KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα"

Transcript

1 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν ( ) + Το ερώτηµα που τίθεται είναι εάν µπορεί να επιλυθεί η εξίσωση ως προς κάποια µεταβλητή συναρτήσει των υπολοίπων Αν για παράδειγµα µπορούσαµε να λύσουµε την παραπάνω εξίσωση πχ ως προς αυτό θα σήµαινε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι της µορφής Φ (,, (, )) Στην πράξη αυτό γενικά είναι δύσκολο και όταν γίνεται συνήθως δεν οδηγεί σε µοναδικότητα λύσεων Για παράδειγµα η εξίσωση της µοναδιαίας σφαίρας + + µπορεί να επιλυθεί ως προς αλλά η λύση δεν είναι µοναδική διότι 78 ±, + Προφανώς η εξίσωση σφαίρας µπορεί να επιλυθεί είτε ως προς ή µε ανάλογα αποτελέσµατα Παρατηρούµε όµως ότι αν περιοριστούµε αυστηρά σε κάποιο ηµισφαίριο τότε υπάρχει µοναδική λύση Το ερώτηµα λοιπόν που τίθεται είναι το εξής: Φ,, είναι µια εξίσωση ως προς τις µεταβλητές,,, P,,, είναι ένα σηµείο που ικανοποιεί την Αν ( ) και ( ) παραπάνω εξίσωση (δηλαδή Φ ( P ) ), τότε υπάρχει κάποια περιοχή π ( P ) ώστε η εξίσωση Φ ( ) να λύνεται µονοσήµαντα ως,,, ε,, είναι µια πλεγµένη συνάρτηση των µεταβλητών,, µέσω της σχέσης Φ (,, ) Το επόµενο Θεώρηµα δίνει µία ικανή συνθήκη όσον αφορά την ύπαρξη µιας τέτοιας συνάρτησης προς ; Αν η απάντηση είναι θετική τότε λέµε ότι η ( ) Θεώρηµα 3 Eστω ( ) Φ,, είναι µία συνάρτηση + µεταβλητών µε συνεχείς µερικές παραγώγους σε κάποια περιοχή π ε ( P ) σηµείου P,,, έτσι ώστε ( )

2 Φ Φ ( P ) και ( P ) Τότε υπάρχει ορθογώνιο χωρίο εντός της π ε ( P ) της µορφής (για κάποια, i { (,,, ) :, i i i } T P < a < b a b> ) τέτοιο ώστε για κάθε η εξίσωση ( ) ( ) { i i i} T,, : Q < a,, εντός του χωρίου Φ,, λύνεται µονοσήµαντα ως προς, δηλαδή,,, όπου οι τιµές της ανήκουν στο διάστηµα { : } I < b Επιπλέον η είναι συνεχώς παραγωγίσιµη στο Τ και για κάθε Q T ισχύει Φ ( P) i ( Q), ( P T) i Φ ( P) Σηµείωση O τύπος της παραγώγου στο παραπάνω Θεώρηµα προκύπτει εύκολα από το κανόνα αλυσίδας λαµβάνοντας υπόψη την ισότητα Πράγµατι έχουµε: ( ( ) ) Φ,,,, ( ) dφ,,,, Φ d + +Φ d +Φ d Φ d + +Φ d +Φ d + + d Φ +Φ d + + Φ +Φ d Φ i Φ +Φ i,,, i i i Φ Εφαρµογή (α) Eφαπτόµενο επίπεδο επιφάνειας σε πλεγµένη µορφή Εστω τώρα µία επιφάνεια S δίνεται σε πλεγµένη µορφή από τη σχέση (,, ) 79

3 Θα λέµε ότι µια ευθεία είναι εφαπτόµενη της επιφάνειας S σε σηµείο Ρ αν είναι εφαπτόµενη σε κάποια καµπύλη της επιφάνειας που διέρχεται από το Ρ Aν στο σηµείο Ρ δεν υπάρχει κάποια από τις µερικές παραγώγους,, ή αν ισχύει ( P) ( P) ( P), τότε το Ρ καλείται ανώµαλο σηµείο της επιφάνειας Αντιθέτως αν όλες οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στο Ρ και τουλάχιστον µία εξ αυτών είναι µη µηδενική τότε λέµε ότι το Ρ είναι οµαλό σηµείο της επιφάνειας S r είναι µια καµπύλη πάνω στην επιφάνεια S Τότε κάθε σηµείο της καµπύλης ικανοποιεί την εξίσωση ( t, t, t ) Εστω τώρα c: () t ( (), t (), t ()), t t [ a, b] Αν Ρ είναι οµαλό σηµείο της S και η c διέρχεται από το Ρ, δηλαδή P ( ( t), ( t), ( t)) για κάποιο t, παραγωγίζοντας και χρησιµοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας βρίσκουµε ( P) ( t ) + ( P) ( t ) + ( P) ( t ) ή ισοδύναµα ( ) ( P) ( t ), ( t ), ( t ) Αλλά είναι γνωστό ότι το διάνυσµα ( t ) ( ( t ), ( t ), ( t )) r έχει τη διεύθυνση της εφαπτόµενης ευθείας της καµπύλης c στο Ρ, συνεπώς το διάνυσµα κλίσης ( P ) είναι κάθετο στην καµπύλη c To ίδιο συµβαίνει και για όλα τα άλλα εφαπτόµενα διανύσµατα στο Ρ, οπότε συµπεραίνουµε ότι όλα τα εφαπτόµενα διανύσµατα στο Ρ ανήκουν στο ίδιο επίπεδο το οποίο καλούµε εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας S στο Ρ Αν Ρ (ρ,ρ,ρ 3 ) τότε η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου είναι ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) ( P) + ( P) + ( P) 3 και το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το διάνυσµα κλίσης ( P ) Εφαρµογή (β) Ευθεία κάθετη σε επιφάνεια Εστω µια διαφορίσιµη επιφάνεια : (,, ) P,, είναι ένα οµαλό σηµείο αυτής Tότε το διάνυσµα κλίσης ( P ) είναι κάθετο στο εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας στο P και συνεπώς η διανυσµατική εξίσωση της καθέτου (ευθείας) της επιφάνειας στο P δίνεται από τη σχέση S και 8

