπος Σύμφωνα μὲ τὶς ἀνωτέρω ἰδιότητες, ἡ σχέση τῆς ὁμοτοπίας τῶν βρόχων, ἑνὸς σημείου τοῦ χῶρου Ε, εἶναι σχέση ἰσοδυναμίας.
8 Ὁρισμὸς 7: Ὁμοτοπία καλεῖται ἡ σχέση ἰσοδυναμίας, ποὺ ὁρίζεται στὸ σύνολο τῶν βρόχων τοῦ σημείου Ε καὶ μέσα στὸν τοπολογικὸ χῶρο Ε n, σύμφωνα μὲ τὴν ὁποία: «δύο βρόχοι εἶναι ἰσοδύναμοι ἂν καὶ μόνο ἂν εἶναι ὁμότροποι». Οἱ σχηματιζόμενες σχέσεις ἰσοδυναμίας καλοῦνται κλάσεις ὁμοτοπίας καὶ τὸ πηλικοσύνολό τους συμβολίζεται ὡς π(ε, ). Ὁρισμός 8: Ἔστωσαν οἱ δρόμοι γ: *, + E καὶ γ : [, ] E μὲ γ ()=γ() Ἡ σύνδεση γ * γ : [, ] E εἶναι ἕνας νέος δρόμος ποὺ ὁρίζεται ὡς ἑξῆς : γ * γ t γ t, t, γ t, t, Ἄν οἱ δρόμοι γ καὶ γ, εἶναι βρόχοι στὸ σημεῖο, ἤτοι: γ()= γ ()=γ()= γ ()= τότε ἡ σύνδεσή τους θὰ εἶναι βρόχος στὸ σημεῖο. Ἔστωσαν, τώρα, γ: *, + E καὶ γ : [, ] E, βόχοι στὸ γ καὶ γ οἱ ἀντίστοιχες κλάσεις ὁμοτοπίας τους. Ὁρισμὸς 9: ύνθεση τῶν κλάσεων γ καὶ γ π Ε, (συμβ.: γ γ ) καλεῖται ἡ κλάση ὁμοτοπίας τοῦ δρόμου γ * γ, ἤτοι: γ γ γ * γ. Ἡ σύνθεση, ὡς πράξη ἐσωτερική, εἶναι καλῶς ὡρισμένη καὶ ἀνεξάρτητος τῶν ἀντιπροσώπων γ καὶ γ. Γιὰ τὴν ἐπαλήθευση τοῦ ἀνωτέρω ἰσχυρισμοῦ, ἔστωσαν οἱ δρόμοι γ,γ γ καὶ γ,γ οἱ δρόμοι γ * γ καὶ γ * γ ἀνήκουν στὴν κλάση γ * γ ὁμότοποι. γ τότε δηλαδὴ εἶναι. Ἀπόδειξη: Πράγματι εἶναι: γ : [, ] γ : [, ] E E Μὲ γ ()= γ ()= γ ()= γ ()=
9 καί: γ : [, ] γ : [, ] E E Μὲ γ () = γ () = γ () = γ () = Ἔστω, τώρα, ὅτι ἡ ἀπεικόνιση ὁμοτοπίας γιὰ τὴν κλάση [γ] εἶναι ἡ H(t,s) δηλαδή: H(t,)= γ (t) H(,s)= H(t,)= γ (t) H(,s)= Καὶ ἡ ἀπεικόνιση ὁμοτοπίας τῆς [ γ ] εἶναι ἡ ΗΆ(t,s) δηλαδή: ΗΆ(t,)= γ (t) ΗΆ(,s)= ΗΆ(t,)= γ (t) ΗΆ(,s)= Τώρα ἡ ἀπεικόνιση ὁμοτοπίας ἀνάμεσα στοὺς δρόμους γ * γ καὶ γ * γ εἶναι ἡ Η Ά (t,s)= H(t,s),t [,/] ΗΆ(t-,s), t [/,] Ἄρα ἡ Η Ά : [,][,] [γ* γά]. E εἶναι ἡ ἀπεικόνιση ὁμοτοπίας γιὰ τὴν κλάση Σημείωση: Ἐπειδή, ἡ σύνδεση (*) δύο δρόμων, γ καὶ γ (δηλ. ἡ γ * γ ), μᾶς παρέχει τὴν κλάση γ * γ, ἡ ὁποία, κατὰ τὰ ἀνωτέρω, ταυτίζεται μὲ τὴν σύνθεση ( ) τῶν ἐπὶ μέρους ἀντιστοίχων κλάσεών τους (δηλ. τὴν γ γ ), θὰ χρησιμοποιοῦμε, στὸ ἑξῆς, τὸ ἴδιο συμβολισμὸ ( ) γιὰ ἀμφότερες τὶς ἐννοιες ὅταν τὸ παρεμβάλλεται μεταξὺ δρόμων, θὰ δηλώνει σύνδεση τους ὅταν παρεμβάλλεται μεταξὺ κλάσεων ὁμοτοπίας, θὰ δηλώνει σύνθεση αὐτῶν.
γ) Ὁμάδες ὁμοτοπίας. Πρόταση : Ἄν Ε n εἶναι τοπολογικὸς χῶρος καὶ Ε, τότε, ἡ ἐσωτερικὴ πράξη, ποὺ ὁρίζεται στὸ πηλικοσύνολο Π(Ε, ) ἀπὸ τὴν σύνθεση τῶν κλάσεων ὁμοτοπίας, σχηματίζει δομὴ ὁμάδας.. Ἀπόδειξη: Γιὰ νὰ δείξουμε ὅτι εἶναι Ὁμάδα ἀρκεῖ νὰ δείξουμε ὅτι α) ἡ σύνθεση εἶναι ἐσωτερικὴ πράξη, β) ἰσχύει ἡ προσεταιριστικότητα γ) τὸ οὐδέτερο στοιχεῖο. δ) τὸ ἀντίστροφο κάθε στοιχείου τῆς ὁμάδας. (α) Ἐσωτερικότητα τῆς ( ): Ἰσχύει *γ+ [ γ ] ορ *γ γ + δηλαδή ἂν *γ+,* γ ] π(ε, ), τότε: *γ+ [ γ +=*γ γ ] π(ε, ) (β) Προσεταιριστικότητα: Γιὰ νὰ δείξουμε ὅτι * γ ] [ γ γ ] =[ γ γ ] [ γ + ἄρκεῖ (ὁρισμὸς σύνθεσης) νὰ δείξουμε ὅτι * γ ( γ γ )]= [( γ γ ) γ + δηλαδή ἀρκεῖ ὁ γ ( γ γ ) νὰ εἶναι ὁμότοπος μὲ τὸν ( γ γ ) γ. Εἶναι: γ (t), t ½ γ ( γ γ )(t) = γ (4t-) = γ ((t-)), ½ t ¾ γ ((t-)-), ¾ t Γιατί, πρέπει ὁ γ στὸ t= ½ νὰ ἰσοῦται μὲ τὸν γ γ στὸ t= ½ δηλαδὴ μὲ. Πράγματι, γιὰ t= ½ : γ (t)=γ()= = γ ()= γ (4t-). Ἐπίσης, στὸ t= ¾ ὁ γ πρέπει νὰ ἰσοῦται μὲ τὸν γ (γιατὶ στὸ t= ¾, ὁ γ γ πρὲπει - σύμφωνα μὲ τὸν ὁρισμὸ τῆς ( ) - νὰ ἰσοῦται μέ γ κ καὶ μὲ γ κ, κ=t- ). Ὁ ὁρισμὸς τῶν διαστημὰτων τοῦ t, στὴν σύνδεση τοῦ γ μὲ τὴν γ γ, πρέπει νὰ ἀκολουθεῖ τὸν ὁρισμὸ τῆς ( ), ποὺ ἐπιβάλλει τὴν διχοτόμηση τοῦ ἀρχικοῦ διαστήματος *,+ δηλαδή:*, ½ + γιὰ τὴν γ καὶ * ½, + γιὰ τὴν γ γ.
