2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Transcript

1 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε πρώτη δεύτερη και γενικά νιοστή παράγωγο μιας συνάρτησης ; Απάντηση : Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α Θα λέμε ότι: α H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή απλά παραγωγίσιμη όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A β Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα αβ του πεδίου ορισμού της όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο γ Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ ] του πεδίου ορισμού της όταν είναι παραγωγίσιμη στο και επιπλέον ισχύει: R και R δ Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού και τo σύνολο των σημείων του στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη Αντιστοιχίζοντας κάθε στο ορίζουμε τη συνάρτηση A R : η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της H πρώτη d παράγωγος της συμβολίζεται και με που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι Για d πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y θα τη συμβολίζουμε και με y Αν υποθέσουμε ότι το είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων τότε η παράγωγος της αν υπάρχει λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συμβολίζεται με ν Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της με ν και συμβολίζεται με Δηλαδή ν ν [ ] ν Η εύρεση της παραγώγου συνάρτησης με βάση τον ορισμό που δώσαμε δεν είναι πάντα εύκολη Στη συνέχεια θα δούμε μερικές βασικές περιπτώσεις παραγώγισης συναρτήσεων που θα τις χρησιμοποιούμε στην εύρεση παραγώγου συναρτήσεων αντί να χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 99

2 Παρατήρηση : h h Ισχύει : και h h h h u u Επίσης : και [ h u] u u u u Να αποδείξετε ότι : α Αν c τότε β Αν τότε γ Αν με N {} τότε δ Αν τότε Απόδειξη : α Για ισχύει: cc Επομένως 5 Β δηλαδή c β Για ισχύει ότι : Επομένως δηλαδή γ Αν είναι ένα σημείο του R τότε για ισχύει: Επομένως : δ Αν είναι ένα σημείο του τότε για ισχύει: δηλαδή οπότε : Παρατήρηση : η έχει πεδίο ορισμού το [ όμως : Σχόλια Τύποι : άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή Έστω συνάρτηση ημ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει συν δηλαδή ημ συν Έστω η συνάρτηση συν Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ημ δηλαδή συν ημ Έστω η συνάρτηση Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει δηλαδή Έστω η συνάρτηση Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει δηλαδή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Παράγωγος αθροίσματος Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: Απόδειξη : Για ισχύει: Επειδή οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο έχουμε: δηλαδή Σημείωση : Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ τότε για κάθε Δ ισχύει: Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Δηλαδή αν k είναι παραγωγίσιμες στο Δ τότε : k k Για παράδειγμα ημ ημ συν ΘΕΩΡΗΜΑ Παράγωγος γινομένου Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο τότε και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: Σημείωση : Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ τότε για κάθε ισχύει: Για παράδειγμα Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Έτσι για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει: h [ h ] h h Για παράδειγμα : [ ] h h h h h ημ ημ ημ ημ ημ συν ημ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

4 Αν είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και c R επειδή c σύμφωνα με το θεώρημα έχουμε: c c Για παράδειγμα : ΘΕΩΡΗΜΑ Παράγωγος πηλίκου Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο και τότε και η συνάρτηση [ ] είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: Σημείωση : Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ και για κάθε ισχύει τότε για κάθε έχουμε: [ ] Έστω η συνάρτηση * N Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R* και ισχύει δηλαδή Απόδειξη * Πράγματι για κάθε έχουμε: Έστω η συνάρτηση εφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R { συν } και ισχύει δηλαδή εφ συν συν Απόδειξη: Πράγματι για κάθε R { συν } έχουμε: ημ ημ συν ημσυν συνσυν ημημ συν ημ εφ συν συν συν συν συν Έστω η συνάρτηση ισχύει ημ σφ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R { ημ } και δηλαδή σφ ημ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