4 ε : λ, λ r ( t) OP + ( P ) Εφαρµογή (γ) Εφαπτόµενη ευθεία καµπύλης που δίνεται ως τοµή δύο επιφανειών Εστω η καµπύλη c που ορίζεται ως τοµή δύο διαφορίσιµων επιφανειών S : (,, ) και S : (,, ) g Τότε γράφουµε Εστω P (,, ) { (,, ), (,, ) } c g είναι οµαλό σηµείο της καµπύλης c Tότε το εφαπτόµενο διάνυσµα της καµπύλης c στο σηµείο P είναι κάθετο στα διανύσµατα κλίσης ( P ) και gp ( ) αντιστοίχως Αρα αν r () t είναι P r t, τότε µια παραµετροποίηση της καµπύλης και αν r t ( P) g( P) είναι ένα διάνυσµα παράλληλο στην εφαπτόµενη ευθεία της καµπύλης c στο σηµείο P και συνεπώς η διανυσµατική εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας της c στο P δίνεται από τη σχέση ( t) ( t ) ( t ) Σύστηµα πλεγµένων συναρτήσεων ε : r r + λ r, λ ( ) Φ,,,,, m Θεώρηµα 3 Εστω είναι m το πλήθος Φ m(,,,,, m) εξισώσεων, όπου οι Φ,, Φ m είναι συναρτήσεις m+ µεταβλητών µε συνεχείς µερικές παραγώγους σε κάποια περιοχή π ε ( P ) σηµείου P,,,,, έτσι ώστε ( m) D( Φ,, Φm) Φ i ( P ) i,, m και ( P ) D (,, ) Τότε υπάρχει ορθογώνιο χωρίο εντός της π ( P ) της µορφής {,,,,, m : i i i, j j j} T P < a < b ε m 8

5 (για κάποια a, b >, i,,, j,, m) τέτοιο ώστε για κάθε Q,, εντός του χωρίου i j { i i i} T,, : Q < a το σύστηµα εξισώσεων ( ) Φ i,,,,, να λύνεται µονοσή- µαντα ως προς i, δηλαδή (,, ), m m(,, ) και οι τιµές των συναρτήσεων j να ανήκουν στο διάστηµα I : < b j,, Επιπλέον κάθε συνάρτηση j είναι { } j j j συνεχώς διαφορίσιµη στο Τ και για κάθε Q T ισχύει D( Φ,, Φm) ( P) ( Q) D(,,,,,, ), ( P T) j j i j+ m D( Φ,, Φm) i ( P ) D (,, ) m Εφαρµογή Αντιστροφή συστήµατος Αν στο Θεώρηµα 3 πάρουµε m και θεωρήσουµε την ειδική περίπτωση Φ i i i(,, ), i,, τότε το Θεώρηµα 3 µας δίνει τοπικά τη λύση ενός συστήµατος -εξισώσεων µε -αγνώστους (τις µεταβλητές,, m ) µέσω του συστήµατος Φ,,,, i,, i i Το παραπάνω σχετίζεται άµεσα µε την ύπαρξη αντίστροφης απεικόνισης ενός πεδίου F : D E Με άλλα λόγια έστω F: D E : Q F P ( P),, ( P), ( P) i i είναι ένα διαφορίσιµο πεδίο σε κάποια περιοχή σηµείου P έτσι ώστε ( ) D(,, ) D,, ( P) 8

6 - Τότε υπάρχει η αντίστροφη απεικόνιση ( Q) (,, ) περιοχή σηµείου Q ( P ) περιοχής και ισχύει Επιπλέον F σε κάποια F, είναι διαφορίσιµη εντός αυτής της - ( Q) ( ) ( P) F F (,, ) ( ) ( ) D(,, ) D Q D,, D,, ( P) Αν το πεδίο F είναι αντιστρέψιµο στο Ε τότε καλείται µετασχηµατισµός 3 Tύπος του Τalor Θεώρηµα 33 Εστω : E είναι m+-φορές διαφορίσιµη συνάρτηση επί ανοικτού συνόλου E και P E Τότε υπάρχει περιοχή π ε ( P ) έτσι ώστε k m+ m d P ( P) d P P θ ( P) + ( ) k, P π ε P, k! ( m+ )! όπου το P θ (< θ < ) είναι σηµείο του ευθυγράµµου τµήµατος PP To πολυώνυµο k m d P ( P) T, m, P( P), ( ) d k P P P k! καλείται πολυώνυµο Τalor m τάξης της στο P Αν P (,,) τότε λέµε ότι έχουµε το πολυώνυµο Mc-Lauri της Aν η είναι απειροδιαφορίσιµη στο P τότε η σειρά T ( P), P k k d P k! ( P) καλείται σειρά Talor της στο P Επιπλέον αν ισχύει m+ d P P θ, ( m + )! m 83