Μὲ τοὺς ἴδιους συλλογισμούς, ἡ μορφὴ τῆς γ γ γ θὰ εἶναι: γ (4t), t ¼ (( γ γ ) γ )(t) = γ (4t-), ¼ t ½ γ (t-), ½ t Γιὰ νὰ δείξουμε ὅτι οἱ δύο, αὐτοί, δρόμοι εἶναι ὁμότοποι, θεωροῦμε τὴν ἀπεικόνιση F: [,] [,] : E, μέ: γ (4t/(s+)), t (s+)/4 F(t, s) = γ (4t-s-), (s+)/4 t (s+)/4 γ ((4t-s-)/(-s)), (s+)/4 t Τότε: Ἡ F εἶναι συνεχὴς στὸ [,] [,] ὅπως προκύπτει μὲ ἔλεγχο στὰ σημεῖα: t = (s+)/4 καὶ t = (s+)/4 Εἶναι: F(, s)= F(, s) ( διότι: F(, s)=γ()= =γ()= F(, s) ) γ (4t), t /4 F(t,)= γ (4t-), /4 t / ποὺ εἶναι ὁ ( γ γ ) γ γ (t-), /4 t γ (4t), t ¼ F(t, )= γ (4t-), ¼ t ½ γ (4t-)= γ ((4t-)-)= γ ((t-)-), ¾ t ποὺ εἶναι ὁ γ ( γ γ )
Ἄρα ἡ ἀπεικόνιση F εἶναι ἀπεικόνιση ὁμοτοπίας τῶν, ἐν λόγῳ, δρόμων καὶ συνεπῶς: [ γ ] [ γ γ ] =[ γ γ ] [ γ ]. (γ) οὐδέτερο στοιχεῖο : Τὸ e (ὁ σημειακὸς δρόμος στὸ σημεῖο ) εἶναι τὸ οὐδέτερο στοιχεῖο: [γ] [ e ]= [γ]= [ e ] [γ]. Πράγματι, ἐπειδή: *γ+= [γ+ [ e ] ορ *γ e ] ἀρκεῖ νὰ δείξουμε ὅτι δείξουμε ὅτι οἱ γ καὶ γ* e εἶναι ὁμότοποι. γ* e (t)= γ(t), t [,/] e, t [/,] Θεωροῦμε τὴν ἀπεικόνιση G:[,][,] E μὲ τύπο G(t,s)= γ(t/(s+)), t [,(s+)/] e, t [(s+)/,] Ἡ G εἶναι συνεχὴς καὶ G(,s) = γ() =, G(,s) = e =, γ(t), t [,/] G(t,) = = γ e, e, t [/,] G(t,) = γ(t) Ἄρα ἡ G εἶναι μιὰ συνάρτηση ὁμοτοπίας τῶν γ καὶ γ* e συνεπῶς αὐτοὶ εἶναι ὁμότοποι. Ὅμοια ἀποδεικνύεται ἡ ὁμοτοπία τῶν e *γ και γ. Ἔτσι ὁ [ e ] εἶναι τὸ οὐδέτερο στοιχεῖο τῆς ὁμάδας π(ε, ). (δ) ἀντίστροφο στοιχείου : Ἔστω γ κλειστὸς δρόμος τοῦ Ε ἀρχῆς καὶ πέρατος _καὶ[γ] ἡ ἀντίστοιχη κλάση ὁμοτοπίας αὐτοῦ. Ἰσχυριζόμαστε ὅτι τὸ ἀντίστροφο στοιχεῖο τῆς *γ+
εἶναι ἡ κλάση * γ +, τοῦ ἀντιθέτου δρόμου γ. Γιὰ ἐπιβεβαίωση αὐτοῦ ἀρκεῖ νὰ δείξουμε ὅτι ὁ γ γ εἶναι ὁμότοπος μὲ τὸν e. Ἐπειδή ορ γ κ γ κ, θὰ εἶναι: γ(t), t [,/] γ γ = γ(-t), t [/,] Θεωροῦμε τὴν ἀπεικόνιση Η: *,+*,+ E μὲ τύπο: γ(), t s/ γ(t-s), (s/) t / Η(t, s) = γ(-t-s), / t -s/ γ(), -s/ t Ἡ Η εἶναι συνεχής, μὲ Η(, s) =, Η(, s) = ἐπὶ πλέον: γ(), t γ(t), t ½ Η(t, ) = γ(-t), ½ t = γ γ καὶ γ(), t γ()=, t ½ γ(t) =γ()= ½ t ½ Η(t, ) = γ(-t-)=γ()=, ½ t ½ = e ν γ( )=, ½ t Ἄρα ἡ Η εἶναι μιὰ συνάρτηση ὁμοτοπίας τῶν γ γ καὶ e αὐτοὶ εἶναι ὁμότοποι καὶ ἑπομένως: συνεπῶς ἢ ἰσοδυνάμως: *γ γ ] = [ e ] *γ+ *γ - ] =[ e ]
4 Μὲ τὸν ἴδιο τρόπο, γιὰ νὰ δείξουμε ὅτι *γ - ] *γ+ =* e τοὺς δύο μεσαίους κλάδους τοῦ ὁρισμοῦ τῆς Η(t,s). +, ἐναλλάσσουμε Ὁρισμὸς : Τὸ πηλικοσύνολο π(ε, ), ἐφοδιασμένο μὲ τὴν πράξη τῆς σύνθεσης τῶν κλάσεων ὁμοτοπίας, καλεῖται θεμελιώδης ὁμάδα ὁμοτοπίας ὡς πρὸς τὸ σημεῖο τοῦ τοπολογικοῦ χῶρου Ε. Ὁρισμὸς : Ἔστω τοπολογικὸς χῶρος Ε n θεωροῦμε τὶς θεμελιώδεις ὁμάδες ὁμοτοπίας π(ε, ) καὶ π(ε, y) αὐτοῦ γ ἕνας βρόχος στὸ καὶ δ ἕνας δρόμος ἀπὸ τὸ στὸ y. Θὰ λέμε μορφισμό, τῶν ἀνωτέρω ὁμάδων, μιὰ ἀπεικόνιση Δ: π(ε, ) π(ε, y) ὁριζομένη ἀπό τὸ τύπο: Δ(*γ+) = * δ ] γ δ Παρατήρηση : Κατὰ τὸν ὁρισμό, ἐπιβάλλεται, βεβαίως, ἡ ὕπαρξη ἑνὸς τοὐλάχιστον δρόμου δ ἐνώνοντος τὰ καὶ y. Ἡ ἀπεικόνηση δ εἶναι «καλῶς ὡρισμένη», ἀφοῦ δὲν ἐξαρτᾶται ἀπὸ τοὺς ἐπιλεχθέντες δρόμους γ καὶ δ, ἀλλὰ ἀπὸ τὶς κλάσεις τους. Προφανῶς, ἡ Δ ἀπεικονίζει τὴν κλάση ὁμοτοπίας κάθε βρόχου γ στὸ στὴν κλάση ὁμοτοπίας ἑνὸς βρόχου γ δ γ δ στὸ y. δ δ y γ Πρόταση 4: Ὁ μορφισμὸς τῶν θεμελιωδῶν ὁμάδων ὁμοτοπίας, π(ε, ) καὶ π(ε, y), εἶναι ὁμομορφισμὸς: Δ γ γ δ γ γ δ δ γ γ δ δ γ δ δ γ δ Δ γ Δ γ καὶ δέχεται, προφανῶς, ὡς ἀντίστροφη ἀπεικόνιση τὴν Δ : π Ε,y π E,, μέ: Δ γ ' δ γ δ ἡ ὁποία εἶναι μορφισμὸς. Ἄρα ὁ Δ εἶναι ἕνας ἰσομορφισμὸς τῶν, ἐν λόγῳ θεμελιωδῶν ὁμάδων. Δηλαδή, ἂν δύο σημεῖα καὶ y συνδέονται διὰ μέσου ἑνὸς δρόμου, τότε, οἱ ὁμάδες ὁμοτοπίας τους εἶναι ἰσόμορφοι. Μὲ ἄλλα λόγια:
5 Πρόταση 5: Σὲ κάθε δρομοσυνεκτικὸ τοπολογικὸ χῶρο Ε, οἰ θεμελιώδεις ὁμάδες ὁμοτοπίας ταυτίζονται ἰσομορφικῶς, καθῶς τὸ διατρέχει τὸν Ε. Παρατήρηση 6: Σύμφωνα μὲ τὰ ἀνωτέρω, σὲ κάθε δρομοσυνεκτικὸ τοπολογικὸ χῶρο, μποροῦμε νὰ ἀναφερόμαστε στὴν θεμελιώδη ὁμάδα ὁμοτοπίας του, χωρίς ἀναφορὰ στὰ σημεῖα του. Ὅμως γιὰ δύο διαφορετικὰ σημεῖα καὶ, ὁ ἰσομορφισμός, μεταξύ τῶν ἀντιστοίχων ὁμάδων π Ε, καὶ π Ε,, ἐξαρτάται, ἐν γένει, ἀπὸ τὴν ἐπιλογὴ τοῦ δρόμου δ σύνδεσης τῶν σημεῖων αὐτῶν διαφορετικοὶ δρόμοι ὁρίζουν διαφορετικοὺς ἰσομορφισμούς. Ἔτσι δὲν ὑπάρχει μοναδικότητα στὴν ἰσομορφικὴ ταύτιση τῶν, ἐν λόγῳ, ὁμάδων. Ἐν τούτοις, στὴν περίπτωση πού ἡ θεμελιώδης ὁμάδα εἶναι ἀντιμεταθετική, ὁ ἰσομορφισμὸς εἶναι ἀνεξάρτητος τοῦ ἐπιλεγομένου δρόμου σύνδεσης. Θεώρημα 7: Ὁμοιόμρφοι δρομοσυνεκτικοὶ χῶροι ἔχουν ἰσομόρφους θεμελειώδεις ὁμάδες ὁμοτοπίας τὸ ἀντίστροφο δὲν ἰσχύει.. Ἀπόδειξη: Ἔστωσαν Ε, Ε δρομοσυνεκτικοὶ χῶροι καὶ f : E E ἕνας ὁμοιομορφισμὸς αὐτῶν. Ἂν γ καὶ γ : [,] Ε, εἶναι βρόχοι τοῦ Ε, στὸ σημεῖο, τότε, οἱ ἀπεικονίσεις: f γ καὶ f γ : [,] Ε θὰ εἶναι βρόχοι τοῦ Ε, στὸ σημεῖο: y = f( ) E. (). Θεωροῦμε τὴν ἀπεικόνιση F:π Ε, π Ε,y μὲ τύπο: F γ f γ () θὰ δείξουμε ὅτι ἡ F εἶναι, κατ ἀρχάς, ὁμομορφισμός δηλαδή: πρὸς τοῦτο ἀρκεῖ: F γ γ F γ F γ f γ γ f γ f γ
6 Πράγματι, εἶναι: f γ γ t f γ t, t *, ½ + (f γ)(t), t *, ½ + γ (t-), t * ½, + (f γ )(t-), t *½, + f γ f γ t. Γιὰ νὰ εἶναι ἡ F ἰσομορφισμός, θὰ πρέπει ἐπὶ πλέον ἡ F νὰ ἀντιστρέφεται. Πρὸς τοῦτο, ἔχουμε: F([γ])= [ e y ] [F γ]=[ e y ] [ f γ t ]=[y ], t [ f γ t ] = [(f e )(t)], t f [γ(t)] = f [ e (t)], t (καὶ ἐπειδὴ ἡ f () εἶναι - ὡς ὁμοιομορφισμός) [γ(t)] = [ e (t)], t [γ] = [ e ]. Ἄρα ἡ F εἶναι -. Μὲ παρόμοιο τρόπο, χρησιμοποιώντας ὅτι ἡ f - ὡς ὁμοιομορφισμός - εἶναι ἐπὶ τοῦ E, ἀποδεικνύουμε ὅτι F(π(Ε, )) = π( E, y ) δηλαδὴ ἡ F εἶναι ἐπί. Ἀντιπαράδειγμα γιὰ τὸ ἀντίστροφο, θὰ παρατεθεῖ ἀργότερα. Μὲ τὴν εἰσαγωγὴ τῆς ἐννοίας τῆς θεμελιώδους ὁμάδας ὁμοτοπίας, ὁ ὁρισμὸς τοῦ ἀπλῶς συνεκτικοῦ χῶρου, μπορεῖ νὰ διατυπωθεῖ, ἰσοδυνάμως, ὡς: Πρόταση 8: Ἕνας τοπολογικὸς χῶρος Ε n θὰ εἶναι ἀπλῶς συνεκτικὸς ἂν καὶ μόνον ἄν: α) εἶναι δρομοσυνεκτικὸς καὶ β) ἡ θεμελιώδης ὁμάδα ὁμοτοπίας του εἶναι μονομελής.. Ἀπόδειξη: Ἡ ἀνωτέρω εἶναι ἄμεση ἀπόρροια τῆς Πρότασης 6. Πρόταση 9: Ἡ ἀπλὴ συνεκτικότητα εἶναι τοπολογικὴ ἰδιότητα δηλαδή, ἂν ἕνας χῶρος Ε n εἶναι ἀπλῶς συνεκτικός, τότε εἶναι ἀπλῶς συνεκτικοὶ καὶ ὅλοι οἱ ὁμοιόμορφοί του.. Ἀπόδειξη: Ἔστω Ε ὁμοιόμορφος μὲ τὸν Ε. Ἀφοῦ ὁ Ε εἶναι ἀπλῶς συνεκτικός, θὰ εἶναι δρομοσυνεκτικός ἡ δρομοσυνεκτικότητα, ὅμως, εἶναι τοπολογικὴ ἰδιότητα συνεπῶς καὶ ὁ Ε θὰ εἶναι δρομοσυνεκτικός.