5 6 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Σχόλια : Γενικά αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η είναι παραγωγίσιμη στο τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει Δηλαδή αν u τότε u u u Με το συμβολισμό του Libniz αν y u dy dy du και u έχουμε τον τύπο d du d αλυσίδας που είναι γνωστός ως κανόνας της 7 ΘΕΩΡΗΜΑ Να αποδείξετε ότι : α Η συνάρτηση a Z είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει β Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει γ Η συνάρτηση R * είναι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει 8 Απόδειξη : α Πράγματι αν και θέσουμε u y u τότε έχουμε y Επομένως u u y u β Πράγματι αν y u και θέσουμε u τότε έχουμε y Επομένως u u y u γ Πράγματι αν τότε ενώ αν τότε οπότε αν θέσουμε y και u έχουμε y u Επομένως y u u u και άρα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Επίσης ισχύουν οι εξής κανόνες παραγώγισης : c c c c c c Α ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων i 5 ii 5 iii 5 7 iv 9 v 5 vi vii viii Λύση : i 5 5 ii iii iv 9 9 v vi vii viii Είναι Άρα : Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων i ii 7 5 iii iv v vi vii

8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 6 viii Λύση : i 6 6 ii iii ημ ημ ημ ημ ημ συν ημ iv ] [ ] [ v vi vii viii Να βρείτε την παράγωγο της παρακάτω συνάρτησης : Λύση : Για έχω άρα Για έχω άρα Στο θα πρέπει να εξετάσω με τον ορισμό αν είναι παραγωγίσιμη : Πρώτα θα εξετάσω αν είναι συνεχής στο :

9 τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο : άρα η είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο με άρα : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων i ii 5 στο =- iii 5 7 iv v 6 =6 vi vii 5 viii = 5 Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων i ii iii iv v vi vii viii i t t t t Θα εξετάσω άρα η είναι ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 7

10 6 Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων : i ii iii iv v vi 7 Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης 8 Να βρείτε όπου ορίζεται την παράγωγο των συναρτήσεων : i ii 9 Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι η είναι συνεχής Στη συνέχεια να βρείτε την παράγωγο και να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο = Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε τα όρια : i ii Αν μία συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη στο σημείο να αποδείξετε ότι : i a ii Αν και ; να βρείτε τις συναρτήσεις Ισχύει ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 8

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii iv v vi vii viii i i Λύση : i ii ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ισχύει :

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα iii iv v vi vii viii i i Υποδ Για κάθε ισχύει : a Μια συνάρτηση h η οποία ορίζεται όταν για να βρούμε την γράφουμε τον τύπο της ως έξης : h h h και στη συνέχεια παραγωγίζουμε με και είναι : έτσι έχουμε : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης Λύση : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5 Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων : i ii 5 iii iv v vi 5 vii 5 viii i

13 i ii 6 Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων i ii iii 5 iv v vi vii 5 / viii ημ i i ii iii 5 iv v 7 Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii 5 iv v vi vii viii i ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

14 8 Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο όταν : i ii / / iii ημ iv 6 9 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων : i ii iii iv 5 ημ συν Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων i ii Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει : Να βρείτε το 6 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης για κάθε Στη συνέχεια αν δίνεται ότι να βρείτε την τιμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων ώστε να ισχύει : για κάθε Λύση : Άρα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε το 5 Να βρεθεί πολυώνυμο τέτοιο ώστε για κάθε να είναι 5 Υπόδειξη : Αν το πολυώνυμο έχει βαθμό τότε το έχει βαθμό 6 Να βρεθεί πολυώνυμο τέτοιο ώστε και για κάθε να είναι 7 Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού τέτοιο ώστε και 6 8 Δίνεται η συνάρτηση Να δείξετε ότι για κάθε 9 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε την τιμή του λ ώστε να ισχύει : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να βρείτε τις τιμές και Λύση : Στη σχέση : 8 θέτω και έχω : 8 Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισιμων ομοίως και η συνάρτηση 8 είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική Επομένως παραγωγίζω και τα μέλη της και έχω : 8 8 Στη για έχω : 8 Προσοχή : Στην παραπάνω άσκηση παραγωγίσαμε τη συναρτησιακή σχέση εφαρμόζοντας κανόνες παραγώγισης γιατί είχαμε την πληροφορία ότι η είναι παραγωγίσιμη στο Αν γνωρίζαμε ότι η είναι παραγωγίσιμη μόνο στο δεν θα μπορούσαμε να παραγωγίσουμε τη σχέση και θα έπρεπε να βρούμε το με τον ορισμό ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