7 τότε η σειρά Talor της στο P συγκλίνει στην τουλάχιστον σε µία περιοχή του P Αν P (,, ), P ( ρ,, ρ ) και αν αναπτύξουµε τα διαφορικά ανώτερης τάξης της τότε παίρνουµε T ( ( P)( ρ) + + ( P)( ρ )) m,, ( P) k m P Απόδειξη Εστω : E είναι m+-φορές διαφορίσιµη συνάρτηση επί ανοικτού συνόλου E, P ( ρ,, ρ ) είναι σταθερό σηµείο του Ε και P (,, ) είναι τυχαίο σηµείο σε κατάλληλη περιοχή του σηµείου P Eστω X P + t ( P P ), t [,] και k! (,, ) ( t) ( t) ( t) Φ όπου ( t) ρ t ( ρ ) ( t) ρ t ( ρ ) +,, + Τότε η Φ είναι m+-φορές διαφορίσιµη συνάρτηση και από τον κανόνα αλυσίδας έχουµε: dφ () t ( ( P) ) () t + P () t dt ( () () ) () ( m) m d t P t P t dt Φ + Φ + () t ( P)( ρ ) ( P)( ρ ) Φ ( m) + ( ) ( t) ( P) ( ρ ) ( P) ( ρ ) ( k ) Εφαρµόζουµε το γνωστό θεώρηµα Μc-Lauri για συναρτήσεις µιας µεταβλητής και έχουµε m ( m) Φ () m Φ () t t + Rm+ () t m! k Για t έχουµε () ( P), ( m) m Φ P Φ d ( P), οπότε: m+ d ( P) d P ( P) θ Φ () + () +! ( m+ )! m ( m) m m Φ () P Rm+ ( P) k m! k m ( m) 84

8 33 Ακρότατα συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ορισµός 3 Εστω : E και P E Αν ισχύει ( P) ( P ) (ή ( P) ( P )) για κάθε P E, τότε λέµε ότι η έχει ολικό ελάχιστο (ή ολικό µέγιστο) στο P µε τιµή ( P ) Ορισµός 3 Εστω : E και P E Αν υπάρχει περιοχή π ε ( P ) έτσι ώστε να ισχύει ( P) ( P ) (ή ( P) ( P )) για κάθε P E π ε ( P ) τότε λέµε ότι η έχει τοπικό ελάχιστο (ή τοπικό µέγιστο) στο σηµείο P µε τιµή ( P ) Θεώρηµα 34 Έστω : E, Ε ανοικτό και η είναι διαφορίσιµη στο σηµείο P Εάν η έχει τοπικό ακρότατο στο P τότε ( P ) Απόδειξη Εστω ότι η έχει τοπικό µέγιστο στο P και ισχύει ( P ) ( P ) Ας θεωρήσουµε την κατεύθυνση e και ας ( P ) ορίσουµε τη συνάρτηση µιας µεταβλητής Tότε: ( t) ( P t e) ϕ + ( P + t e) ( P) ϕ lim P t e t ( ) ( ) P P P e P P >, P P άρα η ϕ είναι γνησίως αύξουσα σε µια περιοχή του µηδενός και συνεπώς ισχύει ϕ ( t) > ϕ, ή ισοδύναµα ( P + t e) > ( P) σε κατάλληλη περιοχή του µηδενός Απ την άλλη µεριά, εφόσον η έχει τοπικό µέγιστο στο P θα υπάρχει µια περιοχή του P όπου ισχύει, άτοπο Αρα P P P Σηµείωση Η παραπάνω ισότητα είναι ισοδύναµη µε τo ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους: 85

9 ( P ) ( P ) Τα σηµεία πιθανών ακροτάτων καλούνται στάσιµα σηµεία Αν P είναι στάσιµο σηµείο αλλά η δεν έχει ακρότατο στο P, (δηλαδή σε κάθε περιοχή του P υπάρχουν σηµεία PP, ώστε ( P ) < ( P ) < ( P) ), τότε το P καλείται σαγµατικό (ή αυχενικό) σηµείο (κάτι ανάλογο µε το σηµείο καµπής) Στάσιµα σηµεία µπορεί να είναι: σηµεία στα οποία δεν υπάρχει κάποια ή κάποιες από τις µερικές παραγώγους της, ή σηµεία πάνω στο σύνορο του πεδίου ορισµού της, ή σηµεία που ικανοποιούν την ισότητα ( P ) O Προφανώς αν το,, τότε το εφαπτόµενο επίπεδο της επιφάνειας στο P είναι παράλληλο µε το επίπεδο O ηλαδή η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου της στο P είναι P είναι στάσιµο σηµείο µιας επιφάνειας Φύση στάσιµων σηµείων Το κριτήριο της Eσσιανής Εστω : E είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση σε µία περιοχή σηµείου P E και έστω ότι το P είναι στάσιµο σηµείο Για να µελετήσουµε τη φύση ενός στάσιµου σηµείου P ορίζουµε τον πίνακα ( P ) P H ( P ) ( P ) P τον οποίο καλούµε Εσσιανό πίνακα της στο σηµείο P Εφόσον ισχύει ( P) ( P) (αφού η έχει συνεχείς µερικές παραγώγους i j j i H P είναι συµµετρικός, δηλαδή ταυτίζεται µε τον ανάστροφό του Είναι γνωστό ότι κάθε συµµετρικός πίνακας έχει µόνον πραγµατικές ιδιοτιµές Τότε ισχύει: ης τάξης) ο πίνακας 86

10 Θεώρηµα 35 Εστω : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε µία περιοχή σηµείου P E, όπου Ε ανοικτό σύνολο, P είναι στάσιµο σηµείο και H ( P ) είναι ο Εσσιανός πίνακας της στο P όπως παραπάνω Υποθέτουµε ότι Τότε: ( ) Det H P (α) Αν ο Εσσιανός πίνακας H έχει τοπικό ελάχιστο στο P (β) Αν ο Εσσιανός πίνακας H η έχει τοπικό µέγιστο στο P (γ) Αν ο Εσσιανός πίνακας H ιδιοτιµές, τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο P έχει µόνον θετικές ιδιοτιµές, τότε η P έχει µόνον αρνητικές ιδιοτιµές, τότε P έχει και θετικές και αρνητικές Σηµείωση Εστω ( ) Det H P, (άρα υπάρχει τουλάχιστον µια µηδενική ιδιοτιµή του Εσσιανού πίνακα) Τότε από το Θεώρηµα 35 δεν συνάγεται κάποιο συµπέρασµα για τη φύση του στάσιµου σηµείου Μπορεί κάλλιστα το P να είναι τοπικό ακρότατο ή σαγµατικό σηµείο Στην περίπτωση αυτή: Αν ο Εσσιανός πίνακας έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιµές, ή αν υπάρχουν τουλάχιστον δυο στοιχεία της κυρίας διαγωνίου του H ( P ) µε αντίθετα πρόσηµα, τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο (όπως και στο Θεώρηµα 35), αλλιώς δεν έχουµε συµπέρασµα m Αν d ( P) d ( P), ( m ) και περιοχή του P, τότε: d m+ ( P) σε µια (α) Αν ο εκθέτης m + περιττος το P είναι σαγµατικό σηµείο (β) Αν ο εκθέτης m+ aρτιος και d m+ ( P) > σε µια περιοχή m του P τότε το P είναι τοπικό ελάχιστο, ενώ αν d µια περιοχή του P, τότε το P είναι τοπικό µέγιστο + ( P) < σε 87