7 Ἐξ ἄλλου, ἡ ἀπλὴ συνεκτικότητα τοῦ Ε, μᾶς ἀπάγει (Πρόταση 8) στὴν μονομέλεια τῆς θεμελειώδους ὁμάδας ὁμοτοπίας αὐτοῦ καὶ ἐπειδή, Ε ὁμοιόμορφος τοῦ Ε, ἡ θεμελιώδης ὁμάδα ὁμοτοπίας τοῦ Ε θὰ εἶναι (Πρόταση 8) μονομελής. Ἡ δρομοσυνετικότητα, ὅμως, μαζὶ μὲ τὴν μονομέλεια τῆς θεμελιώδους ὁμάδας ὁμοτοπίας τοῦ Ε, μᾶς μαρτυρεῖ (Πρόταση 8) τὴν ἀπλὴ συνεκτικότητά του. Παραδείγματα (Θεμελιωδῶν ὁμάδων ὁμοτοπίας): ) Ὁ κύκλος (περιφέρεια) S. Θεωροῦμε ἕνα, τυχαῖο, σημεῖο τοῦ κύκλου καὶ διαμερίζουμε τὸ στὰ διαστήματα: I κ = *κπ, (κ+)π), κ. Εἶναι προφανὲς ὅτι, γιὰ κάθε γιὰ τὸ ὁποῖο, ὁ βρόχος θὰ εἶναι συρρικνώσιμος στὸ (ὁμότοπος μὲ τὸν σημειακὸ δρόμο e ). Ἔτσι, ὅλοι οἱ βρόχοι στὸ, ἀνήκουν στὴν κλάση [ e + καὶ ἡ e ἀντιστοιχεῖ στὴν τιμὴ κ= τοῦ. Θεωροῦμε, τώρα,τὸ σημεῖο π. Γιὰ κάθε, ὁ βρὸχος θὰ εἶναι ὁμότοπος μὲ τὸν βρόχο (δηλαδή, μὲ ἕναν πλήρη κύκλο), τοῦ ὁποίου ἡ κλάση ἀντιστοιχεῖ στὴν τιμὴ κ= τοῦ. Ἀφοῦ, ἐπισημάνουμε τὴν παρατήρηση ὅτι, κάθε βόχος τοῦ, θὰ εἶναι δρόμος τῆς μορφῆς τὰ ἀνωτέρω ἔχουμε: ωπ (= ω ), γιὰ κάποιο ω, γενικεύοντας Γιὰ κάθε, ὁ βρόχος ω θὰ εἶναι συρρικνώσιμος στὸν βρόχο ω (δηλαδή, σὲ ω πλήρεις κύκλους), τοῦ ὁποίου ἡ κλάση ἀντιστοιχεῖ στὴν τιμὴ κ=ω τοῦ. ) Ἡ ἐμφανιζομένη ἀντιστοιχία, ἀνάμεσα στίς κλάσεις ὁμοτοπίας τοῦ κύκλου καὶ τὰ στοιχεῖα τοῦ, εἶναι ἕνας ἰσομορφισμὸς. Ἔτσι, θεωρώντας τό ἀποτελούμενο ἀπὸ σημειακοὺς δρόμους τὰ στοιχεῖα του, μποροῦμε νὰ ποῦμε ὅτι, οἱ ὁμάδες ὁμοτοπίας π( S ) καὶ π( ) εἶναι ἰσόμορφες. Τὸ, ὅμως, δὲν εἶναι δρομοσυνεκτικό συνεπῶς ἀφοῦ ἡ δρομοσυνεκτικότητα ἀποτελεῖ τοπολογικὴ ἰδιότητα δὲν εἶναι καὶ ὁμοιόμορφο τοῦ S. Τὰ ἀνωτέρω, καταδεικνύουν τὴν ἀναλήθεια τοῦ ἀντιστρόφου τῆς Πρότασης 7. ) Τὸ εὐκλείδειο ἐπίπεδο R, ἀπὸ τὸ ὁποῖο ἐξαιρεῖται ἕνα σημεῖο, ἡ θεμελιώδης ὁμάδα ὁμοτοπίας του ἀποτελεῖται ἀπὸ δύο στοιχεῖα (διαμερίζεται, δηλαδή, σὲ δύο συνεκτικὲς συνιστῶσες).
8 ) Τὸ ἀπλὸ σῶτρο (torus) ἔχει ὁμάδα ὁμοτοπίας ἰσόμορφο τοῦ. 4) Ἡ σφαῖρα (ἐπιφάνεια), ἀπὸ τὴν ὁποία λείπει ἕνα σημεῖο, ἀποτελεῖται ἀπὸ μιὰ συνεκτικὴ συνιστῶσα (στὴν περίπτωση, αὐτὴ, λέμε ὅτι ἔχει τὴν θεμελιώδη ὁμάδα ὁμοτοπίας).
9. Γεωμετρικὴ ἀνάλυση τῆς ὁλοκληρωσιμότητας. Στὴν μελέτη τῶν διαφορικῶν ἐξισώσεων, τὸ βασικὸ πρόβλημα τὸ ὁποῖο ἐμφανίζεται εἶναι τὸ πρόβλημα τῆς ὁλοκληρωσιμότητας. Γιὰ τὴν κατανόηση τοῦ, ἐν λόγῳ, προβλήματος, κρίνεται σκόπιμο, νὰ ἀναφερθούμε στὴν γνωστή, ἀπλή, διαφορικὴ ἐξίσωση: d y =- ἢ d + ydy = (). dy Τὸ πρῶτο μέλος της, ἀποτελεῖ τὸ πλῆρες διαφορικὸ τῆς συνάρτησης f(, y) = + y, οἱ ἰσοσταθμικὲς καμπύλες: + y = c τῆς ὁποίας εἶναι οἱ λύσεις (οἱ ὁλοκληρωτικὲς καμπύλες) τῆς διαφορικῆς ἐξίσωσης (). Θεωροῦμε, τώρα, τὴν διαφορικὴ μορφή: ω = d + ydy ἡ ἐξίσωση () γράφεται, τότε, ὡς: ω= (ἐξίσωση Pfaff ). Ὁ πυρήνας τῆς μορφῆς ω, σὲ ἕνα σημεῖο (, y) Ή (,), θὰ εἶναι: ὅμως: { } ker ( ω ) ( ) = ξ Ξ R : ω ( ξ ),y (,y ) = ω( ξ) ( ) = ή d( ξ) + ydy( ξ) = ή ξ+ yξ = },y ἑπομένως, ὁ πυρήνας τῆς ω θὰ εἶναι τὸ σύνολο τῶν διανυσμάτων ξ = ( ξ,ξ ) τὰ ὁποῖα ἐφάπτονται τῆς ὁλοκληρωτικῆς καμπύλης, τῆς διερχομένης ἀπὸ τὸ σημεῖο (,y ), στὸ σημεῖο αὐτό. Ἐξ ἄλλου, κάθε πεδίο διανυσμάτων ἐπὶ τοῦ R ἀνάγεται ἰσομορφικῶς, μέσῳ τοῦ ἐσωτερικοῦ γινομένου, σὲ μιὰ διαφορικὴ μονομορφὴ ω (ὁ
ἰσομορφισμὸς δίδεται κατωτέρω - ἐδῶ, ἀρκούμεθα νὰ ἀναφέρουμε ὅτι, τὸ πεδίο διανυσμάτων: R R μὲ F(,y) = (,y) F: ἔχει ἀντίστοιχο μορφὴ τὴν ω τοῦ ἀνωτέρω παραδείγματος ). Οἱ ἰσοσταθμικὲς καμπύλες τοῦ πεδίου θὰ διέρχονται ἀπὸ τὰ διάφορα σημεῖα τοῦ χῶρου, ἐφαπτομένως πρὸς τὶς εὐθεῖες τὶς ἀποτελοῦσες τὸν πυρήνα ἐπὶ ἑνὸς ἑκάστου σημεὶου τῆς ἀντιστοίχου τοῦ πεδίου μονομορφῆς ω. y + y = c (,y) ξ Σχῆμα. ker(ω) Σὸ πρόβλημα, τώρα, τῆς ὁλοκληρωσιμότητας, δοθέντος ἑνὸς πεδίου διανυσμάτων, εἶναι, ἀκριβῶς, τὸ πρόβλημα τῆς εὕρεσης τῶν ὁλοκληρωτικῶν, αὐτῶν, καμπυλῶν. Στὴν περίπτωση κατὰ τὴν ὁποία τὸ πεδίο εἶναι ἀστρόβιλο καὶ συνεπῶς προέρχεται ἀπὸ συνάρτηση δυναμικοῦ γεγονός, τὸ ὁποῖο ἐκφράζεται μὲ τὴν ἀκρίβεια τῆς ἀντιστοίχου, αὐτοῦ, διαφορικῆς μορφῆς τὸ πρόβλημα τῆς ὁλοκληρωσιμότητας ἐπιλύεται ἄμεσα οἱ ὁλοκληρωτικὲς καμπύλες τοῦ πεδίου δὲν εἶναι, παρὰ οἱ ἰσοσταθμικὲς καμπύλες τῆς συνάρτησης δυναμικοῦ. Ἀναφέρουμε, ἐν συνεχείᾳ, ὁρισμοὺς καὶ προτάσεις, ποὺ ἀφοροῦν στὶς διαφορικὲς μορφὲς καὶ εἶναι χρήσιμοι στὴν περαιτέρω διαπραγμάτευσή μας.