16 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : * για την οποία ισχύει : y y y για κάθε y y y * y Να δείξετε ότι για κάθε * y ισχύει : Λύση : Παραγωγίζουμε τη σχέση y y y ως προς θεωρώντας το y σταθερά : y y y y y y y y y y y επίσης με παραγώγιση στη σχέση έχουμε : y y y y y y y y y y y y y y y y y Τώρα παραγωγίζουμε την ως προς y θεωρώντας το σταθερά : y y y y y y y y y y επίσης με παραγώγιση στη σχέση έχουμε : y y y y y y y y y y 5 Από και 5 έχουμε : y y y y y y Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε την είναι παραγωγίσιμη αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η Λύση : i Έχω : D Έστω D με Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα άρα η είναι «-» και άρα η αντιστρέψιμη Επίσης Άρα D ii Για κάθε όμως Στην για έχω : ισχύει ότι οπότε : άρα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε τις τιμές και Δίνεται συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να βρείτε τις τιμές και 5 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει : 9 Να βρείτε τις τιμές και για κάθε 6 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε τις τιμές και αν γνωρίζουμε ότι η είναι : i παραγωγίσιμη στο ii παραγωγίσιμη στο 7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : a για κάθε iνα βρείτε το α ii Να εκφράσετε την ως συνάρτηση της iii Να βρείτε το Αν η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων : 8 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 5 για κάθε Να βρείτε : iτο ii Το όριο : 9 Δίνεται παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 7 7 i Να βρείτε τις τιμές και ii Αν να βρείτε τη Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ii Να βρείτε την **Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή πρώτη παράγωγο και για κάθε για την οποία ισχύει : για κάθε i Να βρείτε τις τιμές και ii Να αποδείξετε ότι iii Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 5

18 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Αν η C διέρχεται από το Α να βρείτε : iτο σημείο τομής της C με τον άξονα y y ii Το iii Το όριο : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : y y για κάθε y Να αποδείξετε ότι για κάθε y ισχύει : y y [ ] [ y y] Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : y y για κάθε y y y y ισχύει : y y y Να αποδείξετε ότι για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 6

19 Β ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΠΡΟΣΟΧΗ ΙΣΧΥΟΥΝ ΤΑ ΕΞΗΣ : Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο τότε η C δέχεται εφαπτομένη στο σημείο Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι όπου ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον άξονα Η εξίσωση της εφαπτομένης στο είναι : y Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει Δηλαδή αν μια συνάρτηση δέχεται εφαπτομένη στο τότε δεν είναι πάντα παραγωγίσημη στο αφού μπορεί να δέχεται και κατακόρυφη εφαπτομένη ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται άρα και το Αν όμως δέχεται εφαπτομένη όχι κατακόρυφη τότε είναι παραγωγίσιμη Οι έννοιες εφαπτομένη στο και παράγωγος στο είναι ταυτόσημες o ω αμβλεία o ω= // Η εφαπτομένη της C στο σημείο μπορεί να έχει με τη C και άλλα κοινά σημεία πχ η εφαπτομένη της στο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΤΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ C Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της σε γνωστό σημείο χρησιμοποιούμε τον τύπο y Βρίσκουμε το άρα το Αν μια παραγωγίσημη συνάρτηση δέχεται εφαπτομένη στο σημείο της οποία σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω τότε : o ω οξεία σημείο επαφής Στη συνέχεια βρίσκω την και το κάνω αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο και προκύπτει η εξίσωση της εφαπτομένης ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 8 ή ή ή ή 5 ή ή 9 η ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 7