11 ( ) Παρατήρηση Aν Det H P, αντί των παραπάνω µπορούµε να εξετάσουµε τη συµπεριφορά της σε µία περιοχή του P µε χρήση του τύπου της για να δούµε αν το P είναι ακρότατο ή σαγµατικό σηµείο a a Ορισµός 3 Έστω A είναι ένας πραγµατικός a a συµµετρικός πίνακας Τότε ο πίνακας A καλείται T u A u > u θετικά ορισµένος, αν { } T αρνητικά ορισµένος, αν A < { } u u u T µικτά προσηµασµένος, αν u A u παίρνει και θετικές και u αρνητικές τιµές { } Για να δούµε αν ένας συµµετρικός πίνακας είναι θετικά, ή αρνητικά ορισµένος ή µικτά προσηµασµένος χρησιµοποιούµε συνήθως κάποιο από τις ακόλουθες χρήσιµες προτάσεις/κριτήρια: Κριτήριο Α: Aν όλες οι κύριες ελάσσονες ορίζουσες D, i,, του πίνακα Α ικανοποιούν τις σχέσεις i a a a a D D D, a >, >,, > a a a a τότε ο πίνακας Α είναι θετικά ορισµένος Κριτήριο Β: Αν όλες οι κύριες ελάσσονες ορίζουσες D, k,, του πίνακα Α ικανοποιούν τις σχέσεις k a k k k (-) k (-) >, k,, a k a D, a k τότε ο πίνακας Α είναι αρνητικά ορισµένος Κριτήριο Γ: Αν ο πίνακας A δεν είναι ούτε θετικά, ούτε αρνητικά ορισµένος και: είτε ο πίνακας A έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιµές, είτε πάρχουν στα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου του πίνακα Α τουλάχιστον δυο στοιχεία µε αντίθετο πρόσηµο, τότε ο πίνακας Α είναι µικτά προσηµασµένος 88

12 Ισχύει το ακόλουθο κριτήριο για τον προσδιορισµό της φύσης στάσιµων σηµείων: Θεώρηµα 36 Εστω : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε µια περιοχή σηµείου P E, όπου Ε ανοικτό σύνολο, P είναι στάσιµο σηµείο και H ( P ) είναι ο Εσσιανός πίνακας της στο P όπως παραπάνω Τότε: Αν ο Εσσιανός πίνακας H ( ) P είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου της µε τιµή P είναι θετικά ορισµένος, τότε το P Αν ο Εσσιανός πίνακας H ( ) P είναι σηµείο τοπικού µεγίστου της µε τιµή το Αν ο Εσσιανός πίνακας H P είναι αρνητικά ορισµένος, τότε P P είναι µικτά προσηµασµένος, τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο Παρατηρήσεις (α) Αν ο εσσιανός πίνακας δεν είναι ούτε θετικά, ούτε αρνητικά ορισµένος, ούτε µικτά προσηµασµένος, τότε δεν µπορούµε να αποφανθούµε από το παραπάνω κριτήριο αν το P είναι σηµείο τοπικού ακροτάτου (β) Στην περίπτωση συνάρτησης (, ) παραγώγους ης ταξινόµηση: µε συνεχείς µερικές τάξης, το Θεώρηµα 36 µας δίνει την ακόλουθη ( P) ( P) Eστω H ( P ) ( P) ( P), είναι ο Εσσιανός πίνακας της πάνω σε στάσιµο σηµείο P Τότε: Det( H P ) > και Αν ελάχιστο στο P Αν P > τότε η έχει τοπικό Det( H P ) > και P < τότε τότε η έχει τοπικό µέγιστο στο P Det( H P ) < τότε το P είναι σαγµατικό σηµείο (έχει δυο ιδιοτιµές µε αντίθετα πρόσηµα, βλ θεώρ 35) Αν 89

13 Αν Det( H P ), δεν µπορούµε να αποφανθούµε αν το σηµείο P είναι σηµείο τοπικού ακροτάτου µέσω του Θεωρήµατος 36 Η γεωµετρική ερµηνεία των παραπάνω συνθηκών είναι η εξής: H ισότητα ( P ) ( P ) υπονοεί την ύπαρξη εφαπτόµενου επιπέδου στο P το οποίο είναι παράλληλο µε το επίπεδο O Η σχέση ( P ) > (ή P < ) υπονοεί ότι η καµπύλη που προκύπτει από την τοµή της επιφάνειας S: (, ) µε το επίπεδο είναι κυρτή (ή κοίλη) σε µια περιοχή του P Η σχέση Det( H P ) > υπονοεί ότι όλες οι καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή της επιφάνειας S: (, ) µε επίπεδα που περνούν από το P και είναι παράλληλα προς τον άξονα των είναι είτε όλες κυρτές είτε όλες κοίλες σε µια περιοχή του P Det( H P ) < υπονοεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή της επιφάνειας S: (, ) µε επίπεδα που περνούν από το P και είναι παράλληλα προς τον άξονα των εκ των οποίων η µια είναι κυρτή και η άλλη είναι κοίλη σε µια περιοχή του P Η σχέση Ολικά ακρότατα Εστω : E είναι συνεχής επί κλειστού και φραγµένου συνόλου Ε Από το Θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών είναι γνωστό ότι η έχει ολικό µέγιστο και ολικό ελάχιστο στο Ε Για την εύρεση των ολικών ακροτάτων εργαζόµαστε ως εξής: Υπολογίζουµε όλα τα τοπικά ακρότατα της στο εσωτερικό του Ε Υπολογίζουµε τα ακρότατα της πάνω στο σύνορο E Επιλέγουµε τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη τιµή της από τις παραπάνω 9