Σὲ ἕνα διανυσματικὸ πεδίο F: R R μποροῦμε νὰ προσαρτήσουμε, κατὰ μοναδικὸ τρόπο, μιὰ μονομορφὴ ω, μέσῳ τοῦ ἐσωτερικοῦ γινομένου, ὡς: < F, Χ> = ω (Ἔτσι, ἕνα διανυσματικὸ πεδίο F ( F,F,F ) =, παριστάνεται στὸν εὐκλείδειο χῶρο Ὁρισμοί: R, μὲ μιὰ διαφορικὴ μονομορφὴ ω, ὡς: ω Ί < F, Χ> = F d + F d + Fd. ) Μιὰ διαφορικὴ μορφὴ ω, κ-τάξεως θὰ λέγεται κλειστή, ἂν καὶ μόνο ἂν τὸ ἐξωτερικὸ διαφορικό της εἶναι μηδέν. Μιὰ διαφορικὴ μορφὴ ω, κ-τάξεως θὰ λέγεται τελεία ἢ ἀκριβής, ἂν καὶ μόνο ἂν ὑπάρχει διαφορικὴ μορφὴ (κ-)-τάξεως, τέτοια ὥστε ω = dφ. Πρότασεις: Ἂν μιά διαφορικὴ μονομορφὴ ω εἶναι ἀκριβής, τότε, τὸ ὁλοκλήρωμά της, ἐπί μιᾶς καμπύλης c, ἐξαρτάται μόνον ἀπό τὰ ἄκρα τῆς καμπύλης καὶ ὄχι ἀπό τήν μορφή της εἶναι, ὅπως λέμε, ἀνεξάρτητο τοῦ δρόμου. Συγκεκριμένα, ἂν c: [a,b] μιὰ καμπύλη, f ἡ πραγματικὴ συνάρ-τηση γιὰ τὴν ὁποία ω d f καὶ q c(a), p c(b), τότε ἰσχύει : ω df f ( q) f ( p ) C C Εἰδικά, στὴν περίπτωση μιᾶς κλειστῆς καμπύλης ( p q) θὰ εἶναι: C ω Τὰ ἀνωτέρῳ, εἶναι ἄμεσα ἀποτελέσματα τοῦ θεμελιώδους θεωρήματος τοῦ διαφορικοῦ λογισμοῦ. Ἄν μιὰ διαφορικὴ μορφὴ εἶναι ἀκριβὴς τότε εἶναι κλειστή. Τὸ ἀντίστροφο δὲν εἶναι ἀληθὲς! Ἡ κλειστότητα ἰσοδυναμεῖ μὲ τὴν ἀκρίβεια, μόνον ἂν ἡ διαφορικὴ μορφὴ εἶναι ὡρισμένη ἐπὶ ἑνὸς ἀπλῶς συνεκτικοῦ χωρίου αὐτὸ ἀποτελεῖ καὶ τὸ ἀντικείμενο τοῦ λήμματος τοῦ Poincaré, καὶ τῶν προτάσεων ποὺ τὸ ἀκολουθοῦν.
. Ἀπόδειξη: Πράγματι: ω: ἀκριβής φ: ω=dφ dω=d(dφ)= 4 dω= ω: κλειστή. Ἔστω, τώρα, F: R R ἕνα διανυσματικὸ πεδίο καὶ ω ἡ ἀντίστοιχος, αὐτοῦ, διαφορικὴ μονομορφή ἰσχύει ἡ ἰσοδυναμία: ἤτοι: F dω= Ὁ μηδενισμὸς τοῦ στροβιλισμοῦ ἑνὸς διανυσματικοῦ πεδίου ἰσοδυναμεῖ μὲ τὴν κλειστότητα τῆς ἀντιστοίχου διαφορικῆς μορφῆς.. Ἀπόδειξη: Ἀπὸ τὸν ὁρισμὸ τοῦ ἐξωτερικοῦ διαφορικοῦ, γιὰ τὴν ἔχουμε καὶ ἐπειδή: θὰ ἔχουμε: ω = i i= Fd dω = df d F F F df = d + d + d i i i i F F F F dω = d = d + d + d d = i i (*) i i i i i i i j j i i i F F F F F F d d + d d + d d + d d + d d + d d (**) F F F F F F - d d + - d d + - d d. ἀφ ὅπου ἡ σχέση d ω = ἰσοδυναμεῖ μὲ τὶς σχέσεις μηδενικοῦ στροβιλισμοῦ ἤτοι: F = dω=. 4 Ἰδιότητα τῶν διαφορικῶν μορφῶν: Τὸ διαφορικὸ τοῦ διαφορικοῦ μιᾶς μορφῆς εἶναι μηδέν. Ἤτοι d f d df.
Παρατήρηση: Τὸ ἐξωτερικὸ διαφορικὸ dv, μιᾶς συνάρτησης v: R R ὡς διαφορικὴ μονομορφή θὰ ἀντιστοιχεῖ στὸ πεδίο τὸ ὁποῖο προκύπτει ὡς ἡ κλίση Ρ v τῆς v. Κατόπιν τῶν ἀνωτέρω, τὸ θεώρημα μπορεῖ νὰ διατυπωθεῖ ὡς: Πρόταση :. Ἕνα διανυσματικὸ πεδίο F :, εἶναι ἀστρόβιλο (ἤτοι, ἡ ἀντίστοιχος μονομορφὴ ω εἶναι κλειστή), τότε καὶ μόνον τότε, ἂν ἡ ω εἶναι ἀκριβής. Σημειώνουμε, ὅτι στὴν περίπτωση κατὰ τὴν ὁποία ἡ ω ὁρίζεται σὲ ὁλόκληρο τὸν χῶρο (ἐδῶ R ) οἱ ἔννοιες τῆς κλειστότητας καὶ τῆς ἀκριβείας εἶναι ἰσοδύναμες. Παράδειγμα : ( κλειστῆς καὶ ἀκριβοῦς μορφῆς) Ἡ μονομορφὴ: ω = yzd + zdy + ydz εἶναι κλειστὴ γιατί: dω = d( yz) d + d( z) dy + d( y) dz = ydz Ω d + zdy Ω d + dz Ω dy + zd Ω dy + yd Ω dz + dy Ω dz = καὶ ἐπὶ πλέον ὁρίζεται σὲ ὁλόκληρο τὸν R. Παρατηροῦμε ὅτι, αὐτή, εἶναι ἀκριβής, μέ: ω = d yz. ( ) Κατ ἀντιστοιχίαν μὲ τὴν παρατήρηση, ὅταν ἡ ω δὲν ὁρίζεται σὲ ὁλόκληρο τὸν χῶρο R, ἡ ἀκρίβειά της (τοπική) συνεπάγεται τὴν κλειστότητά της, ἀφοῦ: ἂν $ v:ω= dv ή dω = d( dv) = ἡ κλειστότητά της, ὅμως, δὲν συνεπάγεται τὴν ἀκρίβεια πράγματι: Παράδειγμα : (κλειστῆς ἀλλὰ ὄχι ἀκριβοῦς μονομορφῆς) Θεωροῦμε τὴν μονομορφή : y ω = d - dy + y + y ὡρισμένη στὸ -, =:Α. Ἡ ω εἶναι κλειστή, διότι:
4 y y dω = d + dy d - d - dy dy = + y y + y + y y + y y = dy d - d dy = y + y + y y = - + d dy = + y y + y + y - + y - y + d dy = + y - + y + y d dy = dω = ω :κλειστή. Ὅμως, δέν εἶναι ἀκριβής διότι ἂν ἦταν θὰ ἔπρεπε 5 τὸ ὁλοκλήρωμά της, ἐπὶ οἱασδήποτε κλειστῆς καμπύλης, νὰ εἶναι. Θεωροῦμε τὴν μοναδιαία κυκλικὴ καμπύλη c μὲ κέντρο τὸ (,) : εἶναι: c t = συνt, ημt, t, π =συνt d = -ημtdt y=ημt dy = συνtdt ημt συνt ὁπότε: c *ω = (-ημt)dt - συνtdt = -dt ημ t + συν t ημ t + συν t Ἄρα: c(t) ω π π * c ω = - dt = -π ω: ὄχι ἀκριβής. Παρατήρηση : Ἡ ἀνωτέρω μονομορφή, δέν ὁρίζεται σὲ ὁλόκληρο τὸν χῶρο. Ἐπὶ πλέον, ἡ κλειστὴ καμπύλη c, ἐπὶ τῆς ὁποίας ὁλοκληρώσαμε τὴν ω, περικλείει τὸ σημεῖο (,) πού ἐξαιρεῖται ἀπὸ τὸ πεδίο ὁρισμοῦ τῆς ω. Ἂς δοῦμε, τώρα, τί θὰ συμβεῖ ἄν, ὁλοκληρώσουμε τὴν ἀνωτέρω διαφορική μορφή, κατά μῆκος μιᾶς καμπύλης, ἡ ὁποία δέν περικλείει τὸ ἐπίμαχο σημεῖο (,), στὸ ὁποῖο δὲν ὁρίζεται ἡ ω. Πρὸς τοῦτο θεωροῦμε τὴν μοναδιαία κυκλικὴ καμπύλη μὲ κέντρο τὸ σημεῖο (-,-): εἶναι τότε: γ t = + συνt, + ημt β β 5 Ἂν ω=df, τότε: ω = df = f( β) - f( α) ς ς εἰδικά: α α ς ω=. c
5 +ημt +συνt γ * ω = (-ημtdt) - (συνtdt) = (+ημt) + (+συνt) (+ημt) + (+συνt) -(ημt + συνt) - = dt. 9 + 4(ημt + συνt) ὁπότε: π -(ημt + συνt) - dt = 9 + 4(ημt + συνt) π t t t t συν - ημ συν + ημ t = - - Τοξεφ + Τοξεφ =. t t t t συν + ημ συν - ημ Στὸ ἴδιο ἀποτέλεσμα καταλήγουμε ἂν ὁλοκληρώσουμε τὴν ω, σὲ οἱαδήποτε ἄλλη κλειστὴ καμπύλη μὴ περικλείουσα τό (,). Ἔτσι, μποροῦμε νὰ ποῦμε ὅτι ἡ ω, καίτοι δὲν εἶναι ἀκριβὴς στὸ -,, εἶναι τοπικῶς ἀκριβὴς σὲ κάποια... ὑποσύνολά του, μὴ ἐγκλείοντα τὸ (,). Τά, ἀνωτέρω, θὰ χρησιμοποιηθοῦν προκειμένου νὰ ἀναλυθοῦν τὰ ἀποτελέσματα μιᾶς θεωρίας - μελέτης ἐπὶ τῆς ὁλοκληρωσιμότητας ποὺ διεξήγαγε ὁ Poincaré, ἡ ὁποία φέρει, ὡς κεντρκὴ πρόταση, τὸ περίφημο λῆμμα τοῦ Poincaré. Ἡ, ἐν λόγω, θεωρία στηρίζεται στὶς τοπολογικές ἔννοιες ποὺ παρουσιάσαμε στὴν προηγουμένη παράγραφο, ἤτοι στὶς ἔννοιες τῆς ὁμοτοπίας καὶ τῆς ἀπλῆς συνεκτικότητας. Στὸ ἑξῆς, θὰ ἀναφερόμαστε, πολλάκις, σὲ τοπικὲς ἰδιότητες καὶ συμπεριφορές τῶν θεωρουμένων συναρτήσεων, διαφορικῶν μορφῶν καὶ διανυσματικῶν πεδίων, στὴν περιοχὴ ἑνὸς σημείου τοῦ χωρίου ὁρισμοῦ n των, μέσα στὸν εὐκλείδειο χῶρο R καί, μάλιστα, χωρίς βλάβη τῆς n R. Ἔτσι, θὰ γενικότητας θὰ ὑποθέτουμε ὅτι πρόκειται γιὰ τὴν ἀρχὴ ἀναφερόμαστε στὸ φύτρο (germ) μιᾶς συνάρτησης, διαφορικῆς μορφῆς καὶ διανυσματικοῦ πεδίου στὸ n R 6. 6 Ὁρισμός: Θεωροῦμε τὸ σύνολο τῶν συναρτήσεων οἱ ὁποῖες ὁρίζονται στὴν περιοχὴ ἑνὸς σημείου ὡς ἑξῆς: n p R μὲ τιμὲς στὸ R. Ἐπὶ τοῦ συνόλου αὐτοῦ ὁρίζεται ἡ σχέση ἰσοδυναμίας «~» ( )( )( ) ( ) ( ) F F Ϋ $ V Ν U ΗU Ν U p Ξ V " Ξ V [ F = F ] p p p
6 ὅπου F : U m R καὶ m F : U R ἤτοι, οἱ F, F εἶναι ἰσοδύναμοι U, U U, ἂν ταυτίζονται σὲ κάποιο ἀνοιχτὸ ὑποσύνολο τοῦ U U ποὺ περιέχει τὸ p. Κάθε κλάση ἰσοδυναμίας *F+ καλεῖται φύτρο συνάρτησης στὸ σημεῖο p. Μιὰ διαφορικὴ μορφὴ ω μὲ ἀφιστῶσες φύτρα συναρτήσεων, στὴν ἀρχή τῶν ἀξόνων, ὀνομάζεται φύτρο τῆς μορφῆς στὴν ἀρχή.
7 4. Σὸ Λῆμμα τοῦ Poincaré. Θεωροῦμε στὸ ἀνοιχτὸ U ΜR n τὴν διαφορικὴ μορφὴ: n ω = ε α (,,... ) d. i= Σὲ κάθε σημεῖο τοῦ U ὁ πυρήνας i n i { ( ) } Kerω = v Ξ T U : ω v =, τῆς μορφῆς αὐτῆς, ἀποτελεῖ ἕνα ὑπερεπίπεδο τοῦ ἐφαπτομὲνου χῶρου n στὸ σημεῖο αὐτό δηλαδή, ἕνα ὑπερεπίπεδο τοῦ TΤ R. Τὸ πρόβλημα, ποὺ μελετοῦμε, ἀφορᾷ στὴν ὁλοκλήρωση τῆς, ἐν λόγῳ, κατανομῆς τῶν ὑπερεπιπέδων - πυρήνων τῆς ω δηλαδὴ στὴν ὕπαρξη ὑπερεπιφανειῶν στὸ U, τῶν ὁποίων, ὁ ἐφαπτόμενος χῶρος, σὲ κάθε σημεῖο των, νὰ ταυτίζεται μὲ τὸν πυρήνα τῆς ω στὸ σημεῖο αὐτό. Στὴν περίπτωση ποὺ ἡ ω ἀποτελεῖ τὸ διαφορικὸ κάποιας συνάρτησης (ὡρισμένης στὸ U), τὸ πρόβλημα ἔχει λυθεῖ, ἀφοῦ, οἱ ἰσοσταθμικές ὑπερεπιφάνειες, τῆς συνάρτησης αὐτῆς, ἀποτελοῦν τὶς ὁλοκληρωτικὲς ὑπερεπιφάνειες τῆς κατανομῆς τῶν πυρήνων. Πρὸς τοῦτο, ἂν μιὰ μονομορφὴ ω εἶναι κλειστή, τὸ λῆμμα τοῦ Poincaré παρέχει τὴν ἰκανὴ καὶ ἀναγκαία συνθήκη ὥστε, αὐτή, νὰ εἶναι καὶ ἀκριβής. Σὲ κάθε περίπτωση, ὅμως, ὅταν μιὰ μορφὴ εἶναι κλειστή, μποροῦμε νὰ διαμερίσουμε τὸ χωρίο ὁρισμοῦ της μὲ βάση τὸ ἐν λόγῳ λῆμμα σὲ περιοχές, ἐντὸς τῶν ὁποίων ἡ ω θὰ εἶναι τοπικῶς ἀκριβής. Ἔστω ω = n i= α d μιὰ διαφορικὴ μονομορφή, ὡρισμένη σὲ ἕνα i i ἀνοικτὸ σύνολο U n ἡ ω καλεῖται τοπικῶς ἀκριβὴς στὸ U, ἂν καὶ μόνον ἄν, γιὰ κάθε p U ὑπάρχει μιὰ γειτονιὰ V τοῦ p καὶ ὑπάρχει μιὰ συνάρτηση f p : V p, τέτοια ὥστε ω = dfp, σὲ κάθε σημεῖο τοῦ V. P p ω: τοπικῶς ἀκριβὴς στὸ U n ὁρ p U V p U ( f p : V p ) P p V ω df.