20 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση 5 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Λύση : Έστω η εφαπτομένη της C στο σημείο επαφής άρα το σημείο επαφής 7 τότε : y Έχω 7 Έχω : άρα Ισχύει : : y y 7 y 7 6 y Άρα : : y Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C Λύση : Έστω η εφαπτομένη της : y στο σημείο της C στο σημείο επαφής τότε Στη σχέση : 8 θέτω και έχω : 8 Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισιμων ομοίως και η συνάρτηση 8 είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμία Επομένως παραγωγίζω και τα μέλη της και έχω : 8 8 Στη για έχω : 8 Ισχύει : : y y y Άρα : : y Δίνεται η συνάρτηση της C στο σημείο Λύση : Έστω η εφαπτομένη της Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης 5 C στο σημείο επαφής τότε : y Έχω άρα το σημείο επαφής Επίσης πρέπει να βρω το άρα παραγωγίσιμη στο Ισχύει : : y y 9 y 9 8 y 9 Άρα : : y 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 8

21 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : C στο ii iv Να βρείτε την εφαπτομένη της i 5 6 iii ii iii στις παρακάτω περιπτώσεις : 5 Δίνεται η συνάρτηση : Να βρείτε αν υπάρχει την εξίσωση 6 της εφαπτομένης της C στο σημείο της a 6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : a a iνα βρείτε το α ii Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της a 7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : a 5 εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της a Να βρείτε την 8 Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε οποιοδήποτε σημείο της M έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν εκτός του Μ Στο σημείο Ν η κλίση της C είναι τετραπλάσια της κλίσης της στο Μ 9 Δίνεται η παραγωγίσημη συνάρτηση : με την ιδιότητα : 7 για κάθε Να δείξετε ότι 5 και στη συνέχεια να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 9 για κάθε Να αποδείξετε ότι για τη C ορίζεται εφαπτομένη στο σημείο της της οποίας και να βρείτε την εξίσωση Δίνεται συνάρτηση : δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει Αν τότε να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα y y Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 9

22 Δίνεται συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει : 8 για κάθε C στο σημείο της Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει : 9 για κάθε Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της 5 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 9 για κάθε Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της 6 Έστω ε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε ένα σημείο της Αν είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τους άξονες και y y αντιστοίχως να αποδείξετε ότι : i Το Μ είναι μέσο του ΑΒ * ii Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό δηλαδή ανεξάρτητο του 7 Έστω : μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν : h h 8 και Να βρείτε την εφαπτομένη της C h στο h 8 Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα για την οποία ισχύει : για κάθε Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο στο σημείο 9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : Να αποδείξετε ότι για τη C ορίζεται εφαπτομένη στο σημείο της της οποίας να βρείτε την εξίσωση Δίνεται η συνάρτηση Έστω ότι η C διέρχεται από το σημείο Α--5 και η εφαπτομένη της στο Α σχηματίζει με τον άξονα γωνία i Να βρείτε τα αβ ii Για και 8 να βρείτε την εφαπτομένη της καμπύλης της χ στο σημείο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