14 34 Ακρότατα υπό συνθήκη Πολ/στές Lagrage Έστω ότι θέλουµε να βρούµε τα ακρότατα µιας συνάρτησης (, ) υπό τον περιορισµό g(, ), όπου g(, ) είναι καµπύλη εντός του πεδίου ορισµού της Ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα 37 Έστω : E είναι διαφορίσιµη συνάρτηση επί ανοικτού συνόλου Ε και c: g(, ) είναι µια λεία καµπύλη εντός του Ε µε παραµετροποίηση r ( t) ( t), ( t), t a, b Υποθέτουµε ότι [ ] το P είναι οµαλό σηµείο της c (δηλ g( P ) τοπικό ακρότατο της πάνω στην καµπύλη * λ που καλείται πολ/στής Lagrage έτσι ώστε: ) και ότι το P είναι g, Τότε υπάρχει ( P) λ g P Απόδειξη Έστω c είναι καµπύλη όπως παραπάνω Εάν η έχει τοπικό ακρότατο πάνω στη c στο σηµείο P, τότε υπάρχει t έτσι ώστε F t t, t Επειδή F ( t ), όπου + ( P) ( t) F t P t P t έχουµε F ( t ) ( P ) ( t ) r, r Γνωρίζουµε όµως ότι το διάνυσµα της κλίσης gp ( ) είναι κάθετο στην εφαπτοµένη της καµπύλης * λ : ( P) λ g( P) g(, ) στο P, άρα Η µέθοδος των πολ/στών Lagrage είναι η ακόλουθη: Εστω ότι η έχει τοπικό ακρότατο πάνω στην καµπύλη g(, ) Ορίζουµε τη βοηθητική συνάρτηση Φ (,, λ) (, ) + λ g(, ) και υπολογίζουµε τα στάσιµα σηµεία αυτής Σχηµατίζουµε τον Εσσιανό πίνακα HΦ (, ) H (, ) + λ H (, ) g όπου (,, λ ) είναι στάσιµο σηµείο της Φ (,, λ) 9

15 Oρίζουµε το σύνολο και έχουµε: {(, vw): g (, )(, vw) } Γ v Φ > Γ w Aν (, vw) H (, ) ( vw, ) τότε το (, ) είναι τοπικό ελάχιστο της πάνω στην καµπύλη c v Φ < Γ w Αν (, vw) H (, ) ( vw, ) τότε το (, ) είναι τοπικό µέγιστο της πάνω στην καµπύλη c v Τέλος αν η ποσότητα (, vw) HΦ(, ) w δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο για όλα τα σηµεία του συνόλου Γ τότε το (, ) δεν είναι τοπικό ακρότατο Παρατηρήσεις (α) Η γεωµετρική ερµηνεία του δεσµευµένου ακροτάτου για συναρτήσεις δυο µεταβλητών είναι η ακόλουθη: Aν το P είναι τοπικό ακρότατο της (, ) πάνω στην καµπύλη c: g(, ), τότε υπάρχει ισοσταθµική καµπύλη (, ) k που εφάπτεται µε τη c στο P (β) Tο Θεώρηµα 37 ισχύει όχι µόνον για συναρτήσεις δυο µεταβλητών αλλά γενικεύεται µε φυσικό τρόπο και για συναρτήσεις µεταβλητών Θεώρηµα 38 Έστω, g, h: E 3 είναι διαφορίσιµες συναρτήσεις επί ανοικτού συνόλου Ε και P (,, ) σηµείο των επιφανειών S : g (,, ) και συνάρτηση w (,, ) c: g(,, ), h (,, ) είναι οµαλό S : h,, Εάν η έχει τοπικό ακρότατο πάνω στην καµπύλη { } * λµ, έτσι ώστε στο σηµείο P, τότε υπάρχουν P λ g( P) + µ h( P) 9

16 Οι αριθµοί λ και µ καλούνται πολ/στές Lagrage Σ αυτή την περίπτωση η µέθοδος των πολ/στών Lagrage διαµορφώνεται ως εξής: Ορίζουµε τη βοηθητική συνάρτηση Φ (,,, λ, µ ) (,, ) + λ g (,, ) + µ h (,, ) και υπολογίζουµε τα στάσιµα σηµεία αυτής Σχηµατίζουµε τον εσσιανό πίνακα HΦ (,, ) H (,, ) + λ H (,, ) + µ H (,, ) g h όπου (,,, λ, µ ) είναι στάσιµο σηµείο της Φ (, λ,,, µ ) Oρίζουµε το σύνολο u g (,, ) Γ ( uvw,, ): v h (,, ) w και έχουµε: u Aν ( uvw,, ) HΦ(,, ) v > ( uvw,, ) Γ w τότε το (,, ) είναι τοπικό ελάχιστο της πάνω στην καµπύλη c u Φ < Γ w Αν ( uvw,, ) H (,, ) v ( uvw,, ) τότε το (,, ) είναι τοπικό µέγιστο της πάνω στην καµπύλη c 93