8 Ὅπως καὶ στὴν περίπτωση τῆς ἀκριβοῦς μονομορφῆς, ἔτσι καὶ στὴν περίπτωση τῆς τοπικῶς ἀκριβοῦς, ἰσχύει ἡ πρόταση: «Μιὰ τοπικῶς ἀκριβὴς μονομορφὴ θὰ εἶναι κλειστή.» Δηλαδή, σὲ κάθε σύνολο V U ἐντὸς τοῦ ὁποῖου ω = dfi (γιὰ κάποια f i : V V i ) θὰ ἰσχύει ὅτι dω= ἐδώ, ὅμως, τὸ ἀντίστροφο εἷναι ἀληθές! Θεώρημα (Λῆμμα τοῦ Poincaré τοπικὴ ἔκφραση): Ἔστω n ω = αi i i= d μιὰ διαφορικὴ μονομορφή, ὡρισμένη σὲ ἕνα n ἀνοικτὸ σύνολο U Ν R. Ἄν ἡ ω εἶναι κλειστή (dω= ), τότε αὐτὴ θὰ εἶναι τοπικῶς ἀκριβής.. Ἀπόδειξη: Χωρὶς βλάβη τῆς γενικότητας, θὰ περιοριστοῦμε στὴν περίπτωση n=, μὲ τὴν ω=αd+βdy+γdz, ὡρισμένη στὸ U. Ἡ ἀπόδειξη γιὰ n> εἶναι ἴδια ἀπλῶς οἱ ἀναγραφόμενες παραστάσεις θὰ ἦταν πολυπλοκότερες. Ἔστω τυχαῖο σημεῖο p,y,z U,καὶ ἔστω B p μιὰ ἀνοιχτὴ σφαῖρα μὲ κέντρο τὸ p, μὲ B p U. Γιὰ κάθε q,y,z Β p θεωροῦμε τὸ εὐθύγραμμο τμῆμα: ε t p t q p, t, τὸ ὁποῖο συνδέει τὰ q καὶ p. Ἐπειδὴ ἡ B p εἶναι σφαῖρα καὶ τὰ ἄκρα p καὶ q τοῦ εὐθυγράμμου τμήματος ε t ἀνήκουν στὴν B p, ἕπεται ὅτι ὁλόκληρο τὸ εὐθύγραμμο τμῆμα ε t θὰ περιέχεται στὴν B p ἤτοι: ε t B p. Θεωροῦμε τὴν συνάρτηση: f q εt ω ὁρ. ἐπικαμπυλίου ὁλοκληρώματος
9 α ε t t β ε t y t y y γ ε t z t z z dt t t t α ε t β ε t y y γ ε t z z dt (). Παραγωγίζοντας τὴν f ὡς πρὸς καὶ λαμβάνοντας ὑπ ὄψιν τὶς δύο πρῶτες σχέσεις τῆς: 7, ἔχουμε διαδοχικῶς: f β γ q t α t y y t z z dt α β γ y y z z t α dt α α α y y z z t α dt y z 8 d dt d α ε t t α dt α ε t dt dt α ε α q. Ὤστε: f q αq (). Ὁμοίως, παραγωγίζοντας τὴν () ὡς πρὸς y καὶ z, θὰ ἔχουμε κατ ἀντιστοιχία: f q βq (). y καὶ f q ζ γ q (4). 7 Ἡ κατωτέρω ἰσοδυναμία, μᾶς παρέχει τὴν ἰκανὴ καὶ ἀναγκαία συνθήκη ὥστε μιὰ μονομορφὴ ω=αd+βdy+γdz, νὰ εἶναι κλειστή: dω α β, α γ, β γ y z z y 8 Εἶναι: ε( t) ( t( ), y t( y y ), z t( z z ) = + - + - + - ή d α α α α( ε( t ) = ( - ) + ( y - y ) + ( z - z ) dt y z
4 Οἱ σχέσεις (), () καὶ (4) ἰσχύουν γιὰ κάθε q τὴν df=ω καὶ ἐπειδὴ αὐτὸ συμβαίνει γιὰ κάθε p ἀκριβὴς στὸ U. Β p καὶ ἰσοδυναμοῦν μὲ U, ἡ ω εἶναι τοπικῶς Τὸ προαναφερὀμενο λῆμμα τοῦ Poincaré - «ἂν μιὰ μονομορφὴ εἶναι κλειστὴ τότε εἶναι τοπικῶς ἀκριβής» - μᾶς κεντρίζει τὸ ἐνδιαφέρον νὰ βροῦμε τὶς προϋποθέσεις ἐκεῖνες ποὺ καθιστοῦν μιὰ κλειστὴ μονομορφή, «ὁλομερῶς» ἀκριβή. Ἀπὸ τὸ παράδειγμα τῆς: y y y ω d dy ὡρισμένης στὸu = -,, ἡ ὁποία εἶναι τοπικῶς - ἀλλὰ ὄχι «ὁλομερῶς» ἀκριβὴς στὸ U, ὑποψιαζόμαστε ὅτι οἱ ἐν λόγῳ προϋποθὲσεις θὰ ἀφοροῦν τὴν «μορφὴ» τοῦ πεδίου ὁρισμοῦ τῆς μονομορφῆς. Ἡ ὑποψία αὐτὴ ἐνισχύεται καὶ ἀπὸ τὸν ἑξῆς συλλογισμό: Τὸ ἐπικαμπύλιο ὁλοκλήρωμα μιᾶς μονομορφῆς ὁρίζεται κατὰ μῆκος μιᾶς συνεχοῦς 9 μόνον καμπύλης. Καὶ ἐπειδή, ἡ «ὁλομερὴς» ἀκρίβεια τῆς ω εἶναι ἰσοδύναμη μὲ τὸ ἀμετάβλητο τοῦ ὁλοκληρώματός της ἐπὶ καμπυλῶν ποὺ ἔχουν τὰ αὐτὰ σημεῖα περατώσεως (πρᾶγμα πού, μὲ τὴν σειρά του, ἰσοδυναμεῖ μὲ τὸν μηδενισμὸ τοῦ ὁλοκληρώματος ἐπὶ κλεστῶν καμπυλῶν), θὰ πρέπει ἐπὶ πλέον: Τὸ πεδίο ὁρισμοῦ τῆς ω, νὰ ἐπιτρέπει σὲ οἱαδήποτε συνεχὴ κλειστὴ καμπύλη τὴν δυνατότητα συνεχοῦς παραμορφώσεώς της, μέχρις ὅ- του νὰ καταστεῖ σημειακὴ καμπύλη. Κάτι τέτοιο δὲν συμβαίνει μὲ τὴν ω τοῦ παραδείγματος, στὸ χωρίο ὁρισμοῦ, τῆς ὁποίας, δὲν συμπεριλαμβάνεται τὸ (,). Ἡ μοναδιαία κυκλικὴ καμπύλη c, μέ κέντρο τὸ σημεῖο (,), μπορεῖ νὰ παραμορφωθεῖ συνεχῶς καὶ νὰ ἐκφυλισθεῖ σὲ σημειακὴ καμπύλη ἀφοῦ τὸ (,) δὲν ἀνήκει στὸ ἐσωτερικό της μὲ ἀποτέλεσμα τὸ ω νὰ μηδενίζεται δὲν συμβαίνει ὅμως τὸ ἴδιο μὲ τὴν μοναδιαία κυκλικὴ καμπύλη c, κέντρου (,). Τὸ (,) ἀπαγορεύει στὴν τελευταία μιὰ συνεχὴ παραμόρφωση ποὺ θὰ τὴν ἐξεφύ- c 9 Ἡ ἔννοια τῆς κατὰ τμήματα συνεχοῦς καμπύλης δὲν μπορεῖ νὰ ἐφαρμοστεῖ στὴν θεωρία τῆς ὁμοτοπίας ἐκεῖ ὁ δρόμος ὁρίζεται ὡς «αὐστηρῶς» συνεχὴς ἀπεικόνηση.
4 λιζε σὲ σημεῖο γιὰ τὸν λόγο αὐτόν τὸ ω δὲν μπορεῖ νὰ μηδενιστεῖ (βλ. κατωτέρω θεώρημα). c Ὅμως, ἡ ἀπαίτηση, τῆς ὕπαρξης συνεχοῦς καμπύλης μεταξὺ δύο σημείων τοῦ χωρίου ὁρισμοῦ τῆς ω, μᾶς ἀπάγει στὴν ἔννοια τῆς δρομοσυνεκτικότητας αὐτοῦ. Ἡ δὲ δυνατότητα συνεχοῦς παραμόρφωσης τῶν καμπυλῶν, ἐπιβάλλει τὴν μονομέλεια τῆς θεμελιώδους ὁμάδας ὁμοτοπίας τοῦ χωρίου ὁρισμοῦ τῆς ω. Ξεκινάμε, κατ ἀρχάς, μὲ τὴν διαπίστωση ὅτι τά ἐπικαμπύλια ὁλοκληρώματα κλειστῶν μορφῶν εἶναι ἀναλλοίωτα ὡς πρὸς καμπύλες ὁμότοπες μεταξύ τους συγκεκριμένα ἰσχύει τὸ ἀκόλουθο θεώρημα: Θεώρημα : Ἔστω ω μιὰ κλειστὴ μονομορφή, ὡρισμένη σ ἕνα ἀνοικτὸ σύνολο U ἐντὸς τοῦ U τότε: n Ν R, καὶ ἕστωσαν δύο συνεχεὶς ὁμοτοπικὲς καμπύλες c καὶ c c ω ω c. Ἀπόδειξη: Ἐπειδἡ ω εἶναι κλειστὴ (dω=),θὰ εἶναι καὶ τοπικῶς ἀκριβής. Ἀφοῦ, οἱ c καὶ c εἶναι ὁμότοπες, ὑπάρχει,μεταξύ τους, μιὰ ἀπεικόνιση ὁμοτοπίας h:,, U. Ἔστω, B i } ἕνα κάλυμμα τοῦ συνόλου h,, U h:,, U, ἀποτελούμενο ἀπὸ ἀνοικτὲς σφαῖρες B i, τέτοιες ὥστε, ὁ περιορισμὸς ω νὰ εἶναι ἀκριβὴς γιὰ κάθε i. B i Ὅμως, τὸ καρτεσιανὸ γινόμενο R :,, εἶναι συμπαγές ὁπότε τὸ κάλυμα W i : h B b, διαθέτει ἕναν ἀριθμὸ Lebesque, - ἔστω d i γιὰ ὅλα τὰ i ἄρα κάθε ὑποσύνολο τοῦ R, διαμέτρου μικρότερης τοῦ d, περιέχεται σὲ κάποιο W. i Ὑποδιαιροῦμε, τώρα, τὸ ὁρθογώνιο R σὲ μικρὰ ὁρθογώνια ποὺ ὁρίζονται ἀπὸ τὶς εὐθεῖες s t t j καὶ k R jk s κατὰ τέτοιο τρόπο, ὥστε ἡ διάμετρός τους νὰ εἶναι μικρότερη τοῦ ἀριθμοῦ d τότε ἡ ω θὰ εἶναι τοπικῶς ἀκριβὴς μέσα σὲ καθ ἕνα ἀπὸ αὐτά ὁπότε:
4 R jk ω (). β h,t c Σχῆμα α c R jk h,t β β j k α jk R jk α j k Σχῆμα β β jk τετραγώνου Ἂν ὀνομάσουμε μὲ R jk α jk, β jk, α j k καὶ β j k τὶς πλευρὲς τοῦ, καὶ θεωρήσουμε αὐτὲς ἐφοδιασμένες μὲ τὸν φυσικὸ προσανατολισμό ὁ ὁποῖος ἐπάγεται αὐξανομένων τῶν s καὶ t οἱ () δίνουν: ω ω ω ω ω j k j k R β jk α j k β j k α jk j k (). Αὐτό, ὅμως, ποὺ ἀμέσως παρατηροῦμε, εἶναι ὅτι καθε πλευρά, ἑνὸς ἑκάστου τῶν R, ἡ ὁποία βρίσκεται στὸ ἐσωτερικὸ τοῦ R, ἐμφανίζεται jk στὸ ἀνωτέρω ἄθροισμα δύο φορὲς (σάν σύνορο μέ ἕνα ἐκ τῶν ὁμόρων
4 του: R j k, R j k, R j k, R j k.) καὶ μάλιστα μὲ ἀντίθετο πρόσημο διότι ἡ κοινὴ πλευρά, δύο ὁμόρων τετραγωνιδίων, ἔχει ἀντίθετο προσανατολισμὸ σὲ κάθε ἕνα ἀπὸ αὐτά ἔτσι τὰ ἀντίστοιχα ὁλοκληρώματα ἀλληλαναιροῦνται καὶ ἀπομένουν, μόνον, τὰ ὁλοκληρώματα τῶν ἐξωτερικῶν πλευρῶν τοῦ R ἂνἀθροίσουμε αὐτά, ἀνὰ πλευρὰ τοῦ R, ἡ () ἀπλοποιεῖται στήν: ω ω ω ω (). β c β c ὅπου β h, t καὶ β h,t εἶναι τὸ ἀρχικὸ καὶ τελικὸ σημεῖο ἀμφοτέρων τῶν ὁμοτόπων καμπυλῶν, καθῶς καὶ κάθε ἐνδιαμέσου καμπύλης c(t) ἄρα τά, ἐπ αὐτῶν, ὁλοκληρώματα θὰ μηδενίζονται (ἐπικαμπύλια ὁλοκληρώματα σὲ καμπύλη ἐκφυλισμένη σὲ σημεῖο) καὶ ἡ () γίνεται: ω ω ω ω. c c c c Ἂν ἀπὸ τὸν ὁρισμὸ τῆς ὁμοτοπίας ἀφαιρέσουμε τὴν h,s γ γ a, h,s γ γ b η συνθήκη: ἀφήνοντας, ἔτσι, ἐλεύθερη τὴν μεταβολὴ καὶ τῶν ληκτικῶν σημείων, τότε λέμε ὅτι ἔχουμε ἐλεύθερη ὁμοτοπία. Τὸ προηγούμενο θεώρημα, προφανῶς, δὲν ἰσχύει γιὰ ἐλευθέρως ὁμοτοπικὲς καμπύλες, ἀφοῦ (σχέση ()) οἱ καμπύλες β καὶ β δὲν θὰ εἶναι σημεῖα θὰ εἶναι οἱ καμπύλες μεταβολῆς τοῦ ἀρχικοῦ καὶ τελικοῦ σημείου ἀντιστοίχως. Τὸ προηγούμενο θεώρημα ἰσχύει καὶ γιὰ κλειστὲς ὁμοτοπικὲς καμπύλες. Στὴν περίπτωση αὐτή, ἂν θεωρήσουμε τὶς καμπύλες β καὶ β ἐλευθέρως ὁμοτοπικὲς, τότε αὐτὲς θὰ εἶναι μιὰ καὶ ἡ αὐτὴ καμπύλη ὁπότε τὰ ὁλοκληρώματα ἐπ αὐτῶν θὰ εἶναι ἴσα θὰ ἀλληλαναιροῦνται στὴν σχέση () καὶ τὸ ἀποτέλεσμα θὰ εἶναι, πάλι: c ω ω. c Ἔτσι στὴν περίπτωση τῶν κλειστῶν καμπυλῶν, τὸ θεώρημα γενικεύεται, γιὰ ἐλευθέρως ὁμοτοπικὲς καμπύλες, στὴν ἑπομένη πρόταση:
44 Πρόταση : U Ἂν ω εἶναι μιὰ κλειστὴ μονομορφὴ ὡρισμένη σ ἕνα σύνολο n Ν R καί, ἂν c καὶ c δύο ἐλευθέρως ὁμοτοπικὲς κλειστὲς καμπύλες ἐντὸς τοῦ U, τότε: c ω ω. c Πόρισμα : Ἔστω ἡ ω ὅπως ἀνωτέρω καὶ c μιὰ κλειστὴ καμπύλη, ἐλευθέρως ὁμοτοπικὴ (ἢ εἰδικότερα: ὁμοτοπικὴ) μὲ ἕνα σημεῖο τότε: c ω. Θεώρημα : (Λῆμμα τοῦ Poincaré ὁλομερὴς ἔκφραση ἔκφραση μέσα σὲ κάθε συνεκτικὴ συνιστῶσα): Κάθε κλειστὴ μονομορφὴ ω, ἡ ὁποία ὁρίζεται σὲ ἕνα ἀπλῶς συνεκτικὸ χωρίο U n Ν R, εἶναι ἀκριβής.. Ἀπόδειξη: Ἡ δρομοσυνεκτικότητα εἶναι αὐτὴ ποὺ ἐξασφαλίζει τὴν ὕπαρξη συνεχῶν καμπυλῶν οἱ ὁποῖες συνδέουν οἱοδήποτε ζεῦγος σημεί- n ων τοῦ U. (Αὐτή, γιὰ τὸν R καὶ τὰ ὑποσύνολά του, εἶναι ἰσοδύναμη μὲ τὴν συνεκτικότητα καίτοι, ἐν γένει, ἡ δρομοσυνεκτικότητα εἶναι ἔννοια εὐρύτερη τῆς συνεκτικότητας.) Ἡ ὁμοτοπία, ἐξ ἄλλου, οἱουδήποτε ζεύγους καμπυλῶν μὲ κοινὰ ἄκρα, ἐξασφαλίζει (ἀπὸ τὸ προηγούμενο θεώρημα ) τὴν ἰσότητα τῶν ἐπικαμπυλίων ὁλοκληρωμάτων τῆς ω αὐτό, μὲ τὴν σειρά του, καθιστᾷ τὴν ω ἀκριβὴ στὸ U. Παραδείγματα:. Κλειστῆς καὶ ἀκριβοῦς μονομορφῆς (Poincaré). Θεωροῦμε τὴν μονομορφὴ: εἶναι: y z ω = e d + ye dy + e dz y ( ) ( ) z dω d e d d ye dy de dz = Ω + Ω + Ω = y y ( ) ( ) = + Ω + + Ω + Ω = e e d d ye y e dy dy e z dz dz
45 Ἄρα, ἡ ω εἶναι κλειστή καὶ ἐπειδὴ ὁρίζεται σὲ ὁλόκληρο τὸ R θὰ εἶναι «ὁλομερῶς» ἀκριβής πράγματι, ἡ συνάρτηση f: R R, μέ: ( ) y f,y,z = e + e + e z παράγει τὴν ω, ἀφοῦ: ζ y φ z y df = d ηe + e + e χ = e d + ye dy + e z dz = ω. ηθ ψ. Ὁμοίως, ἡ συνάρτηση g: R ( ) R, μέ: g,y,z = + y + y + e z παράγει, μὲ τὸ ἐξωτερικὸ διαφορικό της, τὴν μονομορφή: ( ) ( ) z θ : = dg = + y d + + y dy + e dz ἡ ὁποία, ἀφοῦ ὁρίζεται σὲ ὁλόκληρο τὸ R, εἶναι ἀκριβής.. Κλειστή, ὁλικῶς ἀκριβής (Poincaré). Ἡ διαφορικὴ μορφὴ: ἔχει ἐξωτερικὸ διαφορικό: y ω = d + e dy + dz y y dω = de Ω dy = e dy Ω dy = συνεπῶς εἶναι κλειστή καί, ἐπειδὴ ὁρίζεται σὲ ὁλόκληρο τὸν χῶρο εἶναι ὁλικῶς ἀκριβής πράγματι, γιὰ τὴν συνάρτηση f: R R μέ: R, ἔχουμε: ( ) y f,y,z = + e + z Ὁ ἔλεγχος τῆς κλειστότητας μιᾶς διαφορικῆς μονομορφῆς ω = αd + βdy + γdz μπορεῖ νὰ ἐπιτευχθεῖ μέσῳ τῆς σύζευξης τῶν σχέσεων: α β α γ β γ = - & = - & = - y z z y Οἱ ἀνωτέρω, προκύπτουν, εὐθέως, ἀπὸ τὸν ὁρισμὸ dω=, τῆς κλεστότητας..