23 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΤΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΙΣΗ ΤΗΣ Όταν δε μας δίνεται το σημείο επαφής αλλά ένα στοιχείο για την κλίση της εφαπτομένης τότε ξεκινάμε θεωρώντας το σημείο επαφής το οποίο πρέπει και να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας το στοιχείο για την κλίση της εφαπτομένης Πιο συγκεκριμένα διακρίνουμε τις περιπτώσεις : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της στο σημείο έχει συντελεστή διεύθυνσης ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της στο σημείο είναι παράλληλη στην ευθεία : y όταν ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της στο σημείο είναι κάθετη στην ευθεία : y όταν ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Η εφαπτομένη ε της στο σημείο είναι παράλληλη στον άξονα όταν C C ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5 : Η εφαπτομένη ε της στο σημείο σχηματίζει γωνία 9 με τον άξονα όταν ισχύει ότι Αφού βρούμε το σημείο επαφής κάνουμε αντικατάσταση στον τύπο : : y C C και βρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης C ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της που i Έχει συντελεστή διεύθυνσης 5 ii Είναι παράλληλη στην ευθεία : y 5 iii Είναι κάθετη στην ευθεία : y iv Είναι παράλληλη στον άξονα v Σχηματίζει γωνία με τον άξονα 5 Λύση : Έστω η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το τότε : y Επίσης i Η έχει συντελεστή διεύθυνσης 5 άρα 5 5 Άρα δηλαδή το σημείο επαφής είναι Ισχύει : : y y 5 y 5 5 y 5 Άρα : : y 5 ii Η // : y 5 Άρα δηλαδή το σημείο επαφής είναι Ισχύει : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

24 : y y y y Άρα : : y iii : y Όταν δυο ευθείες είναι κάθετες οι συντελεστές διεύθυνσης τους είναι αντιθετοαντιστροφοι 6 Άρα δηλαδή το σημείο επαφής είναι Ισχύει : : y y y 9 Άρα : : y 9 iv // 9 Άρα δηλαδή το σημείο επαφής είναι 9 Ισχύει : : y y y Άρα : : y Θα μπορούσαμε να πούμε ότι επειδή // άρα θα είναι της μορφής y y και 9 9 αφού βρούμε το σημείο επαφής να πούμε κατευθείαν : y v Η σχηματίζει με τον άξονα γωνία 5 άρα 5 Άρα δηλαδή το σημείο επαφής είναι Ισχύει : : y y y Άρα : : y ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση 5 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της που iέχει συντελεστή διεύθυνσης ii Είναι παράλληλη στην ευθεία : y 5 7 iii Είναι κάθετη στην ευθεία : 7y ivείναι παράλληλη στον άξονα vσχηματίζει γωνία με τον άξονα 5 viσχηματίζει γωνία με τον άξονα 5 Να βρείτε την εφαπτομένη της καμπύλης της που σχηματίζει με τον άξονα γωνία Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της που είναι παράλληλες στη διχοτόμο της γωνίας ˆ y 5 Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της παράλληλες στον άξονα που είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

25 6 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε τα σημεία της καμπύλης της στα οποία οι εφαπτομένες είναι παράλληλες στην ευθεία : y Στη συνέχεια να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων 7 Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της καμπύλης της ώστε οι εφαπτομένες σ αυτά να είναι παράλληλες στην ευθεία : y 8 Δίνεται η συνάρτηση 5 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σημεία της καμπύλης της ώστε οι εφαπτομένες σ αυτά να είναι παράλληλες στον άξονα 9 Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης : ημ ημ [ ] στα οποία η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα των Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης οποιοδήποτε σημείο της σχηματίζει με τον άξονα αμβλεία γωνία σε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΗ C Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της που δεν ανήκει στη C εργαζόμαστε ως εξής : θεωρούμε το σημείο επαφής που διέρχεται από ένα σημείο γράφουμε τον τύπο της εφαπτομένης : y η ε διέρχεται από το σημείο άρα οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της Δηλ από την παραπάνω εξίσωση βρίσκουμε την τιμή ή τις τιμές του και στη συνέχεια την εξίσωση της εφαπτομένης Προσοχή : σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να μπερδεύουμε το σημείο επαφής με το σημείο διέλευσης C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