17 u Τέλος αν η ποσότητα ( uvw,, ) HΦ(,, ) v δεν w διατηρεί σταθερό πρόσηµο για όλα τα σηµεία του συνόλου Γ τότε το (,, ) δεν είναι τοπικό ακρότατο Παρατήρηση Tο Θεώρηµα 38 γενικεύεται µε φυσικό τρόπο και για συναρτήσεις µεταβλητών (αντί τριών µεταβλητών) και m δεσµεύσεων όπου m< (αντί δύο δεσµεύσεων) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ είξτε ότι η εξίσωση + + συν ( ) επιλύεται µονότιµα ως προς g(, ) σε µία περιοχή του σηµείου P (,,) και υπολογίστε, g, τις µερικές παραγώγους g και Λύση Η συνάρτηση (,, ) + + συν ( ) έχει συνεχείς µερικές παραγώγους σε µία περιοχή του σηµείου P και ισχύει (,,) και (,,) Αρα η εξίσωση επιλύεται µονότιµα ως προς g(, ) σε µία περιοχή του σηµείου P (,,) και ισχύει g (,,) (,), g (,,),,,,, Εστω ότι η (, ) έχει συνεχείς µερικές παραγώγους και δίνεται σε πλεγµένη µορφή από τη σχέση + 3 Ποιος ο ρυθµός µεταβολής της κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος u 3e 4e εάν (,) > ; Ποια η κατεύθυνση του µέγιστου ρυθµού µεταβολής της στο (,) εάν (,) > ; Λύση Εστω > έχουµε Φ (,, ) + 3 Επειδή (,) Φ + ± + (,, ) 3 3 και η αρνητική τιµή απορρίπτεται Αρα (, ) (,) παίρνουµε και για Επιπλέον:

18 Φ Φ, άρα Φ (,, ), Φ (,, ) Φ 3 Φ, άρα (,) Φ (,, ) 3 Φ (,, ) Η κλίση της στο (,) είναι: 3 (,) ( (,), (,) ), u (3, 4) 3 4 Eπίσης u, Εφόσον η είναι διαφορίσιµη u 3 + ( 4) 5 5 στο (,) (έχει συνεχείς µερικές παραγώγους σε µία περιοχή του (,)) έχουµε: (,) (,) u,, u Η κατεύθυνση του µέγιστου ρυθµού µεταβολής της στο (,) είναι η κατεύθυνση του διανύσµατος κλίσης 3 ίνεται η συνάρτηση (, ) σε πλεγµένη µορφή από τη σχέση F(,, (, )) Αν η F έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης να υπολογίσετε τις,, Λύση Κατ αρχήν παίρνουµε το διαφορικό ης τάξης της F(,, ) θεωρώντας ότι οι µεταβλητές, είναι ανεξάρτητες (δηλ d, d σταθερά) ενώ η είναι εξαρτηµένη (δηλ d µεταβάλλεται) και έχουµε ( ) df ddf d F d F d F d + + Υπολογίζουµε: d F d + d F d + d F d + F d () ( + ) d F F d F d F d F d F d F d d ( ) ( ) F + F d+ F + F d 95

19 ( ) ( + ) d F F d F d F d F d F d F d d ( ) ( ) F + F d+ F + F d ( + ) d F F d F d F d F d F d F d d ( ) ( ) F + F d+ F + F d Tέλος γνωρίζουµε ότι d d + d ( ) () d d d d dd d Αντικαθιστώντας τα διαφορικά d F, ( ) d F, d( F ) () και µετά από στοιχειώδεις πράξεις παίρνουµε, d και F + F + F ( ) + F F + F + F + F + F F + F + F ( ) + F d στην 4 Να βρεθούν οι παράγωγοι των πραγµατικών συναρτήσεων, που ορίζονται µε πλεγµένη µορφή από το σύστηµα Λύση Θεωρούµε ηµ ( + ) + ηµ ( ) + F (,, ) ηµ ( + ) + F (,, ) ηµ ( ) + Από τον κανόνα αλυσίδας παίρνουµε: df (,, ) F d+ F d+ F d df (,, ) F d+ F d+ F d 96

20 F d+ F d+ F d F d+ F d+ F d F + F + F F + F + F ( F) + ( F) ( F) ( F ) + ( F ) ( F ) Λύνουµε το παραπάνω σύστηµα ως προς, µε τη µέθοδο Cramer και έχουµε: ( F) ( F ) ( F) ( F ) ( F) ( F) ( F ) ( F ), ( F) ( F ) ( F) ( F ) ( F) ( F) ( F ) ( F ) Eφόσον F(,, ) ηµ ( + ) + και F (,, ) ηµ ( ) + υπολογίζοντας τις µερικές παραγώγους αυτών και αντικαθιστώντας στην παραπάνω βρίσκουµε τελικά ότι εφ εφ και συν συν συν Υπολογίστε τη γωνία τοµής των επιφανειών και + + στο σηµείο (,,) ώστε µια γεωµετρική ερµηνεία του αποτελέσµατος 4 3 Λύση Εστω F(,, ) , G (,, ) + + Τότε F ( 8 3,9, 8) και G (,, ) F(,,) (,, 8) και G(,,) (,, ) Τελικά Αρα F(,,) G(,,) συνθ θ F(,,) G(,,) Οντως οι εξισώσεις των εφαπτοµένων επιπέδων των δύο επιφανειών στο (,,) είναι 97

21 και F (,,)( ) + F (,,)( ) + F (,,)( ) G (,,)( ) + G (,,)( ) + G (,,)( ) δηλαδή οι επιφάνειες έχουν κοινό εφαπτόµενο επίπεδο στο (,,) 6 Nα βρεθεί η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου και της καθέτου της επιφάνειας συν + συν + ηµ στο σηµείο (π/,π/,) Λύση Εστω F(,, ) συν + συν + ηµ, τότε η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου στο σηµείο (π/,π/,) είναι π π π π π π π π F,, + F,, + F,, ( ) π π + ( ) + π To κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το N (,, ), άρα η διανυσµατική εξίσωση της καθέτου ευθείας στο (π/,π/,) είναι π π ( ε):,, + λ(,, ), λ 7 Αναπτύξτε τη συνάρτηση (, ) + ηµ ( ) σε πολυώνυµο Talor ου βαθµού γύρω από το σηµείο (,) Λύση Εστω, P, τότε ( P ) Επίσης + συν ( ), + συν ( ), ηµ ( ), + συν ( ) ηµ ( ), ηµ ( ) Αρα: P P P P P,,,,, συνεπώς: k d ( P) d ( P) d ( P) T P P d P P k!!! P P P + +,, P k P ( ) (,) + (,) ( ) + (,) ( ) 98