46 y y df d ye dy zzdz d e dy dz ω = + + = + + =. 4. Κλειστῆς καὶ τοπικῶς ἀκριβοῦς μονομορφῆς (Poincarè). Ἡ μονομορφὴ (τοῦ παραδείγματος τῆς ): y ω = d - dy + y + y ἡ ὁποία ὁρίζεται στὸν -,, δεὶξαμε ὅτι εἶναι κλειστή, ἀλλὰ, ὄχι ἀκριβής. Ὅμως, σύμφωνα μὲ τὸ Θεώρημα, αὐτὴ θὰ εἶναι τοπικῶς ἀκριβής ἐπὶ πλέον, λόγῳ τοῦ Θεωρήματος, θὰ εἶναι ἀκριβὴς μέσα σὲ κάθε συνεκτικὴ συνιστῶσα τοῦ -,, ἡ ὁμάδα ὁμοτοπίας τοῦ ὁποίου εἶναι ἰσόμορφος τοῦ κύκλου συνεπῶς τοῦ. Ἔτσι, τὸ ἔργο, τὸ παραγόμενο ἀπὸ τὸ πεδίο τὸ ἀντίστοιχο τῆς ω, κατὰ μῆκος ἑνὸς κλειστοῦ δρόμου εἶναι k- πλάσιο τοῦ -π ὅπου, k Ξ Z ὁ ἀριθμὸς ποὺ ἀντιστοιχεῖ στὴν συνεκτικὴ συνιστῶσα στὴν ὁποία ἀνήκει ὁ κλειστὸς δρόμος ἤτοι, τὸ ἄθροισμα τῶν προσανατο-λισμένων πλῆρων στροφῶν γύρω ἀπὸ τὸ σημεῖο (,). 5. Κλειστὴ καὶ τοπικῶς ἀκριβής (Poincaré). Τὸ πεδίο τοῦ παραδείγματος τῆς ἀντιστοιχεῖ στὴν διαφορικὴ μονομορφὴ : z+ y z- - ω = d + dy + dz + y ( + y) ( + y) ἡ ὁποία ὁρίζεται (ὅπως καὶ τὸ ἀντίστοιχο πεδίο) στὸν μὴ ἀπλῶς συνεκτικὸ c χῶρο Π = R - (, -,z) ἤτοι σὲ ὁλόκληρο τὸν χῶρο, ἂν ἐξαιρεθεῖ τὸ { } ἐπίπεδο Π {(,, z) } = -. Ἡ, ἐν λόγῳ, μορφὴ εἶναι κλειστή πράγματι: z + z- - dω = d d + d dy + d dz = ( + y) ( + y) ( + y) Χρησιμοποιοῦμε τὸν συμολισμὸ,y,z, γιὰ τὶς συντ/νες, ἀντὶ τοῦ,, τοῦ παραδείγματος, χάριν εὐκολίας στὶς πράξεις.
47 z + y z + y z- z- dy Ω d + dzω d + dω dy + dzω dy + ( + y) ( + y) ( + y) ( + y) y z z - - + dω dz + y dyω dz = + y + y - y- z - y- z dy Ω d + dz Ω d + d Ω dy + dz Ω dy + ( + y) ( + y) ( + y) ( + y) + dω dz + dy Ω dz = ( + y) ( + y) ζ z y z y φ ζ φ - + - + d dy - Ω + - dz Ω d + η ( y) ( y ) χ ( y) ( y θ + + ψ θη + + ) ψχ ζ φ + - dy Ω dz = ( y) ( y). η θ + + χψ Ὡς ἐκ τούτου (Λῆμμα τοῦ Poincaré), ἡ ω θὰ εἶναι ἀκριβὴς σὲ κάθε μιά, ἀπὸ τὶς δύο συνεκτικὲς συνιστώσες τοῦ Π c c ἤτοι, στοὺς ἡμιχῶρους Π, Π c τοῦ R, τοὺς ὁποίους «δημιουργεῖ» ἡ παρουσία τοῦ ἐπιπέδου Π. Πράγματι c οἱ συναρτήσεις f:π R,, i=,, μέ: i i i ( ) f,y,z =- y+ z + y ἔχoυν ἐξωτερικὸ διαφορικό: y + z y + z y + z dfi = - d- y dy- z dz = + y + y + y y+ z z- d + dy- dz = ω, + y ( + y) ( + y) σὲ κάθε μιὰ τῶν c Π καὶ c Π. ὑπενθυμίζουμε ὅτι: ἡ ὕπαρξη συνάρτησης δυναμικοῦ ἑνὸς πεδίου ἰσοδυναμεῖ μὲ τὴν ἀκρίβεια τῆς, ἀντιστοίχου αὐτοῦ, διαφορικῆς μορφῆς γενικότερα: ἡ ὕπαρξη τοπικῆς συνάρτησης δυναμικοῦ ἑνὸς πεδίου ἰσοδυναμεῖ μὲ τὴν τοπικὴ ἀκρίβεια τῆς, ἀντιστοίχου αὐτοῦ, μορφῆς
48 Ἡ κλειστότητα τῆς ω συνεπάγεται, ἑπομένως, τὴν ἀκρίβεια αὐτῆς (μέσα σὲ ἕνα ἀπλῶς συνεκτικὸ χωρίο), ἄρα καὶ τὴν ὁλοκλήρωση τῆς κατανομῆς τῶν πυρήνων ποὺ ὁρίζει. Τὸ ἑπόμενο βῆμα ἀφορᾷ στὴν μελέτη τῆς ὁλοκλήρωσης, τῆς κατανομῆς αὐτῆς, ὅταν ἡ συνθήκη κλειστότητας τοῦ Λήμματος τοῦ Poincaré δὲν πληροῦται. Τὰ ἀνωτέρω μποροῦν νὰ γενικευθοῦν σὲ n-διαστάτους πολλαπλότητες. Μιὰ μονομορφή, ὡρισμένη σὲ μιὰ πολλαπλότητα, ὁρίζει μιὰ κατανομὴ ὑπερεπιπέδων τοῦ ἐφαπτομένου χῶρου, ἀφοῦ ὁ πυρήνας της σὲ κάθε σημεῖο μὴ μηδενισμοῦ της ἀποτελεῖ ἕνα ὑπερεπίπεδο (ὑπόχωρο συνδιάστασης ) τοῦ ἐφαπτομένου χῶρου. Στὴν περίπτωση αὐτή, τὸ πρόβλημα, τῆς ὁλοκλήρωσης τῆς, ἐν λόγῳ, κατανομῆς, συνίσταται στὴν εὕρεση ὁλοκληρωτικῶν ὑπερεπιφανειῶν γιὰ τὴν κατανομή. Ὅπως στὴν περίπτωση ἀκριβῶν μονομορφῶν ἐπὶ τοῦ R, ἔτσι καὶ στὴν περίπτωση ἀκριβῶν μονομομορφῶν ἐπὶ n-διαστάτων πολλαπλοτήτων, οἱ ὁλοκληρωτικὲς ὑπερπιφάνειες τῆς κατανομῆς τῶν πυρήνων μιᾶς ἀκριβοῦς μονομορφῆς, θὰ εἶναι οἱ ἰσοσταθμικὲς ἐπιφάνειες τῆς συνάρτησης, ἀπὸ τὸ ἐξωτερικὸ διαφορικὸ τῆς ὁποίας προέρχεται ἡ μονομορφή. Γιὰ τὸν λόγο αὐτόν, καθίσταται ἐπιτακτικὴ ἡ ἀνάγκη ὕπαρξης κριτηρίου γιὰ τὴν ἀκρίβεια τῶν μονομορφῶν. Τὴν ἀνάγκη αὐτὴ ἔρχεται νὰ καλύψει τὸ λῆμμα τοῦ Poincaré καὶ ἡ, ἀνωτέρω παρατιθεμένη, σχετικὴ θεωρία ἡ ὁποία ἐξελίσσεται γύρω ἀπὸ αὐτό. Συνοψίζοντας τὰ ἀποτελέσματα τῆς θεωρίας, αὐτῆς τὴν ὁποία, χάριν συντομίας, θὰ ἀποκαλοῦμε λῆμμα τοῦ Poincaré, χωρίς, ὅμως, νὰ τὴν περιορίζουμε μόνον στὸ τελευταῖο μιὰ μονομορφὴ ω θὰ εἶναι ἀκριβής, ἂν καὶ μόνον ἄν, ἰσχύουν τά: α) ἡ ω εἶναι κλειστή (ἤτοι: dω= ) καί: β) ἡ ω εἶναι ὡρισμένη ἐπὶ ἑνὸς ἀπλῶς συνεκτικοῦ χωρίου. Ἡ πρακτικὴ σημασία τοῦ λήμματος τοῦ Poincaré ἔγκειται στὴν δυνατότητα ἐπίλυσης τοῦ προβλήματος τῆς ὁλοκληρωσιμότητας, οἱασδήποτε κλειστῆς μονομορφῆς ω, μέσα σὲ κάθε συνεκτικὴ συνιστῶσα τοῦ χωρίου ὁρισμοῦ της (στὴν περίπτωση αὐτή, μιλᾶμε γιὰ τὴν τοπικὴ ἀκρίβεια τῆς ω). Ἡ συρραφὴ τῶν, ἐπὶ μέρους, τοπικῶν ἀποτελεσμάτων παρέχει τὴν εἰκόνα τῆς κατανομῆς τῶν ὁλοκληρωτικῶν ὑπερεπιφανειῶν σὲ ὁλόκληρο τὸ πεδίο ὁρισμοῦ τῆς ω.
49 Ὅταν μιὰ μονομορφὴ ω δὲν εἶναι κλειστή, τὸ πρόβλημα τῆς ὁλοκληρωσιμότητας δὲν εἶναι πάντα ἐπιλύσιμο. Ἐν τούτοις, ἐπειδὴ τὸ γινόμενο τῆς μορφῆς μὲ μιὰ μὴ μηδενιζομένη συνάρτηση δὲν ἐπηρεάζει τὶς λύσεις τῆς Pfaff ἐξίσωσης ω=, εἶναι δυνατὸν νὰ ὑπάρξει, τέτοια, συνάρτηση Η γιὰ τὴν ὁποία ἡ μορφὴ Ηω νὰ εἶναι κλειστή ἄρα, τοπικῶς (ἂν ὄχι ὁλικῶς) ἀκριβής ὁπότε, τὸ πρόβλημα τῆς ὁλοκληρωσιμότητας ἐπιλύεται καὶ πάλι κατὰ τὰ προαναφερθέντα. Ἡ ἀνάγκη ἐλέγχου τῆς ὕπαρξης ὁλοκληρωτικοῦ παράγοντα ὁδήγησε τὸν Frobenius στό, κατωτέρω, κριτήριο: «Μιά, μὴ μηδενιζομένη, μορφὴ ω δέχεται ὁλοκληρωτικὸ παράγοντα, ἂν καὶ μόνον ἄν: ωωdω Ί».