26 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της συνάρτησης 5 που διέρχονται από το σημείο Α Λύση : Έστω τότε η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το : y Επίσης 6 5 Άρα : : y y Όμως η διέρχεται από το σημείο Α άρα οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την y : y ή 5 εξίσωση της δηλαδή : Για και άρα : y y y άρα : y Για και 5 5 άρα : y y y y 5 7 άρα : y 5 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της συνάρτησης που διέρχονται από την αρχή των αξόνων Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της καμπύλης της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης οποία διέρχεται από το σημείο Α-- η 7 5 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που διέρχεται από το σημείο Α 6 Δίνεται η συνάρτηση 6 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που διέρχεται από το σημείο Α-- 7 Δίνεται η συνάρτηση λ> Να βρείτε την εφαπτομένη της C που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ιούνιος 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

27 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΝΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΗ Η ευθεία ε: y εφάπτεται στη C αν και μόνο αν υπάρχει D ώστε να ισχύει : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Αν η ευθεία y 6 εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο i Να βρείτε τα αβ ii Να αποδείξετε ότι η ευθεία y εφάπτεται στη C Λύση : i Έστω η εφαπτομένη που ψάχνω με σημείο επαφής το Επίσης Η ευθεία y 6 εφάπτεται στη C στο ii Για και 6 ο τύπος της γίνεται : 6 άρα Η ευθεία y εφάπτεται στη C αν και μόνο αν υπάρχει σημείο της C ώστε να ισχύουν : στη C 6 C στο σημείο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Άρα η ευθεία y εφάπτεται 9 Να αποδείξετε ότι η ευθεία : y 6 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 5 7 Να αποδείξετε ότι η ευθεία : y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης Έστω : παραγωγίσιμη συνάρτηση με : και για κάθε iνα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της ii Να βρείτε το iii Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται της C στο C στο σημείο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 5

28 Δίνεται η συνάρτηση με Η εφαπτομένη της C στο σημείο της έχει εξίσωση : y 9 i Να βρείτε τα ii Να αποδείξετε ότι και η ευθεία : y εφάπτεται της C Δίνεται η συνάρτηση με Η εφαπτομένη της C στο σημείο της έχει εξίσωση : y 7 i Να βρείτε τα iiνα αποδείξετε ότι και η ευθεία : y εφάπτεται της C Αν η ευθεία y εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο να βρείτε τα αβ 5 Αν η ευθεία y εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο να βρείτε τα αβ 6 Αν η ευθεία y εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης να βρείτε το σημείο επαφής και στη συνέχεια την ευθεία ε 7 Αν η διχοτόμος της γωνίας ˆ y εφάπτεται στην καμπύλη της συνάρτησης να βρείτε το σημείο επαφής 8 Δίνονται οι συναρτήσεις και iνα βρείτε της εφαπτομένη της καμπύλης της στο και τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα ii Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εφαπτομένη εφάπτεται και στην καμπύλη της 9 Δίνεται συνάρτηση : της οποίας η εφαπτομένη την ευθεία y Να βρείτε το όριο : C στο σημείο 9 έχει 5 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : και θεωρούμε και τη συνάρτηση για κάθε Η ευθεία y 76 εφάπτεται στη C στο σημείο της Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της 5 Δίνονται οι παραγωγισιμες συναρτήσεις : για τις οποίες ισχύει : για κάθε Αν η ευθεία : y εφάπτεται στη γραφική παράσταση της στο σημείο της τότε να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της 5 Δίνεται άρτια και παραγωγίσιμη συνάρτηση : Η εφαπτομένη της C στο σημείο της έχει εξίσωση y iνα αποδείξετε ότι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 6

29 iiθεωρούμε τη συνάρτηση Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της 5 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y εφάπτεται στη C και να βρείτε το σημείο επαφής 5 Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο για την οποία ισχύει και η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο εφάπτεται της C στο a 55 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : και η συνάρτηση με a i Να βρείτε το α ii Να βρείτε την ii Αν η εφαπτομένη της C στο σημείο της εφάπτεται και στη C στο σημείο τότε να βρείτε τα βγ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΥΟ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥΣ Οι γραφικές παραστάσεις C δυο συναρτήσεων έχουν κοινή εφαπτομένη ή C αλλιώς εφάπτονται μεταξύ τους στο κοινό σημείο τους y αν ισχύει : και ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 56 Δίνονται οι συναρτήσεις και Να βρεθούν τα έτσι ώστε οι C C να έχουν κοινή εφαπτομένη στο Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 7

30 Οι C C έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο τους με άρα ισχύει : και Έχω Και άρα από ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 57 Δίνονται οι συναρτήσεις βρείτε τις τιμές των αβ ώστε οι με τετμημένη C και με Να C να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο 58 Δίνονται οι συναρτήσεις 7 7 και Να αποδείξετε ότι οι C C στο κοινό σημείο τους έχουν κοινή εφαπτομένη της οποίας να βρείτε και την εξίσωση 59 Δίνονται οι συναρτήσεις και Να αποδείξετε ότι οι C C στο κοινό σημείο τους έχουν κοινή εφαπτομένη της οποίας να βρείτε και την εξίσωση 6 Δίνονται οι συναρτήσεις και i Να βρείτε τα κοινά σημεία των C ii Να βρείτε το διάστημα όπου η C iii Να δείξετε ότι στο κοινό σημείο τους οι C είναι κάτω από τη C C C έχουν κοινή εφαπτομένη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 8

31 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΥΟ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΜΗ ΚΟΙΝΟ ΤΟΥΣ ΣΗΜΕΙΟ Για να βρούμε αν υπάρχει κοινή εφαπτομένη ε των C C σε μη κοινό σημείο τους εργαζόμαστε ως εξής : θεωρούμε και τα σημεία επαφής της ε με τις C και αντίστοιχα η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο είναι : y y ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο είναι : y y για να παριστάνουν οι και την ίδια ευθεία πρέπει : από το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε τα αβ C ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Δίνονται οι συναρτήσεις και 7 6 Να βρεθούν οι κοινές εφαπτομένες των C C Λύση : με D και και 7 6 με D και 7 Αρχικά θα εξετάσουμε αν οι C C έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο τους Για να βρούμε κοινά σημεία των C C λύνουμε την εξίσωση : 7 6 άρα το κοινό σημείο των C C είναι το Για να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο τους Μ πρέπει να ισχύει : που ισχύει και που δεν ισχύει Άρα οι C C δεν έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο τους Θα εξετάσουμε τώρα αν έχουν κοινή εφαπτομένη σε μη κοινό σημείο Έστω ε η κοινή εφαπτομένη των C C και και τα σημεία επαφής της ε με τις C και C αντίστοιχα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 9

32 Η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο είναι : y y ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο είναι : y y Για να παριστάνουν οι και την ίδια ευθεία πρέπει : η λόγο της γίνεται 6 και από Άρα τα σημεία επαφής είναι και ενώ η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης είναι : : y y y δηλαδή : y ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των C C αν και 6 Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και 6 Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των C 5 6 C αν και 65 Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

33 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΥΠΑΡΞΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΠΑΦΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 66 Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο να είναι κάθετη στην ευθεία : : y 7 Λύση : Έχουμε και Έστω η εφαπτομένη της C στο με : y τότε Δηλ Έστω δείξω ότι υπάρχει τέτοιο ώστε Εφαρμόζω Θ Bolzano για τη στο [] Η είναι συνεχής στο [] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων Άρα από Θ Bolzano υπάρχει τέτοιο ώστε ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Θα 67 Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι υπάρχει : i Ένα τουλάχιστον σημείο Α της C με τετμημένη ώστε η εφαπτομένη της C στο Α να είναι παράλληλη στην ευθεία : : y ii Ένα τουλάχιστον σημείο Β της C με τετμημένη ώστε η εφαπτομένη της C στο Β να τέμνει τον άξονα y y στο Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης την αρχή των αξόνων στο σημείο h να διέρχεται από 69 Δίνονται οι συναρτήσεις και Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

34 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι παραγωγίσιμη Λύση : i Έχω : D Έστω D με Επίσης : Προσθέτω κατά μέλη τις και και έχω : Άρα η είναι γνησίως αύξουσα άρα η είναι «-» και άρα η αντιστρέψιμη Επίσης Άρα D ii Έστω ε η εφαπτομένη της : y C στο σημείο τότε : Για είναι : Άρα Για κάθε ισχύει ότι οπότε : όμως άρα : Στην για έχω : Άρα : : y y ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : y 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι παραγωγίσιμη 5 7 Δίνεται η συνάρτηση i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι παραγωγίσιμη : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

35 Γ ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν R { } ' σε περιοχή του με εξαίρεση ίσως το και υπάρχει το πεπερασμένο ή άπειρο τότε: ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν R { } ' σε περιοχή του με εξαίρεση o ίσως το και υπάρχει το πεπερασμένο ή άπειρο τότε: o ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ Αφού διαπιστώσω την απροσδιοριστία εφαρμόζω το Θ D L Hospital παραγωγίζω αριθμητή και παρανομαστή Αν έχουμε και πάλι απροσδιοριστία επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα o o πχ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογιστούν τα όρια : i ii iii iv v 5 vi vii viii i ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ Αφού διαπιστώσω την απροσδιοριστία εφαρμόζω το Θ D L Hospital παραγωγίζω αριθμητή και παρανομαστή Αν έχουμε και πάλι απροσδιοριστία επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα πχ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

36 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογιστούν τα όρια : 6 i ii iii iv v vii viii i 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ Αφού διαπιστώσω την απροσδιοριστία γράφω ή οπότε έχω απροσδιοριστία ή και λειτουργώ όπως παραπάνω πχ πχ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογιστούν τα όρια : i ii iii iv v vi ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα

37 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ Α Όριο [ ] Αφού διαπιστώσω την απροσδιοριστία γράφουμε τον τύπο με τη μορφή ή Για το ή έχουμε απροσδιοριστία της μορφής και εφαρμόζουμε Θ D L Hospital πχ όμως l επίσης : Άρα : πχ **Ειδική περίπτωση!! σε όρια αυτής της μορφής αν δουλέψουμε σύμφωνα με τη μεθοδολογία και το πχ θα οδηγηθούμε σε απροσδιοριστία για αυτό χρησιμοποιώ το εξής τέχνασμα : l Έχουμε : Όμως Άρα : Β Όταν ο τύπος είναι διαφορά με ένα τουλάχιστον όρο κλάσμα και έχουμε απροσδιοριστία της μορφής κάνουμε ομώνυμα και μετά βρίσκουμε το Όριο πχ DLH DLH ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 5

38 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογιστούν τα όρια : i ii iii iv v vi vii** viii ** i** ** 5 Να υπολογιστούν τα όρια : i ii iii ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ [ ] Αφού διαπιστώσω την απροσδιοριστία γράφω l συνέχεια βρίσκω το όριο [ ] Το ζητούμενο όριο είναι l Στη πχ έχουμε : Άρα : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να υπολογιστούν τα όρια : i ii iii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 6

39 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittraonor Σελίδα 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Να εξετάσετε αν είναι συνεχείς στη θέση = η συνάρτηση : 8 Να εξετάσετε αν είναι συνεχείς στη θέση = η συνάρτηση : 9 Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση = η συνάρτηση : Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση = η συνάρτηση : Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στη θέση = η συνάρτηση : Δίνεται συνάρτηση : με συνεχή δεύτερη παράγωγο για την οποία ισχύει : h h h h για κάθε Να βρείτε την Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : i Να βρείτε την τιμή ii Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο iii Αν h να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες των C και h C στα σημεία και h είναι παράλληλες Θέμα πανελληνίων ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ Θ HOSPITAL ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