22 + (,)( ) + (,)( )( ) + (,)( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( )( ) + ( ) + 8 Υπολογίστε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3, Λύση Η συνάρτηση είναι πολυωνυµική, άρα είναι και διαφορίσιµη στο, συνεπώς: , άρα: ( ) ή ή ή ή Χρησιµοποιούµε το κριτήριο του Εσσιανού πίνακα (βλέπε Θεώρηµα 36 και ορισµό 3) για να εντοπίσουµε τη φύση των 4 παραπάνω πιθανών ακροτάτων Έχουµε: H ( P) ( P) ( P) ( P) ( P) Για το σηµείο (, ) έχουµε: <, και (,) 6 άρα το (, ) είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Για το σηµείο (, ) έχουµε: 6 Det ( H, ) 36 > 6, 99

23 και (,) άρα το (,) είναι σαγµατικό σηµείο Για το σηµείο (, ) έχουµε: και (,) άρα το (,-) είναι σαγµατικό σηµείο Τέλος για το σηµείο (, ) έχουµε: (,) 6 6 Det ( H, ) 36 < 6, 6 Det( H, ) 36 < 6, > και άρα το (,) είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου 9 Έστω 6 Det ( H, ) > 6,, Βρείτε τα ολικά ακρότατα της επί του χωρίου D {(, ): 6} + Λύση Η είναι συνεχής συνάρτηση επί κλειστού και φραγµένου συνόλου D άρα έχει µέγιστη και ελάχιστη τιµή επί του D Eνδέχεται όµως τα ολικά ακρότατα αυτής να βρίσκονται είτε στο εσωτερικό του D είτε πάνω στο σύνορο του D Θα µελετήσουµε ξεχωριστά δύο περιπτώσεις: A Aρχικά θα βρούµε πιθανά ακρότατα της πάνω στο σύνορο + 6 χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των πολ/στών Lagrage Εστω Φ (,, λ) (, ) + λ g (, ) λ ( + 6) Υπολογίζουµε τα στάσιµα σηµεία της Φ ( λ ) ( λ ) 6+ λ + 3 Φ 4 4+ λ

24 λ 3 ( λ + ) η ( λ + ) η 4 η η 3 5 λ 3 λ 3 λ λ Εχουµε λοιπόν τέσσερα πιθανά ακρότατα: στο σηµείο (,4) µε τιµή (,4)7 στο σηµείο (,-4) µε τιµή (,-4)49 στα σηµεία ( ± 3, ) µε τιµή ( ± 3, ) 53 Β Οσον αφορά τα πιθανά ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου έχουµε: 6, 4 4, άρα έχουµε πιθανό ακρότατο στο σηµείο (, ) Υπολογίζουµε τώρα: H (,),, 6,, 4 6 Επειδή (,) 6 > και Det( H (,) ) > 4, ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισµένος άρα στο σηµείο (,) έχουµε τοπικό ελάχιστο µε τιµή Tελικά λοιπόν έχουµε ολικό µέγιστο στα σηµεία ( 3, ) και ( 3, ) µε τιµή 53 και ολικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή Έστω V(,, ),, >, Να ευρεθεί η µέγιστη τιµή του όγκου πάνω στην επιφάνεια Λύση Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να εφαρµόσουµε τη µέθοδο των πολ/στών Lagrage αλλά µπορούµε και απ ευθείας να αντικαταστήσουµε

25 την τιµή του στην εξίσωση της V και να οδηγηθούµε στην εύρεση τοπικών ακροτάτων συνάρτησης δύο µεταβλητών Τότε: οπότε έχουµε Φ (, ) (84 ) 84 4 Φ 84 4 > βρίσκουµε εύκολα τη µοναδική λύση (, ) ( 4,4) και επειδή, Επειδή ο Εσσιανός πίνακας είναι ο HΦ ( P) P ( H Φ ) συνάγουµε εύκολα ότι Φ (4,4) <, Det 4,4 >, άρα το (4,4) είναι σηµείο µεγίστου Να υπολογισθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης (,, ) ( + + ) Λύση Εχουµε Φ Αφαιρούµε τις δύο πρώτες εξισώσεις και παίρνουµε + + ( )( + ) + ( ) η + Αν + από την 3 η εξίσωση παίρνουµε +, άτοπο Εστω λοιπόν ότι Τότε εύκολα µπορεί να δει κανείς ότι από το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων προκύπτουν δύο λύσεις οι (,,) και (-,-,-) Αρα έχουµε δύο στάσιµα σηµεία τα (,,) και (-,-,-) Σχηµατίζουµε τον Εσσιανό πίνακα H (,, )

26 3 3 Στο σηµείο (,,) έχουµε H (,,) 3 3 και 3 3 Det[ H (,,)] Προφανώς ο H (,,) είναι µικτά προσηµασµένος, διότι το ίχνος (άθροισµα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του H (,,) ) ισούται µε ++ Εφόσον το ίχνος του πίνακα Α ισούται µε το άθροισµα των ιδιοτιµών του και εφόσον η ορίζουσα του H (,,) ισούται µε το γινόµενο των ιδιοτιµών του και είναι διάφορη του µηδενός αναγκαστικά θα υπάρχουν τουλάχιστον δυο ιδιοτιµές του εσσιανού πίνακα H (,,) µε αντίθετα πρόσηµα, (βλέπε Θεώρηµα 35) οπότε το (,,) είναι σαγµατικό σηµείο Στο σηµείο (-,-,-) έχουµε και ισχύει H 3 3 (,, ) (,, ) <, >, Det[ H (,,)] < 3 - άρα ο H (,, ) είναι αρνητικά ορισµένος οπότε το (-,-,-) είναι τοπικό µέγιστο Να υπολογισθεί η µέγιστη και ελάχιστη τιµή της συνάρτησης (, ) στο κλειστό χωρίο που περικλείεται από τις ευθείες, και Λύση Η είναι συνεχής συνάρτηση επί κλειστού και φραγµένου συνόλου, άρα από το Θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών παίρνει µέγιστο και ελάχιστο µέσα στο χωρίο Το χωρίο είναι τρίγωνο Αρχικά υπολογίζουµε τα τοπικά ακρότατα της πάνω στο σύνορο Μελετούµε χωριστά τις περιπτώσεις: Tότε (,) 4+ και από το Λογισµό συνάρτησης µιας µεταβλητής έχουµε (,) 4 Εφόσον ισχύει η (,) είναι γνησίως φθίνουσα για συνεπώς έχουµε τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,)-3 και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,) 3

27 Tότε (, ) 4 3 και από το Λογισµό συνάρτησης µιας µεταβλητής έχουµε (, ) 4 4 Εφόσον ισχύει η (, ) είναι γνησίως φθίνουσα για συνεπώς έχουµε τοπικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,)-5 και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,) Tότε (, ) και από το Λογισµό συνάρτησης µιας µεταβλητής έχουµε (, ), άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο πάλι στο σηµείο (,) µε τιµή (,)-5 και τοπικό µέγιστο στο σηµείο (,) µε τιµή (,) Στη συνέχεια υπολογίζουµε τα τοπικά ακρότατα της εντός του τριγώνου 4, άρα παίρνουµε ως µοναδικό στάσιµο σηµείο το 4 4 σηµείο (,) το οποίο ήδη γνωρίζουµε ότι είναι τοπικό ελάχιστο Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουµε ότι η έχει ολικό µέγιστο στο (,) µε τιµή και ολικό ελάχιστο στο σηµείο (,) µε τιµή -5 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ είξτε ότι η εξίσωση συν + συν + συν δέχεται µοναδική λύση (, ) σε µια περιοχή του σηµείου (,) τέτοιου ώστε (,) Στη συνέχεια υπολογίστε τις µερικές παραγώγους, Απάντ ηµ συν, ηµ συν συν ηµ συν ηµ Αν η πλεγµένη συνάρτηση (, ) ορίζεται µέσω της εξίσωσης Φ a, b δείξτε ότι a + b / 3 Υπολογίστε την της πλεγµένης συνάρτησης (, ) που ορίζεται µέσω της εξίσωσης e Απάντ (( + ) + ) 3 ( + e ) e e 4

28 4 Υπολογίστε το διαφορικό της πλεγµένης συνάρτησης (, ) που ορίζεται µέσω της εξίσωσης + + a b c c c Απάντ d d d a b 5 Να βρεθούν οι παράγωγοι των πλεγµένων συναρτήσεων, που ορίζονται από το σύστηµα εξισώσεων Απάντ 6 Να βρεθούν οι µερικές παράγωγοι u, v των πλεγµένων συναρτήσεων u u (, ), v v (, ) που ορίζονται από το σύστηµα u + v εξισώσεων v + u uv u + u + v u + v u Απάντ u v + v v + v u 7 Αν u v w + + να υπολογισθεί η Ιακωβιανή ορίζουσα 3 D Απάντ Duvw (,, ) + + D (,, ) Duvw (,, ) (,, ) 8 Να αναπτυχθεί η συνάρτηση (, ) e σε πολυώνυµο McLauri 3 ου βαθµού Aπάντ + 9 Να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων (α) (, ) 6 + +, (β) (, ) Απάντ (α) Τοπ ελάχ στο (-/3,/3), (β) Τοπ ελάχ στο (,) 5

29 Να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3,, Απάντ (α) εν υπάρχουν, σαγµατικό στο (-,,/) Με τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrage να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης (,, ) (,, ) υπό τη συνθήκη φ (,, ) + + Απάντ Τοπ µέγιστο στο,, Με τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrage βρείτε την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων, σε σηµείο που ανήκει στην τοµή 3 του παραβολοειδούς και του επιπέδου + 5 Απάντ d στα σηµεία,, και 3 4,, 5 5 6

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα y +

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.

6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 η ΕΚΑ Α 5. ίνεται η συνάρτηση ln, αν > 0 f () 0, αν 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 i Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2 1994 ΘΕΜΑΤΑ 1. ίνεται η συνάρτηση f()=,. Α) Αν ε είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f στο σηµείο Μ(α, α ), α >, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ (α, β), ώστε η εφαπτοµένη της C f στο (ξ, f (ξ))

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις 1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 4.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις 1. Ορισµός Έστω συνεχής σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι η στρέφει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 36 Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ. Σ 4. Λ. Λ 3. Λ 4. Λ 3. Σ 4. Σ 43. Σ 4. Λ 5. Σ 44. Σ 5. Σ 6. Σ 45. Λ 6.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 4 A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων 7 i ( 4 6 ii ( ln 4 iii ( 4 iv ( συν i Για κάθε R είναι ( 7 6 4 6 ii Για κάθε (, είναι ( 6 iii Για κάθε R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 3 Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 8. , δέχεται εφαπτοµένη στο σηµείο της ( k, f ( k)), k D

Μάθηµα 8. , δέχεται εφαπτοµένη στο σηµείο της ( k, f ( k)), k D Μάθηµα 8 Κεφάλαιο : ιαφορικός Λογισµός Θεµατικές Ενότητες: Εξίσωση Εφαπτοµένης Η προϋπόθεση ύπαρξης εφαπτοµένης (ένα κατά συνθήκη ψεύδος) και η εξίσωσή της Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης µε πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα